ในกลศาสตร์ควอนตัมกำแพง ศักย์รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (หรือบางครั้งเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ) เป็นปัญหามาตรฐานหนึ่งมิติที่แสดงให้เห็นถึงปรากฏการณ์การทะลุผ่านของคลื่น (เรียกอีกอย่างว่า "การทะลุผ่านควอนตัม") และการสะท้อนของคลื่น ปัญหานี้ประกอบด้วยการแก้สมการชโรดิงเจอร์ หนึ่งมิติที่ไม่ขึ้นกับเวลา สำหรับอนุภาคที่ชนกับ กำแพง พลังงานศักย์ รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยปกติแล้วจะถือว่าอนุภาคอิสระชนกับกำแพงจากด้านซ้าย ดัง เช่นในที่นี้

แม้ว่าในทางคลาสสิก อนุภาคที่ประพฤติตัวเหมือนมวลจุดจะถูกสะท้อนกลับหากพลังงานของมันน้อยกว่า 0 แต่ในความเป็นจริง อนุภาคที่ประพฤติตัวเหมือนคลื่นสสารจะมีโอกาสที่ไม่เป็นศูนย์ที่จะทะลุผ่านสิ่งกีดขวางและเดินทางต่อไปเป็นคลื่นอีกด้านหนึ่ง ในฟิสิกส์คลื่นแบบคลาสสิก ปรากฏการณ์นี้เรียกว่าการเชื่อมต่อคลื่นแบบเอวาเนสเซนต์ (evanescent wave coupling ) โอกาสที่อนุภาคจะผ่านสิ่งกีดขวางนั้นกำหนดโดยสัมประสิทธิ์การส่งผ่านในขณะที่โอกาสที่มันจะถูกสะท้อนกลับนั้นกำหนดโดยสัมประสิทธิ์การสะท้อน สมการคลื่นของชโรดิงเกอร์ช่วยให้สามารถคำนวณสัมประสิทธิ์เหล่านี้ ได้ ${\displaystyle V_{0}}$

สมการชโรดิงเกอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาสำหรับฟังก์ชันคลื่นมีดังนี้ โดยที่คือแฮมิล โท เนียน คือ ค่าคงที่ของพลังค์ (แบบลดรูป) คือมวลคือ พลังงานของอนุภาค และ คือ ศักย์กั้นที่มีความสูงและความกว้างคือ ฟังก์ชันขั้นบันไดของเฮวิไซด์นั่นคือ ${\displaystyle \psi (x)}$$${\displaystyle {\hat {H}}\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x)}$$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle m}$${\displaystyle E}$$${\displaystyle V(x)=V_{0}[\Theta (x)-\Theta (xa)]}$$${\displaystyle V_{0}>0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \Theta (x)=0,\;x<0;\;\Theta (x)=1,\;x>0}$$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&{\text{ถ้า }}x<0\\V_{0}&{\text{ถ้า }}0<x<a\\0&{\text{ถ้า }}a<x\end{cases}}}$$

สิ่งกีดขวางตั้งอยู่ระหว่างและสามารถเลื่อนสิ่งกีดขวางไปยังตำแหน่งใดก็ได้โดย ไม่ทำให้ผลลัพธ์เปลี่ยนแปลง พจน์แรกในแฮมิลโทเนียนคือพลังงานจลน์${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=a}$${\displaystyle x}$${\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi }$

สิ่งกีดขวางแบ่งพื้นที่ออกเป็นสามส่วน ( ) ในแต่ละส่วน ศักย์จะคงที่ หมายความว่าอนุภาคเป็นกึ่งอิสระ และสามารถเขียนคำตอบของสมการชโรดิงเกอร์ได้ในรูปของการซ้อนทับของคลื่นเคลื่อนที่ซ้ายและขวา (ดูอนุภาคอิสระ ) ถ้า โดยที่เลขคลื่นมีความสัมพันธ์กับพลังงานผ่านทาง ${\displaystyle x<0,0<x<a,x>a}$${\displaystyle E>V_{0}}$$${\displaystyle {\begin{cases}\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ik_{0}x}+A_{l}e^{-ik_{0}x}&x<0\\\psi _{C}(x)=B_{r}e^{ik_{1}x}+B_{l}e^{-ik_{1}x}&0<x<a\\\psi _{R}(x)=C_{r}e^{ik_{0}x}+C_{l}e^{-ik_{0}x}&x>a\end{cases}}}$$$${\displaystyle {\begin{cases}k_{0}={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}&x<0\quad {\text{หรือ}}\quad x>a\\k_{1}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}&0<x<a.\end{cases}}}$$

ดัชนีบนสัมประสิทธิ์และแสดงทิศทางของเวกเตอร์ความเร็ว โปรดทราบว่า หากพลังงานของอนุภาคต่ำกว่าความสูงของกำแพงกั้นจะกลายเป็นจำนวนจินตนาการ และฟังก์ชันคลื่นจะลดลงแบบเอกซ์ponential ภายในกำแพงกั้น อย่างไรก็ตาม เรายังคงใช้สัญลักษณ์นี้แม้ว่าคลื่นจะไม่แพร่กระจายอีกต่อไปในกรณีนี้ก็ตาม ในที่นี้เราสมมติว่ากรณีนี้จะกล่าวถึงต่อไป ${\displaystyle r/l}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle k_{1}}$${\displaystyle r/l}$${\displaystyle E\neq V_{0}}$${\displaystyle E=V_{0}}$

ต้องหาค่าสัมประสิทธิ์ จาก เงื่อนไขขอบเขตของฟังก์ชันคลื่นที่และฟังก์ชันคลื่นและอนุพันธ์ของฟังก์ชันคลื่นต้องต่อเนื่องทุกที่ ดังนั้น ${\displaystyle A,B,C}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=a}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{L}(0)&=\psi _{C}(0)\\\left.{\frac {d\psi _{L}}{dx}}\right|_{x=0}&=\left.{\frac {d\psi _{C}}{dx}}\right|_{x=0}\\\psi _{C}(a)&=\psi _{R}(a)\\\left.{\frac {d\psi _{C}}{dx}}\right|_{x=a}&=\left.{\frac {d\psi _{R}}{dx}}\right|_{x=a}.\end{aligned}}}$$

เมื่อแทนค่าฟังก์ชันคลื่นลงไป เงื่อนไขขอบเขตจะกำหนดข้อจำกัดต่อไปนี้สำหรับสัมประสิทธิ์

$${\displaystyle A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l}}$$$${\displaystyle ik_{0}(A_{r}-A_{l})=ik_{1}(B_{r}-B_{l})}$$$${\displaystyle B_{r}e^{iak_{1}}+B_{l}e^{-iak_{1}}=C_{r}e^{iak_{0}}+C_{l}e^{-iak_{0}}}$$$${\displaystyle ik_{1}\left(B_{r}e^{iak_{1}}-B_{l}e^{-iak_{1}}\right)=ik_{0}\left(C_{r}e^{iak_{0}}-C_{l}e^{-iak_{0}}\right)}$$

ณ จุดนี้ การเปรียบเทียบสถานการณ์กับกรณีคลาสสิกจะเป็นประโยชน์ ในทั้งสองกรณี อนุภาคจะประพฤติตัวเหมือนอนุภาคอิสระที่อยู่นอกบริเวณกำแพงกั้น อนุภาคคลาสสิกที่มีพลังงานมากกว่าความสูงของกำแพงกั้นจะ ผ่านกำแพงกั้นไป ได้เสมอและอนุภาคคลาสสิกที่ตกกระทบกำแพงกั้นจะถูกสะท้อนกลับ เสมอ${\displaystyle E}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle E<V_{0}}$

เพื่อศึกษากรณีควอนตัม ให้พิจารณาสถานการณ์ต่อไปนี้: อนุภาคตกกระทบที่สิ่งกีดขวางจากด้านซ้าย( )${\displaystyle A_{r}}$อนุภาคอาจถูกสะท้อน( )${\displaystyle A_{l}}$หรือส่งผ่าน( )${\displaystyle C_{r}}$

ในการหาค่าแอมพลิจูดของการสะท้อนและการส่งผ่านสำหรับการตกกระทบจากด้านซ้าย เราจะแทนค่าลงในสมการข้างต้น(อนุภาคขาเข้า), (การสะท้อน), (ไม่มีอนุภาคขาเข้าจากด้านขวา) และ(การส่งผ่าน) จากนั้นเราจะกำจัดสัมประสิทธิ์ออกจากสมการและแก้หาค่าและ${\displaystyle A_{r}=1}$${\displaystyle A_{l}=r}$${\displaystyle C_{l}=0}$${\displaystyle C_{r}=t}$${\displaystyle B_{l},B_{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle t}$

ผลลัพธ์คือ:

$${\displaystyle t={\frac {4k_{0}k_{1}e^{-ia(k_{0}-k_{1})}}{(k_{0}+k_{1})^{2}-e^{2iak_{1}}(k_{0}-k_{1})^{2}}}}$$$${\displaystyle r={\frac {(k_{0}^{2}-k_{1}^{2})\sin(ak_{1})}{2ik_{0}k_{1}\cos(ak_{1})+(k_{0}^{2}+k_{1}^{2})\sin(ak_{1})}}.}$$

เนื่องจาก แบบจำลอง มีความสมมาตร แบบกระจกเงา แอมพลิจูดสำหรับการตกกระทบจากด้านขวาจึงเท่ากับแอมพลิจูดสำหรับการตกกระทบจากด้านซ้าย โปรดสังเกตว่านิพจน์เหล่านี้ใช้ได้กับพลังงานใดๆถ้าแล้วดังนั้นจึงมีจุดเอกฐานในนิพจน์ทั้งสองนี้ ${\displaystyle E>0}$${\displaystyle E\neq V_{0}}$${\displaystyle E=V_{0}}$${\displaystyle k_{1}=0}$

ผลลัพธ์ที่น่าประหลาดใจคือ สำหรับพลังงานที่ต่ำกว่าความสูงของกำแพงกั้นจะมีความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์ ${\displaystyle E<V_{0}}$$${\displaystyle T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sinh ^{2}(k_{1}a)}{4E(V_{0}-E)}}}}}$$

เพื่อให้อนุภาคส่งผ่านสิ่งกีดขวางได้ โดยมีระยะทาง ปรากฏการณ์นี้ซึ่งแตกต่างจากกรณีคลาสสิก เรียกว่าการทะลุผ่านควอนตัม (quantum tunneling ) การส่งผ่านจะลดลงอย่างรวดเร็วตามความกว้างของสิ่งกีดขวาง ซึ่งสามารถเข้าใจได้จากรูปแบบฟังก์ชันของฟังก์ชันคลื่น: นอกสิ่งกีดขวางมันจะสั่นด้วยเวกเตอร์คลื่นในขณะที่ภายในสิ่งกีดขวางมันจะลดลงอย่างรวดเร็วตามระยะทางถ้าสิ่งกีดขวางกว้างกว่าความยาวการลดลงนี้มาก ส่วนซ้ายและขวาจะแทบไม่เป็นอิสระต่อกัน และการทะลุผ่านจึงถูกยับยั้ง ${\textstyle k_{1}={\sqrt {2m(V_{0}-E)/\hbar ^{2}}}}$${\displaystyle k_{0}}$${\displaystyle 1/k_{1}}$

ในกรณีนี้ ที่.$${\displaystyle T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sin ^{2}(k_{1}a)}{4E(E-V_{0})}}}},}$$${\textstyle k_{1}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}}$

สิ่งที่น่าประหลาดใจไม่แพ้กันก็คือ สำหรับพลังงานที่มากกว่าความสูงของกำแพงกั้นอนุภาคอาจสะท้อนจากกำแพงกั้นได้ด้วยความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์ ${\displaystyle E>V_{0}}$$${\displaystyle R=|r|^{2}=1-T.}$$

ความน่าจะเป็นของการส่งผ่านและการสะท้อนนั้นมีการแกว่งไปมาตามค่า ผลลัพธ์แบบคลาสสิกของการส่งผ่านที่สมบูรณ์แบบโดยไม่มีการสะท้อนใดๆ ( , ) เกิดขึ้นซ้ำไม่เพียงแต่ในขีดจำกัดของพลังงานสูงเท่านั้นแต่ยังรวมถึงเมื่อพลังงานและความกว้างของกำแพงกั้นเป็นไปตามเงื่อนไขโดยที่(ดูจุดสูงสุดใกล้และ 1.8 ในรูปด้านบน) โปรดทราบว่าความน่าจะเป็นและแอมพลิจูดที่เขียนไว้นั้นใช้ได้กับพลังงานใดๆ (สูงกว่า/ต่ำกว่า) ความสูงของกำแพงกั้น ${\displaystyle k_{1}a}$${\displaystyle T=1}$${\displaystyle R=0}$${\displaystyle E\gg V_{0}}$${\displaystyle k_{1}a=n\pi }$${\displaystyle n=1,2,\dots }$${\displaystyle E/V_{0}=1.2}$

ความน่าจะเป็นในการส่งผ่านที่คือ^{[ 1 ]}${\displaystyle E=V_{0}}$$${\displaystyle T={\frac {1}{1+ma^{2}V_{0}/2\hbar ^{2}}}.}$$

สามารถหาค่าแสดงความสัมพันธ์นี้ได้โดยการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์การส่งผ่านจากค่าคงที่ที่ระบุไว้ข้างต้นเช่นเดียวกับกรณีอื่นๆ หรือโดยการหาลิมิตของ เมื่อเข้าใกล้สำหรับจุดประสงค์นี้ อัตราส่วน ${\displaystyle T}$${\displaystyle E}$${\displaystyle V_{0}}$

$${\displaystyle x={\frac {E}{V_{0}}}}$$

มีการกำหนดค่า ซึ่งจะใช้ในฟังก์ชัน: ${\displaystyle f(x)}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {\sinh(v_{0}{\sqrt {1-x}})}{\sqrt {1-x}}}}$$

สมการสุดท้ายกำหนดไว้ดังนี้: ${\displaystyle v_{0}}$

$${\displaystyle v_{0}={\sqrt {\frac {2mV_{0}a^{2}}{\hbar ^{2}}}}}$$

คำจำกัดความเหล่านี้สามารถแทรกเข้าไปในนิพจน์ที่ได้มาสำหรับกรณีดังกล่าวได้ ${\displaystyle T}$${\displaystyle E<V_{0}}$

$${\displaystyle T(x)={\frac {1}{1+{\frac {f(x)^{2}}{4x}}}}}$$

ทีนี้ เมื่อคำนวณลิมิตของเมื่อ x เข้าใกล้ 1 (โดยใช้กฎของโลปิตาล ) ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \lim _{x\to 1}f(x)=\lim _{x\to 1}{\frac {\sinh(v_{0}{\sqrt {1-x}})}{(1-x)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {{\frac {d}{dx}}\sinh(v_{0}{\sqrt {1-x}})}{{\frac {d}{dx}}{\sqrt {1-x}}}}=v_{0}\cosh(0)=v_{0}}$

นอกจากนี้ ยัง สามารถหา ค่าลิมิตของเมื่อ เข้าใกล้ 1 ได้อีกด้วย:${\displaystyle T(x)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \lim _{x\to 1}T(x)=\lim _{x\to 1}{\frac {1}{1+{\frac {f(x)^{2}}{4x}}}}={\frac {1}{1+{\frac {v_{0}^{2}}{4}}}}}$

โดยการแทนค่าสูตรข้างต้นลงในค่าที่ประเมินได้สำหรับลิมิต จะได้สูตรข้างต้นสำหรับTอย่างถูกต้อง ${\displaystyle v_{0}}$

การคำนวณที่นำเสนอข้างต้นอาจดูไม่สมจริงและแทบไม่มีประโยชน์ในตอนแรก อย่างไรก็ตาม มันได้พิสูจน์แล้วว่าเป็นแบบจำลองที่เหมาะสมสำหรับระบบในชีวิตจริงหลายระบบ ตัวอย่างหนึ่งคือส่วนต่อประสานระหว่าง วัสดุ ตัวนำ สองชนิด ในเนื้อวัสดุ การเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนเป็นแบบกึ่งอิสระและสามารถอธิบายได้ด้วยพจน์จลน์ในแฮมิลโทเนียนข้างต้นที่มีมวลยังผล บ่อยครั้งที่พื้นผิวของวัสดุดังกล่าวถูกปกคลุมด้วยชั้นออกไซด์หรือไม่อยู่ในอุดมคติด้วยเหตุผลอื่น ๆ ชั้นที่ไม่นำไฟฟ้าบาง ๆ นี้สามารถจำลองได้ด้วยศักยภาพกั้นดังที่กล่าวมาข้างต้น จากนั้นอิเล็กตรอนอาจทะลุผ่านจากวัสดุหนึ่งไปยังอีกวัสดุหนึ่งทำให้เกิดกระแสไฟฟ้า ${\displaystyle m}$

การทำงานของกล้องจุลทรรศน์แบบสแกนนิ่งทันเนลลิ่ง (STM) อาศัยปรากฏการณ์การทะลุผ่านนี้ ในกรณีนี้ สิ่งกีดขวางเกิดจากช่องว่างระหว่างปลายของ STM กับวัตถุที่อยู่ด้านล่าง เนื่องจากกระแสการทะลุผ่านขึ้นอยู่กับความกว้างของสิ่งกีดขวางในลักษณะเลขชี้กำลัง อุปกรณ์นี้จึงมีความไวสูงมากต่อการเปลี่ยนแปลงความสูงของตัวอย่างที่ตรวจสอบ

แบบจำลองข้างต้นเป็นแบบหนึ่งมิติ ในขณะที่อวกาศเป็นแบบสามมิติ ดังนั้นจึงควรแก้สมการชโรดิงเกอร์ในสามมิติ ในทางกลับกัน ระบบหลายระบบเปลี่ยนแปลงเฉพาะในทิศทางพิกัดเดียวและไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนในทิศทางอื่น ๆ กล่าวคือสามารถแยกส่วนได้ สมการชโรดิงเกอร์จึงอาจลดรูปเป็นกรณีที่พิจารณาในที่นี้ได้โดยใช้สมมติฐานสำหรับฟังก์ชันคลื่นในรูปแบบ: ${\displaystyle \Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)}$

สำหรับแบบจำลองของสิ่งกีดขวางที่เกี่ยวข้องอีกแบบหนึ่ง โปรดดูที่ สิ่งกีดขวางศักย์เดลต้า (QM)ซึ่งสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของสิ่งกีดขวางศักย์จำกัด ผลลัพธ์ทั้งหมดจากบทความนี้สามารถนำไปใช้กับสิ่งกีดขวางศักย์เดลต้าได้โดยตรงโดยการหาลิมิตในขณะที่คงค่าคงที่ ไว้${\displaystyle V_{0}\to \infty ,\;a\to 0}$${\displaystyle V_{0}a=\lambda }$

• ศักยภาพมอร์ส/ระยะไกล
• ศักยภาพขั้นบันได
• บ่อศักย์จำกัด