บ่อศักย์จำกัด (หรือที่เรียกว่าบ่อศักย์สี่เหลี่ยมจำกัด ) เป็นแนวคิดจากกลศาสตร์ควอนตัมมันเป็นการขยายแนวคิดของบ่อศักย์อนันต์ซึ่งอนุภาคถูกจำกัดอยู่ใน "กล่อง" แต่มี"ผนัง" ศักย์ จำกัด แตกต่างจากบ่อศักย์อนันต์ตรงที่ มี ความน่าจะเป็นที่อนุภาคจะพบอยู่นอกกล่อง การตีความทางกลศาสตร์ควอนตัมแตกต่างจากการตีความแบบคลาสสิก ซึ่งหากพลังงาน รวม ของอนุภาคน้อยกว่ากำแพงพลังงานศักย์ของผนัง อนุภาคจะไม่พบอยู่นอกกล่อง ในการตีความแบบควอนตัม มีความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์ที่อนุภาคจะอยู่นอกกล่อง แม้ว่าพลังงานของอนุภาคจะน้อยกว่ากำแพงพลังงานศักย์ของผนังก็ตาม (ดูการทะลุผ่านควอนตัม )

สำหรับกรณีหนึ่งมิติบนแกนx สมการชโรดิงเจอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาสามารถเขียนได้ดังนี้:

$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi }$$

1

โดยที่^{[ 1 ]}

• ${\displaystyle \hbar }$คือค่าคงที่ของพลังค์แบบลดทอน
• ${\displaystyle m}$คือมวลของอนุภาค
• ${\displaystyle V(x)}$คือพลังงานศักยภาพณ แต่ละจุดx ,
• ${\displaystyle \psi }$คือ ฟังก์ชันคลื่น (เชิงซ้อน) หรือ " ฟังก์ชันเฉพาะ " และ
• ${\displaystyle E}$คือพลังงานซึ่งเป็นจำนวนจริงบางครั้งเรียกว่าพลังงานเฉพาะ (eigenenergy)

สำหรับกรณีของอนุภาคในกล่องหนึ่งมิติที่มีความยาวLศักย์จะอยู่นอกกล่องและเป็นศูนย์สำหรับxระหว่างและฟังก์ชันคลื่นประกอบด้วยฟังก์ชันคลื่นที่แตกต่างกัน ขึ้นอยู่กับว่าxอยู่ภายในหรือภายนอกกล่อง ดังนี้: ^{[ 2 ]}${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle -L/2}$${\displaystyle L/2}$$${\displaystyle \psi ={\begin{cases}\psi _{1},&{\text{ถ้า }}x<-L/2{\text{ (บริเวณนอกบ่อ)}}\\\psi _{2},&{\text{ถ้า }}-L/2<x<L/2{\text{ (บริเวณในบ่อ)}}\\\psi _{3},&{\text{ถ้า }}x>L/2{\text{ (บริเวณนอกบ่อ)}}\end{cases}}}$$

สำหรับบริเวณภายในกล่องV ( x ) = 0 และสมการ 1 ลดลงเหลือ^{[ 3 ]}ซึ่งคล้ายกับสมการชโรดิงเกอร์อิสระที่ไม่ขึ้นกับเวลาดังนั้น เมื่อกำหนดให้ สมการกลายเป็น โดยมีคำตอบทั่วไปของ โดยที่AและBสามารถเป็นจำนวนเชิงซ้อน ใดๆ และkสามารถเป็นจำนวนจริงใดๆ $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=E\psi _{2},}$$$${\displaystyle E={\frac {k^{2}\hbar ^{2}}{2m}}.}$$$${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }},}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=-k^{2}\psi _{2}.}$$$${\displaystyle \psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\,.}$$

สำหรับบริเวณนอกกรอบ เนื่องจากศักย์ไฟฟ้าคงที่ สมการที่1 จึง กลายเป็น: ${\displaystyle V(x)=V_{0}}$$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=(E-V_{0})\psi _{1}}$$

มีคำตอบที่เป็นไปได้สองกลุ่ม ขึ้นอยู่กับว่าEน้อยกว่า(อนุภาคอยู่ในสถานะผูกพัน) หรือEมากกว่า(อนุภาคอยู่ในสถานะอิสระ) ${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle V_{0}}$

ถ้าเราแก้สมการชโรดิงเกอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาสำหรับพลังงานโดยให้เป็นเช่นนั้น คำตอบจะมีรูปแบบเดียวกับกรณีภายในบ่อ: และด้วยเหตุนี้ จะมีการแกว่งทั้งภายในและภายนอกบ่อ ดังนั้น คำตอบจึงไม่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ นั่นคือ มันเป็นสถานะที่ไม่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้เสมอ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ได้หมายความว่าเป็นไปไม่ได้ที่อนุภาคควอนตัมจะมีพลังงานมากกว่าเพียงแต่หมายความว่าระบบมีสเปกตรัมต่อเนื่องเหนือ นั่นคือสถานะที่ไม่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้ยังคงมีส่วนร่วมในส่วนต่อเนื่องของสเปกตรัมในฐานะฟังก์ชันลักษณะเฉพาะทั่วไปของ ตัวดำเนิน การที่ไม่จำกัด^{[ 4 ]}${\displaystyle E>V_{0}}$$${\displaystyle k'={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }}}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=-k'^{2}\psi _{1}}$$$${\displaystyle \psi _{1}=C\sin(k'x)+D\cos(k'x)}$$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle V_{0}}$

การวิเคราะห์นี้จะมุ่งเน้นไปที่สถานะผูกพัน โดยที่การกำหนดให้ ก่อให้เกิด โดยที่คำตอบทั่วไปเป็นเลขชี้กำลังจริง: ${\displaystyle E<V_{0}}$$${\displaystyle \alpha ={\frac {\sqrt {2m(V_{0}-E)}}{\hbar }}}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=\alpha ^{2}\psi _{1}}$$$${\displaystyle \psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}}$$

ในทำนองเดียวกัน สำหรับบริเวณอื่นนอกกรอบ: $${\displaystyle \psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}}$$

เพื่อให้ได้คำตอบที่เฉพาะเจาะจงสำหรับปัญหาที่กำลังพิจารณา เราต้องระบุเงื่อนไขขอบเขตที่เหมาะสมและหาค่าของA , B , F , G , HและIที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเหล่านั้น

คำตอบของสมการชโรดิงเกอร์ต้องต่อเนื่องและสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง^{[ 5 ]}ข้อกำหนดเหล่านี้เป็นเงื่อนไขขอบเขตของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ได้มาจากก่อนหน้านี้ นั่นคือเงื่อนไขการจับคู่ระหว่างคำตอบภายในและภายนอกบ่อ

ในกรณีนี้ บ่อศักย์จำกัดมีความสมมาตร ดังนั้นจึงสามารถใช้ประโยชน์จากความสมมาตรเพื่อลดการคำนวณที่จำเป็นได้

สรุปเนื้อหาในส่วนก่อนหน้า: ซึ่งเราพบว่า, , และเป็นดังนี้: $${\displaystyle \psi ={\begin{cases}\psi _{1},&{\text{if }}x<-L/2{\text{ (the region outside the box)}}\\\psi _{2},&{\text{if }}-L/2<x<L/2{\text{ (the region inside the box)}}\\\psi _{3}&{\text{if }}x>L/2{\text{ (the region outside the box)}}\end{cases}}}$$${\displaystyle \psi _{1}}$${\displaystyle \psi _{2}}$${\displaystyle \psi _{3}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}&=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\\\psi _{2}&=A\sin(kx)+B\cos(kx)\\\psi _{3}&=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\end{aligned}}}$$

เราจะเห็นว่าเมื่อเข้าใกล้ เทอม นั้นจะเข้าสู่ค่าอนันต์ ในทำนองเดียวกัน เมื่อเข้าใกล้ เทอม นั้นจะเข้าสู่ค่าอนันต์ เพื่อให้ฟังก์ชันคลื่นสามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ เราต้องกำหนดและเราจะได้ว่า: และ${\displaystyle x}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle I}$${\displaystyle F=I=0}$$${\displaystyle \psi _{1}=Ge^{\alpha x}}$$$${\displaystyle \psi _{3}=He^{-\alpha x}}$$

ต่อไป เราทราบว่าฟังก์ชันโดยรวมต้องต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้ กล่าวคือ ค่าของฟังก์ชันและอนุพันธ์ของฟังก์ชันต้องตรงกัน ณ จุดแบ่ง: ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi _{1}(-L/2)=\psi _{2}(-L/2)}$		${\displaystyle \psi _{2}(L/2)=\psi _{3}(L/2)}$
${\displaystyle \left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=-L/2}=\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=-L/2}}$		${\displaystyle \left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=L/2}=\left.{\frac {d\psi _{3}}{dx}}\right|_{x=L/2}}$

สมการเหล่านี้มีคำตอบสองแบบ คือ แบบสมมาตร ซึ่งและและแบบปฏิสมมาตร ซึ่งและสำหรับกรณีสมมาตร เราจะได้ ดังนั้นการนำอัตราส่วนมาจะได้ ${\displaystyle A=0}$${\displaystyle G=H}$${\displaystyle B=0}$${\displaystyle G=-H}$$${\displaystyle He^{-\alpha L/2}=B\cos(kL/2)}$$$${\displaystyle -\alpha He^{-\alpha L/2}=-kB\sin(kL/2)}$$

$${\displaystyle \alpha =k\tan(kL/2).}$$ ในทำนองเดียวกัน สำหรับกรณีที่ไม่สมมาตร เราจะได้ $${\displaystyle \alpha =-k\cot(kL/2).}$$

โปรดจำไว้ว่าทั้งและขึ้นอยู่กับพลังงาน สิ่งที่เราพบคือเงื่อนไขความต่อเนื่องไม่สามารถเป็นไปตามค่าพลังงานใดๆ ได้ เนื่องจากเป็นผลมาจากกรณีของบ่อศักย์อนันต์ ดังนั้น มีเพียงค่าพลังงานบางค่าเท่านั้นที่เป็นคำตอบของสมการใดสมการหนึ่งหรือทั้งสองสมการนี้เท่านั้นที่ได้รับอนุญาต ดังนั้นเราจึงพบว่าระดับพลังงานของระบบด้านล่างเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง ฟังก์ชันเฉพาะที่สอดคล้องกันคือสถานะผูกพัน (ในทางตรงกันข้าม สำหรับระดับพลังงานด้านบนจะเป็นแบบต่อเนื่อง^{[ 6 ]} ) ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle k}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle V_{0}}$

สมการพลังงานไม่สามารถแก้ได้ด้วยวิธีวิเคราะห์ อย่างไรก็ตาม เราจะเห็นว่าในกรณีสมมาตร จะมีสถานะผูกพันอย่างน้อยหนึ่งสถานะเสมอ แม้ว่าบ่อจะมีระดับตื้นมากก็ตาม^{[ 7 ]} วิธีแก้ปัญหาเชิงกราฟหรือเชิงตัวเลขสำหรับสมการพลังงานนั้นทำได้ง่ายขึ้นโดยการเขียนสมการใหม่เล็กน้อย และควรกล่าวถึงว่า Lima ได้ค้นพบวิธีการประมาณที่ดีซึ่งใช้ได้กับพารามิเตอร์และ ทุกคู่ ^{[ 8 ]}หากเราแนะนำตัวแปรไร้มิติและและ และสังเกตจากคำจำกัดความของและว่าโดยที่สมการหลักจะเป็น ดังนี้${\displaystyle L}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle u=\alpha L/2}$${\displaystyle v=kL/2}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle k}$${\displaystyle u^{2}=u_{0}^{2}-v^{2}}$${\textstyle u_{0}^{2}={\frac {1}{2}}mL^{2}V_{0}\hbar ^{-2}}$$${\displaystyle {\sqrt {u_{0}^{2}-v^{2}}}={\begin{cases}v\tan v,&{\text{(symmetric case) }}\\-v\cot v,&{\text{(antisymmetric case) }}\end{cases}}}$$

ในแผนภาพทางด้านขวา สำหรับจะมีคำตอบที่ครึ่งวงกลมสีน้ำเงินตัดกับเส้นโค้งสีม่วงหรือสีเทา ( และ) เส้นโค้งสีม่วงหรือสีเทาแต่ละเส้นแสดงถึงคำตอบที่เป็นไปได้ภายในช่วงจำนวนคำตอบทั้งหมด(เช่น จำนวนเส้นโค้งสีม่วง/สีเทาที่ถูกตัดโดยวงกลมสีน้ำเงิน) จึงถูกกำหนดโดยการหารรัศมีของวงกลมสีน้ำเงินด้วยช่วงของแต่ละคำตอบและใช้ฟังก์ชันพื้นหรือเพดาน: ^{[ 9 ]}${\displaystyle u_{0}^{2}=20}$${\displaystyle v\tan v}$${\displaystyle -v\cot v}$${\displaystyle v_{j}}$${\textstyle {\frac {\pi }{2}}(j-1)\leq v_{i}<{\frac {\pi }{2}}j}$${\displaystyle N}$${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle \pi /2}$$${\displaystyle N=\left\lfloor {\frac {2u_{0}}{\pi }}\right\rfloor +1=\left\lceil {\frac {2u_{0}}{\pi }}\right\rceil }$$

ในกรณีนี้มีคำตอบอยู่สามคำตอบพอดี เนื่องจาก. ${\displaystyle N=\lceil 2{\sqrt {20}}/\pi \rceil =\lceil 2.85\rceil =3}$

${\displaystyle v_{1}=1.28,v_{2}=2.54}$และด้วยพลังงานที่สอดคล้องกัน หากเราต้องการ เราสามารถย้อนกลับไปหาค่าคงที่ในสมการได้ในตอนนี้ (เราจำเป็นต้องกำหนดเงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานด้วย) ทางด้านขวาเราแสดงระดับพลังงานและฟังก์ชันคลื่นในกรณีนี้ (โดยที่) ${\displaystyle v_{3}=3.73}$$${\displaystyle E_{n}={2\hbar ^{2}v_{n}^{2} \over mL^{2}}.}$$${\displaystyle A,B,G,H}$${\textstyle x_{0}\equiv \hbar /{\sqrt {2mV_{0}}}}$

เราสังเกตว่าไม่ว่าขนาดเล็กแค่ไหน(ไม่ว่าบ่อศักย์จะตื้นหรือแคบเพียงใด) ก็จะมีสถานะผูกพันอย่างน้อยหนึ่งสถานะเสมอ ${\displaystyle u_{0}}$

มีกรณีพิเศษสองกรณีที่ควรสังเกต เมื่อความสูงของศักย์มีค่ามากรัศมีของครึ่งวงกลมก็จะใหญ่ขึ้น และรากก็จะเข้าใกล้ค่ามากขึ้นเรื่อยๆจนเรากลับไปสู่กรณีของบ่อศักย์สี่เหลี่ยมจัตุรัสอนันต์อีกครั้ง ${\displaystyle V_{0}\to \infty }$${\displaystyle v_{n}=n\pi /2}$

กรณีอื่นคือบ่อศักย์ที่แคบและลึกมาก โดยเฉพาะกรณีที่และมีค่าคงที่ เนื่องจากค่าจะเข้าใกล้ศูนย์ ดังนั้นจึงจะมีสถานะผูกพันเพียงสถานะเดียวเท่านั้น คำตอบโดยประมาณคือและพลังงานจะเข้าใกล้แต่สิ่งนี้เป็นเพียงพลังงานของสถานะผูกพันของศักย์ฟังก์ชันเดลต้าที่มีความแรงตามที่ควรจะเป็น ${\displaystyle V_{0}\to \infty }$${\displaystyle L\to 0}$${\displaystyle V_{0}L}$${\displaystyle u_{0}\propto {\sqrt {V_{0}}}L}$${\displaystyle v^{2}=u_{0}^{2}-u_{0}^{4}}$${\displaystyle E=-mL^{2}V_{0}^{2}/2\hbar ^{2}}$${\displaystyle V_{0}L}$

สามารถหาคำตอบเชิงกราฟิกที่ง่ายกว่าสำหรับระดับพลังงานได้โดยการทำให้ศักยภาพและพลังงานเป็นมาตรฐานผ่านการคูณด้วยปริมาณที่เป็นมาตรฐานจะ ให้ความสัมพันธ์โดยตรงระหว่างคู่ที่อนุญาตเป็น^{[ 10 ]} สำหรับฟังก์ชันคลื่นพาริตีคู่และคี่ตามลำดับ ในสมการก่อนหน้านี้จะต้องพิจารณาเฉพาะส่วนอนุพันธ์บวกของฟังก์ชันเท่านั้น แผนภูมิที่แสดงคู่ที่อนุญาตโดยตรงแสดงอยู่ในรูป ${\displaystyle {8m}{L^{2}}/h^{2}}$$${\displaystyle {\tilde {V}}_{0}=V_{0}{\frac {8m}{h^{2}}}L^{2}\qquad {\tilde {E}}=E{\frac {8m}{h^{2}}}L^{2}}$$${\displaystyle (V_{0},E)}$$${\displaystyle {\sqrt {{\tilde {V}}_{0}}}={\sqrt {\tilde {E}}}\,\left|{\sec({\sqrt {\tilde {E}}}\,{\pi }/{2})}\right|,\qquad {\sqrt {{\tilde {V}}_{0}}}={\sqrt {\tilde {E}}}\,\left|{\csc({\sqrt {\tilde {E}}}\,{\pi }/{2})}\right|}$$${\displaystyle (V_{0},E)}$

พิจารณาบ่อศักย์แบบไม่สมมาตรหนึ่งมิติที่กำหนดโดยศักย์^{[ 11 ]} ที่ มีพบว่า คำตอบที่สอดคล้องกันสำหรับฟังก์ชันคลื่นที่มี คือ และ $${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{1},&{\text{if }}-\infty <x<0{\text{ (the region outside the well)}}\\0,&{\text{if }}0<x<a{\text{ (the region inside the well)}}\\V_{2}&{\text{if }}a<x<\infty {\text{ (the region outside the well)}}\end{cases}}}$$${\displaystyle V_{2}>V_{1}}$${\displaystyle E<V_{1}}$$${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}c_{1}e^{k_{1}x},&{\text{for }}x<0,{\text{where }}k_{1}={\sqrt {(2m/\hbar ^{2})(V_{1}-E)}}\\c\sin(kx+\delta ),&{\text{for }}0<x<a,{\text{where }}k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\\c_{2}e^{-k_{2}x},&{\text{for }}x>a,{\text{where }}k_{2}={\sqrt {(2m/\hbar ^{2})(V_{2}-E)}}\end{cases}}}$$$${\displaystyle \sin \delta ={\frac {k\hbar }{\sqrt {2mV_{1}}}}.}$$

ระดับพลังงานจะถูกกำหนดเมื่อแก้สมการอดิศัยต่อไปนี้ ได้ โดยที่การมีอยู่ของรากของสมการข้างต้นไม่ได้รับการรับประกันเสมอไป ตัวอย่างเช่น อาจพบค่าที่เล็กมากจนสำหรับค่าที่กำหนดของและจะไม่มีระดับพลังงานที่ไม่ต่อเนื่อง ผลลัพธ์ของบ่อน้ำสมมาตรได้มาจากสมการข้างต้นโดยการตั้งค่า ${\displaystyle E=k^{2}\hbar ^{2}/(2m)}$${\displaystyle k}$$${\displaystyle ka=n\pi -\sin ^{-1}\left({\frac {k\hbar }{\sqrt {2mV_{1}}}}\right)-\sin ^{-1}\left({\frac {k\hbar }{\sqrt {2mV_{2}}}}\right)}$$${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$${\displaystyle a}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle V_{1}=V_{2}=V_{o}}$

พิจารณาบ่อศักย์ทรงกลมต่อไปนี้ โดยที่คือรัศมีจากจุดกำเนิด คำตอบสำหรับฟังก์ชันคลื่นที่มีโมเมนตัมเชิงมุม เป็นศูนย์ ( ) และมีพลังงานจะได้รับจาก^{[ 11 ]} ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไข $${\displaystyle U(r)={\begin{cases}-U_{0},&{\text{if }}r<a{\text{ (the region inside the well)}}\\0,&{\text{if }}r>a{\text{ (the region outside the well)}}\end{cases}}}$$${\displaystyle r}$${\displaystyle l=0}$${\displaystyle E<0}$$${\displaystyle \psi (r)={\begin{cases}{\frac {A}{r}}\sin kr,&{\text{for }}r<a,{\text{where }}k={\sqrt {(2m/\hbar ^{2})(U_{0}-|E|)}}\\{\frac {B}{r}}e^{-\kappa r},&{\text{for }}r>a,{\text{where }}\kappa ={\sqrt {2m|E|/\hbar ^{2}}}={\sqrt {2mU_{0}/\hbar ^{2}-k^{2}}}.\end{cases}}}$$

${\displaystyle k\cot ka=-\kappa .}$

สมการนี้ไม่ได้มีคำตอบเสมอไป ซึ่งแสดงว่าในบางกรณีไม่มีสถานะผูกพัน ความลึกต่ำสุดของบ่อศักย์ที่สถานะผูกพันปรากฏขึ้นครั้งแรกนั้นกำหนดโดย ${\displaystyle E=0}$

${\displaystyle U_{0,\mathrm {min} }={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{8ma^{2}}}}$

ซึ่งเพิ่มขึ้นเมื่อรัศมีบ่อลดลงดังนั้นสถานะผูกพันจึงเป็นไปไม่ได้หากบ่อตื้นและแคบเพียงพอ สำหรับความลึกของบ่อที่เกินค่าต่ำสุดเล็กน้อย กล่าวคือ สำหรับพลังงานสถานะพื้นฐาน ( เนื่องจากเรากำลังพิจารณากรณี) จะได้รับจาก^{[ 12 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle U_{0}/U_{0,\mathrm {min} }-1\ll 1}$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle l=0}$

${\displaystyle -E_{1}={\frac {\pi ^{2}}{16}}{\frac {(|U_{0}|-U_{0,\mathrm {min} })^{2}}{U_{0,\mathrm {min} }}}.}$

ผลลัพธ์ข้างต้นสามารถแสดงให้เห็นว่า เช่นเดียวกับกรณีหนึ่งมิติ มีสถานะผูกพันสองสถานะในโพรงทรงกลม เนื่องจากพิกัดทรงกลมทำให้รัศมีเท่ากันในทุกทิศทาง

The ground state (n = 1) of a spherically symmetric potential will always have zero orbital angular momentum (ℓ = n−1), and the reduced wave function ${\displaystyle \chi (r)\equiv r\psi (r)}$ satisfies the equation $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\chi }{dr^{2}}}+U(r)\chi (r)=E\chi (r)}$$ where ${\displaystyle \psi (r)}$ is the radial part of the wave function. Notice that for (n = 1) angular part is constant (ℓ = 0).

This is identical to the one-dimensional equation, except for the boundary conditions. As before, $${\displaystyle \chi (r)={\begin{cases}c_{1}\sin({k_{1}r}),&{\text{for }}r<a,{\text{ where }}k_{1}={\sqrt {2m/\hbar ^{2}(U_{1}-E)}}\\[1ex]c\sin({kr+\delta }),&{\text{for }}a<r<b,{\text{ where }}k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\\[1ex]c_{2}e^{-k_{2}r},&{\text{for }}r>b,{\text{ where }}k_{2}={\sqrt {2m/\hbar ^{2}(U_{2}-E)}}\end{cases}}}$$

The energy levels for ${\displaystyle a<r<b}$$${\displaystyle E={\frac {k^{2}\hbar ^{2}}{2m}}}$$ are determined once ${\displaystyle {\displaystyle k}}$ is solved as a root of the following transcendental equation $${\displaystyle k(b-a)=n\pi }$$ where ${\displaystyle {\displaystyle n=1,2,3,\dots }}$

Existence of root to above equation is always guaranteed. The results are always with spherical symmetry. It fulfils the condition where the wave does not find any potential inside the sphere: ${\displaystyle \chi (a)=\chi (0)=0}$.

Different differential equation lay on when ℓ ≠0, so as above titles, here it is: $${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{dr^{2}}}+{\begin{Bmatrix}k^{2}-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}\end{Bmatrix}}\chi (r)=0}$$

The solution can be rationalized by some changes of variable and function to rise a Bessel like differential equation, which solution is: $${\displaystyle {\frac {\chi (r)}{r}}={\begin{cases}Aj_{l}({k_{1}r}),&{\text{for }}r<a,{\text{ where }}k_{1}={\sqrt {2m/\hbar ^{2}(U_{1}-E)}}\\[1ex]Aj_{l}({kr})+By_{l}({kr}),&{\text{for }}a<r<b,{\text{ where }}k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\\[1ex]Ch_{l}^{(1)}({k_{2}r}),&{\text{for }}r>b,{\text{ where }}k_{2}={\sqrt {2m/\hbar ^{2}(U_{2}-E)}}\end{cases}}}$$ where ${\displaystyle j_{l}{(kr)}}$, ${\displaystyle y_{l}({kr})}$ and ${\displaystyle h_{l}^{(1)}({kr})}$ are Bessel, Newman and Hankel spherical functions respectively, and could be rewritten as function of standard Bessel function.

The energy levels for ${\displaystyle a<r<b}$$${\displaystyle E={\frac {k^{2}\hbar ^{2}}{2m}}}$$ are determined once ${\displaystyle {\displaystyle k}}$ is solved as a root of the following transcendental equation $${\displaystyle k(b-a)={\frac {4n\pi }{2\ell +1}}}$$ where ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$

Also this two transcendental equations are ${\displaystyle {\displaystyle k}}$ solutions: $${\displaystyle kb={\frac {n\pi }{2\ell +1}}{\begin{Bmatrix}3-2\sin ^{2}\left(\pi {\frac {\ell +1}{2}}\right)\end{Bmatrix}}}$$ and also, $${\displaystyle ka={\frac {n\pi }{2\ell +1}}{\begin{Bmatrix}3-2\sin ^{2}\left(\pi {\frac {\ell +1}{2}}\right)\end{Bmatrix}}}$$

Existence of roots to above equations are always guaranteed. The results are always with spherical symmetry.

• Potential well
• Delta function potential
• Infinite potential well
• Semicircle potential well
• Quantum tunnelling
• Rectangular potential barrier

• Ballentine, Leslie E (1998). กลศาสตร์ควอนตัม . WORLD SCIENTIFIC. doi : 10.1142/3142 . ISBN 978-981-02-2707-4.
• Griffiths, David J. (2005). บทนำสู่กลศาสตร์ควอนตัม (ฉบับที่ 2). Prentice-Hall . ISBN 0-13-111892-7.
• ฮอลล์, ไบรอัน ซี. (2013), ทฤษฎีควอนตัมสำหรับนักคณิตศาสตร์ , ตำราเรียนคณิตศาสตร์ระดับบัณฑิตศึกษา, เล่มที่ 267, สปริงเกอร์