ในหลายสาขาวิทยาศาสตร์กฎของแบรกก์หรือที่รู้จักกันในชื่อเงื่อนไขของวูล์ ฟ-แบรกก์ หรือการแทรกสอดของเลา -แบรกก์ เป็นกรณีพิเศษของการเลี้ยวเบนของเลาซึ่งให้มุมสำหรับการกระเจิง แบบสอดคล้องกัน ของคลื่นจากโครงผลึกขนาดใหญ่ กฎนี้อธิบายว่าการซ้อนทับกันของหน้าคลื่นที่กระเจิงโดยระนาบของโครงผลึกนำไปสู่ความสัมพันธ์ที่เข้มงวดระหว่างความยาวคลื่นและมุมการกระเจิง กฎนี้ถูกกำหนดขึ้นครั้งแรกสำหรับรังสีเอกซ์ แต่ก็ใช้ได้กับคลื่นสสาร ทุกประเภท รวมถึงคลื่นนิวตรอนและอิเล็กตรอนหากมีอะตอมจำนวนมาก ตลอดจนแสงที่มองเห็นได้ด้วยโครงผลึกขนาดเล็กแบบเป็นคาบที่สร้างขึ้นเอง

การเลี้ยวเบนของแบรกก์ (เรียกอีกอย่างว่าสูตรการเลี้ยวเบนของรังสีเอกซ์ของแบรกก์ ) ได้รับการเสนอครั้งแรกโดยลอว์เรนซ์ แบรกก์และบิดาของเขาวิลเลียม เฮนรี แบรกก์ในปี พ.ศ. 2456 ^{[ 1 ]}หลังจากที่พวกเขาค้นพบว่า ของแข็ง ผลึกสร้างรูปแบบการสะท้อนของรังสีเอกซ์ ที่น่าประหลาดใจ (ตรงกันข้ามกับรูปแบบที่เกิดขึ้นกับของเหลวเป็นต้น) พวกเขาพบว่าผลึกเหล่านี้ที่ความยาวคลื่นและมุมตกกระทบที่เฉพาะเจาะจง จะสร้างยอดความเข้มของรังสีสะท้อน

ลอว์เรนซ์ แบรกก์ อธิบายผลลัพธ์นี้โดยจำลองผลึกเป็นชุดของระนาบขนานที่แยกจากกันด้วยพารามิเตอร์คงที่dเขาเสนอว่ารังสีเอกซ์ที่ตกกระทบจะสร้างยอดแบรกก์หากการสะท้อนจากระนาบต่างๆ เกิดการแทรกสอดแบบเสริมกัน การแทรกสอดจะเป็นแบบเสริมกันเมื่อความแตกต่างของเฟสระหว่างคลื่นที่สะท้อนจากระนาบอะตอมที่แตกต่างกันเป็นผลคูณของ2πเงื่อนไขนี้ (ดู ส่วน เงื่อนไขของแบรกก์ด้านล่าง) ได้รับการนำเสนอครั้งแรกโดยลอว์เรนซ์ แบรกก์ เมื่อวันที่ 11 พฤศจิกายน 1912 ต่อสมาคมปรัชญาเคมบริดจ์ [ ^{2 ]}ด้วยความเรียบง่าย กฎของแบรกก์จึงเป็นเครื่องมือใหม่ที่มีประสิทธิภาพในการกำหนดโครงสร้างผลึก จากข้อมูล ^การ เลี้ยวเบน ของรังสีเอกซ์ ลอว์เรนซ์ แบรกก์ และบิดาของเขา วิลเลียม เฮนรี แบรกก์ ได้รับรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ในปี 1915 จากผลงานในการแก้ปัญหาโครงสร้างผลึก โดยเริ่มต้นจาก^{NaCl, ZnS และเพชร [3]}พวกเขาเป็นทีมพ่อ^{ลูกคู่เดียว}ที่ได้รับรางวัลร่วมกัน

แนวคิดของการเลี้ยวเบนของแบร็กก์ใช้ได้กับการเลี้ยวเบนของนิวตรอน^{[ 4 ]}และใกล้เคียงกับการเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอน^{[ 5 ]}ในทั้งสองกรณี ความยาวคลื่นจะเทียบได้กับระยะห่างระหว่างอะตอม (~ 150 pm) คลื่นสสาร ประเภทอื่นๆ อีกมากมาย ก็แสดงให้เห็นว่ามีการเลี้ยวเบนเช่นกัน^{[ 6 ] [ 7 ]}และแสงจากวัตถุที่มีโครงสร้างที่เป็นระเบียบขนาดใหญ่ เช่นโอปอล^{[ 8 ]}

การเลี้ยวเบนของแบร็กเกิดขึ้นเมื่อรังสีที่มีความยาวคลื่นλเทียบเท่ากับระยะห่างระหว่างอะตอมถูกกระเจิง แบบ สะท้อนเงา (การสะท้อนแบบ กระจก ) โดยระนาบของอะตอมในวัสดุผลึก และเกิดการแทรกสอดแบบเสริมกัน^{[ 10 ]}เมื่อคลื่นที่กระเจิงตกกระทบที่มุมเฉพาะ พวกมันจะยังคงอยู่ในเฟสเดียวกันและเกิดการแทรก สอดแบบเสริมกัน มุมตกกระทบθ (ดูรูปทางด้านขวา และโปรดทราบว่าสิ่งนี้แตกต่างจากธรรมเนียมในกฎของสเนลล์ที่θวัดจากระนาบตั้งฉากกับพื้นผิว) ความยาวคลื่นλและ "ค่าคงที่ของตะแกรง" dของผลึกมีความสัมพันธ์กันดังนี้: ^{[ 11 ] : 1026} โดยที่คือลำดับการเลี้ยวเบน ( คือลำดับที่หนึ่ง คือลำดับที่สอง^{[ 10 ] : 221} คือลำดับที่สาม^{[ 11 ] : 1028} ) สมการนี้ กฎของแบร็ก อธิบายเงื่อนไขของθสำหรับการแทรกสอดแบบเสริมกัน^{[ 12 ]}$${\displaystyle n\lambda =2d\sin \theta }$$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle n=3}$

แผนที่แสดงความเข้มของคลื่นกระเจิงตามฟังก์ชันของมุมเรียกว่ารูปแบบการเลี้ยวเบน ความเข้มสูงที่เรียกว่ายอดแบร็กจะได้รับในรูปแบบการเลี้ยวเบนเมื่อมุมการกระเจิงเป็นไปตามเงื่อนไขแบร็ก นี่เป็นกรณีพิเศษของสมการเลา ที่ทั่วไปกว่า และสามารถแสดงสมการเลาให้ลดลงเหลือเงื่อนไขแบร็กได้ด้วยสมมติฐานเพิ่มเติม^{[ 13 ]}

ในบทความต้นฉบับของแบร็ก เขาอธิบายวิธีการของเขาว่าเป็นโครงสร้างแบบฮุยเกนส์สำหรับคลื่นสะท้อน^{[ 14 ] : 46} สมมติว่าคลื่นระนาบ (ประเภทใดก็ได้) ตกกระทบระนาบของจุดแลตติสโดยมีระยะห่างที่มุมดังแสดงในรูป จุดAและCอยู่บนระนาบเดียวกัน และBอยู่บนระนาบด้านล่าง จุดABCC'ก่อตัวเป็นรูปสี่เหลี่ยม^{[ 15 ] : 69}${\displaystyle d}$${\displaystyle \theta }$

จะมีความแตกต่างของระยะทางระหว่างรังสีที่สะท้อนไปตามเส้น AC'กับรังสีที่ส่งผ่านไปตามเส้นABแล้วสะท้อนไปตามเส้น BCความแตกต่างของระยะทางนี้คือ $${\displaystyle (AB+BC)-\left(AC'\right)\,.}$$

คลื่นสองลูกที่แยกจากกันจะมาบรรจบกันที่จุดหนึ่ง (ซึ่งอยู่ห่างจากระนาบโครงตาข่ายเหล่านี้อย่างไม่มีที่สิ้นสุด) ด้วยเฟส เดียวกัน และด้วยเหตุนี้จึงเกิดการแทรกสอดแบบเสริมกันก็ต่อเมื่อผลต่างระยะทางนี้เท่ากับค่าจำนวนเต็มใดๆ ของความยาวคลื่นกล่าวคือ $${\displaystyle n\lambda =(AB+BC)-\left(AC'\right)}$$

โดยที่และเป็นจำนวนเต็มและความยาวคลื่นของคลื่นตกกระทบตามลำดับ ${\displaystyle n}$${\displaystyle \lambda }$

ดังนั้น จากเรขาคณิต $${\displaystyle AB=BC={\frac {d}{\sin \theta }}{\text{ and }}AC={\frac {2d}{\tan \theta }}\,,}$$

จากนั้นจึงสรุปได้ว่า $${\displaystyle AC'=AC\cdot \cos \theta ={\frac {2d}{\tan \theta }}\cos \theta =\left({\frac {2d}{\sin \theta }}\cos \theta \right)\cos \theta ={\frac {2d}{\sin \theta }}\cos ^{2}\theta \,.}$$

เมื่อนำทุกอย่างมารวมกันแล้ว $${\displaystyle n\lambda ={\frac {2d}{\sin \theta }}-{\frac {2d}{\sin \theta }}\cos ^{2}\theta ={\frac {2d}{\sin \theta }}\left(1-\cos ^{2}\theta \right)={\frac {2d}{\sin \theta }}\sin ^{2}\theta }$$

ซึ่งเมื่อลดรูปแล้วจะได้เป็นกฎของแบร็กที่แสดงไว้ข้างต้น ${\displaystyle n\lambda =2d\sin \theta \,,}$

หากมีเพียงระนาบอะตอมสองระนาบเท่านั้นที่เกิดการเลี้ยวเบน ดังแสดงในรูป การเปลี่ยนจากการแทรกแซงแบบเสริมไปเป็นการแทรกแซงแบบหักล้างจะค่อยเป็นค่อยไปตามฟังก์ชันของมุม โดยมีค่าสูงสุด เล็กน้อย ที่มุมแบร็ก อย่างไรก็ตาม เนื่องจากระนาบอะตอมจำนวนมากมีส่วนร่วมในวัสดุจริงส่วนใหญ่ จึงมักพบยอดแหลม^{[ 5 ] [ 13 ]}

สามารถหาที่มาอย่างเข้มงวดจากสมการ Laue ทั่วไปได้ (ดูหน้า: สมการ Laue )

เงื่อนไขของแบร็กถูกต้องสำหรับผลึกขนาดใหญ่มาก เนื่องจากรังสีเอกซ์และนิวตรอนมีการกระเจิงค่อนข้างอ่อน ในหลายกรณีจึงใช้ผลึกขนาดใหญ่ที่มีขนาด 100 นาโนเมตรขึ้นไป แม้ว่าจะมีผลกระทบเพิ่มเติมเนื่องจากข้อบกพร่องของผลึกแต่ผลกระทบเหล่านี้มักค่อนข้างเล็ก ในทางตรงกันข้าม อิเล็กตรอนมีปฏิสัมพันธ์กับของแข็งอย่างรุนแรงกว่ารังสีเอกซ์หลายพันเท่า^{[ 5 ]}และยังสูญเสียพลังงาน ( การกระเจิงแบบไม่ยืดหยุ่น ) ^{[ 16 ]}ดังนั้น ตัวอย่างที่ใช้ในการเลี้ยวเบนอิเล็กตรอนแบบส่งผ่านจึงบางกว่ามาก รูปแบบการเลี้ยวเบนทั่วไป เช่น รูปภาพ แสดงจุดสำหรับทิศทางต่างๆ ( คลื่นระนาบ ) ของอิเล็กตรอนที่ออกจากผลึก มุมที่กฎของแบร็กทำนายไว้ยังคงถูกต้องโดยประมาณ แต่โดยทั่วไปจะมีโครงข่ายของจุดที่ใกล้เคียงกับการฉายภาพของโครงข่ายผกผันที่ตั้งฉากกับทิศทางของลำแสงอิเล็กตรอน (ในทางตรงกันข้าม กฎของแบร็กทำนายว่าจะมีเพียงหนึ่งหรือสองตัวเท่านั้น ไม่ใช่หลายสิบถึงหลายร้อยตัวพร้อมกัน) สำหรับการเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอนพลังงานต่ำซึ่งพลังงานของอิเล็กตรอนโดยทั่วไปอยู่ที่ 30-1000 อิเล็กตรอนโวลต์ผลลัพธ์จะคล้ายคลึงกับอิเล็กตรอนที่สะท้อนกลับจากพื้นผิว^{[ 17 ]}การเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอนพลังงานสูงแบบสะท้อนก็คล้ายคลึงกันเช่นกันซึ่งโดยทั่วไปจะนำไปสู่วงแหวนของจุดเลี้ยวเบน^{[ 18 ]}

ด้วยรังสีเอกซ์ ผลของการมีผลึกขนาดเล็กจะถูกอธิบายโดยสมการของเชอร์เรอร์ [ ^{13 ] [ 19 ] [ 20 ] ซึ่ง}นำไปสู่การขยายของยอดแบร็กก์ ซึ่งสามารถใช้เพื่อประมาณขนาดของผลึกได้

ผลึกคอลลอยด์เป็น อาร์เรย์ของอนุภาค ที่มีระเบียบ สูง ซึ่งก่อตัวขึ้นในระยะไกล (ตั้งแต่ไม่กี่มิลลิเมตรถึงหนึ่งเซนติเมตร ) ผลึกคอลลอยด์มีลักษณะและคุณสมบัติคล้ายคลึงกับอะตอมหรือโมเลกุล^{[ 8 ]}เป็นที่ทราบกันมานานแล้วว่าเนื่องจากปฏิกิริยาคูลอมบ์แบบ ผลักกัน โมเลกุล ขนาดใหญ่ ที่มีประจุไฟฟ้า ใน สภาพแวดล้อม ที่เป็นน้ำสามารถแสดงความสัมพันธ์แบบผลึกในระยะไกลได้โดยระยะห่างระหว่างอนุภาคมักจะมากกว่าเส้นผ่านศูนย์กลางของอนุภาคแต่ละตัวอย่างมาก อาร์เรย์ของอนุภาคทรงกลมเป็นระยะๆ ก่อให้เกิดช่องว่างระหว่างอนุภาค ซึ่งทำหน้าที่เป็นตะแกรงเลี้ยวเบน ตามธรรมชาติ สำหรับคลื่นแสงที่มองเห็นได้เมื่อระยะห่างระหว่างอนุภาคมีขนาดใกล้เคียงกับคลื่นแสงที่ตกกระทบ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}ในกรณีเหล่านี้การเกิดสีรุ้ง ที่สวยงาม (หรือการเล่นสี) เกิดจากการเลี้ยวเบนและการแทรกสอดแบบเสริมกันของคลื่นแสงที่มองเห็นได้ตามกฎของแบรกก์ ในลักษณะที่คล้ายคลึงกับการกระเจิงของรังสีเอกซ์ในของแข็งผลึก ผลกระทบเกิดขึ้นที่ความยาวคลื่นที่มองเห็นได้เนื่องจากระยะห่างระหว่างระนาบdมีขนาดใหญ่กว่ามากเมื่อเทียบกับผลึกที่แท้จริงโอปอล อันล้ำค่า เป็นตัวอย่างหนึ่งของผลึกคอลลอยด์ที่มีผลทางแสง

เกรตติ้งแบร็กปริมาตร (VBG) หรือเกรตติ้งโฮโลแกรมปริมาตร (VHG) ประกอบด้วยปริมาตรที่มีการเปลี่ยนแปลงดัชนีหักเห เป็นระยะ ขึ้น อยู่กับทิศทางของการปรับเปลี่ยนดัชนีหักเห VBG สามารถใช้เพื่อส่งผ่านหรือสะท้อน แถบ ความยาวคลื่นแคบๆได้^{[ 24 ]}กฎของแบร็ก (ปรับให้เข้ากับโฮโลแกรมปริมาตร) กำหนดว่าความยาวคลื่นใดจะเกิดการเลี้ยวเบน: ^{[ 25 ]}

$${\displaystyle 2\Lambda \sin(\theta +\varphi )=m\lambda _{B}\,,}$$

โดยที่mคือลำดับของ Bragg (จำนวนเต็มบวก), λ _B คือ ความยาวคลื่นที่เลี้ยวเบน, Λ คือระยะห่างของแถบของตะแกรง, θคือมุมระหว่างลำแสงตกกระทบและเส้นตั้งฉาก ( N ) ของพื้นผิวทางเข้า และφ คือมุมระหว่างเส้นตั้งฉากและเวกเตอร์ตะแกรง ( K _G ) รังสีที่ไม่ตรงกับกฎของ Bragg จะผ่าน VBG ไปโดยไม่เลี้ยวเบน ความยาวคลื่นเอาต์พุตสามารถปรับได้ในช่วงไม่กี่ร้อยนาโนเมตรโดยการเปลี่ยนมุมตกกระทบ ( θ ) VBG ถูกนำมาใช้เพื่อสร้าง แหล่งกำเนิด เลเซอร์ที่ปรับได้กว้างหรือทำการถ่ายภาพไฮเปอร์สเปกตรัม ทั่วโลก (ดูPhoton เป็นต้น ) ^{[ 25 ]}

การวัดมุมสามารถใช้เพื่อกำหนดโครงสร้างผลึกได้ โปรดดูรายละเอียดเพิ่มเติมในการวิเคราะห์ผลึกด้วยรังสีเอกซ์^{[ 5 ] [ 13 ]} ตัวอย่างง่ายๆ เช่น กฎของแบร็กก์ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น สามารถใช้เพื่อหาค่าระยะห่างของแลตติสของ ระบบลูกบาศก์เฉพาะโดยใช้ความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

$${\displaystyle d={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}\,,}$$

โดยที่คือระยะห่างระหว่างแลตติสของผลึกทรงลูกบาศก์และh , kและℓคือดัชนีมิลเลอร์ของระนาบแบร็กก์ เมื่อรวมความสัมพันธ์นี้กับกฎของแบร็กก์จะได้: ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \left({\frac {\lambda }{2a}}\right)^{2}=\left({\frac {\lambda }{2d}}\right)^{2}{\frac {1}{h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}$$

เราสามารถกำหนดกฎการเลือกสำหรับดัชนีมิลเลอร์ สำหรับ แลตทิซบราเวส์ลูกบาศก์ต่างๆรวมถึงแลตทิซอื่นๆ อีกมากมาย โดยกฎการเลือกบางส่วนแสดงอยู่ในตารางด้านล่าง

กฎการเลือกเหล่านี้สามารถใช้ได้กับผลึกใดๆ ที่มีโครงสร้างผลึกตามที่กำหนด KCl มีโครงสร้างแลตติสแบบลูกบาศก์ศูนย์กลางหน้า (face-centered cubic Bravais lattice ⁾อย่างไรก็ตาม ไอออน K ⁺และ Cl− มีจำนวนอิเล็กตรอนเท่ากันและมีขนาดใกล้เคียงกันมาก ดังนั้นรูปแบบการเลี้ยวเบนจึงแทบจะเหมือนกับโครงสร้างลูกบาศก์ธรรมดาที่มีพารามิเตอร์แลตติสครึ่งหนึ่ง กฎการเลือกสำหรับโครงสร้างอื่นๆ สามารถอ้างอิงได้จากที่อื่น หรือสามารถอนุมานได้ระยะห่างของแลตติสสำหรับระบบผลึก อื่นๆ สามารถดูได้ที่นี่

• เครื่องบินแบร็ก
• โครงผลึก
• การเลี้ยวเบน
• ตัวสะท้อนแสงแบบกระจายแบร็ก
  • ตะแกรงไฟเบอร์แบร็ก
• ทฤษฎีพลศาสตร์ของการเลี้ยวเบน
• การเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอน
• จอร์จ วูล์ฟ
• ขีดจำกัดเฮนเดอร์สัน
• เงื่อนไขของ Laue
• การเลี้ยวเบนของผง
• เรดาร์แองเจิล
• ปัจจัยโครงสร้าง
• ผลึกศาสตร์รังสีเอกซ์

• Neil W. Ashcroft และ N. David Mermin, ฟิสิกส์ของของแข็ง (Harcourt: Orlando, 1976)
• Bragg W (1913). "การเลี้ยวเบนของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าสั้นโดยผลึก". วารสารของสมาคมปรัชญาเคมบริดจ์ 17 : 43– 57 .

• รางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ – ปี 1915
• https://web.archive.org/web/20110608141639/http://www.physics.uoguelph.ca/~detong/phys3510_4500/xray.pdf
• การเรียนรู้ผลึกศาสตร์