ในฟิสิกส์สสารควบแน่นและผลึกศาสตร์แฟกเตอร์โครงสร้างสถิต (หรือแฟกเตอร์โครงสร้างโดยย่อ) คือคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ว่าวัสดุหนึ่งๆ กระเจิงรังสีที่ตกกระทบอย่างไร แฟกเตอร์โครงสร้างเป็นเครื่องมือสำคัญในการตีความรูปแบบการกระเจิง ( รูปแบบการแทรกสอด ) ที่ได้จากการทดลอง การเลี้ยวเบนของรังสีเอกซ์อิเล็กตรอนและนิวตรอน

ที่น่าสับสนคือ มีนิพจน์ทางคณิตศาสตร์สองแบบที่ใช้กันอยู่ ซึ่งทั้งสองแบบเรียกว่า 'แฟกเตอร์โครงสร้าง' แบบหนึ่งมักเขียนว่า; ซึ่งใช้ได้ทั่วไปมากกว่า และเชื่อมโยงความเข้มของการเลี้ยวเบนที่สังเกตได้ต่ออะตอมกับความเข้มที่เกิดจากหน่วยการกระเจิงเดี่ยว อีกแบบหนึ่งมักเขียนว่าหรือและใช้ได้เฉพาะกับระบบที่มีระเบียบเชิงตำแหน่งระยะยาว เช่น ผลึก นิพจน์นี้เชื่อมโยงแอมพลิจูดและเฟสของลำแสงที่เลี้ยวเบนโดยระนาบของผลึก ( คือดัชนีมิลเลอร์ของระนาบ) กับความเข้มที่เกิดจากหน่วยการกระเจิงเดี่ยวที่จุดยอดของเซลล์ หน่วยพื้นฐานไม่ใช่กรณีพิเศษของ; ให้ความเข้มของการกระเจิง แต่ให้แอมพลิจูด ค่ากำลังสองของโมดูลัสจะให้ความเข้มของการกระเจิงถูกกำหนดขึ้นสำหรับผลึกที่สมบูรณ์แบบ และใช้ในวิชาผลึกศาสตร์ ในขณะที่ มีประโยชน์มากที่สุดสำหรับระบบที่ไม่เป็นระเบียบ สำหรับระบบที่มีระเบียบเพียงบางส่วน เช่นโพลิเมอร์ผลึก เห็นได้ชัดว่ามีการทับซ้อนกัน และผู้เชี่ยวชาญจะเปลี่ยนจากนิพจน์หนึ่งไปอีกนิพจน์หนึ่งตามความจำเป็น ${\displaystyle S(\mathbf {q} )}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F_{hk\ell }}$${\displaystyle (hk\ell )}$${\displaystyle (hk\ell )}$${\displaystyle F_{hk\ell }}$${\displaystyle S(\mathbf {q} )}$${\displaystyle S(\mathbf {q} )}$${\displaystyle F_{hk\ell }}$${\displaystyle |F_{hk\ell }|^{2}}$${\displaystyle F_{hk\ell }}$${\displaystyle S(\mathbf {q} )}$

ค่าแฟคเตอร์โครงสร้างแบบสถิตนั้นวัดได้โดยไม่คำนึงถึงพลังงานของโฟตอน/อิเล็กตรอน/นิวตรอนที่กระเจิง การวัดที่คำนึงถึงพลังงานจะให้ค่าแฟคเตอร์โครงสร้างแบบไดนามิก

พิจารณาการกระเจิงของลำแสงที่มีความยาวคลื่นโดยกลุ่มอนุภาคหรืออะตอมที่อยู่กับที่ ณ ตำแหน่งต่างๆสมมติว่าการกระเจิงนั้นอ่อนมาก ดังนั้นแอมพลิจูดของลำแสงตกกระทบจึงคงที่ตลอดปริมาตรของตัวอย่าง ( การประมาณของบอร์น ) และสามารถละเลยการดูดกลืน การหักเห และการกระเจิงหลายครั้งได้ ( การเลี้ยวเบนแบบจลนศาสตร์ ) ทิศทางของคลื่นกระเจิงใดๆ จะถูกกำหนดโดยเวกเตอร์การกระเจิงเวกเตอร์นี้คือโดยที่และ( ) คือ เวกเตอร์คลื่นของลำแสงกระเจิงและลำแสงตกกระทบและคือมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง สำหรับการกระเจิงแบบยืดหยุ่นและซึ่งจำกัดช่วงที่เป็นไปได้ของ(ดู ทรง กลมอีวาลด์ ) แอมพลิจูดและเฟสของคลื่นกระเจิงนี้จะเป็นผลรวมเวกเตอร์ของคลื่นกระเจิงจากอะตอมทั้งหมด^{[ 1 ] [ 2 ]}${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle N}$${\displaystyle \textstyle \mathbf {R} _{j},j=1,\,\ldots ,\,N}$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {k_{s}} -\mathbf {k_{o}} }$${\displaystyle \mathbf {k_{s}} }$${\displaystyle \mathbf {k_{o}} }$${\displaystyle |\mathbf {k_{s}} |=|\mathbf {k_{0}} |=2\pi /\lambda }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle |\mathbf {k} _{s}|=|\mathbf {k_{o}} |}$${\displaystyle q=|\mathbf {q} |={{\frac {4\pi }{\lambda }}\sin(\theta /2)}}$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle \Psi _{s}(\mathbf {q} )=\sum _{j=1}^{N}f_{j}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{j}}}$

สำหรับกลุ่มอะตอมคือแฟกเตอร์รูปร่างอะตอมของอะตอมที่ ความเข้มของการกระเจิงได้มาจากการคูณฟังก์ชันนี้ด้วยค่าสังยุคเชิงซ้อนของมัน ${\displaystyle f_{j}}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle I(\mathbf {q} )=\Psi _{s}(\mathbf {q} )\times \Psi _{s}^{*}(\mathbf {q} )=\sum _{j=1}^{N}f_{j}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{j}}\times \sum _{k=1}^{N}f_{k}\mathrm {e} ^{i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{k}}=\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}f_{j}f_{k}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \cdot (\mathbf {R} _{j}-\mathbf {R} _{k})}}$

1

ปัจจัยโครงสร้างถูกกำหนดให้เป็นความเข้มนี้โดย^{[ 3 ]}${\displaystyle 1/\sum _{j=1}^{N}f_{j}^{2}}$

${\displaystyle S(\mathbf {q} )={\frac {1}{\sum _{j=1}^{N}f_{j}^{2}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}f_{j}f_{k}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \cdot (\mathbf {R} _{j}-\mathbf {R} _{k})}}$

2

ถ้าอะตอมทั้งหมดเหมือนกัน สมการ ( 1 ) จะกลายเป็นและดังนั้น ${\displaystyle I(\mathbf {q} )=f^{2}\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \cdot (\mathbf {R} _{j}-\mathbf {R} _{k})}}$${\displaystyle \sum _{j=1}^{N}f_{j}^{2}=Nf^{2}}$

${\displaystyle S(\mathbf {q} )={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \cdot (\mathbf {R} _{j}-\mathbf {R} _{k})}}$

3

การลดรูปที่มีประโยชน์อีกอย่างหนึ่งคือ ถ้าวัสดุเป็นไอโซโทรปิก เช่น ผงหรือของเหลวธรรมดา ในกรณีนั้น ความเข้มจะขึ้นอยู่กับและในสามมิติ สมการ ( 2 ) จะลดรูปเป็นสมการการกระเจิงของเดบาย: ^{[ 1 ]}${\displaystyle q=|\mathbf {q} |}$${\displaystyle r_{jk}=|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{k}|}$

${\displaystyle S(q)={\frac {1}{\sum _{j=1}^{N}f_{j}^{2}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}f_{j}f_{k}{\frac {\sin(qr_{jk})}{qr_{jk}}}}$

4

การพิสูจน์ทางเลือกให้ข้อมูลเชิงลึกที่ดี แต่ใช้การแปลงฟูริเยร์และการสังเคราะห์โดยทั่วไป ให้พิจารณาปริมาณสเกลาร์ (จริง) ที่กำหนดในปริมาตรซึ่งอาจสอดคล้องกับการกระจายมวลหรือประจุ หรือดัชนีหักเหของตัวกลางที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน หากฟังก์ชันสเกลาร์สามารถหาปริพันธ์ได้ เราสามารถเขียนการแปลงฟูริเยร์ได้เป็นในการประมาณ ของบอร์น แอมพลิจูดของคลื่นกระเจิงที่สอดคล้องกับเวกเตอร์การกระเจิงจะเป็นสัดส่วนกับการแปลงฟูริเยร์[ ^{1 ] เมื่อ}ระบบที่กำลังศึกษาประกอบด้วยส่วนประกอบที่เหมือนกันจำนวนหนึ่ง (อะตอม โมเลกุล อนุภาคคอลลอยด์ ฯลฯ) ซึ่งแต่ละส่วนมีการกระจายมวลหรือประจุการกระจายทั้งหมดสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นการสังเคราะห์ของฟังก์ชันนี้กับชุดของฟังก์ชันเดลต้า ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \textstyle \psi (\mathbf {q} )=\int _{V}\phi (\mathbf {r} )\exp(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {r} )\,\mathrm {d} \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle \textstyle \psi (\mathbf {q} )}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )=\sum _{j=1}^{N}f(\mathbf {r} -\mathbf {R} _{j})=f(\mathbf {r} )\ast \sum _{j=1}^{N}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {R} _{j}),}$

5

โดยที่ตำแหน่งของอนุภาคยังคงเหมือนเดิม โดยใช้คุณสมบัติที่ว่าการแปลงฟูริเยร์ของผลคูณการสังเคราะห์นั้นเป็นเพียงผลคูณของการแปลงฟูริเยร์ของตัวประกอบทั้งสอง เราจึงได้ว่า: ${\displaystyle \textstyle \mathbf {R} _{j},j=1,\,\ldots ,\,N}$${\displaystyle \textstyle \psi (\mathbf {q} )=f(\mathbf {q} )\times \sum _{j=1}^{N}\exp(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{j})}$

${\displaystyle I(\mathbf {q} )=\left|f(\mathbf {q} )\right|^{2}\times \left(\sum _{j=1}^{N}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{j}}\right)\times \left(\sum _{k=1}^{N}\mathrm {e} ^{i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{k}}\right)=\left|f(\mathbf {q} )\right|^{2}\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \cdot (\mathbf {R} _{j}-\mathbf {R} _{k})}.}$

6

นี่ชัดเจนว่าเหมือนกับสมการ ( 1 ) โดยที่อนุภาคทั้งหมดเหมือนกัน ยกเว้นว่าในที่นี้แสดงเป็นฟังก์ชันของอย่างชัดเจน ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {q} }$

โดยทั่วไป ตำแหน่งของอนุภาคไม่ได้คงที่ และการวัดจะเกิดขึ้นในช่วงเวลาการเปิดรับแสงที่จำกัดและกับตัวอย่างขนาดมหาสาร (ใหญ่กว่าระยะห่างระหว่างอนุภาคมาก) ดังนั้นความเข้มที่สามารถเข้าถึงได้จากการทดลองจึงเป็นค่าเฉลี่ยเราไม่จำเป็นต้องระบุว่าหมายถึงค่าเฉลี่ยตามเวลาหรือค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างเพื่อนำสิ่งนี้มาพิจารณา เราสามารถเขียนสมการ ( 3 ) ใหม่ได้ดังนี้: ${\displaystyle \textstyle \langle I(\mathbf {q} )\rangle }$${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$

${\displaystyle S(\mathbf {q} )={\frac {1}{N}}\left\langle \sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \cdot (\mathbf {R} _{j}-\mathbf {R} _{k})}\right\rangle .}$

7

ในผลึกอนุภาคที่เป็นองค์ประกอบจะเรียงตัวกันเป็นระยะๆ โดยมีสมมาตรการเลื่อนตำแหน่งก่อให้เกิดโครงสร้างแลตติสโครงสร้างผลึกสามารถอธิบายได้ว่าเป็นแลตติสบราเวส์โดยมีกลุ่มอะตอมที่เรียกว่าฐานวางอยู่ที่ทุกจุดของแลตติส กล่าวคือ [โครงสร้างผลึก] = [แลตติส] [ฐาน] หากแลตติสเป็นอนันต์และเป็นระเบียบอย่างสมบูรณ์ ระบบนั้นจะเป็นผลึกที่สมบูรณ์แบบสำหรับระบบดังกล่าว มีเพียงชุดค่าเฉพาะของ เท่านั้นที่จะทำให้เกิดการกระเจิง และแอมพลิจูดการกระเจิงสำหรับค่าอื่นๆ ทั้งหมดจะเป็นศูนย์ ชุดค่าเหล่านี้ก่อให้เกิดแลตติสที่เรียกว่าแลตติสผกผันซึ่งเป็นการแปลงฟูริเยร์ของแลตติสผลึกในพื้นที่จริง ${\displaystyle \ast }$${\displaystyle \mathbf {q} }$

โดยหลักการแล้ว ปัจจัยการกระเจิงสามารถใช้ในการกำหนดการกระเจิงจากผลึกที่สมบูรณ์แบบได้ ในกรณีง่ายๆ เมื่อฐานเป็นอะตอมเดี่ยวที่จุดกำเนิด (และละเลยการเคลื่อนที่ทางความร้อนทั้งหมดอีกครั้ง ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องหาค่าเฉลี่ย) อะตอมทั้งหมดจะมีสภาพแวดล้อมที่เหมือนกัน สมการ ( 1 ) สามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle S(\mathbf {q} )}$

${\displaystyle I(\mathbf {q} )=f^{2}\left|\sum _{j=1}^{N}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{j}}\right|^{2}}$และ .${\displaystyle S(\mathbf {q} )={\frac {1}{N}}\left|\sum _{j=1}^{N}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{j}}\right|^{2}}$

แฟกเตอร์โครงสร้างจึงเป็นเพียงค่ากำลังสองของสัมบูรณ์ของการแปลงฟูริเยร์ของแลตทิซ และแสดงทิศทางที่การกระเจิงสามารถมีความเข้มที่ไม่เป็นศูนย์ได้ ที่ค่าเหล่านี้คลื่นจากทุกจุดบนแลตทิซจะอยู่ในเฟสเดียวกัน ค่าของแฟกเตอร์โครงสร้างจะเท่ากันสำหรับจุดแลตทิซผกผันทั้งหมดเหล่านี้ และความเข้มจะเปลี่ยนแปลงไปเฉพาะเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงของค่าเท่านั้น ${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {q} }$

หน่วยของแอมพลิจูดของแฟกเตอร์โครงสร้างขึ้นอยู่กับรังสีที่ตกกระทบ สำหรับการวิเคราะห์โครงสร้างด้วยรังสีเอกซ์ หน่วยจะเป็นพหุคูณของหน่วยการกระเจิงโดยอิเล็กตรอนตัวเดียว (2.82 เมตร) ส่วนสำหรับการกระเจิงของนิวตรอนโดยนิวเคลียสของอะตอม หน่วยที่ใช้กันทั่วไปคือความยาวการกระเจิง (เมตร) ${\displaystyle \times 10^{-15}}$${\displaystyle 10^{-14}}$

การอภิปรายข้างต้นใช้เวกเตอร์คลื่นและอย่างไรก็ตาม ในวิชาผลึกศาสตร์มักใช้เวกเตอร์คลื่นและดังนั้น เมื่อเปรียบเทียบสมการจากแหล่งข้อมูลที่แตกต่างกัน ปัจจัยอาจปรากฏและหายไปได้ และจำเป็นต้องระมัดระวังในการรักษาปริมาณให้สอดคล้องกันเพื่อให้ได้ผลลัพธ์เชิงตัวเลขที่ถูกต้อง ${\displaystyle |\mathbf {k} |=2\pi /\lambda }$${\displaystyle |\mathbf {q} |=4\pi \sin \theta /\lambda }$${\displaystyle |\mathbf {s} |=1/\lambda }$${\displaystyle |\mathbf {g} |=2\sin \theta /\lambda }$${\displaystyle 2\pi }$

ในวิชาผลึกศาสตร์นั้น ฐานและโครงสร้างผลึกจะถูกพิจารณาแยกจากกัน สำหรับผลึกที่สมบูรณ์แบบ โครงสร้างผลึกจะให้โครงสร้างผลึกผกผันซึ่งเป็นตัวกำหนดตำแหน่ง (มุม) ของลำแสงที่เลี้ยวเบน และฐานจะให้แฟกเตอร์โครงสร้างซึ่งเป็นตัวกำหนดแอมพลิจูดและเฟสของลำแสงที่เลี้ยวเบน ${\displaystyle F_{hkl}}$

${\displaystyle F_{hk\ell }=\sum _{j=1}^{N}f_{j}\mathrm {e} ^{[-2\pi i(hx_{j}+ky_{j}+\ell z_{j})]},}$

8

โดยผลรวมจะครอบคลุมอะตอมทั้งหมดในเซลล์หน่วยคือพิกัดตำแหน่งของอะตอมที่ และคือปัจจัยการกระเจิงของอะตอมที่^{[ 4 ]}พิกัดมีทิศทางและมิติของเวกเตอร์แลตติสนั่นคือ (0,0,0) อยู่ที่จุดแลตติส ซึ่งเป็นจุดกำเนิดของตำแหน่งในเซลล์หน่วย (1,0,0) อยู่ที่จุดแลตติสถัดไปตามแนวและ (1/2, 1/2, 1/2) อยู่ที่จุดศูนย์กลางของเซลล์หน่วย กำหนดจุดแลตติสผกผันที่ ซึ่งสอดคล้องกับระนาบพื้นที่จริงที่กำหนดโดยดัชนีมิลเลอร์ (ดูกฎของแบรกก์ ) ${\displaystyle x_{j},y_{j},z_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle x_{j},y_{j},z_{j}}$${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle (hkl)}$${\displaystyle (h\mathbf {a^{*}} ,k\mathbf {b^{*}} ,l\mathbf {c^{*}} )}$${\displaystyle (hkl)}$

${\displaystyle F_{hk\ell }}$คือผลรวมเวกเตอร์ของคลื่นจากอะตอมทั้งหมดภายในหน่วยเซลล์ อะตอมที่จุดใดๆ บนโครงตาข่ายจะมีมุมเฟสอ้างอิงเป็นศูนย์สำหรับทุกค่าเนื่องจากค่าจะเป็นจำนวนเต็มเสมอ คลื่นที่กระเจิงจากอะตอมที่ตำแหน่ง (1/2, 0, 0) จะอยู่ในเฟสเดียวกันถ้าค่า เป็นเลขคู่ และจะอยู่นอกเฟสถ้าค่า เป็นเลขคี่ ${\displaystyle hk\ell }$${\displaystyle (hx_{j}+ky_{j}+\ell z_{j})}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$

อีกครั้งหนึ่ง มุมมองทางเลือกโดยใช้การคอนโวลูชันอาจเป็นประโยชน์ เนื่องจาก [โครงสร้างผลึก] = [แลตติส] [ฐาน] ดังนั้น[โครงสร้างผลึก] = [แลตติส] [ฐาน] นั่นคือ การกระเจิง[แลตติสผกผัน] [แฟกเตอร์โครงสร้าง] ${\displaystyle \ast }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \times {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \propto }$${\displaystyle \times }$

สำหรับแลตทิซบราเวส์แบบลูกบาศก์ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ตัว ( cI ) เราใช้จุดและซึ่งนำเราไปสู่ ${\displaystyle (0,0,0)}$${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$

${\displaystyle F_{hk\ell }=\sum _{j}f_{j}e^{-2\pi i(hx_{j}+ky_{j}+\ell z_{j})}=f\left[1+\left(e^{-i\pi }\right)^{h+k+\ell }\right]=f\left[1+(-1)^{h+k+\ell }\right]}$

และด้วยเหตุนี้

${\displaystyle F_{hk\ell }={\begin{cases}2f,&h+k+\ell ={\text{even}}\\0,&h+k+\ell ={\text{odd}}\end{cases}}}$

แลตติ ซ FCCเป็นแลตติซ Bravais และการแปลงฟูริเยร์ของมันคือแลตติซลูกบาศก์แบบมีจุดศูนย์กลาง อย่างไรก็ตาม เพื่อให้ได้โดยไม่ต้องใช้ทางลัดนี้ ให้พิจารณาผลึก FCC ที่มีอะตอมหนึ่งอะตอมที่แต่ละจุดแลตติซเป็นลูกบาศก์แบบดั้งเดิมหรือแบบง่ายที่มีฐาน 4 อะตอม ที่จุดกำเนิดและที่จุดศูนย์กลางหน้าสามจุดที่อยู่ติดกัน, และสมการ ( 8 ) จะกลายเป็น ${\displaystyle F_{hk\ell }}$${\displaystyle x_{j},y_{j},z_{j}=(0,0,0)}$${\displaystyle x_{j},y_{j},z_{j}=\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},0\right)}$${\displaystyle \left(0,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$${\displaystyle \left({\frac {1}{2}},0,{\frac {1}{2}}\right)}$

${\displaystyle F_{hk\ell }=f\sum _{j=1}^{4}\mathrm {e} ^{[-2\pi i(hx_{j}+ky_{j}+\ell z_{j})]}=f\left[1+\mathrm {e} ^{[-i\pi (h+k)]}+\mathrm {e} ^{[-i\pi (k+\ell )]}+\mathrm {e} ^{[-i\pi (h+\ell )]}\right]=f\left[1+(-1)^{h+k}+(-1)^{k+\ell }+(-1)^{h+\ell }\right]}$

ด้วยผลลัพธ์

${\displaystyle F_{hk\ell }={\begin{cases}4f,&h,k,\ell \ \ {\mbox{all even or all odd}}\\0,&h,k,\ell \ \ {\mbox{mixed parity}}\end{cases}}}$

ยอดการเลี้ยวเบนที่รุนแรงที่สุดจากวัสดุที่ตกผลึกในโครงสร้าง FCC โดยทั่วไปคือ (111) ฟิล์มของวัสดุ FCC เช่นทองคำมีแนวโน้มที่จะเติบโตในทิศทาง (111) โดยมีสมมาตรพื้นผิวแบบสามเหลี่ยม ความเข้มของการเลี้ยวเบนเป็นศูนย์สำหรับกลุ่มของลำแสงเลี้ยวเบน (ในที่นี้มีความสมมาตรแบบผสม) เรียกว่า การขาดหายอย่างเป็นระบบ ${\displaystyle h,k,\ell }$

โครงสร้าง ผลึก ทรง ลูกบาศก์แบบเพชรพบได้ในเพชร ( คาร์บอน ) ดีบุกและสารกึ่งตัวนำ ส่วนใหญ่ มีอะตอม 8 อะตอมในหน่วยเซลล์ทรงลูกบาศก์ เราสามารถพิจารณาโครงสร้างนี้เป็นทรงลูกบาศก์อย่างง่ายที่มีฐานเป็นอะตอม 8 อะตอม ณ ตำแหน่งต่างๆ

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{j},y_{j},z_{j}=&(0,\ 0,\ 0)&\left({\frac {1}{2}},\ {\frac {1}{2}},\ 0\right)\ &\left(0,\ {\frac {1}{2}},\ {\frac {1}{2}}\right)&\left({\frac {1}{2}},\ 0,\ {\frac {1}{2}}\right)\\&\left({\frac {1}{4}},\ {\frac {1}{4}},\ {\frac {1}{4}}\right)&\left({\frac {3}{4}},\ {\frac {3}{4}},\ {\frac {1}{4}}\right)\ &\left({\frac {1}{4}},\ {\frac {3}{4}},\ {\frac {3}{4}}\right)&\left({\frac {3}{4}},\ {\frac {1}{4}},\ {\frac {3}{4}}\right)\\\end{aligned}}}$

แต่เมื่อเปรียบเทียบกับ FCC ข้างต้น เราจะเห็นว่าการอธิบายโครงสร้างเป็น FCC ที่มีฐานสองอะตอมที่ (0, 0, 0) และ (1/4, 1/4, 1/4) นั้นง่ายกว่า สำหรับฐานนี้ สมการ ( 8 ) จะกลายเป็น:

${\displaystyle F_{hk\ell }({\rm {{basis})=f\sum _{j=1}^{2}\mathrm {e} ^{[-2\pi i(hx_{j}+ky_{j}+\ell z_{j})]}=f\left[1+\mathrm {e} ^{[-i\pi /2(h+k+\ell )]}\right]=f\left[1+(-i)^{h+k+\ell }\right]}}}$

จากนั้นค่าแฟกเตอร์โครงสร้างสำหรับโครงสร้างลูกบาศก์ของเพชรจะเป็นผลคูณของค่านี้กับค่าแฟกเตอร์โครงสร้างสำหรับ FCC ข้างต้น (โดยรวมค่าแฟกเตอร์รูปร่างอะตอมเพียงครั้งเดียว)

${\displaystyle F_{hk\ell }=f\left[1+(-1)^{h+k}+(-1)^{k+\ell }+(-1)^{h+\ell }\right]\times \left[1+(-i)^{h+k+\ell }\right]}$

ด้วยผลลัพธ์

• ถ้า h, k, ℓ เป็นค่าพาริตีแบบผสม (ค่าคี่และค่าคู่รวมกัน) พจน์แรก (FCC) จะเป็นศูนย์ ดังนั้น${\displaystyle |F_{hk\ell }|^{2}=0}$
• ถ้า h, k, ℓ เป็นจำนวนคู่ทั้งหมดหรือจำนวนคี่ทั้งหมด พจน์แรก (FCC) จะเป็น 4
  • ถ้า h+k+ℓ เป็นจำนวนคี่แล้ว${\displaystyle F_{hk\ell }=4f(1\pm i),|F_{hk\ell }|^{2}=32f^{2}}$
  • ถ้า h+k+ℓ เป็นจำนวนคู่และหารด้วย 4 ลงตัวพอดี ( ) แล้ว${\displaystyle h+k+\ell =4n}$${\displaystyle F_{hk\ell }=4f\times 2,|F_{hk\ell }|^{2}=64f^{2}}$
  • ถ้า h+k+ℓ เป็นจำนวนคู่แต่ไม่หารลงตัวด้วย 4 ( ) พจน์ที่สองจะเป็นศูนย์และ${\displaystyle h+k+\ell \neq 4n}$${\displaystyle |F_{hk\ell }|^{2}=0}$

ประเด็นเหล่านี้สามารถสรุปได้ด้วยสมการต่อไปนี้:

${\displaystyle F_{hk\ell }={\begin{cases}8f,&h+k+\ell =4N\\4(1\pm i)f,&h+k+\ell =2N+1\\0,&h+k+\ell =4N+2\\\end{cases}}}$

${\displaystyle \Rightarrow |F_{hk\ell }|^{2}={\begin{cases}64f^{2},&h+k+\ell =4N\\32f^{2},&h+k+\ell =2N+1\\0,&h+k+\ell =4N+2\\\end{cases}}}$

โดยที่เป็นจำนวนเต็ม ${\displaystyle N}$

โครงสร้างซิงค์เบลนด์คล้ายกับโครงสร้างเพชร ยกเว้นว่ามันเป็นสารประกอบของแลตติส fcc สองแบบที่แตกต่างกันแต่ซ้อนทับกัน แทนที่จะเป็นธาตุชนิดเดียวกันทั้งหมด โดยกำหนดให้ธาตุทั้งสองในสารประกอบเป็นและจะได้แฟกเตอร์โครงสร้างเป็น ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle F_{hk\ell }={\begin{cases}4(f_{A}+f_{B}),&h+k+\ell =4N\\4(f_{A}\pm if_{B}),&h+k+\ell =2N+1\\4(f_{A}-f_{B}),&h+k+\ell =4N+2\\\end{cases}}}$

ซีเซียมคลอไรด์เป็นโครงผลึกแบบลูกบาศก์อย่างง่ายที่มีฐานเป็น Cs ที่ (0,0,0) และ Cl ที่ (1/2, 1/2, 1/2) (หรือกลับกันก็ไม่ต่างกัน) สมการ ( 8 ) กลายเป็น

${\displaystyle F_{hk\ell }=\sum _{j=1}^{2}f_{j}\mathrm {e} ^{[-2\pi i(hx_{j}+ky_{j}+\ell z_{j})]}=\left[f_{Cs}+f_{Cl}\mathrm {e} ^{[-i\pi (h+k+\ell )]}\right]=\left[f_{Cs}+f_{Cl}(-1)^{h+k+\ell }\right]}$

จากนั้นเราจะได้ผลลัพธ์ต่อไปนี้สำหรับแฟกเตอร์โครงสร้างสำหรับการกระเจิงจากระนาบ: ${\displaystyle (hk\ell )}$

${\displaystyle F_{hk\ell }={\begin{cases}(f_{Cs}+f_{Cl}),&h+k+\ell &{\text{even}}\\(f_{Cs}-f_{Cl}),&h+k+\ell &{\text{odd}}\end{cases}}}$

และสำหรับความเข้มที่กระจัดกระจาย ${\displaystyle |F_{hk\ell }|^{2}={\begin{cases}(f_{Cs}+f_{Cl})^{2},&h+k+\ell &{\text{even}}\\(f_{Cs}-f_{Cl})^{2},&h+k+\ell &{\text{odd}}\end{cases}}}$

ในผลึก HCP เช่นกราไฟต์พิกัดทั้งสองจะรวมถึงจุดกำเนิดและระนาบถัดไปตาม แกน cที่ตำแหน่งc /2 และด้วยเหตุนี้ จึงได้ ซึ่งทำให้เราได้ ${\displaystyle \left(0,0,0\right)}$${\displaystyle \left(1/3,2/3,1/2\right)}$

${\displaystyle F_{hk\ell }=f\left[1+e^{2\pi i\left({\tfrac {h}{3}}+{\tfrac {2k}{3}}+{\tfrac {\ell }{2}}\right)}\right]}$

จากตรงนี้จึงสะดวกที่จะกำหนดตัวแปรดัมมี่และจากนั้นพิจารณาค่าสัมบูรณ์ยกกำลังสอง ดังนั้น ${\displaystyle X\equiv h/3+2k/3+\ell /2}$

${\displaystyle |F|^{2}=f^{2}\left(1+e^{2\pi iX}\right)\left(1+e^{-2\pi iX}\right)=f^{2}\left(2+e^{2\pi iX}+e^{-2\pi iX}\right)=f^{2}\left(2+2\cos[2\pi X]\right)=f^{2}\left(4\cos ^{2}\left[\pi X\right]\right)}$

ซึ่งนำไปสู่เงื่อนไขต่อไปนี้สำหรับแฟกเตอร์โครงสร้าง:

${\displaystyle |F_{hk\ell }|^{2}={\begin{cases}0,&h+2k=3N{\text{ and }}\ell {\text{ is odd,}}\\4f^{2},&h+2k=3N{\text{ and }}\ell {\text{ is even,}}\\3f^{2},&h+2k=3N\pm 1{\text{ and }}\ell {\text{ is odd,}}\\f^{2},&h+2k=3N\pm 1{\text{ and }}\ell {\text{ is even}}\\\end{cases}}}$

แลตติซผกผันสามารถสร้างได้ง่ายในมิติเดียว: สำหรับอนุภาคบนเส้นตรงที่มีคาบแลตติซผกผันจะเป็นอาร์เรย์อนันต์ของจุดที่มีระยะห่างในสองมิติ มีแลตติซบราเวส์เพียงห้าแบบเท่านั้น แลตติซผกผันที่สอดคล้องกันมีสมมาตรเช่นเดียวกับแลตติซโดยตรง แลตติซ 2 มิติเหมาะอย่างยิ่งสำหรับการแสดงเรขาคณิตการเลี้ยวเบนแบบง่ายบนหน้าจอแบน ดังที่แสดงด้านล่าง สมการ (1)–(7) สำหรับแฟกเตอร์โครงสร้างใช้ได้กับเวกเตอร์การกระเจิงที่มีมิติจำกัด และแฟกเตอร์โครงสร้างผลึกสามารถกำหนดได้ใน 2 มิติเป็น ${\displaystyle a}$${\displaystyle 2\pi /a}$${\displaystyle S(\mathbf {q} )}$${\displaystyle F_{hk}=\sum _{j=1}^{N}f_{j}\mathrm {e} ^{[-2\pi i(hx_{j}+ky_{j})]}}$

อย่างไรก็ตาม โปรดจำไว้ว่าผลึก 2 มิติที่แท้จริง เช่นกราฟีนนั้นมีอยู่ใน 3 มิติ แลตติสผกผันของแผ่นหกเหลี่ยม 2 มิติที่อยู่ในพื้นที่ 3 มิติในระนาบ คือ อาร์เรย์หกเหลี่ยมของเส้นขนานกับแกน x หรือแกน y ที่ทอดยาวไปยังและตัดกับระนาบใดๆ ที่มีค่าคงที่ในอาร์เรย์หกเหลี่ยมของจุด ${\displaystyle xy}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z^{*}}$${\displaystyle \pm \infty }$${\displaystyle z}$

ภาพแสดงการสร้างเวกเตอร์หนึ่งของแลตทิซผกผันสองมิติและความสัมพันธ์กับการทดลองการกระเจิง

ลำแสงขนานที่มีเวกเตอร์คลื่น ตก กระทบลงบนโครงตาข่ายสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพารามิเตอร์คลื่นกระเจิงจะถูกตรวจจับที่มุมหนึ่ง ซึ่งกำหนดเวกเตอร์คลื่นของลำแสงที่ออกมา(ภายใต้สมมติฐานของ การกระเจิง แบบยืดหยุ่น ) เราสามารถกำหนดเวกเตอร์การกระเจิงและสร้างรูปแบบฮาร์มอนิก ได้เช่นกัน ในตัวอย่างที่แสดง ระยะห่างของรูปแบบนี้ตรงกับระยะห่างระหว่างแถวของอนุภาค: ดังนั้นการมีส่วนร่วมในการกระเจิงจากอนุภาคทั้งหมดจึงอยู่ในเฟสเดียวกัน (การแทรกสอดแบบเสริมกัน) ดังนั้นสัญญาณรวมในทิศทางจึงมีความแรงและเป็นของโครงตาข่ายผกผัน สามารถแสดงได้อย่างง่ายดายว่าการจัดเรียงนี้เป็นไปตามกฎของแบร็ก ${\displaystyle \mathbf {k} _{i}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \mathbf {k} _{o}}$${\displaystyle |\mathbf {k} _{o}|=|\mathbf {k} _{i}|}$${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {k} _{o}-\mathbf {k} _{i}}$${\displaystyle \exp(i\mathbf {q} \mathbf {r} )}$${\displaystyle q=2\pi /a}$${\displaystyle \mathbf {k} _{o}}$${\displaystyle \mathbf {q} }$

ในทางเทคนิคแล้ว ผลึกที่สมบูรณ์แบบจะต้องมีขนาดอนันต์ ดังนั้นขนาดที่จำกัดจึงถือเป็นความไม่สมบูรณ์ ผลึกจริงมักแสดงความไม่สมบูรณ์ของระเบียบ นอกเหนือจากขนาดที่จำกัด และความไม่สมบูรณ์เหล่านี้สามารถส่งผลกระทบอย่างมากต่อคุณสมบัติของวัสดุAndré Guinier ^{[ 5 ]}ได้เสนอการแบ่งแยกที่ใช้กันอย่างแพร่หลายระหว่างความไม่สมบูรณ์ที่รักษาระเบียบระยะยาวของผลึก ซึ่งเขาเรียกว่าความไม่เป็นระเบียบประเภทแรกและความไม่สมบูรณ์ที่ทำลายระเบียบนั้น ซึ่งเรียกว่าความไม่เป็นระเบียบประเภทที่สองตัวอย่างของประเภทแรกคือการสั่นสะเทือนทางความร้อน ตัวอย่างของประเภทที่สองคือความหนาแน่นของการเคลื่อนที่ของดิสโลเคชัน

โดยทั่วไปแล้ว สามารถใช้แฟกเตอร์โครงสร้าง เพื่อรวมผลกระทบของความไม่สมบูรณ์ใดๆ ได้ ในทางผลึกศาสตร์ ผลกระทบเหล่านี้จะถูกพิจารณาแยกต่างหากจากแฟกเตอร์โครงสร้าง ดังนั้นจึงมีการนำแฟกเตอร์แยกต่างหากสำหรับผลกระทบจากขนาดหรือความร้อนมาใช้ในนิพจน์สำหรับความเข้มของการกระเจิง โดยที่แฟกเตอร์โครงสร้างของผลึกที่สมบูรณ์แบบยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้น การอธิบายรายละเอียดของแฟกเตอร์เหล่านี้ในการสร้างแบบจำลองโครงสร้างทางผลึกศาสตร์และการกำหนดโครงสร้างโดยการเลี้ยวเบนจึงไม่เหมาะสมในบทความนี้ ${\displaystyle S(\mathbf {q} )}$${\displaystyle F_{hkl}}$

สำหรับผลึกที่มีขอบเขตจำกัด หมายความว่าผลรวมในสมการ 1-7 นั้นอยู่เหนือขอบเขตจำกัดสามารถสาธิตผลกระทบนี้ได้ง่ายที่สุดด้วยโครงข่ายจุดแบบ 1 มิติ ผลรวมของตัวประกอบเฟสเป็นอนุกรมเรขาคณิต และตัวประกอบโครงสร้างจะกลายเป็น: ${\displaystyle S(q)}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle S(q)={\frac {1}{N}}\left|{\frac {1-\mathrm {e} ^{-iNqa}}{1-\mathrm {e} ^{-iqa}}}\right|^{2}={\frac {1}{N}}\left[{\frac {\sin(Nqa/2)}{\sin(qa/2)}}\right]^{2}.}$

ฟังก์ชันนี้แสดงอยู่ในรูปสำหรับค่าต่างๆ ของเมื่อการกระเจิงจากทุกอนุภาคอยู่ในเฟสเดียวกัน ซึ่งก็คือเมื่อการกระเจิงอยู่ที่จุดแลตติซผกผันผลรวมของแอมพลิจูดจะต้องเป็นและดังนั้นค่าสูงสุดของความเข้มคือ เมื่อใช้สูตรข้างต้นสำหรับและประมาณค่าลิมิตโดยใช้กฎของ L'Hôpitalเป็นต้น จะเห็นว่า ดังที่เห็นในรูป ที่จุดกึ่งกลาง(โดยการประเมินโดยตรง) และความกว้างของยอดจะลดลงเหมือนในลิมิตขนาดใหญ่ยอดจะกลายเป็นฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac ที่คมกริบอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งเป็นแลตติซผกผันของแลตติซ 1 มิติที่สมบูรณ์แบบ ${\displaystyle N}$${\displaystyle q=2k\pi /a}$${\displaystyle \propto N}$${\displaystyle \propto N^{2}}$${\displaystyle S(q)}$${\displaystyle S(q\to 0)}$${\displaystyle S(q=2k\pi /a)=N}$${\displaystyle S(q=(2k+1)\pi /a)=1/N}$${\displaystyle 1/N}$${\displaystyle N}$

ในวิชาผลึกศาสตร์ เมื่อใช้ค่าจะมีขนาดใหญ่ และผลกระทบของขนาดอย่างเป็นทางการต่อการเลี้ยวเบนจะถูกกำหนดให้เป็นซึ่งเหมือนกับนิพจน์ข้างต้นที่อยู่ใกล้จุดแลตติสผกผันโดยใช้การสังเคราะห์ เราสามารถอธิบายโครงสร้างผลึกจริงที่มีขอบเขตจำกัดได้เป็นฟังก์ชันสี่เหลี่ยม [แลตติส] [ฐาน] โดยที่ฟังก์ชันสี่เหลี่ยมมีค่า 1 ภายในผลึกและ 0 ภายนอกผลึก ดังนั้น[โครงสร้างผลึก] = [แลตติส] [ฐาน] [ฟังก์ชันสี่เหลี่ยม] นั่นคือ การกระเจิง[แลตติสผกผัน] [แฟกเตอร์โครงสร้าง] [ ฟังก์ชัน sinc ] ดังนั้น ความเข้ม ซึ่งเป็นฟังก์ชันเดลต้าของตำแหน่งสำหรับผลึกที่สมบูรณ์แบบ จะกลายเป็นฟังก์ชัน รอบ ๆ ทุกจุดที่มีค่าสูงสุดความกว้างและพื้นที่${\displaystyle F_{hkl}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \left[{\frac {\sin(Nqa/2)}{(qa/2)}}\right]^{2}}$${\displaystyle S(q)}$${\displaystyle q\approx 2k\pi /a}$${\displaystyle \ast }$${\displaystyle \times }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \times {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \ast {F}}$${\displaystyle \propto }$${\displaystyle \times }$${\displaystyle \ast }$${\textstyle \operatorname {sinc} ^{2}}$${\displaystyle \propto N^{2}}$${\displaystyle \propto 1/N}$${\displaystyle \propto N}$

แบบจำลองสำหรับความไม่เป็นระเบียบในผลึกนี้เริ่มต้นด้วยปัจจัยโครงสร้างของผลึกที่สมบูรณ์แบบ ในมิติเดียวเพื่อความเรียบง่ายและมี ระนาบ Nเราจึงเริ่มต้นด้วยนิพจน์ข้างต้นสำหรับแลตติซจำกัดที่สมบูรณ์แบบ จากนั้นความไม่เป็นระเบียบนี้จะเปลี่ยนแปลงโดยตัวคูณเท่านั้นเพื่อให้ได้^{[ 1 ]}${\displaystyle S(q)}$

${\displaystyle S(q)={\frac {1}{N}}\left[{\frac {\sin(Nqa/2)}{\sin(qa/2)}}\right]^{2}\exp \left(-q^{2}\langle \delta x^{2}\rangle \right)}$

โดยที่ความไม่เป็นระเบียบนั้นวัดจากค่าเฉลี่ยกำลังสองของการกระจัดของตำแหน่งจากตำแหน่งของพวกมันในโครงตาข่ายหนึ่งมิติที่สมบูรณ์แบบ: นั่นคือโดยที่ เป็นการกระจัดแบบสุ่มขนาด เล็ก (น้อยกว่า มาก) สำหรับความไม่เป็นระเบียบประเภทแรก การกระจัดแบบสุ่มแต่ละครั้งจะเป็นอิสระจากกัน และเมื่อเทียบกับโครงตาข่ายที่สมบูรณ์แบบ ดังนั้นการกระจัดจึงไม่ทำลายลำดับการแปลของผลึก ผลที่ตามมาคือสำหรับผลึกอนันต์ ( ) แฟกเตอร์โครงสร้างยังคงมีจุดสูงสุดของแบร็กแบบเดลต้าฟังก์ชัน – ความกว้างของจุดสูงสุดยังคงเข้าใกล้ศูนย์เมื่อด้วยความไม่เป็นระเบียบประเภทนี้ อย่างไรก็ตาม มันจะลดแอมพลิจูดของจุดสูงสุด และเนื่องจากปัจจัยของในปัจจัยเลขชี้กำลัง มันจะลดจุดสูงสุดที่มาก มากกว่าจุดสูงสุดที่น้อย ${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle a(j-(N-1)/2)}$${\displaystyle x_{j}=a(j-(N-1)/2)+\delta x}$${\displaystyle \delta x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \delta x}$${\displaystyle \delta x}$${\displaystyle N\to \infty }$${\displaystyle N\to \infty }$${\displaystyle q^{2}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$

โครงสร้างจะลดลงอย่างง่ายดายด้วยพจน์ที่ขึ้นอยู่กับความไม่เป็นระเบียบ เนื่องจากความไม่เป็นระเบียบประเภทแรกนั้นทำให้ระนาบการกระเจิงเบลอไป ซึ่งส่งผลให้ค่าฟอร์มแฟคเตอร์ลดลงอย่างมีประสิทธิภาพ ${\displaystyle q}$

ในสามมิติ ผลกระทบจะเหมือนกัน โครงสร้างจะลดลงอีกครั้งด้วยตัวคูณ และตัวคูณนี้มักเรียกว่าตัวคูณเดบาย-วอลเลอร์โปรดทราบว่า ตัวคูณเดบาย-วอลเลอร์มักถูกระบุว่าเป็นผลมาจากการเคลื่อนที่เนื่องจากความร้อน กล่าวคือ การเปลี่ยนแปลงเกิดจากการเคลื่อนที่เนื่องจากความร้อน แต่การกระจัดแบบสุ่มใดๆ รอบโครงสร้างตาข่ายที่สมบูรณ์แบบ ไม่ใช่แค่การเคลื่อนที่เนื่องจากความร้อนเท่านั้น ก็จะส่งผลต่อตัวคูณเดบาย-วอลเลอร์ด้วย ${\displaystyle \delta x}$

อย่างไรก็ตาม ความผันผวนที่ทำให้ความสัมพันธ์ระหว่างอะตอมคู่หนึ่งลดลงเมื่อระยะห่างระหว่างอะตอมเพิ่มขึ้น ส่งผลให้ยอดแบร็กในแฟกเตอร์โครงสร้างของผลึกกว้างขึ้น เพื่อดูว่าสิ่งนี้ทำงานอย่างไร เราพิจารณาแบบจำลองของเล่นหนึ่งมิติ: แผ่นซ้อนกันโดยมีระยะห่างเฉลี่ยการพิสูจน์เป็นไปตามบทที่ 9 ของตำราของ Guinier ^{[ 6 ]} แบบจำลองนี้ได้รับการบุกเบิกและนำไปใช้กับวัสดุหลายชนิดโดย Hosemann และผู้ร่วมงาน^{[ 7 ]}เป็นเวลาหลายปี Guinier และพวกเขาเรียกสิ่งนี้ว่าความไม่เป็นระเบียบประเภทที่สอง และ Hosemann โดยเฉพาะอย่างยิ่งเรียกการเรียงตัวของผลึกที่ไม่สมบูรณ์นี้ว่าการเรียงตัวแบบพาราคริสตัลไลน์ความไม่เป็นระเบียบประเภทแรกเป็นแหล่งที่มาของแฟกเตอร์ Debye– Waller ${\displaystyle a}$

ในการสร้างแบบจำลอง เราเริ่มต้นด้วยคำจำกัดความ (ในมิติเดียว) ของ

${\displaystyle S(q)={\frac {1}{N}}\sum _{j,k=1}^{N}\mathrm {e} ^{-iq(x_{j}-x_{k})}}$

เพื่อความง่าย เราจะพิจารณาผลึกอนันต์ก่อน นั่นคือ . ต่อไปเราจะพิจารณาผลึกจำกัดที่มีความไม่เป็นระเบียบแบบที่สอง ${\displaystyle N\to \infty }$

สำหรับผลึกอนันต์ของเรา เราต้องการพิจารณาคู่ของตำแหน่งแลตติส สำหรับระนาบขนาดใหญ่แต่ละระนาบของผลึกอนันต์ จะมีระนาบเพื่อนบ้านอยู่ ห่างออกไปสองระนาบ ดังนั้นผลรวมสองชั้นข้างต้นจึงกลายเป็นผลรวมชั้นเดียวเหนือคู่ของเพื่อนบ้านทั้งสองด้านของอะตอม ที่ตำแหน่งและระยะห่างของแลตติสที่ห่างออกไป คูณด้วย ดังนั้น ${\displaystyle m}$${\displaystyle -m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle S(q)=1+2\sum _{m=1}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\rm {d}}(\Delta x)p_{m}(\Delta x)\cos \left(q\Delta x\right)}$

โดยที่คือฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นสำหรับการแยกตัวของระนาบสองระนาบที่อยู่ห่างกันตามระยะห่างของแลตทิซ สำหรับการแยกตัวของระนาบที่อยู่ติดกัน เพื่อความง่าย เราจะสมมติว่าความผันผวนรอบระยะห่างเฉลี่ยของระนาบที่อยู่ติดกันเป็นแบบเกาส์เซียน กล่าวคือ ${\displaystyle p_{m}(\Delta x)}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle p_{1}(\Delta x)={\frac {1}{\left(2\pi \sigma _{2}^{2}\right)^{1/2}}}\exp \left[-\left(\Delta x-a\right)^{2}/(2\sigma _{2}^{2})\right]}$

และเรายังสมมติด้วยว่าความผันผวนระหว่างระนาบหนึ่งกับระนาบข้างเคียง และระหว่างระนาบข้างเคียงนี้กับระนาบถัดไป เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้น มันจึงเป็นเพียงการสังเคราะห์ของฟังก์ชันเกาส์เซียนสองตัว เป็นต้น เนื่องจากการสังเคราะห์ของฟังก์ชันเกาส์เซียนสองตัวก็คือฟังก์ชันเกาส์เซียนอีกตัวหนึ่ง เราจึงได้ว่า ${\displaystyle p_{2}(\Delta x)}$${\displaystyle p_{1}(\Delta x)}$

${\displaystyle p_{m}(\Delta x)={\frac {1}{\left(2\pi m\sigma _{2}^{2}\right)^{1/2}}}\exp \left[-\left(\Delta x-ma\right)^{2}/(2m\sigma _{2}^{2})\right]}$

ผลรวมที่ได้จึงเป็นเพียงผลรวมของการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันเกาส์เซียน ดังนั้น ${\displaystyle S(q)}$

${\displaystyle S(q)=1+2\sum _{m=1}^{\infty }r^{m}\cos \left(mqa\right)}$

สำหรับผลรวมนั้นเป็นเพียงส่วนจริงของผลรวมดังนั้นแฟกเตอร์โครงสร้างของผลึกอนันต์แต่ไร้ระเบียบจึงเป็น ${\displaystyle r=\exp[-q^{2}\sigma _{2}^{2}/2]}$${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }[r\exp(iqa)]^{m}}$

${\displaystyle S(q)={\frac {1-r^{2}}{1+r^{2}-2r\cos(qa)}}}$

กราฟนี้มีจุดสูงสุดอยู่ที่ค่าสูงสุดโดยที่จุดสูงสุดเหล่านี้มีความสูง ${\displaystyle q_{p}=2n\pi /a}$${\displaystyle \cos(q_{P}a)=1}$

${\displaystyle S(q_{P})={\frac {1+r}{1-r}}\approx {\frac {4}{q_{P}^{2}\sigma _{2}^{2}}}={\frac {a^{2}}{n^{2}\pi ^{2}\sigma _{2}^{2}}}}$

กล่าว คือ ความสูงของยอดที่ต่อเนื่องกันจะลดลงตามลำดับของยอด (และดังนั้น) ยกกำลังสอง ต่างจากผลกระทบของขนาดจำกัดที่ทำให้ยอดกว้างขึ้นแต่ไม่ลดความสูง ความไม่เป็นระเบียบจะลดความสูงของยอด โปรดทราบว่าในที่นี้เราสมมติว่าความไม่เป็นระเบียบนั้นค่อนข้างอ่อน ดังนั้นเราจึงยังคงมียอดที่ค่อนข้างชัดเจน นี่คือขีดจำกัดโดยที่ในขีดจำกัดนี้ ใกล้กับยอด เราสามารถประมาณโดยที่และได้ ${\displaystyle q}$${\displaystyle q\sigma _{2}\ll 1}$${\displaystyle r\simeq 1-q^{2}\sigma _{2}^{2}/2}$${\displaystyle \cos(qa)\simeq 1-(\Delta q)^{2}a^{2}/2}$${\displaystyle \Delta q=q-q_{P}}$

${\displaystyle S(q)\approx {\frac {S(q_{P})}{1+{\frac {r}{(1-r)^{2}}}{\frac {\Delta q^{2}a^{2}}{2}}}}\approx {\frac {S(q_{P})}{1+{\frac {\Delta q^{2}}{[q_{P}^{2}\sigma _{2}^{2}/a]^{2}/2}}}}}$

ซึ่งเป็นฟังก์ชันลอเรนซ์หรือโคชีของค่า FWHM กล่าวคือ ค่า FWHM จะเพิ่มขึ้นตามกำลังสองของลำดับจุดสูงสุด และดังนั้นจึงเพิ่มขึ้นตามกำลังสองของเวกเตอร์คลื่นที่จุดสูงสุด ${\displaystyle q_{P}^{2}\sigma _{2}^{2}/a=4\pi ^{2}n^{2}(\sigma _{2}/a)^{2}/a}$${\displaystyle q}$

สุดท้าย ผลคูณของความสูงสูงสุดและค่า FWHM จะคงที่และเท่ากับในขีดจำกัด สำหรับยอดแรกๆ ที่ค่า ไม่มากนัก ค่านี้จึงเป็นเพียงขีดจำกัด เท่านั้น${\displaystyle 4/a}$${\displaystyle q\sigma _{2}\ll 1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \sigma _{2}/a\ll 1}$

สำหรับผลึกหนึ่งมิติที่มีขนาด${\displaystyle N}$

${\displaystyle S(q)=1+2\sum _{m=1}^{N}\left(1-{\frac {m}{N}}\right)r^{m}\cos \left(mqa\right)}$

โดยที่ตัวประกอบในวงเล็บมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมนั้นครอบคลุมคู่เพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด ( ), เพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดถัดไป ( ), ... และสำหรับผลึกของระนาบ จะมีคู่เพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดคู่ของเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดถัดไป เป็นต้น ${\displaystyle m=1}$${\displaystyle m=2}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N-1}$${\displaystyle N-2}$

เมื่อเปรียบเทียบกับผลึก ของเหลวไม่มีระเบียบระยะยาว (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ไม่มีโครงสร้างตาข่ายปกติ) ดังนั้นแฟกเตอร์โครงสร้างจึงไม่แสดงยอดแหลม อย่างไรก็ตาม ของเหลวแสดงระเบียบระยะสั้นใน ระดับหนึ่ง ขึ้นอยู่กับความหนาแน่นและความแรงของการปฏิสัมพันธ์ระหว่างอนุภาค ของเหลวเป็นไอโซโทรปิก ดังนั้นหลังจากดำเนินการหาค่าเฉลี่ยในสมการ ( 4 ) แฟกเตอร์โครงสร้างจึงขึ้นอยู่กับขนาดสัมบูรณ์ของเวกเตอร์การกระเจิงเท่านั้น สำหรับการประเมินเพิ่มเติม การแยกพจน์แนวทแยง ในผลรวมสองชั้นซึ่งมีเฟสเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์และดังนั้นแต่ละพจน์จึงมีส่วนทำให้เกิดค่าคงที่หนึ่งหน่วยนั้น สะดวกกว่า${\displaystyle q=\left|\mathbf {q} \right|}$${\displaystyle j=k}$

${\displaystyle S(q)=1+{\frac {1}{N}}\left\langle \sum _{j\neq k}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} (\mathbf {R} _{j}-\mathbf {R} _{k})}\right\rangle }$.

9

สามารถหาการแสดงออกทางเลือกสำหรับในแง่ของฟังก์ชันการกระจายรัศมี ได้ดังนี้ : ^{[ 8 ]}${\displaystyle S(q)}$${\displaystyle g(r)}$

${\displaystyle S(q)=1+\rho \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,[g(r)-1]\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }}$.

10

ในกรณีจำกัดที่ไม่มีปฏิสัมพันธ์ ระบบจะเป็นก๊าซในอุดมคติและแฟกเตอร์โครงสร้างจะไม่มีลักษณะเฉพาะใดๆ เลยเนื่องจากไม่มีความสัมพันธ์ระหว่างตำแหน่งและของอนุภาคต่างๆ (พวกมันเป็นตัวแปรสุ่มอิสระ ) ดังนั้นเทอมนอกแนวทแยงในสมการ ( 9 ) จะมี ค่า เฉลี่ยเป็นศูนย์${\displaystyle S(q)=1}$${\displaystyle \mathbf {R} _{j}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$${\displaystyle \langle \exp[-i\mathbf {q} (\mathbf {R} _{j}-\mathbf {R} _{k})]\rangle =\langle \exp(-i\mathbf {q} \mathbf {R} _{j})\rangle \langle \exp(i\mathbf {q} \mathbf {R} _{k})\rangle =0}$

แม้แต่สำหรับอนุภาคที่มีปฏิสัมพันธ์กัน ที่เวกเตอร์การกระเจิงสูง แฟกเตอร์โครงสร้างจะเข้าใกล้ 1 ผลลัพธ์นี้เป็นไปตามสมการ ( 10 ) เนื่องจากเป็นการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชัน "ปกติ" และดังนั้นจึงเข้าใกล้ศูนย์สำหรับค่าอาร์กิวเมนต์สูงเหตุผลนี้ใช้ไม่ได้กับผลึกที่สมบูรณ์แบบ ซึ่งฟังก์ชันการกระจายแสดงยอดแหลมที่แหลมคมอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ${\displaystyle S(q)-1}$${\displaystyle g(r)}$${\displaystyle q}$

ในขีดจำกัดต่ำสุด เมื่อระบบถูกตรวจสอบในช่วงความยาวขนาดใหญ่ ปัจจัยโครงสร้างจะประกอบด้วยข้อมูลทางเทอร์โมไดนามิก โดยมีความสัมพันธ์กับความสามารถในการอัดตัวแบบไอโซเทอร์มอลของของเหลวโดยสมการความสามารถในการอัดตัว : ${\displaystyle q}$${\displaystyle \chi _{T}}$

${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 0}S(q)=\rho \,k_{\mathrm {B} }T\,\chi _{T}=k_{\mathrm {B} }T\left({\frac {\partial \rho }{\partial p}}\right)}$.

ใน แบบจำลอง ทรงกลมแข็งอนุภาคจะถูกอธิบายว่าเป็นทรงกลมที่ไม่สามารถทะลุผ่านได้ โดยมีรัศมีr ดังนั้น ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของอนุภาคจึงเท่ากับ r และอนุภาคจะไม่เกิดปฏิสัมพันธ์ใดๆ เกินระยะนี้ ศักยภาพปฏิสัมพันธ์ของอนุภาคสามารถเขียนได้ดังนี้: ${\displaystyle R}$${\displaystyle r\geq 2R}$

${\displaystyle V(r)={\begin{cases}\infty &{\text{for }}r<2R,\\0&{\text{for }}r\geq 2R.\end{cases}}}$

แบบจำลองนี้มีวิธีแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์^{[ 9 ]}ในการประมาณค่า Percus–Yevickแม้ว่าจะเรียบง่ายมาก แต่ก็ให้คำอธิบายที่ดีสำหรับระบบต่างๆ ตั้งแต่โลหะเหลว^{[ 10 ]}ไปจนถึงสารแขวนลอยคอลลอยด์^{[ 11 ]}ในภาพประกอบ ปัจจัยโครงสร้างสำหรับของเหลวทรงกลมแข็งแสดงอยู่ในรูป สำหรับเศษส่วนปริมาตรตั้งแต่ 1% ถึง 40% ${\displaystyle \Phi }$

ในระบบพอลิเมอร์ นิยามทั่วไป ( 4 ) ยังคงใช้ได้ โดยองค์ประกอบพื้นฐานคือโมโนเมอร์ที่ประกอบเป็นโซ่ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากแฟกเตอร์โครงสร้างเป็นการวัดความสัมพันธ์ระหว่างตำแหน่งของอนุภาค จึงคาดได้ว่าความสัมพันธ์นี้จะแตกต่างกันสำหรับโมโนเมอร์ที่อยู่ในโซ่เดียวกันหรือโซ่ที่แตกต่างกัน

สมมติว่าปริมาตรประกอบด้วยโมเลกุลที่เหมือนกัน โดยแต่ละโมเลกุลประกอบด้วยโมโนเมอร์ โดยที่( เรียกอีกอย่างว่าระดับของพอลิเมอไรเซชัน ) เราสามารถเขียน ( 4 ) ใหม่ได้ดังนี้: ${\displaystyle V}$${\displaystyle N_{c}}$${\displaystyle N_{p}}$${\displaystyle N_{c}N_{p}=N}$${\displaystyle N_{p}}$

${\displaystyle S(\mathbf {q} )={\frac {1}{N_{c}N_{p}}}\left\langle \sum _{\alpha \beta =1}^{N_{c}}\sum _{jk=1}^{N_{p}}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} (\mathbf {R} _{\alpha j}-\mathbf {R} _{\beta k})}\right\rangle ={\frac {1}{N_{c}N_{p}}}\left\langle \sum _{\alpha =1}^{N_{c}}\sum _{jk=1}^{N_{p}}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} (\mathbf {R} _{\alpha j}-\mathbf {R} _{\alpha k})}\right\rangle +{\frac {1}{N_{c}N_{p}}}\left\langle \sum _{\alpha \neq \beta =1}^{N_{c}}\sum _{jk=1}^{N_{p}}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} (\mathbf {R} _{\alpha j}-\mathbf {R} _{\beta k})}\right\rangle }$,

11

โดยดัชนีจะระบุโมเลกุลที่แตกต่างกันและโมโนเมอร์ที่แตกต่างกันตามแต่ละโมเลกุล ทางด้านขวามือเราได้แยก เทอม ภายในโมเลกุล ( ) และระหว่างโมเลกุล ( ) ออกจากกัน การใช้ความเท่าเทียมกันของโซ่ ( 11 ) สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ดังนี้: ^{[ 12 ]}${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle j,k}$${\displaystyle \alpha =\beta }$${\displaystyle \alpha \neq \beta }$

${\displaystyle S(\mathbf {q} )=\underbrace {{\frac {1}{N_{p}}}\left\langle \sum _{jk=1}^{N_{p}}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} (\mathbf {R} _{j}-\mathbf {R} _{k})}\right\rangle } _{S_{1}(q)}+{\frac {N_{c}-1}{N_{p}}}\left\langle \sum _{jk=1}^{N_{p}}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} (\mathbf {R} _{1j}-\mathbf {R} _{2k})}\right\rangle }$,

12

โครงสร้างของสายโซ่เดี่ยวอยู่ ที่ไหน${\displaystyle S_{1}(q)}$

• ค่า R-factor (ผลึกศาสตร์)
• ฟังก์ชันแพตเตอร์สัน
• สมการออร์นสไตน์-เซอร์นิเก

• บทเรียนเกี่ยวกับแฟกเตอร์โครงสร้าง (Structure Factor Tutorial)อยู่ที่มหาวิทยาลัยยอร์ก
• นิยาม${\displaystyle F_{hkl}}$โดยIUCr
• การเรียนรู้ผลึกศาสตร์ จาก CSIC