ในกลศาสตร์เชิงสถิติทรงกลมแข็งถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในฐานะอนุภาคจำลองในของเหลวและของแข็ง โดยนิยามง่ายๆ ว่าทรงกลมแข็งคือทรงกลมที่ไม่สามารถทะลุผ่านกันได้และไม่สามารถทับซ้อนกันในอวกาศได้ มันจำลองแรงผลักที่รุนแรงมาก (การกระเด้งแบบยืดหยุ่นอย่างไม่มีที่สิ้นสุด) ที่อะตอมและโมเลกุลทรงกลมประสบในระยะใกล้มาก ระบบทรงกลมแข็งได้รับการศึกษาโดยวิธีการวิเคราะห์ โดย การจำลอง พลศาสตร์โมเลกุลและโดยการศึกษาเชิงทดลองของระบบจำลอง คอลลอยด์ บางชนิด

นอกจากจะเป็นแบบจำลองที่มีความสำคัญทางทฤษฎีแล้ว ระบบทรงกลมแข็งยังถูกใช้เป็นพื้นฐานในการกำหนดสมการสถานะเชิงทำนายที่ทันสมัยหลายสมการสำหรับของไหลจริงผ่านแนวทางทฤษฎีของไหลที่เชื่อมโยงทางสถิติ (SAFT) และแบบจำลองสำหรับคุณสมบัติการขนส่งในก๊าซผ่านทฤษฎีของแชปแมน-เอนสโกก

ทรงกลมแข็งที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นอนุภาคที่มีศักยภาพปฏิสัมพันธ์แบบคู่ดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})={\begin{cases}0&{\text{ถ้า}}\quad |\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|\geq \sigma \\\infty &{\text{ถ้า}}\quad |\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|<\sigma \end{cases}}}$$

โดยที่และคือตำแหน่งของอนุภาคทั้งสอง ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$

ค่าสัมประสิทธิ์ไวเรียลสามค่าแรกสำหรับทรงกลมแข็งสามารถหาได้โดยวิธีวิเคราะห์

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {B_{2}}{v_{0}}}&=4\\{\frac {B_{3}}{{v_{0}}^{2}}}&=10\\{\frac {B_{4}}{{v_{0}}^{3}}}&=-{\frac {712}{35}}+{\frac {219{\sqrt {2}}}{35\pi }}+{\frac {4131}{35\pi }}\arccos {\frac {1}{\sqrt {3}}}\approx 18.365\end{aligned}}}$$

ลำดับที่สูงกว่าสามารถหาได้ด้วยวิธีเชิงตัวเลขโดยใช้การอินทิเกรตแบบมอนเตคาร์โลเราได้แสดงรายการไว้ดังนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {B_{5}}{{v_{0}}^{4}}}&=28.24\pm 0.08\\{\frac {B_{6}}{{v_{0}}^{5}}}&=39.5\pm 0.4\\{\frac {B_{7}}{{v_{0}}^{6}}}&=56.5\pm 1.6\end{aligned}}}$$

ตารางสัมประสิทธิ์วิเรียลสำหรับมิติสูงสุดแปดมิติสามารถพบได้ในหน้าทรงกลมแข็ง: สัมประสิทธิ์วิเรียล^{[ 1 ]}

ระบบทรงกลมแข็งแสดงให้เห็นการเปลี่ยนสถานะจากของเหลวเป็นของแข็งระหว่างสัดส่วนปริมาตรของการแข็งตัวและการหลอมเหลวความดันจะล diverge ที่การจัดเรียงแบบอัดแน่นแบบสุ่มสำหรับสาขาของเหลวที่ไม่เสถียร และที่การจัดเรียงแบบอัดแน่นสำหรับสาขาของแข็งที่เสถียร ${\displaystyle \eta _{\mathrm {f} }\approx 0.494}$${\displaystyle \eta _{\mathrm {m} }\approx 0.545}$${\displaystyle \eta _{\mathrm {rcp} }\approx 0.644}$${\displaystyle \eta _{\mathrm {cp} }={\sqrt {2}}\pi /6\approx 0.74048}$

สามารถคำนวณค่า แฟคเตอร์โครงสร้างสถิตของของเหลวทรงกลมแข็งได้โดยใช้การประมาณของ Percus– Yevick

สมการสถานะที่เรียบง่ายแต่เป็นที่นิยมซึ่งอธิบายระบบของทรงกลมแข็งบริสุทธิ์ได้รับการพัฒนาขึ้นในปี พ.ศ. 2512 โดยNorman F. CarnahanและKE Starling [ ^{2 ] โดย}การแสดงค่าการอัดตัวของระบบทรงกลมแข็งเป็นอนุกรมเรขาคณิต นิพจน์

$${\displaystyle Z={\frac {pV}{nRT}}={\frac {1+\eta +\eta ^{2}-\eta ^{3}}{{\left(1-\eta \right)}^{3}}}}$$

ได้มาจาก โดยที่คือเศษส่วนการบรรจุซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle \eta }$

$${\displaystyle \eta ={\frac {N_{A}\pi n\sigma ^{3}}{6V}}}$$

โดยที่คือเลขอะโวกาโดคือความหนาแน่นโมลาร์ของของเหลว และคือเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลมแข็ง จากสมการสถานะนี้ เราสามารถหาพลังงานเฮล์มโฮลทซ์ตกค้าง^ได้ [ ^{3 ]}${\displaystyle N_{A}}$${\displaystyle n/V}$${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle {\frac {A_{\text{res}}}{nRT}}={\frac {4\eta -3\eta ^{2}}{{\left(1-\eta \right)}^{2}}},}$$

ซึ่งส่งผลให้เกิดศักยภาพทางเคมีที่เหลืออยู่

$${\displaystyle {\frac {\mu _{\text{res}}}{RT}}={\frac {8\eta -9\eta ^{2}+3\eta ^{3}}{{\left(1-\eta \right)}^{3}}}.}$$

นอกจากนี้ยังสามารถหาค่าของฟังก์ชันการกระจายรัศมี , , ที่ประเมินที่พื้นผิวของทรงกลมได้^{[ 3 ]}${\displaystyle g(r)}$

$${\displaystyle g(\sigma )={\frac {1-{\frac {1}{2}}\eta }{{\left(1-\eta \right)}^{3}}}.}$$

ประเด็นหลังนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อคำอธิบายที่แม่นยำของศักยภาพระหว่างโมเลกุลขั้นสูงที่อิงตามทฤษฎีการรบกวนเช่นSAFTซึ่งระบบทรงกลมแข็งถือเป็นระบบอ้างอิง และศักยภาพคู่ ที่สมบูรณ์ จะถูกอธิบายโดยการรบกวนต่อระบบทรงกลมแข็งพื้นฐาน การคำนวณคุณสมบัติการขนส่งของก๊าซทรงกลมแข็งที่ความหนาแน่นปานกลางโดยใช้ทฤษฎี Enskog ที่ปรับปรุงใหม่ยังอาศัยค่าที่แม่นยำสำหรับและสมการสถานะของ Carnahan–Starling ได้ถูกนำมาใช้เพื่อจุดประสงค์นี้จนประสบความสำเร็จอย่างมาก^{[ 4 ]}${\displaystyle g(\sigma )}$

• ของไหลคลาสสิก

• JP Hansen และ IR McDonald ทฤษฎีของของเหลวอย่างง่ายสำนักพิมพ์ Academic Press ลอนดอน (1986)
• หน้า โมเดลทรงกลมแข็งบน SklogWiki