สมการของเชอร์เรอร์ในการเลี้ยวเบนรังสีเอกซ์และผลึกศาสตร์เป็นสูตรที่เชื่อมโยงขนาดของผลึก ขนาดเล็กกว่า ไมโครเมตร ในของแข็งกับการขยายตัวของยอดในรูปแบบการเลี้ยวเบน มักถูกอ้างถึงอย่างไม่ถูกต้องว่าเป็นสูตรสำหรับการวัดหรือวิเคราะห์ขนาดอนุภาค ตั้งชื่อตามพอล เชอร์เรอร์ [ ^{1 ] [ 2 ] ใช้}ในการกำหนดขนาดของผลึกในรูปผง

สมการของเชอร์เรอร์สามารถเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle \tau ={\frac {K\lambda }{\beta \cos \theta }}}$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle \tau }$คือขนาดเฉลี่ยของโดเมนที่มีระเบียบ (ผลึก) ซึ่งอาจเล็กกว่าหรือเท่ากับขนาดของเกรนก็ได้
• ${\displaystyle K}$เป็นค่าตัวประกอบรูปร่าง ที่ไม่มีมิติ มีค่าใกล้เคียงกับหนึ่ง โดยทั่วไปค่าตัวประกอบรูปร่างจะอยู่ที่ประมาณ 0.9 แต่จะแตกต่างกันไปตามรูปร่างที่แท้จริงของผลึก
• ${\displaystyle \lambda }$คือความยาวคลื่นของรังสีเอ็กซ์ ;
• ${\displaystyle \beta }$คือค่าการขยายเส้นสเปกตรัมที่ครึ่งหนึ่งของความเข้ม สูงสุด ( FWHM ) หลังจากหักค่าการขยายเส้นสเปกตรัมที่เกิดจากเครื่องมือแล้ว โดย มีหน่วยเป็น เรเดียนปริมาณนี้บางครั้งอาจใช้สัญลักษณ์;${\displaystyle \Delta \left(2\theta \right)}$
• ${\displaystyle \theta }$คือมุมแบร็กก์

สมการของเชอร์เรอร์มีข้อจำกัดอยู่ที่ ผลึกขนาด นาโนหรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือ ขนาดของโดเมนที่เกิดการกระเจิงอย่างสอดคล้องกัน ซึ่งอาจเล็กกว่าขนาดของผลึก (เนื่องจากปัจจัยที่กล่าวถึงด้านล่าง) สมการนี้ใช้ไม่ได้กับเกรนที่มีขนาดใหญ่กว่าประมาณ 0.1 ถึง 0.2 ไมโครเมตร ซึ่งทำให้ไม่สามารถใช้กับเกรนขนาดใหญ่ที่พบในโครงสร้างจุลภาค ทางโลหะวิทยาและเซรามิก ส่วนใหญ่ได้

สมการของ Scherrer ให้ขอบเขตล่างของขนาดโดเมนการกระเจิงที่สอดคล้องกัน ซึ่งในที่นี้เรียกว่าขนาดผลึกเพื่อให้อ่านง่ายขึ้น เหตุผลก็คือปัจจัยหลายอย่างสามารถส่งผลต่อความกว้างของยอดการเลี้ยวเบนได้ นอกเหนือจากผลกระทบจากเครื่องมือและขนาดผลึก ปัจจัยที่สำคัญที่สุดมักจะเป็นความเครียดที่ไม่สม่ำเสมอและความไม่สมบูรณ์ของโครงสร้างผลึก แหล่งที่มาของการขยายยอดต่อไปนี้ ได้แก่ การเคลื่อนที่ของดิสโลเคชัน ความผิดพลาดในการเรียงซ้อน การเกิดแฝด ความเครียดระดับจุลภาค ขอบเกรน ขอบย่อย ความเครียดที่สอดคล้องกัน ความไม่สม่ำเสมอทางเคมี และขนาดผลึกที่เล็ก ความไม่สมบูรณ์เหล่านี้และอื่นๆ อาจส่งผลให้เกิดการเลื่อนของยอด ความไม่สมมาตรของยอด การขยายยอดแบบ ไม่สมมาตรหรือผลกระทบอื่นๆ ต่อรูปร่างของยอด^{[ 3 ]}

หากปัจจัยอื่นๆ ที่ส่งผลต่อความกว้างของยอดพีค รวมถึงการขยายตัวเนื่องจากเครื่องมือ มีค่าเป็นศูนย์ ความกว้างของยอดพีคก็จะถูกกำหนดโดยขนาดของผลึกเพียงอย่างเดียว และสมการของ Scherrer ก็จะสามารถนำมาใช้ได้ แต่หากปัจจัยอื่นๆ ที่ส่งผลต่อความกว้างของยอดพีคมีค่าไม่เป็นศูนย์ ขนาดของผลึกอาจใหญ่กว่าที่ทำนายได้จากสมการของ Scherrer โดยความกว้างของยอดพีคที่ "เพิ่มขึ้น" นั้นมาจากปัจจัยอื่นๆ แนวคิดเรื่องความเป็นผลึกสามารถนำมาใช้เพื่ออธิบายผลกระทบของขนาดผลึกและข้อบกพร่องต่อการขยายตัวของยอดพีคโดยรวมได้

แม้ว่าคำว่า "ขนาดอนุภาค" มักถูกใช้ในการอ้างอิงถึงขนาดของผลึก แต่ไม่ควรใช้คำนี้ร่วมกับวิธีการของเชอร์เรอร์ เนื่องจากอนุภาคส่วนใหญ่มักเป็นการรวมตัวกันของผลึกจำนวนมาก และ XRD ไม่ได้ให้ข้อมูลเกี่ยวกับขนาดอนุภาค เทคนิคอื่นๆ เช่นการร่อนการวิเคราะห์ภาพหรือการกระเจิงแสงที่มองเห็นได้สามารถวัดขนาดอนุภาคได้โดยตรง ขนาดของผลึกจึงอาจถือได้ว่าเป็นค่าต่ำสุดของขนาดอนุภาค

เพื่อให้เข้าใจที่มาของสมการของเชอร์เรอร์ เราควรพิจารณาตัวอย่างที่ง่ายที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ นั่นคือ ระนาบNระนาบที่แยกจากกันด้วยระยะทางaการหาที่มาสำหรับกรณีง่ายๆ ที่มีมิติเดียวนี้ทำได้ง่าย ขั้นแรก หาค่าแฟกเตอร์โครงสร้างสำหรับกรณีนี้ จากนั้นจึงหาค่าแสดงความกว้างของยอดคลื่น

ระบบนี้ซึ่งโดยพื้นฐานแล้ว เป็นผลึกที่สมบูรณ์แบบหนึ่งมิติมีแฟกเตอร์โครงสร้างหรือฟังก์ชันการกระเจิงS(q): ^{[ 4 ]}

${\displaystyle S(q)={\frac {1}{N}}\sum _{j,k=1}^{N}\mathrm {e} ^{-iq(x_{j}-x_{k})}}$

โดยที่สำหรับระนาบN นั้น : ${\displaystyle x_{j}=aj}$

${\displaystyle S(q)={\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\mathrm {e} ^{-iqak}\times \sum _{j=1}^{N}\mathrm {e} ^{iqaj}}$

ผลรวมแต่ละชุดเป็นอนุกรมเรขาคณิต อย่างง่าย ซึ่งกำหนด, , และอนุกรมอื่นๆ ก็ให้ผลลัพธ์ในทำนองเดียวกันดังนี้: ${\displaystyle y=\exp(iqa)}$${\textstyle \sum _{j=1}^{N}y^{j}=(yy^{N+1})/(1-y)}$

${\displaystyle S(q)={\frac {1}{N}}{\frac {\left[{\rm {e}}^{-iqa}-{\rm {e}}^{-iqa(N+1)}\right]}{\left[1-e^{-iqa}\right]}}\times {\frac {\left[{\rm {e}}^{iqa}-{\rm {e}}^{iqa(N+1)}\right]}{\left[1-e^{iqa}\right]}}}$

${\displaystyle S(q)={\frac {1}{N}}{\frac {2-{\rm {e}}^{iqaN}-{\rm {e}}^{-iqaN}}{2-{\rm {e}}^{iqa}-{\rm {e}}^{-iqa}}}}$

ซึ่งจะง่ายขึ้นไปอีกเมื่อแปลงเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ :

${\displaystyle S(q)={\frac {1}{N}}{\frac {1-\cos[Nqa]}{1-\cos[qa]}}}$

และสุดท้ายนี้:

${\displaystyle S(q)={\frac {1}{N}}{\frac {\sin ^{2}[Nqa/2]}{\sin ^{2}[qa/2]}}}$

ซึ่งให้กลุ่มยอดเขาที่ โดยแต่ละยอดเขามีความสูง ${\textstyle q_{P}=0,2\pi /a,4\pi /a,\ldots }$${\displaystyle S(q_{P})=N}$

จากนิยามของ FWHM สำหรับยอดที่และมีค่า FWHM เท่ากับ, , เนื่องจากความสูงของยอดคือNถ้าเราใช้เครื่องหมายบวก (ยอดมีความสมมาตร ดังนั้นเครื่องหมายใดก็ได้) ${\textstyle q_{P}}$${\textstyle \Delta q}$${\displaystyle S(q_{P}\pm \Delta q/2)=S(q_{P})/2=N/2}$

${\displaystyle S(q_{P}+\Delta q/2)={\frac {1}{N}}{\frac {\sin ^{2}[Na(q_{P}+\Delta q/2)/2]}{\sin ^{2}[a(q_{P}+\Delta q/2)/2]}}={\frac {1}{N}}\left[{\frac {\sin[Na(q_{P}+\Delta q/2)/2]}{\sin[a(q_{P}+\Delta q/2)/2]}}\right]^{2}=N/2}$

และ

${\displaystyle {\frac {\sin[Na(q_{P}+\Delta q/2)/2]}{\sin[a(q_{P}+\Delta q/2)/2]}}={\frac {\sin[Na\Delta q/4]}{\sin[a\Delta q/4]}}={\frac {N}{2^{1/2}}}}$

ถ้าNไม่เล็กเกินไป ถ้าเล็กแล้วและเราสามารถเขียนสมการเป็นสมการไม่เชิงเส้นเดียวได้สำหรับคำตอบของสมการนี้คือดังนั้น ขนาดของเซตของระนาบจึงสัมพันธ์กับ FWHM ในqโดย ${\displaystyle \Delta q}$${\displaystyle \sin[\Delta qa/4]\simeq \Delta qa/4}$${\displaystyle \sin(x)-(x/2^{1/2})=0}$${\displaystyle x=Na\เดลต้า q/4}$${\displaystyle x=1.39}$

${\displaystyle \tau =Na={\frac {5.56}{\เดลต้า q}}}$

ในการแปลงขนาดผลึกให้อยู่ในรูปของความกว้างของยอดในมุมการกระเจิงที่ใช้ในการเลี้ยวเบนรังสีเอกซ์แบบผงเราสังเกตว่าเวกเตอร์การกระเจิงโดยที่ ในที่นี้คือมุมระหว่างเวกเตอร์คลื่นตกกระทบและเวกเตอร์คลื่นกระเจิง ซึ่งแตกต่างจากในการสแกน ดังนั้นความกว้างของยอดในตัวแปรจึงมีค่าประมาณและดังนั้น ${\displaystyle 2\theta }$${\displaystyle q=(4\pi /\lambda )\sin(\theta /2)}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 2\theta }$${\displaystyle 2\theta }$${\displaystyle \beta \simeq 2\Delta q/[{\rm {d}}q/{\rm {d}}\theta ]=2\Delta q/[(4\pi /\lambda )\cos(\theta )]}$

${\displaystyle \tau =Na={\frac {5.56\lambda }{2\pi \beta \cos(\theta )}}={\frac {0.88\lambda }{\beta \cos(\theta )}}}$

ซึ่งก็คือสมการของเชอร์เรอร์ โดยที่K = 0.88

สิ่งนี้ใช้ได้เฉพาะกับชุดระนาบ 1 มิติที่สมบูรณ์แบบเท่านั้น ในกรณี 3 มิติที่เกี่ยวข้องกับการทดลอง รูปแบบของและดังนั้นยอดจึงขึ้นอยู่กับชนิดของโครงสร้างผลึก และขนาดและรูปร่างของนาโนคริสตัล คณิตศาสตร์พื้นฐานจะซับซ้อนกว่าในตัวอย่างง่ายๆ นี้ อย่างไรก็ตาม สำหรับโครงสร้างและรูปร่างที่เรียบง่าย ได้มีการหาค่า FWHM มาแล้ว เช่น โดยPatterson [ ^{2 ] เช่น}เดียวกับใน 1 มิติ ค่า FWHM จะแปรผันตามส่วนกลับของขนาดลักษณะเฉพาะ ตัวอย่างเช่น สำหรับผลึกทรงกลมที่มีโครงสร้างลูกบาศก์^{[ 2 ]}ปัจจัย 5.56 จะกลายเป็น 6.96 เมื่อขนาดคือเส้นผ่านศูนย์กลางD กล่าวคือ เส้นผ่านศูนย์กลางของ นาโนคริสตัล ทรงกลมมีความสัมพันธ์กับค่า FWHM ของยอดโดย ${\displaystyle S(q)}$

${\displaystyle D={\frac {6.96}{\Delta q}}}$ หรือใน: ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle D={\frac {1.11\lambda }{\beta \cos(\theta )}}}$

ขนาดที่จำกัดของผลึกไม่ใช่เหตุผลเดียวที่เป็นไปได้สำหรับยอดที่กว้างขึ้นในการเลี้ยวเบนรังสีเอกซ์ความผันผวนของอะตอมรอบตำแหน่งแลตติซในอุดมคติที่รักษาระเบียบระยะยาวของแลตติซจะก่อให้เกิดปัจจัยเดบาย-วอลเลอร์ เท่านั้น ซึ่งจะลดความสูงของยอดแต่ไม่ทำให้ยอดกว้างขึ้น^{[ 5 ]}อย่างไรก็ตาม ความผันผวนที่ทำให้ความสัมพันธ์ระหว่างอะตอมที่อยู่ใกล้เคียงลดลงเมื่อระยะห่างเพิ่มขึ้น จะทำให้ยอดกว้างขึ้น สามารถศึกษาและหาปริมาณได้โดยใช้ระนาบเรียงซ้อนแบบหนึ่งมิติอย่างง่ายเช่นเดียวกับข้างต้น การพิสูจน์เป็นไปตามบทที่ 9 ของตำราของ Guinier ^{[ 5 ]}แบบจำลองนี้ได้รับการบุกเบิกและนำไปใช้กับวัสดุหลายชนิดโดย Hosemann และผู้ร่วมงาน^{[ 6 ]}เป็นเวลาหลายปี พวกเขาเรียกความไม่เป็นระเบียบชนิดที่สองนี้ว่า และเรียกการเรียงตัวของผลึกที่ไม่สมบูรณ์นี้ว่า การเรียง ตัวแบบ พาราคริสตัลไลน์ความไม่เป็นระเบียบชนิดแรกเป็นแหล่งที่มาของปัจจัยเดบาย-วอลเลอร์

ในการสร้างแบบจำลอง เราเริ่มต้นด้วยการกำหนดนิยามของแฟกเตอร์โครงสร้าง

${\displaystyle S(q)={\frac {1}{N}}\sum _{j,k=1}^{N}\mathrm {e} ^{-iq(x_{j}-x_{k})}}$

แต่ตอนนี้ เพื่อความง่าย เราต้องการพิจารณาผลึกอนันต์ นั่นคือและเราต้องการพิจารณาคู่ของไซต์แลตติส สำหรับค่า ที่มากสำหรับแต่ละระนาบเหล่านี้ จะมี ระนาบเพื่อนบ้านที่อยู่ห่างออกไปสองระนาบ ดังนั้นผลรวมสองชั้นข้างต้นจึงกลายเป็นผลรวมชั้นเดียวเหนือคู่ของเพื่อนบ้านทั้งสองด้านของอะตอม ที่ตำแหน่งและระยะห่างของแลตติสที่ห่างออกไป คูณด้วย ดังนั้น ${\displaystyle N\to \infty }$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle m}$${\displaystyle -m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle S(q)=1+{\frac {2}{N}}\sum _{m=1}^{N}\int _{-\infty }^{\infty }{\rm {d}}(\Delta x)p_{m}(\Delta x)\cos \left(mq\Delta x\right)}$

โดยที่คือฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นสำหรับการแยกตัวของระนาบสองระนาบที่อยู่ห่างกันตามระยะห่างของแลตทิซ สำหรับการแยกตัวของระนาบที่อยู่ติดกัน เพื่อความง่าย เราจะสมมติว่าความผันผวนรอบระยะห่างเฉลี่ยของระนาบที่อยู่ติดกันเป็นแบบเกาส์เซียน กล่าวคือ ${\displaystyle p_{m}(\Delta x)}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle p_{1}(\Delta x)={\frac {1}{\left(2\pi \sigma _{2}^{2}\right)^{1/2}}}\exp \left[-\left(\Delta xa\right)^{2}/(2\sigma _{2}^{2})\right]}$

และเรายังสมมติด้วยว่าความผันผวนระหว่างระนาบหนึ่งกับระนาบข้างเคียง และระหว่างระนาบข้างเคียงนี้กับระนาบถัดไป เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้น มันจึงเป็นเพียงการสังเคราะห์ของฟังก์ชันเกาส์เซียนสองตัว เป็นต้น เนื่องจากการสังเคราะห์ของฟังก์ชันเกาส์เซียนสองตัวก็คือฟังก์ชันเกาส์เซียนอีกตัวหนึ่ง เราจึงได้ว่า ${\displaystyle p_{2}(\Delta x)}$${\displaystyle p_{1}(\Delta x)}$

${\displaystyle p_{m}(\Delta x)={\frac {1}{\left(2\pi m\sigma _{2}^{2}\right)^{1/2}}}\exp \left[-\left(\Delta x-ma\right)^{2}/(2m\sigma _{2}^{2})\right]}$

ผลรวมที่ได้จึงเป็นเพียงผลรวมของการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันเกาส์เซียน ดังนั้น ${\displaystyle S(q)}$

${\displaystyle S(q)=1+2\sum _{m=1}^{\infty }r^{m}\cos \left(mqa\right)}$

สำหรับผลรวมนั้นเป็นเพียงส่วนจริงของผลรวมดังนั้นแฟกเตอร์โครงสร้างของผลึกอนันต์แต่ไร้ระเบียบจึงเป็น ${\displaystyle r=\exp[-q^{2}\sigma _{2}^{2}/2]}$${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }[r\exp(iqa)]^{m}}$

${\displaystyle S(q)={\frac {1-r^{2}}{1+r^{2}-2r\cos(qa)}}}$

กราฟนี้มีจุดสูงสุดอยู่ที่ค่าสูงสุดโดยที่จุดสูงสุดเหล่านี้มีความสูง ${\displaystyle q_{p}=2n\pi /a}$${\displaystyle \cos(q_{P}a)=1}$

${\displaystyle S(q_{P})={\frac {1+r}{1-r}}\approx {\frac {4}{q_{P}^{2}\sigma _{2}^{2}}}={\frac {a^{2}}{n^{2}\pi ^{2}\sigma _{2}^{2}}}}$

กล่าว คือ ความสูงของยอดที่ต่อเนื่องกันจะลดลงตามลำดับของยอด (และดังนั้น) ยกกำลังสอง ต่างจากผลกระทบของขนาดจำกัดที่ทำให้ยอดกว้างขึ้นแต่ไม่ลดความสูง ความไม่เป็นระเบียบจะลดความสูงของยอด โปรดทราบว่าในที่นี้เราสมมติว่าความไม่เป็นระเบียบนั้นค่อนข้างอ่อน ดังนั้นเราจึงยังคงมียอดที่ค่อนข้างชัดเจน นี่คือขีดจำกัดโดยที่ในขีดจำกัดนี้ ใกล้กับยอด เราสามารถประมาณโดยที่และได้ ${\displaystyle q}$${\displaystyle q\sigma _{2}\ll 1}$${\displaystyle r\simeq 1-q^{2}\sigma _{2}^{2}/2}$${\displaystyle \cos(qa)\simeq 1-(\Delta q)^{2}a^{2}/2}$${\displaystyle \Delta q=q-q_{P}}$

${\displaystyle S(q)\approx {\frac {S(q_{P})}{1+{\frac {r}{(1-r)^{2}}}\Delta q^{2}a^{2}}}\approx {\frac {S(q_{P})}{1+{\frac {\Delta q^{2}}{[q_{P}^{2}\sigma _{2}^{2}/2a]^{2}}}}}}$

ซึ่งเป็นฟังก์ชันลอเรนซ์หรือโคชีของ FWHM กล่าวคือ FWHM จะเพิ่มขึ้นตามกำลังสองของลำดับของจุดสูงสุด และเช่นเดียวกันกับกำลังสองของเวกเตอร์คลื่นที่จุดสูงสุด ในที่สุด ผลคูณของความสูงของจุดสูงสุดและ FWHM จะคงที่และเท่ากับในขีดจำกัด สำหรับจุดสูงสุดไม่กี่จุดแรกที่ไม่มากนัก นี่คือขีดจำกัด นั่นเอง${\displaystyle q_{P}^{2}\sigma _{2}^{2}/a=4\pi ^{2}n^{2}(\sigma _{2}/a)^{2}/a}$${\displaystyle q}$${\displaystyle 4/a}$${\displaystyle q\sigma _{2}\ll 1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \sigma _{2}/a\ll 1}$

ดังนั้นทั้งขนาดจำกัดและความไม่เป็นระเบียบประเภทนี้ต่างก็ทำให้ยอดพีคกว้างขึ้น แต่มีความแตกต่างในเชิงคุณภาพ ผลกระทบจากขนาดจำกัดทำให้ยอดพีคทั้งหมดกว้างขึ้นอย่างเท่าเทียมกัน และไม่ส่งผลต่อความสูงของยอดพีค ในขณะที่ความไม่เป็นระเบียบประเภทนี้ทั้งลดความสูงของยอดพีคและทำให้ยอดพีคกว้างขึ้นในปริมาณที่เพิ่มขึ้นตามขนาด ซึ่งในหลักการแล้วทำให้สามารถแยกแยะผลกระทบทั้งสองได้ นอกจากนี้ยังหมายความว่าสมการของ Scherrer เหมาะที่สุดที่จะใช้กับยอดพีคแรก เนื่องจากความไม่เป็นระเบียบประเภทนี้ส่งผลกระทบต่อยอดพีคแรกน้อยที่สุด ${\displaystyle n^{2}}$

ในแบบจำลองนี้ ระดับความสัมพันธ์ระหว่างระนาบสองระนาบจะลดลงเมื่อระยะห่างระหว่างระนาบเหล่านั้นเพิ่มขึ้น กล่าวคือ ระนาบสองระนาบที่อยู่ห่างกัน 10 ระนาบจะมีตำแหน่งที่สัมพันธ์กันน้อยกว่าระนาบสองระนาบที่เป็นเพื่อนบ้านกัน ความสัมพันธ์จะกำหนดโดยสำหรับระนาบสองระนาบ ที่อยู่ห่างกัน m ระนาบ สำหรับค่า mที่มากพอระนาบทั้งสองแทบจะไม่มีความสัมพันธ์กัน ในแง่ที่ว่าความไม่แน่นอนในตำแหน่งสัมพัทธ์ของพวกมันมีขนาดใหญ่มากจนเทียบได้กับระยะห่างของแลตติสaซึ่งกำหนดความยาวความสัมพันธ์ซึ่งกำหนดเป็นระยะห่างเมื่อความกว้างของซึ่งเท่ากับaทำให้ได้ ${\displaystyle p_{m}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle p_{m}}$${\displaystyle m^{1/2}\sigma _{2}}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {a^{3}}{\sigma _{2}^{2}}}}$

ซึ่งในทางปฏิบัติแล้วเป็นการประมาณขนาดของโดเมนของโครงผลึกที่สอดคล้องกัน โปรดสังเกตว่าค่า FWHM ของยอดแรกแปรผันตามดังนั้นความยาวของความสอดคล้องจึงมีค่าประมาณ 1/FWHM สำหรับยอดแรก ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}/a^{3}}$

• BD Cullity & SR Stock, Elements of X-Ray Diffraction , ฉบับที่ 3, Prentice-Hall Inc., 2001, หน้า 96–102, ISBN 0-201-61091-4.
• R. Jenkins และ RL Snyder, Introduction to X-ray Powder Diffractometry , John Wiley & Sons Inc., 1996, หน้า 89–91, ISBN 0-471-51339-3.
• HP Klug และ LE Alexander, ขั้นตอนการเลี้ยวเบนของรังสีเอ็กซ์ , ฉบับที่ 2, John Wiley & Sons Inc., 1974, หน้า 687–703, ISBN 978-0-471-49369-3.
• BE Warren, การเลี้ยวเบนของรังสีเอ็กซ์ , สำนักพิมพ์ Addison-Wesley, 1969, หน้า 251–254, ISBN 0-201-08524-0[ ^{4 ]​}