คอชี่
ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น เส้นโค้งสีม่วงคือการแจกแจงแบบโคชีมาตรฐาน
ฟังก์ชันการกระจายสะสม
พารามิเตอร์	${\displaystyle x_{0}\!}$ตำแหน่ง ( จริง ) มาตราส่วน (จริง)${\displaystyle \gamma >0}$
สนับสนุน	${\displaystyle \displaystyle x\in (-\infty ,+\infty )\!}$
พีดี	${\displaystyle {\frac {1}{\pi \gamma \,\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\!}$
ซีดีเอฟ	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}\!}$
ควอนไทล์	${\displaystyle x_{0}+\gamma \,\tan[\pi (p-{\tfrac {1}{2}})]}$
หมายถึง	ไม่ได้กำหนด
ค่ามัธยฐาน	${\displaystyle x_{0}\!}$
โหมด	${\displaystyle x_{0}\!}$
ความแปรปรวน	ไม่ได้กำหนด
โกรธ	${\displaystyle \gamma }$
ความเบี่ยงเบน	ไม่ได้กำหนด
ความโค้งส่วนเกิน	ไม่ได้กำหนด
เอนโทรปี	${\displaystyle \log(4\pi \gamma )\!}$
เอ็มจีเอฟ	ไม่มีอยู่จริง
ซีเอฟ	${\displaystyle \displaystyle \exp(x_{0}\,i\,t-\gamma \,|t|)\!}$
ข้อมูลของฟิชเชอร์	${\displaystyle {\frac {1}{2\แกมมา ^{2}}}}$

การแจกแจงโคชี (Cauchy distribution ) ซึ่งตั้งชื่อตามออกัสติน-หลุยส์ โคชีเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องเป็นที่รู้จักกันโดยเฉพาะในหมู่นักฟิสิกส์ว่า การแจกแจงลอเรนซ์ (Lorentz distribution ) (ตั้งชื่อตามเฮนดริก ลอเรนซ์ ) การแจกแจงโคชี-ลอเรนซ์ ( Cauchy–Lorentz distribution) ฟังก์ชันลอเรนซ์ ( Lorentz(ian) function ) หรือ การแจกแจงไบรต์-วิกเนอร์ ( Breit–Wigner distribution ) การแจกแจงโคชีคือการแจกแจงของจุดตัดแกนx ของรังสีที่ออกจาก จุดหนึ่งโดยมีมุมที่แจกแจงอย่างสม่ำเสมอ นอกจากนี้ยังเป็นการแจกแจงของอัตราส่วนของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวที่แจกแจงแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ ${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )}$${\displaystyle (x_{0},\gamma )}$

การแจกแจงโคชีมักถูกใช้ในทางสถิติเป็นตัวอย่างมาตรฐานของการแจกแจง " ผิดปกติ " เนื่องจากทั้งค่าคาดหวังและความแปรปรวน ของมัน ไม่ได้ถูกกำหนด (แต่ดู§ โมเมนต์ด้านล่าง) การแจกแจงโคชีไม่มีโมเมนต์ จำกัด ที่มีลำดับมากกว่าหรือเท่ากับหนึ่ง มีเพียงโมเมนต์สัมบูรณ์ที่เป็นเศษส่วนเท่านั้น^{[ 1 ]}การแจกแจงโคชีไม่มีฟังก์ชันสร้างโมเมนต์

ในทางคณิตศาสตร์มันมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับเคอร์เนลปัวซงซึ่งเป็นคำตอบพื้นฐานของสมการลาปลาสในระนาบครึ่งบน

เป็นการแจกแจงแบบเสถียร ประเภทหนึ่ง ที่มีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นที่สามารถแสดงออกมาในเชิงวิเคราะห์ได้ โดยอีกสองประเภทคือการแจกแจงแบบปกติและการแจกแจงแบบเลวี

ต่อไปนี้คือโครงสร้างที่สำคัญที่สุด

ถ้าหากยืนอยู่หน้าเส้นและเตะลูกบอลไปในมุมสุ่มที่มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอไปยังเส้นนั้น การกระจายของจุดที่ลูกบอลกระทบเส้นจะเป็นการกระจายแบบโคชี (Cauchy distribution)

ตัวอย่างเช่น พิจารณาจุดที่ในระนาบ xy และเลือกเส้นตรงที่ผ่านจุดนั้น โดยทิศทาง (มุมกับแกน x) ถูกเลือกแบบสุ่มอย่างสม่ำเสมอ (ระหว่าง −180° และ 0°) จุดตัดของเส้นตรงกับแกน x จะเป็นไปตามการแจกแจงแบบโคชี (Cauchy distribution) ที่มีตำแหน่งและ มาตราส่วน${\displaystyle (x_{0},\gamma )}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \gamma }$

คำจำกัดความนี้ให้วิธีการง่ายๆ ในการสุ่มตัวอย่างจาก1การแจกแจงโคชีมาตรฐาน ให้เป็นตัวอย่างจากการแจกแจงเอกรูปจากแล้วเราสามารถสร้างตัวอย่างจากการแจกแจงโคชีมาตรฐานโดยใช้ ${\displaystyle u}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle x}$

$${\displaystyle x=\tan \left(\pi (u-{\tfrac {1}{2}})\right)}$$ เมื่อและเป็นตัวแปรสุ่มอิสระที่มีการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ย 0 และความแปรปรวน 1 แล้ว อัตราส่วนจะมีการแจกแจงแบบโคชีมาตรฐาน ${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U/V}$

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเป็นการกระจายแบบสมมาตรเชิงการหมุนบนระนาบ อัตราส่วนจะมีลักษณะการกระจายแบบโคชีมาตรฐาน ${\displaystyle (U,V)}$${\displaystyle U/V}$

การแจกแจงโคชีเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นที่มีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (PDF) ดังต่อไปนี้ ^{[ 1 ] [ 2 ]}$${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}={1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right],}$$

โดยที่คือพารามิเตอร์ตำแหน่งซึ่งระบุตำแหน่งของจุดสูงสุดของการกระจาย และคือพารามิเตอร์มาตราส่วนซึ่งระบุความกว้างครึ่งหนึ่งที่ค่าสูงสุดครึ่งหนึ่ง (HWHM) หรืออีกนัยหนึ่งคือความกว้างเต็มที่ที่ค่าสูงสุดครึ่งหนึ่ง (FWHM) ยังเท่ากับครึ่งหนึ่งของช่วงควอไทล์และบางครั้งเรียกว่าข้อผิดพลาดที่น่าจะเป็นไปได้ [ ^{1 ] ฟังก์ชัน}นี้ยังเป็นที่รู้จักในชื่อ^{ฟังก์ชัน}ลอเรนซ์ [ ^{3 ]}และเป็นตัวอย่างของฟังก์ชันเดลต้าเริ่มต้นและด้วยเหตุนี้จึงเข้าใกล้ฟังก์ชันเดลต้าของดิแรกในขีดจำกัดเมื่อAugustin -Louis Cauchyได้ใช้ฟังก์ชันความหนาแน่นดังกล่าวในปี 1827 โดยมี พารามิเตอร์มาตราส่วน ที่เล็กมากกำหนดฟังก์ชันเดลต้าของดิแรกนี้ ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle 2\gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma \to 0}$

ค่าสูงสุดหรือแอมพลิจูดสูงสุดของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นแบบโคชี (Cauchy PDF) คือซึ่ง อยู่ที่${\displaystyle {\frac {1}{\pi \gamma }}}$${\displaystyle x=x_{0}}$

บางครั้ง การแสดงฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (PDF) ในรูปของพารามิเตอร์เชิงซ้อนก็สะดวกกว่า${\displaystyle \psi =x_{0}+i\gamma }$

$${\displaystyle f(x;\psi )={\frac {1}{\pi }}\,{\textrm {Im}}\left({\frac {1}{x-\psi }}\right)={\frac {1}{\pi }}\,{\textrm {Re}}\left({\frac {-i}{x-\psi }}\right)}$$

กรณีพิเศษเมื่อและเรียกว่าการแจกแจงโคชีมาตรฐานที่มีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น^{[ 4 ] [ 5 ]}${\displaystyle x_{0}=0}$${\displaystyle \gamma =1}$$${\displaystyle f(x;0,1)={\frac {1}{\pi \left(1+x^{2}\right)}}.}$$

ในวิชาฟิสิกส์ มักใช้ฟังก์ชันลอเรนซ์แบบสามพารามิเตอร์ โดยที่คือความสูงของยอด ฟังก์ชันลอเรนซ์แบบสามพารามิเตอร์ที่กล่าวมานั้น โดยทั่วไปไม่ใช่ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น เนื่องจากค่าอินทิเกรตไม่เท่ากับ 1 ยกเว้นในกรณีพิเศษที่ $${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma ,I)={\frac {I}{\left[1+{\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)}^{2}\right]}}=I\left[{\frac {\gamma ^{2}}{{\left(x-x_{0}\right)}^{2}+\gamma ^{2}}}\right],}$$${\displaystyle I}$${\displaystyle I={\frac {1}{\pi \gamma }}.\!}$

การแจกแจงโคชีเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นที่มีฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (CDF) ดังต่อไปนี้: $${\displaystyle F(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}}$$

และฟังก์ชันควอนไทล์(ฟังก์ชันการกระจายสะสมผกผัน) ของการแจกแจงโคชีคือ ดังนั้น ควาร์ไทล์ที่หนึ่งและที่สามคือและ ด้วยเหตุนี้ช่วงระหว่างควาร์ไทล์คือ$${\displaystyle Q(p;x_{0},\gamma )=x_{0}+\gamma \,\tan \left[\pi \left(p-{\tfrac {1}{2}}\right)\right].}$$${\displaystyle (x_{0}-\gamma ,x_{0}+\gamma )}$${\displaystyle 2\gamma }$

สำหรับการแจกแจงแบบมาตรฐาน ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมจะลดรูปเหลือเพียงฟังก์ชันอาร์คแทงเจนต์ : ${\displaystyle \arctan(x)}$$${\displaystyle F(x;0,1)={\frac {1}{\pi }}\arctan \left(x\right)+{\frac {1}{2}}}$$

การแจกแจงโคชีมาตรฐานคือการแจกแจงtของนักเรียนที่มีองศาอิสระหนึ่งองศา ดังนั้นจึงสามารถสร้างได้โดยวิธีใดก็ได้ที่สร้างการแจกแจง t ของนักเรียน^{[ 6 ]}

ถ้าเป็นเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมแบบบวกกึ่งบวกที่มีรายการแนวทแยงเป็นบวกอย่างเคร่งครัด แล้วสำหรับเวกเตอร์สุ่มอิสระและเหมือนกัน ทุกประการ และ เวกเตอร์สุ่มใดๆที่เป็นอิสระจากและโดยที่และ(กำหนดการ กระจายเชิงหมวดหมู่ ) จะเป็นจริงว่า^{[ 7 ]}${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle p\times p}$${\displaystyle X,Y\sim N(0,\Sigma )}$${\displaystyle p}$${\displaystyle w}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle w_{1}+\cdots +w_{p}=1}$${\displaystyle w_{i}\geq 0,i=1,\ldots ,p,}$$${\displaystyle \sum _{j=1}^{p}w_{j}{\frac {X_{j}}{Y_{j}}}\sim \mathrm {Cauchy} (0,1)}$$

การแจกแจงโคชีเป็นตัวอย่างของการแจกแจงที่ไม่มีค่าเฉลี่ยความแปรปรวนหรือโมเมนต์ลำดับ สูงกว่าที่กำหนดไว้ แต่ ค่าฐานนิยมและค่ามัธยฐานนั้นกำหนดไว้อย่างชัดเจนและมีค่าเท่ากับ 0 ทั้งคู่ ${\displaystyle x_{0}}$

การแจกแจงโคชีเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นที่แบ่งได้ไม่จำกัดนอกจากนี้ยังเป็นการแจกแจงที่มีเสถียรภาพ อย่างเคร่งครัดอีกด้วย ^{[ 8 ]}

ตระกูลของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบ Cauchy ปิดภายใต้การแปลงเศษส่วนเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์จริง^{[ 9 ]}ในส่วนนี้ โปรดดู การกำหนดพารามิเตอร์ของการแจกแจงแบบ Cauchy ของ McCullagh ด้วย

ถ้าตัวแปร สุ่มตัวอย่างเป็นแบบอิสระและมีการกระจายเหมือนกัน (IID)จากการแจกแจงแบบโคชีมาตรฐานค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มตัวอย่าง นั้น ก็จะมีการแจกแจงแบบโคชีมาตรฐานเช่นกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ค่าเฉลี่ยจะไม่ลู่เข้าสู่ค่าเฉลี่ย และดังนั้น การแจกแจงแบบโคชีมาตรฐานจึงไม่เป็นไปตามกฎของจำนวนมาก ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$${\textstyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i}X_{i}}$

สามารถพิสูจน์ได้โดยการอินทิเกรตซ้ำๆ กับ PDF หรือที่สะดวกกว่านั้นคือโดยใช้ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของการแจกแจงโคชีมาตรฐาน (ดูด้านล่าง): ด้วยวิธีนี้ เราจะได้และดังนั้นการแจกแจงโคชีมาตรฐานจึงมี $${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{iXt}\right]=e^{-|t|}.}$$${\displaystyle \varphi _{\sum _{i}X_{i}}(t)=e^{-n|t|}}$${\displaystyle {\bar {X}}}$

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเป็นอิสระต่อกันและมีการแจกแจงแบบโคชี โดยมีพารามิเตอร์ตำแหน่งและและเป็นจำนวนจริง แล้ว ก็จะมีการแจกแจงแบบโคชี โดยมีตำแหน่งและ เป็นจำนวน จริง เช่นกัน เราจะเห็นว่าไม่มีกฎของจำนวนมากสำหรับผลรวมถ่วงน้ำหนักใดๆ ของการแจกแจงแบบโคชีที่เป็นอิสระต่อกัน ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$${\textstyle \sum _{i}a_{i}X_{i}}$${\textstyle \sum _{i}a_{i}x_{i}}$${\textstyle \sum _{i}|a_{i}|\gamma _{i}}$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าเงื่อนไขของความแปรปรวนจำกัดในทฤษฎีบทลิมิตกลางไม่สามารถละทิ้งได้ นอกจากนี้ยังเป็นตัวอย่างของทฤษฎีบทลิมิตกลางในรูปแบบทั่วไปมากขึ้น ซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของการแจกแจงเสถียร ทั้งหมด โดยการแจกแจงโคชีเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงดังกล่าว

ถ้าเป็นตัวอย่าง IID ที่มี PDF เช่นนั้นมีค่าจำกัดแต่ไม่เป็นศูนย์ แล้วการแจกแจงจะลู่เข้าสู่การแจกแจงโคชีที่มีมาตราส่วน^{[ 10 ]}${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$${\displaystyle \rho }$${\textstyle \lim _{c\to \infty }{\frac {1}{c}}\int _{-c}^{c}x^{2}\rho (x)\,dx={\frac {2\gamma }{\pi }}}$${\textstyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$${\displaystyle \gamma }$

ให้แทนตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบโคชีฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของการแจกแจงแบบโคชี กำหนดโดย ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{iXt}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x;x_{0},\gamma )e^{ixt}\,dx=e^{ix_{0}t-\gamma |t|}.}$$

ซึ่งก็คือการแปลงฟูริเยร์ของความหนาแน่นความน่าจะเป็นนั่นเอง ความหนาแน่นความน่าจะเป็นดั้งเดิมสามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ โดยพื้นฐานแล้วโดยใช้การแปลงฟูริเยร์ผกผัน:

$${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{X}(t;x_{0},\gamma )e^{-ixt}\,dt\!}$$

โมเมนต์ ลำดับที่ nของการแจกแจง คือ อนุพันธ์ลำดับที่ nของฟังก์ชันลักษณะเฉพาะที่ประเมินค่า ณ จุด x = 0 สังเกตว่าฟังก์ชันลักษณะเฉพาะไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดกำเนิด: นี่สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าการแจกแจงโคชีไม่มีโมเมนต์ที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนสูงกว่าโมเมนต์ลำดับที่ศูนย์ ${\displaystyle t=0}$

ความแตกต่าง Kullback –Leiblerระหว่างการแจกแจง Cauchy สองรายการมีสูตรปิดสมมาตรดังต่อไปนี้: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle \mathrm {KL} \left(p_{x_{0,1},\gamma _{1}}:p_{x_{0,2},\gamma _{2}}\right)=\log {\frac {{\left(\gamma _{1}+\gamma _{2}\right)}^{2}+{\left(x_{0,1}-x_{0,2}\right)}^{2}}{4\gamma _{1}\gamma _{2}}}.}$$

ความแตกต่าง fใดๆระหว่างการแจกแจง Cauchy สองแบบจะสมมาตรและสามารถแสดงเป็นฟังก์ชันของความแตกต่างไคกำลังสองได้^{[ 12 ]} มี สูตรสำเร็จรูปสำหรับความแปรผันทั้งหมดความแตกต่าง Jensen–Shannonระยะทาง Hellingerเป็นต้น

เอนโทรปีของการแจกแจงโคชีมีค่าดังนี้:

$${\displaystyle {\begin{aligned}H(\gamma )&=-\int _{-\infty }^{\infty }f(x;x_{0},\gamma )\log(f(x;x_{0},\gamma ))\,dx\\[6pt]&=\log(4\pi \gamma )\end{aligned}}}$$

อนุพันธ์ของฟังก์ชันควอนไทล์หรือฟังก์ชันความหนาแน่นควอนไทล์ สำหรับการแจกแจงโคชี คือ:

$${\displaystyle Q'(p;\gamma )=\gamma \pi \,\sec ^{2}\left[\pi \left(p-{\tfrac {1}{2}}\right)\right].}$$

เอนโทรปีเชิงอนุพันธ์ของการกระจายสามารถกำหนดได้ในแง่ของความหนาแน่นควอนไทล์^{[ 13 ]}โดยเฉพาะ:

$${\displaystyle H(\gamma )=\int _{0}^{1}\log \,(Q'(p;\gamma ))\,\mathrm {d} p=\log(4\pi \gamma )}$$

การแจกแจงโคชีเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นเอนโทรปีสูงสุดสำหรับตัวแปรสุ่มซึ่ง^{[ 14 ]}${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \operatorname {E} \left[\log \left(1+{\left({\frac {X-x_{0}}{\gamma }}\right)}^{2}\right)\right]=\log 4}$$

การแจกแจงโคชีมักถูกใช้เป็นตัวอย่างค้านในหลักสูตรความน่าจะเป็นเบื้องต้น เนื่องจากเป็นการแจกแจงที่ไม่มีโมเมนต์ที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน (หรือ "ไม่แน่นอน")

ถ้าเราสุ่มตัวอย่างแบบ IID จากการแจกแจงแบบโคชีมาตรฐาน ลำดับของค่าเฉลี่ยตัวอย่างจะเป็นซึ่งก็มีการแจกแจงแบบโคชีมาตรฐานเช่นกัน ดังนั้น ไม่ว่าเราจะสุ่มตัวอย่างกี่พจน์ ค่าเฉลี่ยตัวอย่างก็จะไม่ลู่เข้าสู่ค่าคงที่ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$${\textstyle S_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

ในทำนองเดียวกัน ค่าความแปรปรวนของตัวอย่างก็ไม่ลู่เข้าสู่ค่าคง ที่เช่นกัน${\textstyle V_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\left(X_{i}-S_{n}\right)}^{2}}$

วิถีการเปลี่ยนแปลงโดยทั่วไปจะมีลักษณะเป็นช่วงเวลาที่ยาวนานของการลู่เข้าสู่ศูนย์อย่างช้าๆ สลับกับการกระโดดครั้งใหญ่ที่ห่างจากศูนย์ แต่ไม่เคยห่างออกไปไกลเกินไป วิถีการเปลี่ยนแปลงโดยทั่วไปจะมีลักษณะคล้ายกัน แต่การกระโดดจะสะสมเร็วกว่าการลดลง และลู่เข้าสู่ค่าอนันต์ วิถีการเปลี่ยนแปลงทั้งสองแบบนี้แสดงอยู่ในรูปภาพ ${\displaystyle S_{1},S_{2},...}$${\displaystyle V_{1},V_{2},...}$

ค่าโมเมนต์ของตัวอย่างที่มีอันดับต่ำกว่า 1 จะลู่เข้าสู่ศูนย์ ส่วนค่าโมเมนต์ของตัวอย่างที่มีอันดับสูงกว่า 2 จะลู่เข้าสู่ค่าอนันต์เร็วกว่าค่าความแปรปรวนของตัวอย่างเสียอีก

ถ้าการแจกแจงความน่าจะเป็นมีฟังก์ชันความหนาแน่น แล้วค่าเฉลี่ย (ถ้ามี) จะกำหนดโดย ${\displaystyle f(x)}$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx.}$$

1

เราสามารถประเมิน ค่าอินทิกรัลไม่เหมาะสมสองด้านนี้ได้โดยการคำนวณผลรวมของอินทิกรัลไม่เหมาะสมด้านเดียวสองตัว นั่นคือ

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{a}xf(x)\,dx+\int _{a}^{\infty }xf(x)\,dx}$$

2

สำหรับจำนวนจริงใดๆ ${\displaystyle a}$

เพื่อให้อินทิกรัลมีอยู่ (แม้จะเป็นค่าอนันต์) อย่างน้อยหนึ่งเทอมในผลรวมนี้ควรมีค่าจำกัด หรือทั้งสองเทอมควรมีค่าอนันต์และมีเครื่องหมายเดียวกัน แต่ในกรณีของการแจกแจงโคชี เทอมทั้งสองในผลรวมนี้ ( 2 ) มีค่าอนันต์และมีเครื่องหมายตรงข้าม ดังนั้น ( 1 ) จึงไม่สามารถนิยามได้ และด้วยเหตุนี้ค่าเฉลี่ยจึงไม่สามารถนิยามได้เช่นกัน^{[ 15 ]}เมื่อค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็น (PDF) ไม่สามารถนิยามได้ ไม่มีใครสามารถคำนวณค่าเฉลี่ยที่เชื่อถือได้จากจุดข้อมูลการทดลองได้ ไม่ว่าขนาดของตัวอย่างจะเป็นเท่าใดก็ตาม

โปรดทราบว่าค่าหลักของ Cauchyของค่าเฉลี่ยของการแจกแจง Cauchy คือ ซึ่งก็คือศูนย์ ในทางกลับกัน อินทิกรัลที่เกี่ยวข้อง ไม่ใช่ ศูนย์ ดังที่เห็นได้จากการคำนวณอินทิกรัล สิ่งนี้แสดงให้เห็นอีกครั้งว่าค่าเฉลี่ย ( 1 ) ไม่สามารถมีอยู่ได้ $${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}xf(x)\,dx}$$$${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-2a}^{a}xf(x)\,dx}$$

ผลลัพธ์ต่างๆ ในทฤษฎีความน่าจะเป็นเกี่ยวกับค่าที่คาดหวังเช่นกฎของจำนวนมากที่แข็งแกร่งไม่เป็นไปตามการแจกแจงโคชี^{[ 15 ]}

ช่วงเวลาสัมบูรณ์สำหรับนั้นถูกกำหนดไว้แล้ว เพราะเรามี ${\displaystyle p\in (-1,1)}$${\displaystyle X\sim \mathrm {Cauchy} (0,\gamma )}$$${\displaystyle \operatorname {E} [|X|^{p}]=\gamma ^{p}\mathrm {sec} (\pi p/2).}$$

การแจกแจงโคชีไม่มีโมเมนต์จำกัดในลำดับใดๆ อย่างไรก็ตามโมเมนต์ดิบ ระดับสูงบางส่วน มีอยู่จริงและมีค่าเป็นอนันต์ ตัวอย่างเช่น โมเมนต์ดิบอันดับสอง:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X^{2}]&\propto \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }1-{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }dx-\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }dx-\pi =\infty .\end{aligned}}}$$

เมื่อจัดเรียงสูตรใหม่ จะเห็นได้ว่าโมเมนต์ที่สองนั้นโดยพื้นฐานแล้วคือปริพันธ์อนันต์ของค่าคงที่ (ในที่นี้คือ 1) โมเมนต์ดิบที่มีเลขชี้กำลังคู่ที่สูงกว่าจะมีค่าเป็นอนันต์เช่นกัน อย่างไรก็ตาม โมเมนต์ดิบที่มีเลขชี้กำลังคี่นั้นไม่มีค่า ซึ่งแตกต่างอย่างชัดเจนจากการมีค่าเป็นอนันต์ โมเมนต์ดิบที่มีเลขชี้กำลังคี่ไม่มีค่าเนื่องจากค่าของมันโดยพื้นฐานแล้วเทียบเท่ากับเนื่องจากครึ่งทั้งสองของปริพันธ์ลู่เข้าและมีเครื่องหมายตรงข้ามกัน โมเมนต์ดิบตัวแรกคือค่าเฉลี่ย ซึ่งเนื่องจากเป็นจำนวนคี่ จึงไม่มีอยู่จริง (ดูการอธิบายข้างต้นเกี่ยวกับเรื่องนี้ด้วย) ซึ่งหมายความว่าโมเมนต์กลางและโมเมนต์มาตรฐาน ทั้งหมด ไม่มีค่า เนื่องจากทั้งหมดขึ้นอยู่กับค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน ซึ่งเป็นโมเมนต์กลางตัวที่สอง ก็ไม่มีอยู่จริงเช่นกัน (แม้ว่าโมเมนต์ดิบตัวที่สองจะมีค่าเป็นอนันต์ก็ตาม) ${\displaystyle \infty -\infty }$

ผลลัพธ์สำหรับโมเมนต์ที่สูงกว่านั้นได้มาจากอสมการของ Hölderซึ่งหมายความว่าโมเมนต์ที่สูงกว่า (หรือครึ่งหนึ่งของโมเมนต์) จะลู่เข้าสู่ค่าอนันต์หากโมเมนต์ที่ต่ำกว่าลู่เข้าสู่ค่าอนันต์

พิจารณาการแจกแจงแบบตัดทอนที่กำหนดโดยการจำกัดการแจกแจงโคชีมาตรฐานไว้ที่ช่วง[−10 ¹⁰⁰ , 10 ¹⁰⁰ ]การแจกแจงแบบตัดทอนดังกล่าวมีโมเมนต์ทั้งหมด (และทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางใช้ได้กับ การสังเกต แบบ iidจากการแจกแจงนี้) แต่ในทางปฏิบัติแล้ว การแจกแจงนี้มีพฤติกรรมเหมือนการแจกแจงโคชีเกือบทั้งหมด^{[ 16 ]}

• ถ้าเช่นนั้น^{[ 17 ]}${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0},\gamma )}$${\displaystyle kX+\ell \sim {\textrm {Cauchy}}(x_{0}k+\ell ,\gamma |k|)}$
• ถ้าและเป็นอิสระต่อกันแล้วและ${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0},\gamma _{0})}$${\displaystyle Y\sim \operatorname {Cauchy} (x_{1},\gamma _{1})}$${\displaystyle X+Y\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0}+x_{1},\gamma _{0}+\gamma _{1})}$${\displaystyle X-Y\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0}-x_{1},\gamma _{0}+\gamma _{1})}$
• ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (0,\gamma )}$${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Cauchy} (0,{\tfrac {1}{\gamma }})}$
• การกำหนดพารามิเตอร์ของ McCullagh ของการแจกแจง Cauchy : ^{[ 18 ]}การแสดงการแจกแจง Cauchy ในรูปของพารามิเตอร์เชิงซ้อนหนึ่งตัวกำหนดให้หมายถึงถ้าแล้ว: โดยที่, , และเป็นจำนวนจริง${\displaystyle \psi =x_{0}+i\gamma }$${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (\psi )}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0},|\gamma |)}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (\psi )}$$${\displaystyle {\frac {aX+b}{cX+d}}\sim \operatorname {Cauchy} \left({\frac {a\psi +b}{c\psi +d}}\right)}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$
• โดยใช้ธรรมเนียมเดียวกันกับข้างต้น ถ้าเช่นนั้น: ^{[ 18 ]}โดยที่คือ การกระจายแบบโค ชีวงกลม${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (\psi )}$$${\displaystyle {\frac {X-i}{X+i}}\sim \operatorname {CCauchy} \left({\frac {\psi -i}{\psi +i}}\right)}$$${\displaystyle \operatorname {CCauchy} }$

เนื่องจากพารามิเตอร์ของการแจกแจงโคชีไม่สอดคล้องกับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน การพยายามประมาณค่าพารามิเตอร์ของการแจกแจงโคชีโดยใช้ค่าเฉลี่ยตัวอย่างและความแปรปรวนตัวอย่างจะไม่ประสบความสำเร็จ^{[ 19 ]}ตัวอย่างเช่น หากสุ่มตัวอย่าง iid ขนาดnจากการแจกแจงโคชี เราสามารถคำนวณค่าเฉลี่ยตัวอย่างได้ดังนี้:

$${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$$

แม้ว่าค่าตัวอย่างจะกระจุกตัวอยู่รอบค่ากลางแต่ค่าเฉลี่ยของตัวอย่างจะมีความแปรปรวนมากขึ้นเมื่อมีการเก็บข้อมูลมากขึ้น เนื่องจากความน่าจะเป็นที่จะพบจุดตัวอย่างที่มีค่าสัมบูรณ์มากจะเพิ่มขึ้น ที่จริงแล้ว การกระจายตัวของค่าเฉลี่ยของตัวอย่างจะเท่ากับการกระจายตัวของค่าที่สังเกตได้เอง กล่าวคือ ค่าเฉลี่ยของตัวอย่างขนาดใหญ่ไม่ได้ดีกว่า (หรือแย่กว่า) ค่าที่สังเกตได้เพียงค่าเดียวจากตัวอย่างนั้น ในทำนองเดียวกัน การคำนวณความแปรปรวนของตัวอย่างจะให้ค่าที่มากขึ้นเมื่อมีการเก็บข้อมูลมากขึ้น ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$

ดังนั้น จึงจำเป็นต้องมีวิธีการที่แข็งแกร่งกว่าในการประมาณค่าศูนย์กลางและพารามิเตอร์การปรับขนาด วิธีง่ายๆ วิธีหนึ่งคือการใช้ค่ามัธยฐานของตัวอย่างเป็นตัวประมาณค่าของ และใช้ครึ่งหนึ่งของช่วงควอไทล์ ของตัวอย่าง เป็นตัวประมาณค่าของนอกจากนี้ยังมีการพัฒนาวิธีการที่แม่นยำและแข็งแกร่งกว่าอื่นๆ อีกด้วย^{[ 20 ] [ 21 ]} ตัวอย่างเช่นค่าเฉลี่ยที่ถูกตัดทอนของสถิติลำดับ ตัวอย่าง 24% ตรงกลาง จะให้ค่าประมาณของที่มีประสิทธิภาพมากกว่าการใช้ค่ามัธยฐานของตัวอย่างหรือค่าเฉลี่ยของตัวอย่างทั้งหมด^{[ 22 ] [ 23 ]}อย่างไรก็ตาม เนื่องจากหางที่หนาของการกระจายแบบโคชี ประสิทธิภาพของตัวประมาณค่าจะลดลงหากใช้ตัวอย่างมากกว่า 24% ^{[ 22 ] [ 23 ]}${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle x_{0}}$

อีกวิธีง่ายๆ คือการพิจารณาค่าเฉลี่ยเลขคณิตกึ่ง เชิงซ้อน ของตัวอย่าง ให้ โดย ที่เป็นตัวสร้างค่าเฉลี่ยเลขคณิตกึ่งเชิงซ้อน ถ้าแล้วจะเป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตเชิงซ้อนและถ้า แล้วจะเป็นค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกเชิงซ้อน เป็นตัวประมาณค่าแบบ ปิดที่ไม่เอนเอียง และ สอดคล้องกันอย่างแข็งแกร่งสำหรับพารามิเตอร์ตำแหน่งและมาตราส่วนร่วมกันภายใต้ การกำหนดพารามิเตอร์ของ McCullagh ของการแจกแจง Cauchy [ ^{24 ] [ 25 ] ทฤษฎีบท} ขีดจำกัดกลางและประสิทธิภาพของ Bahadur ก็ใช้ได้กับ เช่นกัน $${\displaystyle \theta _{n}=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\right),}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)=\log(x+\alpha ),\alpha \in {\overline {\mathbb {H} }}}$${\displaystyle \theta _{n}}$${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x_{i}+\alpha )^{1/n}}$${\displaystyle f(x)=1/(x+\alpha ),\alpha \in \mathbb {H} }$${\displaystyle \theta _{n}}$${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}/(x_{i}+\alpha )}{\sum _{i=1}^{n}1/(x_{i}+\alpha )}}}$${\displaystyle (\theta _{n})_{n}}$${\displaystyle (\theta _{n})_{n}}$

ความน่าจะเป็นสูงสุดยังสามารถใช้ในการประมาณค่าพารามิเตอร์และได้ อย่างไรก็ตาม วิธีนี้มักจะซับซ้อนขึ้นเนื่องจากต้องหาค่ารากของพหุนามดีกรีสูง และอาจมีรากหลายรากที่แสดงถึงค่าสูงสุดเฉพาะที่^{[ 26 ]}นอกจากนี้ แม้ว่าตัวประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดจะมีประสิทธิภาพในเชิงอะซิมโทติก แต่ก็ค่อนข้างไม่มีประสิทธิภาพสำหรับตัวอย่างขนาดเล็ก^{[ 27 ] [ 28 ]} ฟังก์ชันลอการิทึมความน่าจะเป็นสำหรับการกระจายโคชีสำหรับขนาดตัวอย่างคือ: ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \ell (x_{1},\dotsc ,x_{n}\mid \!x_{0},\gamma )=-n\log(\gamma \pi )-\sum _{i=1}^{n}\log \left(1+\left({\frac {x_{i}-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right)}$$

$${\displaystyle \qquad \qquad =-n\log(\pi )+n\log(\gamma )-\sum _{i=1}^{n}\log \left(\gamma ^{2}+\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}\right).}$$

การหาค่าสูงสุดของฟังก์ชันความน่าจะเป็นล็อกโดยเทียบกับและโดยการหาอนุพันธ์อันดับแรก จะได้ระบบสมการต่อไปนี้: ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle {\frac {\partial \ell }{\partial x_{0}}}=-\sum _{i=1}^{n}{\frac {2(x_{i}-x_{0})}{\gamma ^{2}+\left(x_{i}-\!x_{0}\right)^{2}}}=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial \ell }{\partial \gamma }}={\frac {n}{\gamma }}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {2\gamma }{\gamma ^{2}+\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}}=0}$$

โปรดทราบว่า

$${\displaystyle {\frac {n}{\gamma }}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {2\gamma }{\gamma ^{2}+\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}}=0}$$

เทียบเท่ากับ

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}{\gamma ^{2}+\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}}={\frac {n}{2}}}$$

และนั่น

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}{\gamma ^{2}+\left(x_{i}-x_{0}\right)^{2}}}}$$

เป็นฟังก์ชันเอกภาคในและคำตอบต้องเป็นไปตาม เงื่อนไขนั้น${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \min |x_{i}-x_{0}|\leq \gamma \leq \max |x_{i}-x_{0}|.}$$

การแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับต้องใช้การแก้พหุนามดีกรี[ ^{26 ]}และการแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับต้องใช้การแก้พหุนามดีกรีดังนั้น ไม่ว่าจะแก้ปัญหาสำหรับพารามิเตอร์ตัวเดียวหรือทั้งสองพารามิเตอร์พร้อมกัน โดย ทั่วไปแล้วจำเป็นต้อง ^ใช้ วิธีแก้ปัญหา เชิงตัวเลขบนคอมพิวเตอร์ ประโยชน์ของการประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดคือประสิทธิภาพเชิงอะซิมโทติก การประมาณค่าโดยใช้ค่ามัธยฐานของตัวอย่างมีประสิทธิภาพเชิงอะซิมโทติกเพียงประมาณ 81% เมื่อเทียบกับการประมาณ ค่า โดยความน่าจะเป็นสูงสุด^{[ 23 ] [ 29 ]}ค่าเฉลี่ยตัวอย่างที่ถูกตัดทอนโดยใช้สถิติลำดับกลาง 24% มีประสิทธิภาพเชิงอะซิมโทติกประมาณ 88% เมื่อเทียบกับ การประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุด^{[ 23 ]}เมื่อ ใช้ วิธีของนิวตันเพื่อหาคำตอบสำหรับการประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุด สถิติลำดับกลาง 24% สามารถใช้เป็นคำตอบเริ่มต้นสำหรับได้ ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle 2n-1}$${\displaystyle \,\!\gamma }$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$

สามารถประมาณรูปร่างได้โดยใช้ค่ามัธยฐานของค่าสัมบูรณ์ เนื่องจากสำหรับตำแหน่งที่ 0 ตัวแปรโคชีพารามิเตอร์ รูปร่าง${\displaystyle X\sim \mathrm {Cauchy} (0,\gamma )}$${\displaystyle \operatorname {median} (|X|)=\gamma }$

• ${\displaystyle \operatorname {Cauchy} (0,1)\sim {\textrm {t}}(\mathrm {df} =1)\,}$การแจกแจงtของนักเรียน
• ${\displaystyle \operatorname {Cauchy} (\mu ,\sigma )\sim {\textrm {t}}_{(\mathrm {df} =1)}(\mu ,\sigma )\,}$การแจกแจงtของนักเรียนที่ไม่เป็นมาตรฐาน
• ถ้าเป็นอิสระแล้ว${\displaystyle X,Y\sim {\textrm {N}}(0,1)\,X,Y}$${\displaystyle {\tfrac {X}{Y}}\sim {\textrm {Cauchy}}(0,1)\,}$
• ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle X\sim {\textrm {U}}(0,1)\,}$${\displaystyle \tan \left(\pi \left(X-{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\sim {\textrm {Cauchy}}(0,1)\,}$
• ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle X\sim \operatorname {Log-Cauchy} (0,1)}$${\displaystyle \ln(X)\sim {\textrm {Cauchy}}(0,1)}$
• ถ้า เช่นนั้น${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (x_{0},\gamma )}$${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Cauchy} \left({\tfrac {x_{0}}{x_{0}^{2}+\gamma ^{2}}},{\tfrac {\gamma }{x_{0}^{2}+\gamma ^{2}}}\right)}$
• การแจกแจงโคชีเป็นกรณีจำกัดของการแจกแจงเพียร์สันประเภทที่ 4
• การแจกแจงโคชีเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงเพียร์สันประเภท 7 ^{[ 1 ]}
• การแจกแจงโคชีเป็นการแจกแจงแบบเสถียรกล่าวคือ ถ้าแล้ว${\displaystyle X\sim {\textrm {Stable}}(1,0,\gamma ,\mu )}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (\mu ,\gamma )}$
• การแจกแจงโคชีเป็นการแจกแจงแบบเอกฐานของการแจกแจงไฮเปอร์โบลิก
• การแจกแจงโคชีแบบวนรอบ (wrapped Cauchy distribution)ซึ่งมีค่าอยู่บนวงกลม ได้มาจากการแจกแจงโคชีโดยการวนรอบวงกลม
• ถ้า, , แล้ว. สำหรับการแจกแจงแบบครึ่งโคชี ความสัมพันธ์จะเป็นจริงโดยการตั้งค่า.${\displaystyle X\sim {\textrm {N}}(0,1)}$${\displaystyle Z\sim \operatorname {Inverse-Gamma} (1/2,s^{2}/2)}$${\displaystyle Y=\mu +X{\sqrt {Z}}\sim \operatorname {Cauchy} (\mu ,s)}$${\displaystyle X\sim {\textrm {N}}(0,1)I\{X\geq 0\}}$

การแจกแจงโคชีเป็นการแจกแจงเสถียรที่มีดัชนี 1 การแสดงแทนแบบเลวี-คินชินของการแจกแจงเสถียรดังกล่าวสำหรับพารามิเตอร์ 1 มีดังนี้: ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle X\sim \operatorname {Stable} (\gamma ,0,0)\,}$

$${\displaystyle \operatorname {E} \left(e^{ixX}\right)=\exp \left(\int _{\mathbb {R} }(e^{ixy}-1)\Pi _{\gamma }(dy)\right)}$$

ที่ไหน

$${\displaystyle \Pi _{\gamma }(dy)=\left(c_{1,\gamma }{\frac {1}{y^{1+\gamma }}}1_{\left\{y>0\right\}}+c_{2,\gamma }{\frac {1}{|y|^{1+\gamma }}}1_{\left\{y<0\right\}}\right)\,dy}$$

และสามารถแสดงออกมาได้อย่างชัดเจน^{[ 30 ]}ในกรณีของการแจกแจงโคชี จะมี ${\displaystyle c_{1,\gamma },c_{2,\gamma }}$${\displaystyle \gamma =1}$${\displaystyle c_{1,\gamma }=c_{2,\gamma }}$

การแสดงผลครั้งสุดท้ายนี้เป็นผลมาจากสูตร

$${\displaystyle \pi |x|=\operatorname {PV} \int _{\mathbb {R} \smallsetminus \lbrace 0\rbrace }(1-e^{ixy})\,{\frac {dy}{y^{2}}}}$$

เวกเตอร์สุ่ม จะเรียกว่ามีการแจกแจงโคชีแบบหลายตัวแปร ถ้าการรวมเชิงเส้นทุกส่วนของเวกเตอร์สุ่มนั้นมีการแจกแจงโคชี นั่นคือ สำหรับเวกเตอร์คงที่ใดๆตัวแปรสุ่มควรมีการแจกแจงโคชีแบบตัวแปรเดียว^{[ 31 ]} ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของการแจกแจงโคชีแบบหลายตัวแปรมีดังนี้: ${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{k})^{T}}$${\displaystyle Y=a_{1}X_{1}+\cdots +a_{k}X_{k}}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle Y=a^{T}X}$

$${\displaystyle \varphi _{X}(t)=e^{ix_{0}(t)-\gamma (t)},\!}$$

โดยที่และเป็นฟังก์ชันจริงที่มีฟังก์ชันเอกพันธุ์ดีกรีหนึ่งและฟังก์ชันเอกพันธุ์บวกดีกรีหนึ่ง^{[ 31 ]} อย่างเป็นทางการมากขึ้น: ^{[ 31 ]}${\displaystyle x_{0}(t)}$${\displaystyle \gamma (t)}$${\displaystyle x_{0}(t)}$${\displaystyle \gamma (t)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}(at)&=ax_{0}(t),\\\gamma (at)&=|a|\gamma (t),\end{aligned}}}$$

สำหรับทุกคน ${\displaystyle t}$

ตัวอย่างของการแจกแจงโคชีแบบสองตัวแปรสามารถแสดงได้ดังนี้: ^{[ 32 ]} โปรดทราบว่าในตัวอย่างนี้ แม้ว่าค่าความแปรปรวนร่วมระหว่างและจะเป็น 0 แต่และก็ไม่ได้เป็นอิสระทางสถิติ^{[ 32 ]}$${\displaystyle f(x,y;x_{0},y_{0},\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\,{\frac {\gamma }{{\left({\left(x-x_{0}\right)}^{2}+{\left(y-y_{0}\right)}^{2}+\gamma ^{2}\right)}^{3/2}}}.}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

เราสามารถเขียนสูตรนี้สำหรับตัวแปรเชิงซ้อนได้เช่นกัน จากนั้นฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของโคชีเชิงซ้อนจะเป็นดังนี้:

$${\displaystyle f(z;z_{0},\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\,{\frac {\gamma }{{\left({\left|z-z_{0}\right|}^{2}+\gamma ^{2}\right)}^{3/2}}}.}$$

เช่นเดียวกับที่การแจกแจงโคชีมาตรฐานคือการแจกแจงทีของนักเรียนที่มีหนึ่งองศาอิสระ การแจกแจงความหนาแน่นโคชีแบบหลายมิติก็คือการแจกแจงนักเรียนแบบหลายตัวแปร ที่มีหนึ่งองศาอิสระ ความหนาแน่นของการแจกแจงนักเรียนแบบหลายมิติที่มีหนึ่งองศาอิสระคือ: ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle f(\mathbf {x} ;{\boldsymbol {\mu }},\mathbf {\Sigma } ,k)={\frac {\Gamma {\left({\frac {1+k}{2}}\right)}}{\Gamma ({\frac {1}{2}})\pi ^{\frac {k}{2}}\left|\mathbf {\Sigma } \right|^{\frac {1}{2}}\left[1+({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})^{\mathsf {T}}{\mathbf {\Sigma } }^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})\right]^{\frac {1+k}{2}}}}.}$$

คุณสมบัติของการแจกแจงโคชีแบบหลายมิติ จึงเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงสตูเดนต์แบบหลายตัวแปร

• ในสเปกโทรสโกปี การกระจายแบบคอชีอธิบายรูปร่างของเส้นสเปกตรัมซึ่งอยู่ภายใต้การขยายตัวแบบเอกพันธุ์ซึ่งอะตอมทั้งหมดมีปฏิสัมพันธ์ในลักษณะเดียวกันกับช่วงความถี่ที่อยู่ในรูปร่างเส้น กลไกหลายอย่างทำให้เกิดการขยายตัวแบบเอกพันธุ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการขยายตัวจากการชน^{[ 33 ]}การขยายตัวตามอายุหรือการขยายตัวตามธรรมชาติยังทำให้เกิดรูปร่างเส้นที่อธิบายโดยการกระจายแบบคอชี
• การประยุกต์ใช้การแจกแจงโคชีหรือการแปลงของมันสามารถพบได้ในสาขาที่เกี่ยวข้องกับการเติบโตแบบเลขชี้กำลังบทความปี 1958 โดยไวท์^{[ 34 ]}ได้กำหนดสถิติการทดสอบสำหรับตัวประมาณค่าของสมการและเมื่อพบตัวประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดโดยใช้กำลังสองน้อยที่สุดแบบธรรมดา แสดงให้เห็นว่าการแจกแจงการสุ่มตัวอย่างของสถิติคือการแจกแจงโคชี${\displaystyle {\hat {\beta }}}$${\displaystyle x_{t+1}=\beta {x}_{t}+\varepsilon _{t+1},\beta >1}$
• การกระจายแบบ Cauchy มักเป็นการกระจายของการสังเกตสำหรับวัตถุที่กำลังหมุน การอ้างอิงแบบคลาสสิกสำหรับเรื่องนี้เรียกว่าปัญหาประภาคารของ Gull ^{[ 35 ]}และดังที่กล่าวไว้ในส่วนข้างต้นว่าเป็นการกระจายแบบ Breit–Wigner ในฟิสิกส์อนุภาค
• ในทางอุทกวิทยาการแจกแจงแบบโคชี (Cauchy distribution) ถูกนำมาใช้กับเหตุการณ์สุดขั้ว เช่น ปริมาณน้ำฝนสูงสุดในหนึ่งวันต่อปี และปริมาณน้ำไหลของแม่น้ำ ภาพสีฟ้าแสดงตัวอย่างการปรับการแจกแจงแบบโคชีให้เข้ากับปริมาณน้ำฝนสูงสุดในหนึ่งวันรายเดือนที่เรียงลำดับแล้ว โดยแสดงแถบความเชื่อมั่น 90% ตามการแจกแจงแบบทวินามด้วยข้อมูลปริมาณน้ำฝนแสดงโดย การพล็ อตตำแหน่งเป็นส่วนหนึ่งของการวิเคราะห์ความถี่สะสม
• ตามแบบจำลองของลอเรนซ์นิพจน์สำหรับส่วนจินตภาพของค่าสภาพยอมทางไฟฟ้า เชิงซ้อนคือการกระจายแบบโคชี
• ในฐานะการกระจายเพิ่มเติมเพื่อสร้างแบบจำลองหางอ้วนในด้านการเงินเชิงคำนวณ การกระจายแบบ Cauchy สามารถใช้เพื่อสร้างแบบจำลอง VAR ( ^{มูลค่า}ความเสี่ยง ) ซึ่งสร้างความน่าจะเป็นของความเสี่ยงสุดขั้วได้มากกว่าการกระจายแบบ Gaussian มาก [ ^{36 ]}

ใน ฟิสิกส์ นิวเคลียร์และอนุภาคโปรไฟล์พลังงานของเรโซแนนซ์อธิบายโดยการกระจาย Breit–Wigner แบบสัม พัทธภาพ ในขณะที่การกระจาย Cauchy คือการกระจาย Breit–Wigner (แบบไม่สัมพัทธภาพ) ^{[ 37 ]}

ฟังก์ชันที่มีรูปแบบเหมือนฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงโคชีได้รับการศึกษาทางเรขาคณิตโดยแฟร์มาต์ในปี 1659 และต่อมาเป็นที่รู้จักในชื่อแม่มดแห่งอักเนซีหลังจากที่มาเรีย กาเอตานา อักเนซีรวมไว้เป็นตัวอย่างในตำราแคลคูลัสของเธอในปี 1748 แม้จะมีชื่อเช่นนั้น แต่การวิเคราะห์คุณสมบัติของการแจกแจงโคชีอย่างชัดเจนครั้งแรกได้รับการตีพิมพ์โดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสปัวซงในปี 1824 โดยโคชีเพิ่งเข้ามาเกี่ยวข้องกับเรื่องนี้ในช่วงที่มีการโต้แย้งทางวิชาการในปี 1853 ^{[ 38 ]}ปัวซงตั้งข้อสังเกตว่าหากนำค่าเฉลี่ยของการสังเกตตามการแจกแจงดังกล่าวมา ใช้ ค่า เบี่ยงเบนมาตรฐานจะไม่ลู่เข้าสู่จำนวนจำกัดใดๆ ดังนั้น การใช้ ทฤษฎีบทลิมิตกลางของลาปลาซกับการแจกแจงดังกล่าวจึงไม่เหมาะสม เนื่องจากถือว่ามีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนที่จำกัด อย่างไรก็ตาม ปัวซงไม่ได้มองว่าประเด็นนี้สำคัญ ตรงกันข้ามกับบีเนเมที่คิดว่าการพิจารณาการกระจายตัวแบบนั้นไม่สมจริง และได้โต้แย้งกับโคชีในเรื่องนี้เป็นเวลานาน

• เที่ยวบินเลวีและกระบวนการเลวี
• การแจกแจงลาปลาสการแปลงฟูริเยร์ของการแจกแจงโคชี
• กระบวนการโคชี
• กระบวนการที่เสถียร
• การแจกจ่ายแบบสแลช
• การจัดจำหน่ายของมอฟแฟต

• "การแจกแจงแบบโคชี" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• การใช้งานครั้งแรก: ข้อมูลเกี่ยวกับลำดับการแจกแจงของ Cauchy มีข้อมูลทางประวัติศาสตร์อยู่บ้าง
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "การแจกแจงโคชี" . MathWorld .
• คู่มืออ้างอิงห้องสมุดวิทยาศาสตร์ GNU – GNU Scientific Library
• อัตราส่วนของตัวแปรปกติ โดย จอร์จ มาร์ซาเกลีย