ในทางสถิติ ค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์มัธยฐาน ( MAD ) หรือเรียกอีกอย่างว่าค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์มัธยฐานจากมัธยฐาน ( MADFM ) เป็นมาตรวัดความแปรปรวนที่แข็งแกร่งหรือทนต่อค่า ผิดปกติ ของตัวอย่างข้อมูลเชิง ปริมาณ แบบตัวแปรเดียวสำหรับชุดข้อมูลแบบตัวแปรเดียวX ₁ ,  X ₂ , ...,  X _nค่า MAD ถูกกำหนดให้เป็นค่ามัธยฐานของ ค่า เบี่ยงเบนสัมบูรณ์จากมัธยฐานของข้อมูลนอกจากนี้ยังสามารถหมายถึงพารามิเตอร์ของประชากรที่ประมาณค่าโดย MAD ที่คำนวณจากตัวอย่างได้อีก ด้วย ^{[ 1 ]}${\displaystyle \operatorname {MAD} =\operatorname {median} (|X_{i}-{\tilde {X}}|)}$

พิจารณาข้อมูล (1, 1, 2, 2 , 4, 6, 9) ค่ามัธยฐานของข้อมูลนี้คือ 2 ค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์รอบ 2 คือ (1, 1, 0, 0, 2, 4, 7) ซึ่งมีค่ามัธยฐานเท่ากับ 1 (เนื่องจากค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ที่เรียงลำดับแล้วคือ (0, 0, 1, 1 , 2, 4, 7)) ดังนั้น ค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์มัธยฐานของข้อมูลนี้คือ 1

ค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์มัธยฐาน (MAD) เป็นมาตรวัดการกระจายตัวทางสถิติยิ่งไปกว่านั้น MAD ยังเป็นสถิติที่แข็งแกร่งมีความทนทานต่อค่าผิดปกติในชุดข้อมูลมากกว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานในค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ระยะห่างจากค่าเฉลี่ยจะถูกยกกำลังสอง ดังนั้นค่าเบี่ยงเบนขนาดใหญ่จึงมีน้ำหนักมากกว่า และค่าผิดปกติจึงส่งผลกระทบอย่างมากต่อค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน แต่ใน MAD ค่าเบี่ยงเบนจากค่าผิดปกติจำนวนน้อยนั้นไม่มีนัยสำคัญ

เนื่องจาก MAD เป็นตัวประมาณขนาดที่แม่นยำกว่าความแปรปรวนหรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของตัวอย่าง จึงใช้งานได้ดีกว่ากับข้อมูลที่ไม่มีค่าเฉลี่ยหรือความแปรปรวน เช่นการแจกแจงแบบโคชี

ค่า MAD สามารถนำมาใช้ได้ในลักษณะเดียวกับการใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานในการหาค่าเฉลี่ย เพื่อให้สามารถใช้ค่า MAD เป็นตัวประมาณค่าที่สอดคล้องกันสำหรับการประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานได้ นั้น จะต้องพิจารณา... ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}=k\cdot \operatorname {MAD} ,}$

โดยที่เป็นปัจจัยมาตราส่วน คง ที่ ซึ่งขึ้นอยู่กับการกระจาย^{[ 2 ]}${\displaystyle k}$

สำหรับข้อมูลที่มีการกระจายแบบปกติจะถือว่าเป็น ${\displaystyle k}$

${\displaystyle k=1/\left(\Phi ^{-1}(3/4)\right)\approx 1/0.67449\approx 1.4826,}$

กล่าวคือส่วนกลับของฟังก์ชันควอนไทล์ (หรือที่รู้จักกันในชื่อฟังก์ชันการกระจายสะสมผกผัน ) สำหรับการกระจายปกติมาตรฐาน^{[ 3 ] [ 4 ]}${\displaystyle \Phi ^{-1}}$${\displaystyle Z=(X-\mu )/\sigma }$

ค่าอาร์กิวเมนต์ 3/4 นั้น ครอบคลุม 50% (ระหว่าง 0.25 ถึง 0.75) ของ ฟังก์ชันการกระจายสะสมแบบปกติมาตรฐานกล่าวคือ ${\displaystyle \pm \operatorname {MAD} }$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}=P(|X-\mu |\leq \operatorname {MAD} )=P\left(\left|{\frac {X-\mu }{\sigma }}\right|\leq {\frac {\operatorname {MAD} }{\sigma }}\right)=P\left(|Z|\leq {\frac {\operatorname {MAD} }{\sigma }}\right).}$

ดังนั้น เราจึงต้องมีสิ่งนั้น

${\displaystyle \Phi \left(\operatorname {MAD} /\sigma \right)-\Phi \left(-\operatorname {MAD} /\sigma \right)=1/2.}$

สังเกตเห็นว่า

${\displaystyle \Phi \left(-\operatorname {MAD} /\sigma \right)=1-\Phi \left(\operatorname {MAD} /\sigma \right),}$

เรามีสิ่งนั้น ซึ่งทำให้เราได้ ตัวประกอบ มาตราส่วน${\displaystyle \operatorname {MAD} /\sigma =\Phi ^{-1}(3/4)=0.67449}$${\displaystyle k=1/\พี ^{-1}(3/4)=1.4826}$

อีกวิธีหนึ่งในการสร้างความสัมพันธ์นี้คือ การสังเกตว่า MAD เท่ากับ ค่ามัธยฐาน ของการกระจายแบบปกติครึ่งหนึ่ง :

${\displaystyle \operatorname {MAD} =\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(1/2)\approx 0.67449\sigma .}$

รูปแบบนี้ใช้ในกรณี เช่นข้อผิดพลาดที่อาจเกิดขึ้น

ในกรณีของค่าเชิงซ้อน ( X + iY )ความสัมพันธ์ระหว่าง MAD กับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะไม่เปลี่ยนแปลงสำหรับข้อมูลที่มีการกระจายแบบปกติ

ในทำนองเดียวกันกับที่ค่ามัธยฐานสามารถขยายไปสู่ค่ามัธยฐานทางเรขาคณิต (GM) ในข้อมูลหลายตัวแปร MAD สามารถขยายไปสู่ค่ามัธยฐานของระยะทางไปยัง GM (MADGM) ใน มิติ nได้ โดยการแทนที่ความแตกต่างสัมบูรณ์ในมิติเดียวด้วยระยะทางแบบยุคลิดระหว่างจุดข้อมูลและค่ามัธยฐานทางเรขาคณิตในมิติn ^{[ 5 ]}ซึ่งให้ผลลัพธ์ที่เหมือนกับ MAD แบบตัวแปรเดียวในมิติเดียวและสามารถขยายไปสู่จำนวนมิติใดๆ ก็ได้ MADGM จำเป็นต้องค้นหาค่ามัธยฐานทางเรขาคณิต ซึ่งทำได้โดยกระบวนการวนซ้ำ

ค่า MAD ของประชากรถูกกำหนดในลักษณะเดียวกันกับค่า MAD ของกลุ่มตัวอย่าง แต่จะพิจารณาจากประชากรทั้งหมดแทนที่จะเป็นกลุ่มตัวอย่าง สำหรับการแจกแจงแบบสมมาตรที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ ค่า MAD ของประชากรคือเปอร์เซ็นไทล์ ที่ 75 ของการแจกแจงนั้น

ต่างจากค่าความแปรปรวนซึ่งอาจเป็นอนันต์หรือหาค่าไม่ได้ ค่า MAD ของประชากรจะเป็นจำนวนจำกัดเสมอ ตัวอย่างเช่นการแจกแจงแบบโคชี มาตรฐาน มีค่าความแปรปรวนที่หาค่าไม่ได้ แต่ค่า MAD ของมันคือ 1

การกล่าวถึงแนวคิดของ MAD ครั้งแรกสุดเท่าที่ทราบเกิดขึ้นในปี พ.ศ. 2359 ในบทความของCarl Friedrich Gaussเกี่ยวกับการกำหนดความแม่นยำของการสังเกตเชิงตัวเลข^{[ 6 ] [ 7 ]}

• ค่าเบี่ยงเบน (สถิติ)
• ช่วงควาร์ไทล์
• ข้อผิดพลาดที่อาจเกิดขึ้น
• มาตรวัดขนาดที่แข็งแกร่ง
• ความแตกต่างสัมบูรณ์เฉลี่ยสัมพัทธ์
• ค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์เฉลี่ย
• ค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์น้อยที่สุด