การกระจายแบบครึ่งปกติ
ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น ${\displaystyle \sigma =1}$
ฟังก์ชันการกระจายสะสม ${\displaystyle \sigma =1}$
พารามิเตอร์	${\displaystyle \sigma >0}$- ( มาตราส่วน )
สนับสนุน	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
พีดี	${\displaystyle f(x;\sigma )={\frac {\sqrt {2}}{\sigma {\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\quad x>0}$
ซีดีเอฟ	${\displaystyle F(x;\sigma )=\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)}$
ควอนไทล์	${\displaystyle Q(F;\sigma )=\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(F)}$
หมายถึง	${\displaystyle {\frac {\sigma {\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.797885\sigma }$
ค่ามัธยฐาน	${\displaystyle \sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(1/2)\approx 0.674490\sigma }$
โหมด	${\displaystyle 0}$
ความแปรปรวน	${\displaystyle \sigma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\pi }}\right)}$
ความเบี่ยงเบน	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}(4-\pi )}{(\pi -2)^{3/2}}}\approx 0.9952717}$
ความโค้งส่วนเกิน	${\displaystyle {\frac {8(\pi -3)}{(\pi -2)^{2}}}\approx 0.869177}$
เอนโทรปี	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log _{2}\left(2\pi e\sigma ^{2}\right)-1}$
เอ็มจีเอฟ	${\displaystyle \exp \left({\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)\operatorname {erfc} \left(-{\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)}$
ซีเอฟ	${\displaystyle w\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)}$ฟังก์ชัน Faddeevaอยู่ที่ไหน${\displaystyle w(x)}$

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติการแจกแจงแบบครึ่งปกติ (half-normal distribution)เป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงแบบปกติพับ (folded normal distribution )

ให้ เป็นไปตามการ แจกแจงปกติธรรมดาแล้วจะเป็นไปตามการแจกแจงครึ่งปกติ ดังนั้น การแจกแจงครึ่งปกติจึงเป็นการพับที่ค่าเฉลี่ยของการแจกแจงปกติธรรมดาที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ ${\displaystyle X}$${\displaystyle N(0,\sigma ^{2})}$${\displaystyle Y=|X|}$

โดยใช้การกำหนดพารามิเตอร์ของการแจกแจงปกติฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (PDF) ของการแจกแจงครึ่งปกติจะกำหนดโดย ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle f_{Y}(y;\sigma )={\frac {\sqrt {2}}{\sigma {\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\quad y\geq 0,}$

ที่ไหน. ${\displaystyle E[Y]=\mu ={\frac {\sigma {\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi }}}}$

หรืออีกวิธีหนึ่งคือการใช้พารามิเตอร์ความแม่นยำแบบปรับขนาด (ส่วนกลับของความแปรปรวน) (เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาหากค่าใกล้ศูนย์) ซึ่งได้จากการตั้งค่าฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นจะกำหนดโดย ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \theta ={\frac {\sqrt {\pi }}{\sigma {\sqrt {2}}}}}$

${\displaystyle f_{Y}(y;\theta )={\frac {2\theta }{\pi }}\exp \left(-{\frac {y^{2}\theta ^{2}}{\pi }}\right)\quad y\geq 0,}$

ที่ไหน. ${\displaystyle E[Y]=\mu ={\frac {1}{\theta }}}$

ฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) กำหนดโดย

${\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )=\int _{0}^{y}{\frac {1}{\sigma }}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,dx}$

เมื่อใช้การเปลี่ยนตัวแปร ฟังก์ชันการกระจายสะสม(CDF) สามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle z=x/({\sqrt {2}}\sigma )}$

${\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,\int _{0}^{y/({\sqrt {2}}\sigma )}\exp \left(-z^{2}\right)dz=\operatorname {erf} \left({\frac {y}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),}$

โดยที่ erf คือฟังก์ชันแสดงข้อผิดพลาดซึ่งเป็นฟังก์ชันมาตรฐานในโปรแกรมทางคณิตศาสตร์หลายโปรแกรม

ฟังก์ชันควอนไทล์ (หรือฟังก์ชันการกระจายสะสมผกผัน) เขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle Q(F;\sigma )=\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(F)}$

โดยที่และคือฟังก์ชันข้อผิดพลาดผกผัน${\displaystyle 0\leq F\leq 1}$${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}}$

ค่าคาดหวังจึงกำหนดโดย

${\displaystyle E[Y]=\sigma {\sqrt {2/\pi }},}$

ค่าความแปรปรวนกำหนดโดย

${\displaystyle \operatorname {var} (Y)=\sigma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\pi }}\right).}$

เนื่องจากค่านี้เป็นสัดส่วนกับความแปรปรวน σ² ^ของ X ดังนั้น σ จึงสามารถมองได้ว่าเป็นพารามิเตอร์มาตราส่วนของการแจกแจงใหม่

เอนโทรปีเชิงอนุพันธ์ของการแจกแจงแบบครึ่งปกติมีค่าน้อยกว่าเอนโทรปีเชิงอนุพันธ์ของการแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และมีโมเมนต์อันดับสองรอบ 0 เท่ากันอยู่หนึ่งบิตพอดี สามารถเข้าใจได้โดยสัญชาตญาณ เนื่องจากตัวดำเนินการขนาดจะลดข้อมูลลงหนึ่งบิต (หากการแจกแจงความน่าจะเป็นที่ป้อนเข้ามาเป็นเลขคู่) หรืออีกทางหนึ่ง เนื่องจาก1การแจกแจงแบบครึ่งปกติมีค่าเป็นบวกเสมอ บิตหนึ่งบิตที่ใช้ในการบันทึกว่าตัวแปรสุ่มแบบปกติมาตรฐานมีค่าเป็นบวก (เช่น 1) หรือลบ (เช่น 0) จึงไม่จำเป็นอีกต่อไป ดังนั้น

${\displaystyle h(Y)={\frac {1}{2}}\log _{2}\left({\frac {\pi e\sigma ^{2}}{2}}\right)={\frac {1}{2}}\log _{2}\left(2\pi e\sigma ^{2}\right)-1.}$

การแจกแจงแบบครึ่งปกติมักใช้เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นล่วงหน้าสำหรับพารามิเตอร์ความแปรปรวน ใน การประยุกต์ใช้การอนุมานแบบเบย์เซียน^{[ 1 ] [ 2 ]}

เมื่อกำหนดตัวเลขที่สุ่มมาจากการแจกแจงแบบครึ่งปกติแล้ว พารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่าของการแจกแจงนั้นสามารถประมาณได้โดยวิธีความน่าจะเป็นสูงสุดซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}$

อคติมีค่าเท่ากับ

${\displaystyle b\equiv \operatorname {E} {\bigg [}\;({\hat {\sigma }}_{\mathrm {mle} }-\sigma )\;{\bigg ]}=-{\frac {\sigma }{4n}}}$

ซึ่งส่งผลให้ได้ตัวประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดที่ได้รับการแก้ไขความเอนเอียง

${\displaystyle {\hat {\sigma \,}}_{\text{mle}}^{*}={\hat {\sigma \,}}_{\text{mle}}-{\hat {b\,}}.}$

• การแจกแจงนี้เป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงปกติแบบพับ (folded normal distribution)โดยมีμ  = 0
• นอกจากนี้ยังสอดคล้องกับการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ ซึ่งถูกตัดทอนจากด้านล่างที่ศูนย์ (ดูการแจกแจงปกติแบบถูกตัดทอน )
• ถ้าYมีการแจกแจงแบบครึ่งปกติ (half-normal distribution) แล้ว ( Y / σ ) ^²จะมีการแจกแจงแบบไคสแควร์ (chi square distribution)ที่มีองศาอิสระ 1 องศา กล่าวคือY / σมีการแจกแจงแบบไคสแควร์ที่มีองศาอิสระ 1 องศา
• การแจกแจงแบบครึ่งปกติเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงแกมมาทั่วไปที่มีd  = 1, p  = 2, a  =  .${\displaystyle {\sqrt {2}}\sigma }$
• ถ้าYมีการแจกแจงแบบครึ่งปกติY⁻² ^ก็จะมีการแจกแจงแบบเลวี
• การแจกแจงเรย์ลี (Rayleigh distribution)เป็นการขยายความของการแจกแจงแบบครึ่งปกติ (half-normal distribution) โดยมีการปรับค่าโมเมนต์และปรับขนาด
• การแจกแจงแบบครึ่งปกติที่ปรับปรุงแล้ว

• การแจกแจงครึ่งที
• การแจกแจงปกติแบบตัดทอน
• การกระจายปกติแบบพับ
• การกระจายเกาส์เซียนแบบปรับแก้

• Leone, FC; Nelson, LS; Nottingham, RB (1961), "การแจกแจงปกติแบบพับ", Technometrics , 3 (4): 543– 550, doi : 10.2307/1266560 , hdl : 2027/mdp.39015095248541 , JSTOR  1266560

• การแจกแจงแบบครึ่งปกติที่MathWorld

(โปรดทราบว่า MathWorld ใช้พารามิเตอร์)${\displaystyle \theta ={\frac {1}{\sigma }}{\sqrt {\pi /2}}}$