ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันข้อผิดพลาด (เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันข้อผิดพลาดของเกาส์ ) ซึ่งมักจะแสดงด้วยคือฟังก์ชัน^{[ 1 ]}${\displaystyle \mathbf {erf} }$$${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-t^{2}}\,dt.}$$

ฟังก์ชันข้อผิดพลาด
กราฟแสดงฟังก์ชันความคลาดเคลื่อนเทียบกับจำนวนจริง
ข้อมูลทั่วไป
คำจำกัดความทั่วไป	${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-t^{2}}\,dt}$
ขอบเขตการประยุกต์ใช้	ความน่าจะเป็น, อุณหพลศาสตร์, การสื่อสารดิจิทัล
โดเมน โคโดเมน และรูปภาพ
โดเมน	${\displaystyle \mathbb {C} }$
ภาพ	${\displaystyle \left(-1,1\right)}$
คุณสมบัติพื้นฐาน
ความเท่าเทียมกัน	แปลก
คุณลักษณะเฉพาะ
ราก	0
อนุพันธ์	${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ชื่อผู้ดำเนินการ {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}}$
แอนตี้อนุพันธ์	${\displaystyle \int \operatorname {erf} (z)\,dz=z\operatorname {erf} (z)+{\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+C}$
คำจำกัดความของชุดข้อมูล
ซีรี่ส์เทย์เลอร์	$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (z)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}-{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}\cdots \right)\end{aligned}}}$$

อินทิกรัลในที่นี้เป็นอินทิกรัลเส้นโค้ง เชิงซ้อน ซึ่งไม่ขึ้นกับเส้นทางเพราะเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดในหลายกรณี ค่าของฟังก์ชันจะเป็นจำนวนจริงซึ่งในกรณีนี้ค่าของฟังก์ชันก็จะเป็นจำนวนจริงด้วย ${\displaystyle \exp(-t^{2})}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

ในตำราเก่าบางเล่ม^{[ 2 ]}ฟังก์ชันข้อผิดพลาดถูกกำหนดโดยไม่มีปัจจัยของอินทิกรัลที่ไม่ใช่พื้นฐานนี้เป็น ฟังก์ชัน ซิกมอยด์ซึ่งมักเกิดขึ้นในความน่าจะเป็น สถิติและสม การ เชิง อนุพันธ์ย่อย${\displaystyle 2/{\sqrt {\pi }}}$

ในทางสถิติ สำหรับค่าจริงที่ไม่เป็นลบของฟังก์ชันความคลาดเคลื่อนมีความหมายดังนี้: สำหรับตัวแปรสุ่ม จริง ที่กระจายแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ย 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือความน่าจะเป็นที่ ตก อยู่ ในช่วง${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle [-x,x]}$

ฟังก์ชันสองอย่างที่เกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิดคือฟังก์ชันข้อผิดพลาดเสริม

${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {erfc} (z)=1-\ชื่อผู้ดำเนินการ {erf} (z)}$

และฟังก์ชันข้อผิดพลาดเชิงจินตนาการ

${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {erfi} (z)=-i\ชื่อผู้ดำเนินการ {erf} (iz),}$

หน่วย จินตนาการอยู่ที่ไหน${\displaystyle i}$

ชื่อ "ฟังก์ชันข้อผิดพลาด" และคำย่อของมันถูกเสนอโดยJWL Glaisherในปี พ.ศ. 2414 เนื่องมาจากความเชื่อมโยงกับ "ทฤษฎีความน่าจะเป็น และโดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีข้อผิดพลาด " ^{[ 3 ]} Glaisher ยังได้กล่าวถึงฟังก์ชันข้อผิดพลาดเสริมในสิ่งพิมพ์แยกต่างหากในปีเดียวกัน^{[ 4 ]}สำหรับ "กฎของความสะดวก" ของข้อผิดพลาดซึ่งความหนาแน่นกำหนดโดย ${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {erf} }$

${\displaystyle f(x)=\left({\frac {c}{\pi }}\right)^{1/2}e^{-cx^{2}}}$

( การแจกแจงแบบปกติ ) เกลเชอร์คำนวณความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดที่อยู่ระหว่างและเป็น ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle \left({\frac {c}{\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}\int _{p}^{q}e^{-cx^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\big (}\operatorname {erf} (q{\sqrt {c}})-\operatorname {erf} (p{\sqrt {c}}){\big )}.}$

เมื่อผลลัพธ์ของการวัดหลายครั้งถูกอธิบายด้วยการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน และค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์แล้ว ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \operatorname {erf} {\bigg (}{\frac {a}{\sigma {\sqrt {2}}}}{\bigg )}}$

คือความน่าจะเป็นที่ค่าความคลาดเคลื่อนของการวัดแต่ละครั้งจะอยู่ระหว่างและซึ่งมีประโยชน์ เช่น ในการกำหนดอัตราความผิดพลาดของบิตในระบบสื่อสารดิจิทัล ${\displaystyle -a}$${\displaystyle a}$

ฟังก์ชันข้อผิดพลาดและฟังก์ชันข้อผิดพลาดเสริมเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น ในการแก้สมการความร้อนเมื่อเงื่อนไขขอบเขตกำหนดโดย ฟังก์ชันขั้นบันได ของ Heaviside

ฟังก์ชันความคลาดเคลื่อนและการประมาณค่าของฟังก์ชันดังกล่าวสามารถใช้ในการประเมินผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็นสูงหรือความน่าจะเป็นต่ำได้ เมื่อกำหนดตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและค่าคงที่จะสามารถแสดงได้ (โดยการอินทิเกรตโดยการแทนที่ ) ว่า ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle L>\mu }$

${\displaystyle \Pr[X\leq L]={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {L-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)\approx A\exp \left(\!-B\,\left({\frac {L-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)}$

โดยที่และเป็นค่าคงที่เชิงตัวเลขบางค่า ถ้าอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยมากพอ โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้า แล้ว ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \mu -L\geq \sigma {\sqrt {\log(k)}}}$

${\displaystyle \Pr[X\leq L]\leq A\exp(-B\log(k))={\frac {A}{k^{B}}}}$

ดังนั้นความน่าจะเป็นจึงเข้าใกล้ 0 เมื่อ. ${\displaystyle k\to \infty }$

ความน่าจะเป็นที่จะอยู่ในช่วงเวลานั้นสามารถคำนวณได้ดังนี้ ${\displaystyle X}$${\displaystyle [L_{a},L_{b}]}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr[L_{a}\leq X\leq L_{b}]&=\int _{L_{a}}^{L_{b}}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {erf} \left({\frac {L_{b}-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)-\operatorname {erf} \left({\frac {L_{a}-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)\right).\end{aligned}}}$$

พล็อตในระนาบเชิงซ้อน

exp(− z ² )ในระนาบเชิงซ้อน พร้อม การ ระบายสีโดเมน

erf( z )ในระนาบเชิงซ้อน

ฟังก์ชันความคลาดเคลื่อนเป็นฟังก์ชันคี่ซึ่งเป็นผลโดยตรงจากข้อเท็จจริงที่ว่าตัวถูกอินทิเกรตเป็นฟังก์ชันคู่ (เนื่องจากปฏิอนุพันธ์ของฟังก์ชันคู่ซึ่งมีค่าเป็นศูนย์ที่จุดกำเนิดจะเป็นฟังก์ชันคี่ และในทางกลับกัน) ${\displaystyle e^{-t^{2}}}$

เนื่องจากฟังก์ชันข้อผิดพลาดเป็นฟังก์ชันสมบูรณ์ที่แปลงจำนวนจริงเป็นจำนวนจริง ดังนั้นสำหรับจำนวนเชิงซ้อน ใด ๆ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \operatorname {erf} ({\bar {z}})={\overline {\operatorname {erf} (z)}}}$

โดยที่หมายถึงค่า สังยุคเชิงซ้อนของ${\displaystyle {\bar {z}}}$${\displaystyle z}$

ฟังก์ชันความคลาดเคลื่อนที่จุดคือ(ดูอินทิกรัลเกาส์เซียน ) ที่แกนจริง ค่า จะเข้าใกล้ ที่และที่ที่แกนจินตภาพ ค่าจะเข้าใกล้ ${\displaystyle \infty }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \operatorname {erf} (z)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle z\to \infty }$${\displaystyle -1}$${\displaystyle z\to -\infty }$${\displaystyle \pm i\infty }$

ฟังก์ชันความคลาดเคลื่อนเป็นฟังก์ชันสมบูรณ์ กล่าวคือ ไม่มีจุดเอกฐาน (ยกเว้นที่อนันต์) และการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ ของฟังก์ชันนี้ จะลู่เข้าเสมออย่างไรก็ตาม สำหรับค่า การตัดทอนของพจน์นำหน้าทำให้การกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ไม่สามารถใช้งานได้จริง ${\displaystyle x\gg 1}$

อินทิกรัลที่กำหนดไม่สามารถประเมินในรูปแบบปิดโดยใช้ฟังก์ชันพื้นฐาน ได้ (ดูทฤษฎีบทของ Liouville ) แต่โดยการขยายอินทิกรัล เป็นอนุกรม Maclaurin ของมัน อินทิเกรตทีละพจน์^{[ 5 ]}และใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าจะได้อนุกรม Maclaurin ของฟังก์ชันข้อผิดพลาดดังนี้: ซึ่งใช้ได้กับจำนวนเชิงซ้อนทุกตัว พจน์ตัวส่วนสร้างลำดับA007680ในOEISนี่เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันของ Kummer : ${\displaystyle e^{-z^{2}}}$${\displaystyle \operatorname {erf} (0)=0}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (z)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}-{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}-\cdots \right)\end{aligned}}}$$${\displaystyle z}$

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2z}{\sqrt {\pi }}}\,{}_{1}F_{1}{\bigg (}{\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},-z^{2}{\bigg )}.}$

สำหรับการคำนวณแบบวนซ้ำของอนุกรมข้างต้น สูตรทางเลือกต่อไปนี้อาจมีประโยชน์: เนื่องจาก $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (z)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(z\prod _{k=1}^{n}{\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}\right)\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {-z^{2}}{k}},\end{aligned}}}$$

${\displaystyle {\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}}$

แสดงตัวคูณเพื่อเปลี่ยนพจน์ที่ -th ให้เป็นพจน์ที่ -th (โดยถือว่าเป็นพจน์แรก) ${\displaystyle k}$${\displaystyle (k+1)}$${\displaystyle z}$

ฟังก์ชันข้อผิดพลาดเชิงจินตนาการมีอนุกรมแมคลาลินที่คล้ายกัน ซึ่งใช้ได้กับจำนวนเชิงซ้อน ทุก จำนวน $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfi} (z)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}+{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$$${\displaystyle z}$

อนุพันธ์ของฟังก์ชันข้อผิดพลาดได้มาโดยตรงจากนิยาม: จากนี้ อนุพันธ์ของฟังก์ชันข้อผิดพลาดเชิงจินตนาการก็ได้ทันทีเช่นกัน: อนุพันธ์ลำดับสูงกว่ากำหนดโดย โดย ที่ คือ พหุนามเฮอร์ไมต์ของนักฟิสิกส์^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}.}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {erfi} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{z^{2}}.}$$$${\displaystyle \operatorname {erf} ^{(k)}(z)={\frac {2(-1)^{k-1}}{\sqrt {\pi }}}{\mathit {H}}_{k-1}(z)e^{-z^{2}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {d^{k-1}}{dz^{k-1}}}{\big (}e^{-z^{2}}{\big )},}$$${\displaystyle H_{k}}$

อนุพันธ์ผกผันของฟังก์ชันความคลาดเคลื่อน ซึ่งหาได้โดยการอินทิเกรตแบบแยกส่วนคือ อนุพันธ์ผกผันของฟังก์ชันความคลาดเคลื่อนเชิงจินตนาการ ซึ่งหาได้โดยการอินทิเกรตแบบแยกส่วนเช่นกัน คือ $${\displaystyle \int \operatorname {erf} (z)dz=z\operatorname {erf} (z)+{\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+C.}$$$${\displaystyle \int \operatorname {erfi} (z)dz=z\operatorname {erfi} (z)-{\frac {e^{z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+C.}$$

การขยายที่ลู่เข้าได้เร็วกว่าการขยายเทย์เลอร์ สำหรับค่าจริงทั้งหมดของ ^{[ 7 ]}ได้มาจากการใช้ทฤษฎีบทของบือร์มันน์ : ^{[ 8 ]} โดยที่คือฟังก์ชันเครื่องหมายโดยการเก็บสัมประสิทธิ์สองตัวแรกไว้และเลือกและการประมาณค่าที่ได้จะแสดงข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ ที่ใหญ่ที่สุด ที่ซึ่งมีค่าน้อยกว่า: ${\displaystyle x}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x)\cdot {\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left(1-{\frac {1}{12}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)-{\frac {7}{480}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{2}-{\frac {5}{896}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{3}-\cdots \right)\\[10pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x)\cdot {\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e^{-kx^{2}}\right)\end{aligned}}}$$${\displaystyle \operatorname {sgn} }$${\displaystyle c_{1}=31/200}$${\displaystyle c_{2}=-341/8000}$${\displaystyle x=\pm 1.40587}$${\displaystyle 0.0034361}$$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x)\cdot {\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+{\frac {31}{200}}e^{-x^{2}}-{\frac {341}{8000}}e^{-2x^{2}}\right).}$$

สำหรับจำนวนเชิงซ้อนไม่มีจำนวนเชิงซ้อน เพียงจำนวน เดียว ที่ สอดคล้องกับเงื่อนไขดังนั้นฟังก์ชันผกผันที่แท้จริงจึงต้องมีหลายค่า อย่างไรก็ตาม สำหรับ จะมีจำนวนจริง เพียงจำนวนเดียวที่สอดคล้องกับ เงื่อนไข ${\displaystyle z}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \operatorname {erf} (w)=z}$${\displaystyle -1<x<1}$${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(x)}$

${\displaystyle \operatorname {erf} \left(\operatorname {erf} ^{-1}(x)\right)=x.}$

ฟังก์ชันข้อผิดพลาดผกผันมักจะถูกกำหนดด้วยโดเมนและถูกจำกัดไว้ที่โดเมนนี้ใน ระบบ พีชคณิตคอมพิวเตอร์ หลาย ระบบ อย่างไรก็ตาม สามารถขยายไปยังดิสก์ของระนาบเชิงซ้อนได้โดยใช้ชุด Maclaurin ^{[ 9 ]} โดยที่และ ${\displaystyle (-1,1)}$${\displaystyle |z|<1}$$${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1},}$$${\displaystyle c_{0}=1}$$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{k}&=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}\\[1ex]&=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},{\frac {4369}{2520}},{\frac {34807}{16200}},\ldots \right\}.\end{aligned}}}$$

ดังนั้นเราจึงได้การกระจายอนุกรม (ตัวประกอบร่วมถูกตัดออกจากตัวเศษและตัวส่วนแล้ว):

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(z)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\left(z+{\frac {\pi }{12}}z^{3}+{\frac {7\pi ^{2}}{480}}z^{5}+{\frac {127\pi ^{3}}{40320}}z^{7}+{\frac {4369\pi ^{4}}{5806080}}z^{9}+{\frac {34807\pi ^{5}}{182476800}}z^{11}+\cdots \right).}$

(หลังจากตัดค่าตัวเศษและตัวส่วนใน (ลำดับA092676ในOEIS ) และ (ลำดับA092677ในOEIS ) ตามลำดับ; หากไม่ตัดค่า ตัวเศษจะเป็นค่าใน (ลำดับA002067ในOEIS )) ค่าของฟังก์ชันข้อผิดพลาดที่เท่ากับ. ${\displaystyle \pm \infty }$${\displaystyle \pm 1}$

เพราะว่าเรามี... ${\displaystyle |z|<1}$${\displaystyle \operatorname {erf} (\operatorname {erf} ^{-1}(z))=z}$

ฟังก์ชันข้อผิดพลาดเสริมผกผันถูกกำหนดเป็น สำหรับจำนวนจริงจะมีจำนวนจริงที่ ไม่ ซ้ำ กันซึ่งสอดคล้องกับ ฟังก์ชันข้อผิดพลาด จินตนาการผกผันถูกกำหนดเป็น^{[ 10 ]}$${\displaystyle \operatorname {erfc} ^{-1}(1-z)=\operatorname {erf} ^{-1}(z).}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(x)}$${\displaystyle \operatorname {erfi} (\operatorname {erfi} ^{-1}(x))=x}$${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(x)}$

สำหรับจำนวนจริงใดๆวิธีของนิวตันสามารถใช้คำนวณได้และสำหรับค่า อนุกรมแมคลาลินต่อไปนี้จะลู่เข้า: ${\displaystyle x}$${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(x)}$${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$

${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1},}$

โดยที่ถูกกำหนดไว้ดังข้างต้น ${\displaystyle c_{k}}$

การขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกที่มีประโยชน์ของฟังก์ชันข้อผิดพลาดเสริม (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นฟังก์ชันข้อผิดพลาดด้วย) สำหรับจำนวนจริงขนาดใหญ่คือ โดยที่คือแฟกทอเรียลคู่ของนั่นคือ ผลคูณของจำนวนคี่ทั้งหมดจนถึงอนุกรมนี้ลู่เข้าสำหรับทุกๆ ค่าจำกัดและความหมายของมันในฐานะการขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกคือ สำหรับจำนวนเต็ม ใดๆ จะมี ${\displaystyle x}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} (x)&={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{\left(2x^{2}\right)^{n}}}\right)\\[6pt]&={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2x^{2}\right)^{n}}},\end{aligned}}}$$${\displaystyle (2n-1)!!}$${\displaystyle 2n-1}$${\displaystyle 2n-1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle N\geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2x^{2}\right)^{n}}}+R_{N}(x),}$

โดยส่วนที่เหลือคือ

${\displaystyle R_{N}(x):={\frac {(-1)^{N}\,(2N-1)!!}{{\sqrt {\pi }}\cdot 2^{N-1}}}\int _{x}^{\infty }t^{-2N}e^{-t^{2}}\,dt,}$

ซึ่งสรุปได้ง่ายๆ โดยการอุปมาน เขียนว่า

${\displaystyle e^{-t^{2}}=-{\frac {1}{2t}}\,{\frac {d}{dt}}e^{-t^{2}}}$

และการอินทิเกรตโดยใช้การแยกส่วน พฤติกรรมเชิงอะซิมโทติกของพจน์ที่เหลือคือ

${\displaystyle R_{N}(x)=O{\Big (}x^{-(1+2N)}e^{-x^{2}}{\Big )}}$

เช่น. สามารถค้นหาได้โดย ${\displaystyle x\to \infty }$

${\displaystyle R_{N}(x)\propto \int _{x}^{\infty }t^{-2N}e^{-t^{2}}\,dt=e^{-x^{2}}\int _{0}^{\infty }(t+x)^{-2N}e^{-t^{2}-2tx}\,dt\leq e^{-x^{2}}\int _{0}^{\infty }x^{-2N}e^{-2tx}\,dt\propto x^{-(1+2N)}e^{-x^{2}}.}$

สำหรับค่า n ที่มากพอจะใช้เพียงไม่กี่พจน์แรกของการขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกนี้เท่านั้นเพื่อให้ได้ค่าประมาณที่ดีของ n (ในขณะที่สำหรับค่า n ที่ไม่มากเกินไปการขยายอนุกรมเทย์เลอร์ข้างต้นที่ n = 0 จะให้การล convergence ที่รวดเร็วมาก) ${\displaystyle x}$${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)}$${\displaystyle x}$

การ ขยาย เศษส่วนต่อเนื่องของฟังก์ชันข้อผิดพลาดเสริมพบโดยLaplace : ^{[ 11 ] [ 12 ]} โดยที่. $${\displaystyle \operatorname {erfc} (z)={\frac {z}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}{\cfrac {1}{z^{2}+{\cfrac {a_{1}}{1+{\cfrac {a_{2}}{z^{2}+{\cfrac {a_{3}}{1+\dotsb }}}}}}}}}$$${\displaystyle a_{m}={\frac {m}{2}}}$

อนุกรมแฟกทอเรียลผกผัน

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} (z)&={\frac {e^{-z^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\,z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}Q_{n}}{{\left(z^{2}+1\right)}^{\bar {n}}}}\\[1ex]&={\frac {e^{-z^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\,z}}\left[1-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{(z^{2}+1)}}+{\frac {1}{4}}{\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)\left(z^{2}+2\right)}}-\cdots \right]\end{aligned}}}$

ลู่เข้าสำหรับที่นี่ ${\displaystyle \operatorname {Re} (z^{2})>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{n}&={\frac {1}{\Gamma {\left({\frac {1}{2}}\right)}}}\int _{0}^{\infty }\tau (\tau -1)\cdots (\tau -n+1)\tau ^{-{\frac {1}{2}}}e^{-\tau }\,d\tau \\[1ex]&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {s(n,k)}{2^{\bar {k}}}},\end{aligned}}}$

โดยที่หมายถึงแฟกทอเรียลที่เพิ่มขึ้นและหมายถึง จำนวนสเตอร์ลิงที่มี เครื่องหมายชนิดแรก^{[ 13 ] [ 14 ]} อนุกรมเทย์เลอร์สามารถเขียนได้ในรูปของแฟกทอเรียลคู่ : ${\displaystyle z^{\bar {n}}}$${\displaystyle s(n,k)}$

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-2)^{n}(2n-1)!!}{(2n+1)!}}z^{2n+1}.}$

Abramowitz และ Stegunได้นำเสนอค่าประมาณหลายค่าที่มีความแม่นยำแตกต่างกัน (สมการ 7.1.25–28) ซึ่งช่วยให้สามารถเลือกค่าประมาณที่เร็วที่สุดและเหมาะสมสำหรับการใช้งานที่กำหนดได้ โดยเรียงลำดับตามความแม่นยำจากน้อยไปมาก ได้แก่: (ข้อผิดพลาดสูงสุด:$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-{\frac {1}{\left(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}\right)^{4}}},\qquad x\geq 0}$$5 × 10 ⁻⁴ )

โดยที่a ₁ = 0.278393 , a ₂ = 0.230389 , a ₃ = 0.000972 , a ₄ = 0.078108

$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-\left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}\right)e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+px}},\qquad x\geq 0}$$ (ข้อผิดพลาดสูงสุด:2.5 × 10 ⁻⁵ )

โดยที่p = 0.47047 , a ₁ = 0.3480242 , a ₂ = −0.0958798 , a ₃ = 0.7478556

$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-{\frac {1}{\left(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{6}x^{6}\right)^{16}}},\qquad x\geq 0}$$ (ข้อผิดพลาดสูงสุด:3 × 10 ⁻⁷ )

โดยที่a ₁ = 0.0705230784 , a ₂ = 0.0422820123 , a ₃ = 0.0092705272 , a ₄ = 0.0001520143 , a ₅ = 0.0002765672 , a ₆ = 0.0000430638

$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-\left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{5}t^{5}\right)e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+px}}}$$ (ข้อผิดพลาดสูงสุด:1.5 × 10 ⁻⁷ )

โดยที่p = 0.3275911 , a ₁ = 0.254829592 , a ₂ = −0.284496736 , a ₃ = 1.421413741 , a ₄ = −1.453152027 , a ₅ = 1.061405429

สามารถปรับปรุงความแม่นยำของการประมาณค่า A&S ได้โดยการขยายด้วยพารามิเตอร์เพิ่มเติมอีกสามตัว โดย ที่ p1 = 0.406742016006509, p2 = 0.0072279182302319, a1 = 0.316879890481381, a2 = -0.138329314150635, a3 = 1.08680830347054, a4 ​​= -1.11694155120396, a5 = 1.20644903073232, a6 = -0.393127715207728, a7 = 0.0382613542530727 ค่าความคลาดเคลื่อนสูงสุดของการประมาณค่านี้อยู่ที่ประมาณ$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-\left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{5}t^{5}+a_{6}t^{6}+a_{7}t^{7}\right)e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+p_{1}x+p_{2}x^{2}}}}$$2 × 10 ⁻⁹พารามิเตอร์ได้มาจากการปรับค่าประมาณแบบขยายให้เข้ากับค่าที่แม่นยำของฟังก์ชันข้อผิดพลาดโดยใช้โค้ด Python ต่อไปนี้

import numpy as np from math import erf , exp , sqrt from scipy.optimize import least_squares# # การประมาณค่า A&S แบบขยาย: # erf(x) ≈ 1 − t * exp(−x^2) * (a1 + a2*t + a3*t^2 + ... + a7*t^6) # โดยที่ตอนนี้# t = 1 / (1 + p1*x + p2*x^2) # เราปรับค่าพารามิเตอร์ p1, p2, a1..a7 ให้เข้ากับค่า x ในช่วง [0, 10] #def approx_erf ( params , x ): p1 = params [ 0 ] p2 = params [ 1 ] a = params [ 2 :]t = 1.0 / ( 1.0 + p1 * x + p2 * x * x )poly = np.zeros_like ( x ) tt = np.ones_like ( x ) # t ^ 0​# พหุนาม: a1*t^0 + a2*t^1 + ... + a7*t^6 สำหรับak ในa : poly += ak * tt tt *= tคืนค่า1.0 - t * np . exp ( - x * x ) * polydef residuals ( params , xs , ys ): return approx_erf ( params , xs ) - ys# # เตรียมข้อมูลสำหรับการปรับให้เหมาะสม#N = 300 xmin = 0 xmax = 10 xs = np.linspace ( xmin , xmax , N ) ys = np.array ( [ erf ( x ) for x in xs ] , dtype = float )​​# # การคาดเดาเบื้องต้นสำหรับพารามิเตอร์# เริ่มจากค่า A&S เดิมและขยายค่าอย่างระมัดระวัง#p1_0 = 0.3275911 # ค่า p เดิมของ A&S p2_0 = 0.0 # พารามิเตอร์ตัวหารใหม่# สัมประสิทธิ์ A&S เดิม 5 ตัว บวกเพิ่มอีกสองตัว => รวมเป็น 7 ตัวa0 = [ 0.254829592 , - 0.284496736 , 1.421413741 , - 1.453152027 , 1.061405429 , 0.0 , # พจน์ใหม่0.0 , # พจน์ใหม่อีกตัว]params0 = np.array ( [ p1_0 , p2_0 ] + a0 , dtype = float )​# # ปรับให้เหมาะสมโดยใช้วิธีกำลังสองน้อยที่สุดแบบไม่เชิงเส้น (Levenberg–Marquardt) #ผลลัพธ์= least_squares ( residuals , params0 , args = ( xs , ys ), xtol = 1e-14 , ftol = 1e-14 , gtol = 1e-14 , max_nfev = 5000 )params = ผลลัพธ์. x p1_fit = params [ 0 ] p2_fit = params [ 1 ] a_fit = params [ 2 :]# # พิมพ์พารามิเตอร์ที่เหมาะสม#print ( " \n พารามิเตอร์ที่ปรับแล้ว:" ) print ( f "p1 = { p1_fit : .15g } ," ) print ( f "p2 = { p2_fit : .15g } ," ) for i , ai in enumerate ( a_fit , 1 ): print ( f "a { i } = { ai : .15g } ," )# # ประเมินข้อผิดพลาดในการประมาณค่า#approx_vals = approx_erf ( params , xs ) abs_err = np.abs ( approx_vals - ys )​​print ( f " \n ค่าความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์สูงสุดบน [ { xmin } , { xmax } ]:" , np.max ( abs_err ) ) print ( " ค่า ความคลาดเคลื่อน RMS:" , np.sqrt ( np.mean ( abs_err ** 2 ) )) print ( " เสร็จสิ้น" )

การ ประมาณ ค่าทั้งหมดนี้ใช้ได้สำหรับx ≥ 0ในการใช้การประมาณค่าเหล่านี้สำหรับx ที่เป็นลบ ให้ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าerf( x )เป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้นerf( x ) = −erf(− x )

ขอบเขตเลขชี้กำลังและการประมาณเลขชี้กำลังบริสุทธิ์สำหรับฟังก์ชันข้อผิดพลาดเสริมจะได้รับจาก^{[ 15 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} (x)&\leq {\frac {1}{2}}e^{-2x^{2}}+{\frac {1}{2}}e^{-x^{2}}\leq e^{-x^{2}},&&x>0\\[1.5ex]\operatorname {erfc} (x)&\approx {\frac {1}{6}}e^{-x^{2}}+{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {4}{3}}x^{2}},&&x>0.\end{aligned}}}$$

ข้างต้นได้รับการสรุปทั่วไปเป็นผลรวมของเลขชี้กำลังN ^{[ 16 ]}ที่มีความแม่นยำเพิ่มขึ้นตามNเพื่อให้erfc( x )สามารถประมาณหรือจำกัดได้อย่างแม่นยำโดย2 Q̃ ( √ 2 x )โดย เฉพาะอย่างยิ่ง มีระเบียบวิธีที่เป็นระบบในการแก้ปัญหาค่าสัมประสิทธิ์เชิงตัวเลข{( a _n , b _n )}$${\displaystyle {\tilde {Q}}(x)=\sum _{n=1}^{N}a_{n}e^{-b_{n}x^{2}}.}$$^N _{n = 1}ซึ่งให้ค่า ประมาณ มินิแม็กซ์หรือขอบเขตสำหรับฟังก์ชัน Q ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด : Q ( x ) ≈ Q̃ ( x ) , Q ( x ) ≤ Q̃ ( x )หรือQ ( x ) ≥ Q̃ ( x )สำหรับx ≥ 0สัมประสิทธิ์{( a _n , b _n )}^N _{n = 1}สำหรับรูปแบบต่างๆ ของการประมาณค่าเลขชี้กำลังและขอบเขตจนถึงN = 25ได้รับการเผยแพร่สู่การเข้าถึงแบบเปิดในฐานะชุดข้อมูลที่ครอบคลุม^{[ 17 ]}

A tight approximation of the complementary error function for x ∈ [0,∞) is given by Karagiannidis & Lioumpas (2007),^[18] who showed for the appropriate choice of parameters {A,B} that $${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)\approx {\frac {\left(1-e^{-Ax}\right)e^{-x^{2}}}{B{\sqrt {\pi }}x}}.}$$ They determined {A,B} = {1.98,1.135}, which gave a good approximation for all x ≥ 0. Alternative coefficients are also available for tailoring accuracy for a specific application or transforming the expression into a tight bound.^[19]

A single-term lower bound is^[20]$${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)\geq {\sqrt {\frac {2e}{\pi }}}{\frac {\sqrt {\beta -1}}{\beta }}e^{-\beta x^{2}},\qquad x\geq 0,\quad \beta >1,}$$ where the parameter β can be picked to minimize error on the desired interval of approximation.

Another approximation is given by Sergei Winitzki using his "global Padé approximations":^{[21][22]: 2–3} $${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx \operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-\exp \left(-x^{2}{\frac {{\frac {4}{\pi }}+ax^{2}}{1+ax^{2}}}\right)}}}$$ where $${\displaystyle a={\frac {8(\pi -3)}{3\pi (4-\pi )}}\approx 0.140012.}$$ This is designed to be very accurate in the neighborhoods of 0 and infinity, and the relative error is less than 0.00035 for all real x. Using the alternate value a ≈ 0.147 reduces the maximum relative error to about 0.00013.^[23]

The extended "global Pade" approximation, $${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx \operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-\exp \left(-x^{2}{\frac {4+0.880877880079853x^{2}+0.144026670907584x^{4}+0.0077581300270021x^{6}}{\pi +0.786235558186528x^{2}+0.128368576906837x^{4}+0.00773380006014367x^{6}}}\right)}}\,,}$$ provides a maximum error of about 2×10⁻⁹, as demonstrated by the following Python script.

importnumpy,mathfromscipy.optimizeimportleast_squares# approximation to erf(x)def approx_erf ( p , x ): frac = ( 4 + p [ 0 ] * x ** 2 + p [ 1 ] * x ** 4 + p [ 2 ] * x ** 6 ) / ( math . pi + p [ 3 ] * x ** 2 + p [ 4 ] * x ** 4 + p [ 5 ] * x ** 6 ) return numpy . sign ( x ) * numpy . sqrt ( 1 - numpy . exp ( - x * x * frac ))def residuals ( params , xs , ys ): return approx_erf ( params , xs ) - ys# ข้อมูลสำหรับการปรับให้เหมาะสมN = 200 xmin = 0 xmax = 9 xs = numpy.linspace ( xmin , xmax , N ) ys = numpy.array ( [ math.erf ( x ) for x in xs ] , dtype = float ) params0 = numpy.array ( [ 0.9 , 0.1 , 0.008 , 0.8 , 0.1 , 0.008 ] , dtype = float )​​​​# ฟิตติ้งผลลัพธ์= least_squares ( residuals , params0 , args = ( xs , ys ), xtol = 1e-14 , ftol = 1e-14 , gtol = 1e-14 , max_nfev = 5000 ) params = ผลลัพธ์. x# พิมพ์ค่าพารามิเตอร์ที่ปรับแต่งแล้วออกมาprint ( " \n พารามิเตอร์ที่ปรับแล้ว:" ) สำหรับi , pi ในenumerate ( params , 0 ): print ( f "p { i } = { pi : .15g } ," )# ประเมินข้อผิดพลาดในการประมาณค่าapprox_vals = approx_erf ( params , xs ) abs_err = numpy.abs ( approx_vals - ys )​​print ( f " \n ค่าความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์สูงสุดบน [ { xmin } , { xmax } ]:" , numpy.max ( abs_err )) print ( " ค่า ความคลาดเคลื่อนRMS:" , numpy.sqrt ( numpy.mean ( abs_err ** 2 ) )) print ( " เสร็จสิ้น" )

สามารถกลับการประมาณของ Winitzki เพื่อให้ได้ค่าประมาณสำหรับฟังก์ชันข้อผิดพลาดผกผันได้: $${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(x)\approx \operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {{\sqrt {\left({\frac {2}{\pi a}}+{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{2}}\right)^{2}-{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{a}}}}-\left({\frac {2}{\pi a}}+{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{2}}\right)}}.}$$

การประมาณค่าที่มีข้อผิดพลาดสูงสุดเท่ากับ1.2 × 10 ⁻⁷สำหรับอาร์กิวเมนต์จริงใดๆ คือ: ^{[ 24 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&={\begin{cases}1-\tau ,&x\geq 0\\\tau -1,&x<0\end{cases}}\\\tau &=t\cdot \exp \left(-x^{2}-1.26551223+1.00002368t+0.37409196t^{2}+0.09678418t^{3}-0.18628806t^{4}\right.\\&\left.\qquad \qquad \qquad +0.27886807t^{5}-1.13520398t^{6}+1.48851587t^{7}-0.82215223t^{8}+0.17087277t^{9}\right)\\t&={\frac {1}{1+{\frac {1}{2}}|x|}}\end{aligned}}}$$

การประมาณค่าด้วยข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สูงสุดที่น้อยกว่าค่าสัมบูรณ์คือ: ^{[ 25 ]} สำหรับและ สำหรับ${\displaystyle \operatorname {erfc} }$${\displaystyle 2^{-53}}$${\displaystyle \left(\approx 1.1\times 10^{-16}\right)}$${\displaystyle x\geq 0}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} \left(x\right)&=\left({\frac {0.56418958354775629}{x+2.06955023132914151}}\right)\left({\frac {x^{2}+2.71078540045147805x+5.80755613130301624}{x^{2}+3.47954057099518960x+12.06166887286239555}}\right)\\&\left({\frac {x^{2}+3.47469513777439592x+12.07402036406381411}{x^{2}+3.72068443960225092x+8.44319781003968454}}\right)\left({\frac {x^{2}+4.00561509202259545x+9.30596659485887898}{x^{2}+3.90225704029924078x+6.36161630953880464}}\right)\\&\left({\frac {x^{2}+5.16722705817812584x+9.12661617673673262}{x^{2}+4.03296893109262491x+5.13578530585681539}}\right)\left({\frac {x^{2}+5.95908795446633271x+9.19435612886969243}{x^{2}+4.11240942957450885x+4.48640329523408675}}\right)e^{-x^{2}}\\\end{aligned}}}$$${\displaystyle x<0}$$${\displaystyle \operatorname {erfc} \left(x\right)=2-\operatorname {erfc} \left(-x\right)}$$

การประมาณค่าอย่างง่ายสำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ที่เป็นจำนวนจริงสามารถทำได้โดยใช้ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกซึ่ง จะคงค่าความแตกต่างสัมบูรณ์ไว้$${\displaystyle \operatorname {erf} \left(x\right)\approx z(x)=\tanh \left({\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x+{\frac {11}{123}}x^{3}\right)\right)}$$${\displaystyle \left|\operatorname {erf} \left(x\right)-z(x)\right|<0.000358,\,\forall x}$

เนื่องจากฟังก์ชันข้อผิดพลาดและฟังก์ชัน Q ของเกาส์เซียนมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิดผ่านเอกลักษณ์หรือเทียบเท่า ขอบเขตที่พัฒนาขึ้นสำหรับฟังก์ชัน Q สามารถปรับใช้เพื่อประมาณฟังก์ชันข้อผิดพลาดเสริมได้ Abreu (2012) ^{[ 26 ]}ได้แนะนำขอบเขตล่างและขอบเขตบนที่แน่นหนาของฟังก์ชัน Q ของเกาส์เซียนสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นบวก โดยอาศัย นิพจน์พีชคณิตอย่างง่ายที่มีเพียงสองพจน์เลขชี้กำลังเท่านั้น: ${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)=2Q({\sqrt {2}}x)}$${\displaystyle Q(x)={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}$${\displaystyle x\in [0,\infty )}$$${\displaystyle {\begin{aligned}x&\geq 0\\{\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)&\geq {\frac {1}{12}}e^{-x^{2}}+{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}(x+1)}}e^{-x^{2}/2}\\&\leq {\frac {1}{50}}e^{-x^{2}}+{\frac {1}{2(x+1)}}e^{-x^{2}/2}\\{\frac {1}{25}}e^{-2x^{2}}+{\frac {1}{x+1}}e^{-x^{2}}\geq \operatorname {erfc} (x)&\geq {\frac {1}{6}}e^{-2x^{2}}+{\frac {1}{2{\sqrt {2\pi }}(x+1)}}e^{-x^{2}}\end{aligned}}}$$

ขอบเขตเหล่านี้มาจากรูปแบบที่เป็นเอกภาพโดยที่พารามิเตอร์และถูกเลือกเพื่อให้มั่นใจถึงคุณสมบัติการจำกัดขอบเขต: สำหรับขอบเขตล่าง คือและและสำหรับขอบเขตบน คือและนิพจน์เหล่านี้รักษาความเรียบง่ายและความกระชับ ทำให้เกิดความสมดุลที่ ใช้งานได้จริง ระหว่างความแม่นยำและความง่ายในการคำนวณ โดยเฉพาะอย่างยิ่งมีคุณค่าในบริบททางทฤษฎี เช่น ทฤษฎีการสื่อสารผ่านช่องสัญญาณเฟดดิ้ง ซึ่งฟังก์ชันทั้งสองปรากฏบ่อยครั้ง นอกจากนี้ ขอบเขตของฟังก์ชัน Q ดั้งเดิมสามารถขยายไปยังสำหรับจำนวนเต็มบวกผ่านทฤษฎีบททวินามซึ่งชี้ให้เห็นถึงศักยภาพในการปรับตัวสำหรับกำลังของแม้ว่าสิ่งนี้จะไม่ค่อยจำเป็นในแอปพลิเคชันฟังก์ชันข้อผิดพลาดก็ตาม $${\displaystyle Q_{\mathrm {B} }(x;a,b)={\frac {\exp(-x^{2})}{a}}+{\frac {\exp(-x^{2}/2)}{b(x+1)}},}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a_{\mathrm {L} }=12}$${\displaystyle b_{\mathrm {L} }={\sqrt {2\pi }}}$${\displaystyle a_{\mathrm {U} }=50}$${\displaystyle b_{\mathrm {U} }=2}$${\displaystyle Q^{n}(x)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)}$

ฟังก์ชันข้อผิดพลาดเสริมซึ่งแสดงด้วยerfcถูกกำหนดเป็น ซึ่งยังกำหนดerfcxซึ่งเป็นฟังก์ชันข้อผิดพลาดเสริมแบบปรับขนาด^{[ 27 ]} (ซึ่งสามารถใช้แทนerfcเพื่อหลีกเลี่ยงการอันเดอร์โฟลว์ทางคณิตศาสตร์^{[ 27 ] [ 28 ]} ) รูปแบบอื่นของerfc xสำหรับx ≥ 0เรียกว่าสูตรของเครก ตามชื่อผู้ค้นพบ: ^{[ 29 ]} นิพจน์นี้ใช้ได้เฉพาะกับค่าบวกของx เท่านั้น แต่สามารถใช้ร่วมกับerfc( x ) = 2 − erfc(− x )เพื่อให้ได้erfc( x )สำหรับค่าลบ รูปแบบนี้มีข้อดีตรงที่ช่วงของการอินทิเกรตคงที่และจำกัด การขยายนิพจน์นี้สำหรับerfcของผลรวมของตัวแปรที่ไม่เป็นลบสองตัวคือ^{[ 30 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} (x)&=1-\operatorname {erf} (x)\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt\\&=e^{-x^{2}}\operatorname {erfcx} (x),\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \operatorname {erfc} (x\mid x\geq 0)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)\,d\theta .}$$$${\displaystyle \operatorname {erfc} (x+y\mid x,y\geq 0)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{\sin ^{2}\theta }}-{\frac {y^{2}}{\cos ^{2}\theta }}\right)\,d\theta .}$$