ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันดอว์สันหรืออินทิกรัลดอว์สัน^{[ 1 ]} (ตั้งชื่อตามHG Dawson ^{[ 2 ]} ) คือ การแปลงไซน์ฟูริเยร์-ลาปลาสด้านเดียวของฟังก์ชันเกาส์เซียน

ฟังก์ชันดอว์สันถูกกำหนดไว้ดังนี้: หรืออาจใช้สัญลักษณ์หรือ หรืออีกทางเลือกหนึ่งคือ $${\displaystyle D_{+}(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt,}$$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle D(x),}$$${\displaystyle D_{-}(x)=e^{x^{2}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.\!}$$

ฟังก์ชันดอว์สันคือ การแปลงฟูริเยร์-ลาปลาสไซน์ด้านเดียวของฟังก์ชันเกาส์เซียน $${\displaystyle D_{+}(x)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/4}\,\sin(xt)\,dt.}$$

มันมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับฟังก์ชันข้อผิดพลาด erf ดังนี้

${\displaystyle D_{+}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\operatorname {erfi} (x)=-{i{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\operatorname {erf} (ix)}$

โดยที่ erfi คือฟังก์ชันข้อผิดพลาดเชิงจินตนาการerfi( x ) = − i erf( ix ) ในทำนองเดียวกัน ในแง่ของฟังก์ชันข้อผิดพลาดเชิงจริง erf. $${\displaystyle D_{-}(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{x^{2}}\operatorname {erf} (x)}$$

ในแง่ของ erfi หรือฟังก์ชัน Faddeeva ฟังก์ชัน Dawson สามารถขยายไปยังระนาบเชิงซ้อน ทั้งหมดได้ : ^{[ 3 ]} ซึ่งทำให้ง่ายขึ้น สำหรับจำนวนจริง${\displaystyle w(z),}$$${\displaystyle F(z)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-z^{2}}\operatorname {erfi} (z)={\frac {i{\sqrt {\pi }}}{2}}\left[e^{-z^{2}}-w(z)\right],}$$$${\displaystyle D_{+}(x)=F(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {Im} [w(x)]}$$$${\displaystyle D_{-}(x)=iF(-ix)=-{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\left[e^{x^{2}}-w(-ix)\right]}$$${\displaystyle x.}$

สำหรับค่าใกล้ศูนย์F ( x ) ≈ x สำหรับค่ามากF ( x ) ≈ 1/(2x )โดยเฉพาะ อย่างยิ่ง ใกล้จุดกำเนิดจะมีอนุกรมการขยาย ในขณะที่สำหรับค่ามากจะมีอนุกรมการขยายเชิงเส้นกำกับ${\displaystyle |x|}$${\displaystyle |x|}$$${\displaystyle F(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\,2^{k}}{(2k+1)!!}}\,x^{2k+1}=x-{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {4}{15}}x^{5}-\cdots ,}$$${\displaystyle x}$$${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2x}}+{\frac {1}{4x^{3}}}+{\frac {3}{8x^{5}}}+\cdots .}$$

กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น คือ แฟกทอเรี ยล คู่ อยู่ ที่ไหน$${\displaystyle \left|F(x)-\sum _{k=0}^{N}{\frac {(2k-1)!!}{2^{k+1}x^{2k+1}}}\right|\leq {\frac {C_{N}}{x^{2N+3}}}.}$$${\displaystyle n!!}$

${\displaystyle F(x)}$สอดคล้อง กับสมการเชิงอนุพันธ์ ที่มี เงื่อนไขเริ่มต้นดังนั้นจึงมีค่าสุดขีดสำหรับ ผลลัพธ์x  = ±0.92413887... ( OEIS :  A133841 ), F ( x ) = ±0.54104422... ( OEIS :  A133842 ) $${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}+2xF=1\,\!}$$${\displaystyle F(0)=0.}$$${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2x}},}$$

จุดเปลี่ยนเว้าตามมาเมื่อ ได้ค่าx  = ±1.50197526... ( OEIS :  A133843 ), F ( x ) = ±0.42768661... ( OEIS :  A245262 ) (ยกเว้นจุดเปลี่ยนเว้า ที่ไม่สำคัญ ที่) $${\displaystyle F(x)={\frac {x}{2x^{2}-1}},}$$${\displaystyle x=0,}$${\displaystyle F(x)=0.}$

การแปลงฮิลเบิร์ตของฟังก์ชันเกาส์เซียนถูกกำหนดดังนี้ $${\displaystyle H(y)=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}}{y-x}}\,dx}$$

PV หมายถึงค่าหลักของโคชีและเราจำกัดตัวเองเฉพาะจำนวนจริงซึ่งสามารถเชื่อมโยงกับฟังก์ชันดอว์สันได้ดังนี้ ภายในปริพันธ์ค่าหลัก เราสามารถพิจารณาเป็นฟังก์ชันหรือการกระจายทั่วไปและใช้การแสดงแทนฟูริเยร์ ${\displaystyle y.}$${\displaystyle H(y)}$${\displaystyle 1/u}$$${\displaystyle {1 \over u}=\int _{0}^{\infty }dk\,\sin ku=\int _{0}^{\infty }dk\,\operatorname {Im} e^{iku}.}$$

โดยที่เราใช้การแสดงผลแบบเลขยกกำลังของและทำการเติมกำลังสองสมบูรณ์เทียบกับเพื่อหา ${\displaystyle 1/u=1/(y-x),}$${\displaystyle \sin(ku)}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle \pi H(y)=\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp[-k^{2}/4+iky]\int _{-\infty }^{\infty }dx\,\exp[-(x+ik/2)^{2}].}$$

เราสามารถเลื่อนอินทิกรัลไปที่แกนจริงได้ และจะได้ ดังนี้ ${\displaystyle x}$${\displaystyle \pi ^{1/2}.}$$${\displaystyle \pi ^{1/2}H(y)=\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp[-k^{2}/4+iky].}$$

เราทำการเติมเต็มกำลังสองโดยสัมพันธ์กับและได้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle k}$$${\displaystyle \pi ^{1/2}H(y)=e^{-y^{2}}\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp[-(k/2-iy)^{2}].}$$

เราเปลี่ยนตัวแปรเป็น${\displaystyle u=ik/2+y:}$$${\displaystyle \pi ^{1/2}H(y)=-2e^{-y^{2}}\operatorname {Im} i\int _{y}^{i\infty +y}du\ e^{u^{2}}.}$$

สามารถคำนวณอินทิกรัลได้โดยใช้อินทิกรัลตามเส้นโค้งรอบสี่เหลี่ยมผืนผ้าในระนาบเชิงซ้อน การหาค่าส่วนจินตภาพของผลลัพธ์จะได้ โดยที่คือฟังก์ชันดอว์สันตามที่นิยามไว้ข้างต้น $${\displaystyle H(y)=2\pi ^{-1/2}F(y)}$$${\displaystyle F(y)}$

การแปลงฮิลเบิร์ตของก็มีความเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันดอว์สันเช่นกัน เราสามารถเห็นได้จากเทคนิคการหาอนุพันธ์ภายในเครื่องหมายอินทิกรัล ให้ ${\displaystyle x^{2n}e^{-x^{2}}}$$${\displaystyle H_{n}=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2n}e^{-x^{2}}}{y-x}}\,dx.}$$

แนะนำ $${\displaystyle H_{a}=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{e^{-ax^{2}} \over y-x}\,dx.}$$

อนุพันธ์ลำดับที่ คือ ${\displaystyle n}$$${\displaystyle {\partial ^{n}H_{a} \over \partial a^{n}}=(-1)^{n}\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2n}e^{-ax^{2}}}{y-x}}\,dx.}$$

ดังนั้นเราจึงพบว่า $${\displaystyle \left.H_{n}=(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}H_{a}}{\partial a^{n}}}\right|_{a=1}.}$$

ทำการหาอนุพันธ์ก่อน จากนั้นจึงประเมินผลลัพธ์ที่A การเปลี่ยนตัวแปรยังให้ผลลัพธ์เช่นกันเนื่องจากเราสามารถเขียนได้ว่าโดยที่และเป็นพหุนาม ตัวอย่างเช่นหรืออีกวิธีหนึ่งสามารถคำนวณได้โดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด (สำหรับ) ${\displaystyle a=1.}$${\displaystyle H_{a}=2\pi ^{-1/2}F(y{\sqrt {a}}).}$${\displaystyle F'(y)=1-2yF(y),}$${\displaystyle H_{n}=P_{1}(y)+P_{2}(y)F(y)}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle H_{1}=-\pi ^{-1/2}y+2\pi ^{-1/2}y^{2}F(y).}$${\displaystyle H_{n}}$${\displaystyle n\geq 0}$$${\displaystyle H_{n+1}(y)=y^{2}H_{n}(y)-{\frac {(2n-1)!!}{{\sqrt {\pi }}2^{n}}}y.}$$

• รายชื่อฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์

• gsl_sf_dawsonในไลบรารีวิทยาศาสตร์ GNU
• libcerfซึ่งเป็นไลบรารีภาษาซีสำหรับคำนวณค่าความคลาดเคลื่อนเชิงตัวเลข มีฟังก์ชันvoigt(x, sigma, gamma)ที่มีความแม่นยำประมาณ 13–14 หลัก โดยอิงจากฟังก์ชัน Faddeevaที่ใช้งานในแพ็คเกจ MIT Faddeeva
• อินทิกรัลของดอว์สัน(ที่ Mathworld)
• ฟังก์ชันแสดงข้อผิดพลาดเก็บถาวรเมื่อ 2019-11-01 ที่Wayback Machine