ในทาง คณิตศาสตร์ฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์บนและล่างเป็นฟังก์ชันพิเศษประเภทหนึ่งที่เกิดขึ้นเป็นคำตอบของปัญหาทางคณิตศาสตร์ต่างๆ เช่นอินทิกรัล บางประเภท

ชื่อของฟังก์ชันทั้งสองนี้มาจากนิยามเชิงปริพันธ์ ซึ่งนิยามคล้ายกับฟังก์ชันแกมมาแต่มีขอบเขตปริพันธ์ที่แตกต่างกันหรือ "ไม่สมบูรณ์" ฟังก์ชันแกมมานิยามว่าเป็นปริพันธ์จากศูนย์ถึงอนันต์ ซึ่งแตกต่างจากฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์ล่างที่นิยามว่าเป็นปริพันธ์จากศูนย์ถึงขอบเขตบนที่เปลี่ยนแปลงได้ ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์บนนิยามว่าเป็นปริพันธ์จากขอบเขตล่างที่เปลี่ยนแปลงได้ถึงอนันต์

ฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์บนถูกกำหนดดังนี้: ในขณะที่ฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์ล่างถูกกำหนดดังนี้: ในทั้งสองกรณีsเป็นพารามิเตอร์เชิงซ้อน โดยที่ส่วนจริงของsเป็นค่าบวก $${\displaystyle \Gamma (s,x)=\int _{x}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt,}$$$${\displaystyle \gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt.}$$

โดยการอินทิเกรตโดยส่วน เราจะพบความสัมพันธ์เวียนเกิด และ เนื่องจากฟังก์ชันแกมมาปกติถูกกำหนดไว้ดังนี้ เราจึงได้ และ $${\displaystyle \Gamma (s+1,x)=s\Gamma (s,x)+x^{s}e^{-x}}$$$${\displaystyle \gamma (s+1,x)=s\gamma (s,x)-x^{s}e^{-x}.}$$$${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt}$$$${\displaystyle \Gamma (s)=\Gamma (s,0)=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)}$$$${\displaystyle \gamma (s,x)+\Gamma (s,x)=\Gamma (s)}$$

ฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์ล่างและฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์บน ตามที่กำหนดไว้ข้างต้นสำหรับsและx ที่เป็นบวกจริง สามารถพัฒนาเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกได้ โดยสัมพันธ์กับทั้งxและs ซึ่งกำหนดไว้สำหรับการรวมกัน ของxและsที่ซับซ้อนเกือบทั้งหมด^{[ 1 ]}การวิเคราะห์เชิงซ้อนแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติของฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์จริงขยายไปสู่คู่โฮโลมอร์ฟิกของฟังก์ชันเหล่านั้น

การประยุกต์ใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิดซ้ำสำหรับ ฟังก์ชัน แกมมาที่ไม่สมบูรณ์ด้านล่างนำไปสู่ การขยาย อนุกรมกำลัง : ^{[ 2 ]} เมื่อพิจารณาการเติบโตอย่างรวดเร็วในค่าสัมบูรณ์ของΓ( z + k )เมื่อk → ∞และข้อเท็จจริงที่ว่าส่วนกลับของΓ( z )เป็นฟังก์ชันสมบูรณ์สัมประสิทธิ์ในผลรวมด้านขวาสุดจึงถูกกำหนดไว้อย่างดี และผลรวมจะลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอ ในระดับท้องถิ่น สำหรับsและx ที่ซับซ้อน ^{ทั้งหมด}ตามทฤษฎีบทของWeierstrass [ ^{3 ]}ฟังก์ชันลิมิต ซึ่งบางครั้งเรียกว่า[ ^{4 ] เป็น} ฟังก์ชันสมบูรณ์เมื่อเทียบกับทั้งz (สำหรับs คงที่ ) และs (สำหรับz คงที่ ) ^{[ 1 ]}และด้วยเหตุนี้จึงเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนC × Cตามทฤษฎีบทของ Hartogs ^{[ 5 ]}ดังนั้นการแยกส่วน ต่อไปนี้ ^{[ 1 ]} ขยายฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์ล่างจริงเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกทั้งร่วมกันและแยกกันในzและsเป็นผลมาจากคุณสมบัติของและฟังก์ชัน Γว่าปัจจัยสองตัวแรกจับจุดเอกฐานของ(ที่z = 0หรือsเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวก) ในขณะที่ปัจจัยสุดท้ายมีส่วนทำให้เกิดศูนย์ $${\displaystyle \gamma (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{s}e^{-x}x^{k}}{s(s+1)\cdots (s+k)}}=x^{s}\,\Gamma (s)\,e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}.}$$${\displaystyle \gamma ^{*}}$$${\displaystyle \gamma ^{*}(s,z):=e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}}$$$${\displaystyle \gamma (s,z)=z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,z)}$$${\displaystyle z^{s}}$${\displaystyle \gamma (s,z)}$

ลอการิทึมเชิงซ้อนlog z = log | z | + i arg zถูกกำหนดได้ถึงพหุคูณของ2 πiเท่านั้น ซึ่งทำให้มันเป็น ลอการิทึม ที่มีหลายค่าฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมเชิงซ้อนมักจะสืบทอดคุณสมบัตินี้ ตัวอย่างเช่นกำลังเชิงซ้อนและเนื่องจากz ^sปรากฏในการแยกส่วนประกอบของมันฟังก์ชัน γ ก็เช่นกัน

ความไม่แน่นอนของฟังก์ชันหลายค่าทำให้เกิดความซับซ้อน เนื่องจากต้องระบุวิธีการเลือกค่า กลยุทธ์ในการจัดการกับปัญหานี้ ได้แก่:

• (วิธีทั่วไปที่สุด) แทนที่โดเมนCของฟังก์ชันหลายค่าด้วยแมนิโฟลด์ที่เหมาะสมในC × Cที่เรียกว่าพื้นผิวรีมันน์แม้ว่าวิธีนี้จะขจัดคุณสมบัติหลายค่าออกไป แต่จำเป็นต้องรู้ทฤษฎีเบื้องหลัง^{[ 6 ]}
• จำกัดขอบเขตเพื่อให้ฟังก์ชันหลายค่าสามารถแยกออกเป็นสาขา ค่าเดียวที่แยกจากกันได้ ซึ่งสามารถจัดการได้ทีละส่วน

สามารถใช้กฎชุดต่อไปนี้ในการตีความสูตรในส่วนนี้ได้อย่างถูกต้อง หากไม่ได้ระบุไว้เป็นอย่างอื่น จะถือว่าเป็นไปตามข้อต่อไปนี้:

ส่วนต่างๆ ในระนาบCที่มีจุดยอดอยู่ที่z = 0มักพิสูจน์ได้ว่าเป็นโดเมนที่เหมาะสมสำหรับนิพจน์เชิงซ้อน ส่วนD ประกอบด้วยค่า zเชิงซ้อนทั้งหมดที่สอดคล้อง กับ z ≠ 0และα − δ < arg z < α + δ โดยที่ αบางค่าและ0 < δ ≤ πบ่อยครั้งที่ สามารถเลือก αได้ตามอำเภอใจและไม่ได้ระบุไว้ หากไม่ได้ระบุδ จะถือว่า δ เป็น πและส่วนนั้นก็คือระนาบC ทั้งหมด ยกเว้นครึ่งเส้นที่เริ่มต้นที่z = 0และชี้ไปในทิศทางของ− αซึ่งมักทำหน้าที่เป็นเส้นตัดสาขาหมายเหตุ: ในการใช้งานและตำราหลายเล่มαมักถูกถือว่าเป็น 0 โดยปริยาย ซึ่งจะทำให้ส่วนนั้นอยู่ตรงกลางรอบแกนจริงบวก

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ลอการิทึมแบบค่าเดียวและโฮโลมอร์ฟิกจะมีอยู่บนเซกเตอร์ D ใดๆ ก็ตาม โดยมีส่วนจินตนาการอยู่ในช่วง( α − δ , α + δ )จากลอการิทึมที่จำกัดนี้ ฟังก์ชัน^zและฟังก์ชันแกมมาที่ไม่สมบูรณ์จะยุบตัวลงเป็นฟังก์ชันแบบค่าเดียวและโฮโลมอร์ฟิกบนD (หรือC × D ) ซึ่งเรียกว่าสาขาของฟังก์ชันแบบหลายค่าบน D การเพิ่มค่าทวีคูณของ2πให้กับαจะได้ชุดของสาขาที่สัมพันธ์กันที่แตกต่างกันบนเซตD เดียวกัน อย่างไรก็ตาม ในบริบทใดๆ ก็ตามที่นี่αจะถือว่าคงที่ และสาขาทั้งหมดที่เกี่ยวข้องจะสัมพันธ์กับมัน ถ้า| α | < δสาขาเหล่านั้นเรียกว่าสาขาหลักเพราะมันเท่ากับสาขาจริงที่เทียบเคียงได้บนแกนจริงบวก หมายเหตุ: ในการใช้งานและตำราหลายๆ เล่ม สูตรจะใช้ได้เฉพาะกับสาขาหลักเท่านั้น

ค่าของสาขาต่าง ๆ ของทั้งฟังก์ชันกำลังเชิงซ้อนและฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์ล่างสามารถหาได้จากกันและกันโดยการคูณของ, ^{[ 1 ]}สำหรับkเป็นจำนวนเต็มที่เหมาะสม ${\displaystyle e^{2\pi iks}}$

การแยกส่วนข้างต้นแสดงให้เห็นเพิ่มเติมว่า γ มีพฤติกรรมใกล้z = 0 ในเชิงอะซิมโทติกดังนี้: $${\displaystyle \gamma (s,z)\asymp z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,0)=z^{s}\,\Gamma (s)/\Gamma (s+1)=z^{s}/s.}$$

สำหรับจำนวนจริงบวก x , yและs x ^y /y → 0เมื่อ( x , y ) → (0, s )ดูเหมือนว่าเงื่อนไขนี้จะสนับสนุนการตั้งค่าγ ( s , 0) = 0สำหรับจำนวนจริงs > 0อย่างไรก็ตาม สถานการณ์จะแตกต่างออกไปในขอบเขตของจำนวนเชิงซ้อน เฉพาะในกรณีที่ (a) ส่วนจริงของsเป็นบวก และ (b) ค่าu ^vมาจากเซตของสาขาที่จำกัด เท่านั้น จึงจะรับประกันได้ว่าค่าเหล่านี้จะลู่เข้าสู่ศูนย์เมื่อ( u , v ) → (0, s )และγ ( u , v ) ก็เช่นกัน บน สาขาเดียวของγ ( b )เป็นจริงตามธรรมชาติ ดังนั้นγ ( s , 0) = 0สำหรับs ที่มีส่วนจริงเป็นบวกจึงเป็นลิมิตต่อเนื่องนอกจากนี้ โปรดทราบว่าการต่อเนื่องดังกล่าวไม่ใช่การวิเคราะห์ แต่อย่าง ใด

ความสัมพันธ์เชิงพีชคณิตและสมการเชิงอนุพันธ์ ทั้งหมด ที่สังเกตได้จากγ ( s , z ) จริงนั้น ใช้ได้กับคู่โฮโลมอร์ฟิกของมันด้วยเช่นกัน นี่เป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทเอกลักษณ์ที่ระบุว่าสมการระหว่างฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่ใช้ได้ในช่วงจริงนั้นใช้ได้ทุกที่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความสัมพันธ์เวียนเกิด^{[ 2 ]}และ∂γ ( s , z )/ ∂z = z ^{s −1} e ^{− z [ 2 ]}จะถูกรักษาไว้ในสาขาที่สอดคล้องกัน

ความสัมพันธ์สุดท้ายบอกเราว่า สำหรับs ที่กำหนดไว้ γ เป็นฟังก์ชันดั้งเดิมหรือฟังก์ชันปฏิอนุพันธ์ของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกz ^{s −1} e ^{− z}ดังนั้น สำหรับจำนวนเชิงซ้อนu ใดๆ v ≠ 0จะ เป็นจริง ตราบใดที่เส้นทางการอินทิเกรตทั้งหมดอยู่ในโดเมนของสาขาของอินทิกรัลแกรนด์ นอกจากนี้ หากส่วนจริงของsเป็นบวก ลิมิตγ ( s , u ) → 0สำหรับu → 0จะใช้ได้ ในที่สุดก็จะมาถึงนิยามอินทิกรัลเชิงซ้อนของγ ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \int _{u}^{v}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt=\gamma (s,v)-\gamma (s,u)}$$$${\displaystyle \gamma (s,z)=\int _{0}^{z}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt,\,\Re (s)>0.}$$

เส้นทางการอินทิเกรตใดๆ ที่มี 0 เฉพาะที่จุดเริ่มต้นเท่านั้น นอกเหนือจากนั้นจะถูกจำกัดอยู่ในโดเมนของสาขาของตัวถูกอินทิเกรต ก็ถือว่าใช้ได้ในที่นี้ ตัวอย่างเช่น เส้นตรงที่เชื่อมระหว่าง 0และz

เมื่อพิจารณาการแสดงอินทิกรัลของสาขาหลักของγ สมการต่อไปนี้จะเป็นจริงสำหรับ s และ x ที่เป็นจำนวนจริงบวกทั้งหมด: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)}$$

ผลลัพธ์นี้ขยายไปยังs ที่ซับซ้อน สมมติก่อนว่า1 ≤ Re( s ) ≤ 2และ1 < a < bจากนั้น โดยที่^{[ 8 ]} ถูกใช้ตรงกลาง เนื่องจากปริพันธ์สุดท้ายจะมีค่าเล็กมากหากaมีค่ามากพอγ ( s , x )จะลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอสำหรับx → ∞บนแถบ1 ≤ Re(s) ≤ 2ไปสู่ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก^{[ 3 ]}ซึ่งจะต้องเป็น Γ(s) เนื่องจากทฤษฎีบทเอกลักษณ์ เมื่อพิจารณาลิมิตในความสัมพันธ์เวียนเกิดγ ( s , x ) = ( s − 1) γ ( s − 1, x ) − x ^{s − 1} e ^{− x}และสังเกตว่า lim x ⁿ e ^{− x} = 0สำหรับx → ∞และn ทุกตัว แสดงให้เห็นว่าγ ( s , x )ลู่เข้าภายนอกแถบด้วยเช่นกัน ไปสู่ฟังก์ชันที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิดของฟังก์ชัน Γ ดังนั้น สำหรับ s เชิงซ้อนทั้งหมดที่ไม่ใช่จำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวกx เป็นจำนวน จริง และγเป็นจำนวนหลัก $${\displaystyle \left|\gamma (s,b)-\gamma (s,a)\right|\leq \int _{a}^{b}\left|t^{s-1}\right|e^{-t}\,dt=\int _{a}^{b}t^{\Re s-1}e^{-t}\,dt\leq \int _{a}^{b}te^{-t}\,dt}$$$${\displaystyle \left|z^{s}\right|=\left|z\right|^{\Re s}\,e^{-\Im s\arg z}}$$$${\displaystyle \Gamma (s)=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)}$$

ตอนนี้ให้uมาจากภาคส่วน| arg z | < δ < π /2โดยที่δ คงที่ ( α = 0 ) γเป็นสาขาหลักในภาคส่วนนี้ และพิจารณาที่ $${\displaystyle \Gamma (s)-\gamma (s,u)=\Gamma (s)-\gamma (s,|u|)+\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u)}$$

ดังแสดงข้างต้น ความแตกต่างแรกสามารถทำให้เล็กได้ตามอำเภอใจ หาก| u |มีค่ามากพอ ความแตกต่างที่สองช่วยให้สามารถประมาณค่าได้ดังนี้: โดยที่เราใช้การแสดงอินทิกรัลของ^{γ และสูตรเกี่ยวกับ |zs} |ข้างต้นหากเราอินทิเกรตตามส่วนโค้งที่มีรัศมีR = | u |รอบ 0 ที่เชื่อมต่อuและ| u |แล้ว อินทิกรัลสุดท้ายคือ โดยที่M = δ (cos δ ) ^{− Re s} e ^{Im sδ}เป็นค่าคงที่ที่ไม่ขึ้นอยู่กับuหรือRอีกครั้ง เมื่ออ้างอิงถึงพฤติกรรมของx ⁿ e ^{− x}สำหรับx ที่มีค่ามาก เราจะเห็นว่านิพจน์สุดท้ายเข้าใกล้ 0 เมื่อRเพิ่มขึ้นไปทาง∞โดยรวมแล้ว ตอนนี้เรามี: ถ้าsไม่ใช่จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ0 < ε < π /2จะมีค่าเล็กตามอำเภอใจ แต่คงที่ และγแทนสาขาหลักในโดเมนนี้ $${\displaystyle \left|\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u)\right|\leq \int _{u}^{|u|}\left|z^{s-1}e^{-z}\right|dz=\int _{u}^{|u|}\left|z\right|^{\Re s-1}\,e^{-\Im s\,\arg z}\,e^{-\Re z}\,dz,}$$$${\displaystyle \leq R\left|\arg u\right|R^{\Re s-1}\,e^{\Im s\,|\arg u|}\,e^{-R\cos \arg u}\leq \delta \,R^{\Re s}\,e^{\Im s\,\delta }\,e^{-R\cos \delta }=M\,(R\,\cos \delta )^{\Re s}\,e^{-R\cos \delta }}$$$${\displaystyle \Gamma (s)=\lim _{|z|\to \infty }\gamma (s,z),\quad \left|\arg z\right|<\pi /2-\epsilon ,}$$

${\displaystyle \gamma (s,z)}$เป็น:

• ทั้งหมดในzสำหรับจำนวนเต็มบวกคงที่s ;
• ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกหลายค่าในzสำหรับค่าs คงที่ที่ ไม่ใช่จำนวนเต็ม โดยมีจุดแยกสาขาที่z = 0
• บนแต่ละสาขาเมโรเมอร์ฟิกในsสำหรับค่าz ≠ 0 ที่กำหนดไว้ โดยมีขั้วเดี่ยวอยู่ที่จำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวก s

สำหรับฟังก์ชันแกมมาที่ไม่สมบูรณ์ด้านบน การขยาย แบบโฮโลมอร์ฟิกเมื่อเทียบกับzหรือsจะได้รับจาก^{[ 1 ]} ที่จุด( s , z )ซึ่งด้านขวามือมีอยู่ เนื่องจากมีค่าหลายค่า จึงใช้หลักการเดียวกันสำหรับแต่การจำกัดเฉพาะค่าหลักจะให้สาขาหลักที่มีค่าเดียวของเท่านั้น $${\displaystyle \Gamma (s,z)=\Gamma (s)-\gamma (s,z)}$$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$

เมื่อsเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวกในสมการข้างต้น ส่วนใดส่วนหนึ่งของผลต่างจะไม่สามารถหาค่าได้ และกระบวนการหาลิมิต ซึ่งในที่นี้พัฒนาขึ้นสำหรับs → 0จะเติมค่าที่หายไปการวิเคราะห์เชิงซ้อนรับประกันความเป็นโฮโลมอร์ ฟิก เนื่องจากพิสูจน์ได้ว่ามีขอบเขตในบริเวณใกล้เคียง ของลิมิตนั้นสำหรับค่า zที่กำหนดไว้ ${\displaystyle \Gamma (s,z)}$

เพื่อกำหนดลิมิต อนุกรมกำลังของที่z = 0มีประโยชน์ เมื่อแทนที่ด้วยอนุกรมกำลังในนิยามอินทิกรัลของจะได้ (สมมติว่าx , sเป็นจำนวนจริงบวกในตอนนี้): หรือ^{[ 4 ]} ซึ่งในฐานะที่เป็นการแสดงอนุกรมของฟังก์ชันทั้งหมด จะลู่เข้าสำหรับx เชิงซ้อนทั้งหมด (และs เชิงซ้อนทั้งหมด ที่ไม่ใช่จำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวก) ${\displaystyle \gamma ^{*}}$${\displaystyle e^{-x}}$${\displaystyle \gamma }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (s,x)&=\int _{0}^{x}t^{s-1}e^{-t}\,dt=\int _{0}^{x}\sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\right)^{k}\,{\frac {t^{s+k-1}}{k!}}\,dt\\[1ex]&=\sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\right)^{k}\,{\frac {x^{s+k}}{k!(s+k)}}=x^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!(s+k)}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \gamma ^{*}(s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!\,\Gamma (s)(s+k)}},}$$${\displaystyle \gamma ^{*}}$

เมื่อยกเลิกข้อจำกัดเรื่องค่าจริงแล้ว อนุกรมนี้จึงสามารถขยายขอบเขตได้: $${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (s,z)-{\frac {1}{s}}&=-{\frac {1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k!(s+k)}}\\[1ex]&={\frac {z^{s}-1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(-z\right)^{k}}{k!(s+k)}},&\Re (s)>-1,\,s\neq 0.\end{aligned}}}$$

เมื่อs → 0 : ^{[ 9 ]} ( คือค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเชโรนีในที่นี้) ดังนั้น จึง เป็นฟังก์ชันลิมิตของฟังก์ชันแกมมาที่ไม่สมบูรณ์ด้านบนเมื่อs → 0 หรือที่รู้จักกัน ในชื่ออินทิกรัลเอกซ์โพเนนเชียล^{[ 10 ]}$${\displaystyle {\frac {z^{s}-1}{s}}\to \ln(z),\quad \Gamma (s)-{\frac {1}{s}}={\frac {1}{s}}-\gamma +O(s)-{\frac {1}{s}}\to -\gamma ,}$$${\displaystyle \gamma }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (0,z)&=\lim _{s\to 0}\left(\Gamma (s)-{\tfrac {1}{s}}-\left(\gamma (s,z)-{\tfrac {1}{s}}\right)\right)\\&=-\gamma -\ln(z)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(-z\right)^{k}}{k\,(k!)}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle E_{1}(z)}$

โดยอาศัยความสัมพันธ์เวียนเกิด ค่าของจำนวนเต็มบวกnสามารถหาได้จากผลลัพธ์นี้^{[ 11 ]} ดังนั้นฟังก์ชันแกมมาที่ไม่สมบูรณ์ด้านบนจึงพิสูจน์ได้ว่ามีอยู่จริงและเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก ทั้งกับzและsสำหรับsและz ≠ 0ทั้งหมด ${\displaystyle \Gamma (-n,z)}$$${\displaystyle \Gamma (-n,z)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {e^{-z}}{z^{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}(n-k-1)!\,z^{k}+\left(-1\right)^{n}\Gamma (0,z)\right)}$$

${\displaystyle \Gamma (s,z)}$เป็น:

• ทั้งหมดในzสำหรับค่าอินทิกรัลบวกคงที่s ;
• ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกหลายค่าในzสำหรับค่าs คงที่ ที่ไม่เป็นศูนย์และไม่ใช่จำนวนเต็มบวก โดยมีจุดแยกสาขาที่z = 0
• เท่ากับสำหรับsที่มีส่วนจริงเป็นบวกและz = 0 (ลิมิตเมื่อ) แต่นี่เป็นการขยายแบบต่อเนื่อง ไม่ใช่แบบวิเคราะห์ ( ไม่เป็นจริงสำหรับs จริง < 0 !)${\displaystyle \Gamma (s)}$${\displaystyle (s_{i},z_{i})\to (s,0)}$
• บนแต่ละสาขาทั้งหมดในsสำหรับค่าz ≠ 0ที่ กำหนดไว้

• ${\displaystyle \Gamma (s+1,1)={\frac {\lfloor es!\rfloor }{e}}}$ถ้าsเป็นจำนวนเต็มบวก
• ${\displaystyle \Gamma (s,x)=(s-1)!\,e^{-x}\sum _{k=0}^{s-1}{\frac {x^{k}}{k!}}}$ถ้าsเป็นจำนวนเต็มบวก^{[ 12 ]}
• ${\displaystyle \Gamma (s,0)=\Gamma (s),\Re (s)>0}$,
• ${\displaystyle \Gamma (1,x)=e^{-x}}$,
• ${\displaystyle \gamma (1,x)=1-e^{-x}}$,
• ${\displaystyle \Gamma (0,x)=-\operatorname {Ei} (-x)}$สำหรับ,${\displaystyle x>0}$
• ${\displaystyle \Gamma (s,x)=x^{s}\operatorname {E} _{1-s}(x)}$,
• ${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatorname {erfc} \left({\sqrt {x}}\right)}$,
• ${\displaystyle \gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatorname {erf} \left({\sqrt {x}}\right)}$.

ในที่นี้คือปริพันธ์เลขชี้กำลังคือปริพันธ์เลขชี้กำลังทั่วไปคือฟังก์ชันความ คลาดเคลื่อนและคือฟังก์ชันความคลาดเคลื่อนเสริม${\displaystyle \operatorname {Ei} }$${\displaystyle \operatorname {E} _{n}}$${\displaystyle \operatorname {erf} }$${\displaystyle \operatorname {erfc} }$${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)=1-\operatorname {erf} (x)}$

• ${\displaystyle {\frac {\gamma (s,x)}{x^{s}}}\to {\frac {1}{s}}}$เช่น,${\displaystyle x\to 0}$
• ${\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s}}}\to -{\frac {1}{s}}}$เนื่องจาก( สำหรับ ค่า sจริงข้อผิดพลาดของΓ( s , x ) ~ − x ^s / sอยู่ในลำดับO ( x ^{min{ s + 1, 0}} )ถ้าs ≠ −1และO (ln( x ))ถ้าs = −1 )${\displaystyle x\to 0}$${\displaystyle \Re (s)<0}$
• ${\displaystyle \Gamma (s,x)\sim \Gamma (s)-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{s+n}}{n!(s+n)}}}$เป็นอนุกรมเชิงเส้นกำกับที่และ. ^{[ 13 ]}${\displaystyle x\to 0^{+}}$${\displaystyle s\neq 0,-1,-2,\dots }$
• ${\displaystyle \Gamma (-N,x)\sim C_{N}+{\frac {(-1)^{N+1}}{N!}}\ln x-\sum _{n=0,n\neq N}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{n-N}}{n!(n-N)}}}$เป็นอนุกรมเชิงเส้นกำกับโดยที่และโดยที่โดยที่คือค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเชโรนี^{[ 13 ]}${\displaystyle x\to 0^{+}}$${\displaystyle N=1,2,\dots }$${\textstyle C_{N}={\frac {(-1)^{N+1}}{N!}}\left(\gamma -\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}\right)}$${\displaystyle \gamma }$
• ${\displaystyle \gamma (s,x)\to \Gamma (s)}$เช่น[ ^{14 ]​}${\displaystyle x\to \infty }$
• ${\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s-1}e^{-x}}}\to 1}$เช่น^{[ 15 ]}​${\displaystyle x\to \infty }$
• ถ้า≥ 0 เป็นค่าจริงให้เป็นอนุกรมเชิงเส้นกำกับโดยที่และ. ^{[ 16 ]}${\displaystyle s}$${\displaystyle \Gamma (s,z)\sim z^{s-1}e^{-z}\sum _{k=0}{\frac {\Gamma (s)}{\Gamma (s-k)}}z^{-k}}$${\displaystyle |z|\to \infty }$${\displaystyle \left|\arg z\right|<{\tfrac {3}{2}}\pi }$

ฟังก์ชันแกมมาล่างสามารถประเมินได้โดยใช้การขยายอนุกรมกำลัง: ^{[ 17 ]} โดยที่คือสัญลักษณ์ Pochhammer$${\displaystyle \gamma (s,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{s}e^{-z}z^{k}}{s(s+1)\dots (s+k)}}=z^{s}e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\dfrac {z^{k}}{s^{\overline {k+1}}}}}$$${\displaystyle s^{\overline {k+1}}}$

การขยายอีกแบบหนึ่งคือ โดยที่M คือ ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบบรรจบกันของ Kummer$${\displaystyle \gamma (s,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\frac {z^{s+k}}{s+k}}={\frac {z^{s}}{s}}M(s,s+1,-z),}$$

เมื่อส่วนจริงของzเป็นค่าบวก รัศมีของการลู่เข้าจะเป็น อนันต์$${\displaystyle \gamma (s,z)=s^{-1}z^{s}e^{-z}M(1,s+1,z)}$$$${\displaystyle M(1,s+1,z)=1+{\frac {z}{(s+1)}}+{\frac {z^{2}}{(s+1)(s+2)}}+{\frac {z^{3}}{(s+1)(s+2)(s+3)}}+\cdots }$$

โดยใช้ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกที่บรรจบกัน อีกครั้ง และใช้เอกลักษณ์ของคุมเมอร์ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (s,z)&=e^{-z}U(1{-}s,1{-}s,z)={\frac {z^{s}e^{-z}}{\Gamma (1-s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u^{s}(z+u)}}du\\&=e^{-z}z^{s}U(1,1{+}s,z)=e^{-z}\int _{0}^{\infty }e^{-u}(z+u)^{s-1}du\\&=e^{-z}z^{s}\int _{0}^{\infty }e^{-zu}(1+u)^{s-1}du.\end{aligned}}}$$

สำหรับการคำนวณค่าตัวเลขจริงนั้น การกระจาย เศษส่วนต่อเนื่องของเกาส์มีประโยชน์อย่างมาก: $${\displaystyle \gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{s-{\cfrac {sz}{s+1+{\cfrac {z}{s+2-{\cfrac {(s+1)z}{s+3+{\cfrac {2z}{s+4-{\cfrac {(s+2)z}{s+5+{\cfrac {3z}{s+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$$

เศษส่วนต่อเนื่องนี้จะลู่เข้าสำหรับค่า zเชิงซ้อนทั้งหมดโดยมีเงื่อนไขเพียงว่าsต้องไม่ใช่จำนวนเต็มลบ

ฟังก์ชันแกมมาบนมีเศษส่วนต่อเนื่อง^{[ 18 ]} และ $${\displaystyle \Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{z+{\cfrac {1-s}{1+{\cfrac {1}{z+{\cfrac {2-s}{1+{\cfrac {2}{z+{\cfrac {3-s}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}$$$${\displaystyle \Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{1+z-s+{\cfrac {s-1}{3+z-s+{\cfrac {2(s-2)}{5+z-s+{\cfrac {3(s-3)}{7+z-s+{\cfrac {4(s-4)}{9+z-s+\ddots }}}}}}}}}}}$$

ทฤษฎีบทการคูณต่อไปนี้เป็นจริง: $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (s,z)&={\frac {1}{t^{s}}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}\Gamma (s+i,tz)\\&=\Gamma (s,tz)-(tz)^{s}e^{-tz}\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{i}}{i}}L_{i-1}^{(s-i)}(tz).\end{aligned}}}$$

ฟังก์ชันแกมมาที่ไม่สมบูรณ์มีให้ใช้งานใน ระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์ ต่างๆ

ถึงแม้จะไม่สามารถหาค่าฟังก์ชันที่ไม่สมบูรณ์ได้โดยตรง แต่ก็สามารถคำนวณได้โดยใช้ฟังก์ชันที่มักมีอยู่ในโปรแกรมสเปรดชีต (และโปรแกรมพีชคณิตคอมพิวเตอร์) ตัวอย่างเช่น ในExcelสามารถคำนวณได้โดยใช้ฟังก์ชันแกมมาควบคู่กับฟังก์ชัน การแจกแจงแกมมา

• ฟังก์ชันที่ไม่สมบูรณ์ด้านล่าง: .${\displaystyle \gamma (s,x)}$ = EXP(GAMMALN(s))*GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE)
• ฟังก์ชันที่ไม่สมบูรณ์ด้านบน: .${\displaystyle \Gamma (s,x)}$ = EXP(GAMMALN(s))*(1-GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE))

สิ่งเหล่านี้เป็นผลมาจากนิยามของ ฟังก์ชันการ กระจาย สะสมของการแจกแจงแกมมา

ในPythonไลบรารี Scipy มีการใช้งานฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์scipy.specialแต่ไม่รองรับค่าลบสำหรับอาร์กิวเมนต์ตัวแรก ในขณะที่ฟังก์ชันgammaincจากไลบรารี mpmath รองรับอาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด

ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องสองฟังก์ชันคือฟังก์ชันแกมมาแบบปรับค่า: คือฟังก์ชันการกระจายสะสมสำหรับตัวแปรสุ่มแกมมาที่มีพารามิเตอร์รูปร่างและพารามิเตอร์มาตราส่วนเท่ากับ 1 $${\displaystyle {\begin{aligned}P(s,x)&={\frac {\gamma (s,x)}{\Gamma (s)}},\\[1ex]Q(s,x)&={\frac {\Gamma (s,x)}{\Gamma (s)}}=1-P(s,x).\end{aligned}}}$$${\displaystyle P(s,x)}$${\displaystyle s}$

เมื่อเป็นจำนวนเต็มคือฟังก์ชันการกระจายสะสมสำหรับตัวแปรสุ่มปัวซง : ถ้าเป็นตัวแปรสุ่มแล้ว ${\displaystyle s}$${\displaystyle Q(s+1,\lambda )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathrm {Poi} (\lambda )}$$${\displaystyle \Pr(X\leq s)=\sum _{i\leq s}e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}={\frac {\Gamma (s+1,\lambda )}{\Gamma (s+1)}}=Q(s+1,\lambda ).}$$

สูตรนี้สามารถได้มาจากการอินทิเกรตแบบแยกส่วนซ้ำๆ

${\displaystyle P(s,x)}$และ ถูกนำไป ใช้ เป็น^{[ 19 ]}และ^{[ 20 ]}ในscipy${\displaystyle Q(s,x)}$gammaincgammaincc

โดยใช้การแสดงอินทิกรัลข้างต้น อนุพันธ์ของฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์บนเทียบกับxคือ อนุพันธ์เทียบกับอาร์กิวเมนต์แรกกำหนดโดย^{[ 21 ]} และอนุพันธ์อันดับสองโดย โดย ที่ฟังก์ชันเป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชัน Meijer G กรณีพิเศษนี้มี คุณสมบัติ การปิด ภายใน ของตัวเอง เนื่องจากสามารถใช้เพื่อแสดงอนุพันธ์ที่ต่อเนื่อง ทั้งหมดได้ โดยทั่วไป โดย ที่คือการเรียงสับเปลี่ยนที่กำหนดโดยสัญลักษณ์ Pochhammer : อนุพันธ์ดังกล่าวทั้งหมดสามารถสร้างขึ้นตามลำดับจาก: และ ฟังก์ชันนี้สามารถคำนวณได้จากการแสดงอนุกรมที่ใช้ได้สำหรับ โดยเข้าใจว่า s ไม่ใช่จำนวนเต็มลบหรือศูนย์ ในกรณีดังกล่าว ต้องใช้ลิมิต ผลลัพธ์สำหรับ สามารถหาได้โดยการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ กรณีพิเศษบางกรณีของฟังก์ชันนี้สามารถทำให้ง่าย ขึ้นได้ตัวอย่างเช่น, , โดยที่คือ อินทิ กรัลเลขชี้กำลัง อนุพันธ์เหล่านี้และฟังก์ชันให้คำตอบที่แน่นอนสำหรับอินทิกรัลจำนวนหนึ่งโดยการหาอนุพันธ์ซ้ำๆ ของนิยามอินทิกรัลของฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์บน^{[ 22 ] [ 23 ]} ตัวอย่างเช่น สูตรนี้สามารถขยายหรือทำให้เป็นแบบทั่วไปได้มากขึ้นสำหรับการแปลงลาปลาสและการแปลงเมลลิน จำนวนมาก เมื่อรวมกับระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์การใช้ฟังก์ชันพิเศษจะให้วิธีการที่มีประสิทธิภาพในการแก้ปัญหาอินทิกรัลจำกัด โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่พบในงานวิศวกรรมเชิงปฏิบัติ (ดูรายละเอียดเพิ่มเติมในหัวข้อ การอินทิเกรตเชิงสัญลักษณ์ )${\displaystyle \Gamma (s,x)}$$${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial x}}=-x^{s-1}e^{-x}}$$${\displaystyle s}$$${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial s}}=\ln x\Gamma (s,x)+x\,T(3,s,x)}$$$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Gamma (s,x)}{\partial s^{2}}}=\ln ^{2}x\Gamma (s,x)+2x\left[\ln x\,T(3,s,x)+T(4,s,x)\right]}$$${\displaystyle T(m,s,x)}$$${\displaystyle T(m,s,x)=G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,0,\dots ,0\\s-1,-1,\dots ,-1\end{matrix}}\;\right|\,x\right).}$$$${\displaystyle {\frac {\partial ^{m}\Gamma (s,x)}{\partial s^{m}}}=\ln ^{m}x\Gamma (s,x)+mx\,\sum _{n=0}^{m-1}P_{n}^{m-1}\ln ^{m-n-1}x\,T(3+n,s,x)}$$${\displaystyle P_{j}^{n}}$$${\displaystyle P_{j}^{n}={\binom {n}{j}}j!={\frac {n!}{(n-j)!}}.}$$$${\displaystyle {\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial s}}=\ln x~T(m,s,x)+(m-1)T(m+1,s,x)}$$$${\displaystyle {\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial x}}=-{\frac {T(m-1,s,x)+T(m,s,x)}{x}}}$$${\displaystyle T(m,s,x)}$${\displaystyle |z|<1}$$${\displaystyle T(m,s,z)=-{\frac {\left(-1\right)^{m-1}}{(m-2)!}}\left.{\frac {d^{m-2}}{dt^{m-2}}}\left[\Gamma (s-t)z^{t-1}\right]\right|_{t=0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}z^{s-1+n}}{n!\left(-s-n\right)^{m-1}}}}$$${\displaystyle |z|\geq 1}$${\displaystyle T(2,s,x)=\Gamma (s,x)/x}$${\displaystyle x\,T(3,1,x)=\mathrm {E} _{1}(x)}$${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(x)}$${\displaystyle T(m,s,x)}$$${\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}\ln ^{m}t}{e^{t}}}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{t}}}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\Gamma (s,x)}$$

อินทิกรัลไม่จำกัดต่อไปนี้สามารถหาได้โดยง่ายโดยใช้การอินทิเกรตโดยส่วน (โดยละเว้นค่าคงที่ของการอินทิ เกรต ในทั้งสองกรณี): ฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์ล่างและบนเชื่อมโยงกันผ่านการแปลงฟูริเยร์ : สิ่งนี้เป็นไปตามตัวอย่างเช่น โดยการกำหนดค่าเฉพาะที่เหมาะสมของ ( Gradshteyn et al. 2015 , §7.642) $${\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{b-1}\gamma (s,x)\,dx&={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\gamma (s,x)-\gamma (s+b,x)\right),\\[1ex]\int x^{b-1}\Gamma (s,x)\,dx&={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\Gamma (s,x)-\Gamma (s+b,x)\right).\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma \left({\frac {s}{2}},z^{2}\pi \right)}{(z^{2}\pi )^{\frac {s}{2}}}}e^{-2\pi ikz}dz={\frac {\Gamma \left({\frac {1-s}{2}},k^{2}\pi \right)}{(k^{2}\pi )^{\frac {1-s}{2}}}}.}$$

• ${\displaystyle P(a,x)}$— เครื่องคำนวณฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์ล่างแบบปรับปรุงแล้ว
• ${\displaystyle Q(a,x)}$— เครื่องคำนวณฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์บนแบบปรับปรุงแล้ว
• ${\displaystyle \gamma (a,x)}$— เครื่องคำนวณฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์ล่าง
• ${\displaystyle \Gamma (a,x)}$— เครื่องคำนวณฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์บน
• สูตรและเอกลักษณ์ของฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์ functions.wolfram.com