ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชัน ไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบบรรจบ (confluent hypergeometric function)คือคำตอบของสมการ ไฮเปอร์จี โอเมตริกแบบบรรจบ ซึ่งเป็นรูปแบบเสื่อมสภาพของ สมการเชิงอนุพันธ์ไฮเปอร์จีโอเมตริก โดยที่ จุดเอกฐานปกติสองในสาม จุด รวมกันเป็นจุดเอกฐานไม่ปกติคำว่า " บรรจบ " หมายถึงการรวมกันของจุดเอกฐานของกลุ่มสมการเชิงอนุพันธ์ คำ ว่า " confluere " มาจากภาษาละติน แปลว่า "ไหลรวมกัน" มีรูปแบบมาตรฐานทั่วไปหลายรูปแบบของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริก แบบบรรจบ :

• ฟังก์ชันของ Kummer (ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบบรรจบ) M ( a , b , z )ซึ่งแนะนำโดยKummer  ( 1837 ) เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ของ Kummerเรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบบรรจบชนิดแรก นอกจากนี้ยังมีฟังก์ชันของ Kummer อีกแบบหนึ่ง ที่มีชื่อเดียวกัน แต่ไม่เกี่ยวข้องกัน
• ฟังก์ชัน U ( a , b , z ) ของ Tricomi (ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบบรรจบกัน)ที่Francesco Tricomi  ( 1947 ) นำเสนอ บางครั้งอาจใช้สัญลักษณ์Ψ( a ; b ; z )เป็นอีกหนึ่งคำตอบของสมการของ Kummer ฟังก์ชันนี้ยังเป็นที่รู้จักในชื่อฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบบรรจบกันชนิดที่สองอีกด้วย
• ฟังก์ชันวิทเทเกอร์ (ตั้งชื่อตามเอ็ดมันด์ เทย์เลอร์ วิทเทเกอร์ ) คือคำตอบของสมการวิทเทเกอร์
• ฟังก์ชันคลื่นคูลอมบ์คือคำตอบของสมการคลื่นคูลอมบ์

ฟังก์ชัน Kummer ฟังก์ชัน Whittaker และฟังก์ชันคลื่น Coulomb นั้นโดยพื้นฐานแล้วเหมือนกัน และแตกต่างกันเพียงแค่ฟังก์ชันพื้นฐานและการเปลี่ยนตัวแปรเท่านั้น

สมการของ Kummer สามารถเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(bz){\frac {dw}{dz}}-aw=0,}$

โดยมีจุดเอกฐานปกติที่z = 0และจุดเอกฐานไม่ปกติที่z = ∞สมการนี้มีคำตอบ สองคำตอบ (โดยปกติ) ที่เป็นอิสระเชิงเส้นคือ M ( a , b , z )และU ( a , b , z )

ฟังก์ชัน Kummer ชนิดแรกMคืออนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกทั่วไปที่แนะนำใน ( Kummer 1837 ) โดยกำหนดดังนี้:

${\displaystyle M(a,b,z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}z^{n}}{b^{(n)}n!}}={}_{1}F_{1}(a;b;z),}$

ที่ไหน:

${\displaystyle a^{(0)}=1,}$

${\displaystyle a^{(n)}=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1)\,,}$

คือแฟกทอเรียลที่เพิ่มขึ้นสัญลักษณ์ที่ใช้กันทั่วไปอีกแบบสำหรับคำตอบนี้คือΦ( a , b , z )เมื่อพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันของa , bหรือzโดยที่อีกสองตัวคงที่ นี่จะนิยามฟังก์ชันทั้งหมดของaหรือzยกเว้นเมื่อb = 0, -1, -2, ...ในฐานะฟังก์ชันของbมันเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ยกเว้นขั้วที่จำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวก

ค่าบางค่าของaและbจะให้คำตอบที่สามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันอื่นที่ทราบแล้ว ดู#กรณีพิเศษเมื่อaเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวก ฟังก์ชันของ Kummer (ถ้ามีการนิยามไว้) จะเป็นพหุนาม Laguerre แบบ ทั่วไป

เช่นเดียวกับที่สมการเชิงอนุพันธ์แบบบรรจบกันเป็นลิมิตของสมการเชิงอนุพันธ์ไฮเปอร์จีโอเมตริกเมื่อจุดเอกฐานที่ 1 เคลื่อนเข้าหาจุดเอกฐานที่ ∞ ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบบรรจบกันก็สามารถกำหนดได้ว่าเป็นลิมิตของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริก

${\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;z/b)}$

และคุณสมบัติหลายประการของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบบรรจบกันนั้นเป็นกรณีจำกัดของคุณสมบัติของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริก

เนื่องจากสมการของ Kummer เป็นสมการอันดับสอง จึงต้องมีคำตอบอื่นที่เป็นอิสระ สมการบ่งชี้ของวิธีของ Frobenius บอกเราว่ากำลังต่ำสุดของอนุกรมกำลังที่เป็นคำตอบของสมการ Kummer คือ 0 หรือ1 − bถ้าเราให้w ( z )เป็น

${\displaystyle w(z)=z^{1-b}วี(z)}$

จากนั้นสมการเชิงอนุพันธ์จะให้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle z^{2-b}{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+2(1-b)z^{1-b}{\frac {dv}{dz}}-b(1-b)z^{-b}v+(bz)\left[z^{1-b}{\frac {dv}{dz}}+(1-b)z^{-b}v\right]-az^{1-b}v=0}$

ซึ่งเมื่อหารz ^{1− b} ออก และทำให้ง่ายขึ้น จะได้

${\displaystyle z{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+(2-bz){\frac {dv}{dz}}-(a+1-b)v=0.}$

นี่หมายความว่าz ^{1− b} M ( a + 1 − b , 2 − b , z )เป็นคำตอบตราบใดที่bไม่ใช่จำนวนเต็มที่มากกว่า 1 เช่นเดียวกับM ( a , b , z )เป็นคำตอบตราบใดที่bไม่ใช่จำนวนเต็มที่น้อยกว่า 1 เรายังสามารถใช้ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบบรรจบกันของ Tricomi U ( a , b , z )ที่แนะนำโดยFrancesco Tricomi  ( 1947 ) และบางครั้งใช้สัญลักษณ์Ψ( a ; b ; z )ซึ่งเป็นการรวมกันของสองคำตอบข้างต้นที่กำหนดโดย

${\displaystyle U(a,b,z)={\frac {\Gamma (1-b)}{\Gamma (a+1-b)}}M(a,b,z)+{\frac {\Gamma (b-1)}{\Gamma (a)}}z^{1-b}M(a+1-b,2-b,z).}$

แม้ว่านิพจน์นี้จะไม่มีนิยามสำหรับจำนวนเต็มbแต่ก็มีข้อดีคือสามารถขยายไปยังจำนวนเต็มb ใดๆ ได้โดยอาศัยความต่อเนื่อง ต่างจากฟังก์ชันของ Kummer ซึ่งเป็นฟังก์ชันสมบูรณ์ของz U ( z )มักจะมีจุดเอกฐานที่ศูนย์ ตัวอย่างเช่น ถ้าb = 0และa ≠ 0แล้วΓ( a + 1) U ( a , b , z ) − 1จะมีค่าเข้าใกล้az ln zเมื่อzเข้าใกล้ศูนย์ แต่โปรดดู#กรณีพิเศษสำหรับตัวอย่างบางส่วนที่มันเป็นฟังก์ชันสมบูรณ์ (พหุนาม)

โปรดทราบว่าคำตอบz ^{1− b} U ( a + 1 − b , 2 − b , z )ของสมการของ Kummer นั้นเหมือนกับคำตอบU ( a , b , z )ดู#การแปลงของ Kummer

สำหรับค่าจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน aและbส่วนใหญ่ฟังก์ชันM ( a , b , z )และU ( a , b , z )จะเป็นอิสระต่อกัน และถ้าbเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวก ดังนั้นM ( a , b , z )จะไม่มีอยู่จริง เราอาจสามารถใช้z ^{1− b} M ( a + 1− b , 2− b , z )เป็นคำตอบที่สองได้ แต่ถ้าaเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวกและbไม่ใช่จำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวก แล้วU ( z )จะเป็นพหุคูณของM ( z )ในกรณีนั้นเช่นกันz ^{1− b} M ( a + 1− b , 2− b , z )สามารถใช้เป็นคำตอบที่สองได้หากมีอยู่และแตกต่างกัน แต่เมื่อbเป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 คำตอบนี้จะไม่มีอยู่จริง และถ้าb = 1 คำตอบ นี้จะมีอยู่แต่เป็นพหุคูณของU ( a , b , z )และของM ( a , b , z )ในกรณีเหล่านั้นจะมีคำตอบที่สองซึ่งมีรูปแบบดังต่อไปนี้และใช้ได้กับจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนa ใดๆ และจำนวนเต็มบวกb ใดๆ ยกเว้นเมื่อaเป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่าb :

${\displaystyle M(a,b,z)\ln z+z^{1-b}\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}z^{k}}$

เมื่อa = 0 เราสามารถใช้ทางเลือกอื่นได้ดังนี้:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{z}(-u)^{-b}e^{u}\mathrm {d} u.}$

เมื่อb = 1นี่คือ อินทิกรั ล เลขชี้กำลังE ₁ ( −z )

ปัญหาที่คล้ายกันเกิดขึ้นเมื่อa − bเป็นจำนวนเต็มลบ และbเป็นจำนวนเต็มที่น้อยกว่า 1 ในกรณีนี้M ( a , b , z )ไม่มีอยู่จริง และU ( a , b , z )เป็นพหุคูณของz ^{1− b} M ( a +1− b , 2− b , z )ดังนั้น วิธีแก้ปัญหาที่สองจึงมีรูปแบบดังนี้:

${\displaystyle z^{1-b}M(a+1-b,2-b,z)\ln z+\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}z^{k}}$

ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบต่อเนื่องสามารถใช้แก้สมการไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบต่อเนื่องขยาย ซึ่งมีรูปแบบทั่วไปดังนี้:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-\left(\sum _{m=0}^{M}a_{m}z^{m}\right)w=0}$^{[ 1 ]}

โปรดทราบว่าสำหรับM = 0หรือเมื่อผลรวมเกี่ยวข้องกับพจน์เดียวเท่านั้น จะลดรูปเป็นสมการไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบต่อเนื่องทั่วไป

ดังนั้น ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบต่อเนื่องจึงสามารถใช้แก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับสอง "ส่วนใหญ่" ที่มีสัมประสิทธิ์ตัวแปรเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของz ได้ เนื่องจากสามารถแปลงเป็นสมการไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบต่อเนื่องแบบขยายได้ พิจารณาสมการต่อไปนี้:

${\displaystyle (A+Bz){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0}$

ขั้นแรก เราย้ายจุดเอกฐานปกติไปที่0โดยใช้การแทนที่A + Bz ↦ zซึ่งจะแปลงสมการเป็น:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0}$

โดยใช้ค่าใหม่ของC, D, EและFต่อไปเราจะใช้การแทนที่:

${\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{\sqrt {D^{2}-4F}}}z}$

และคูณสมการด้วยตัวประกอบเดียวกัน จะได้:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(C+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}z\right){\frac {dw}{dz}}+\left({\frac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}}+{\frac {F}{D^{2}-4F}}z\right)w=0}$

ซึ่งคำตอบคือ

${\displaystyle \exp \left(-\left(1+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}\right){\frac {z}{2}}\right)w(z),}$

โดยที่w ( z )คือคำตอบของสมการของ Kummer ที่มี

${\displaystyle a=\left(1+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}\right){\frac {C}{2}}-{\frac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}},\qquad b=C.}$

โปรดทราบว่ารากที่สองอาจให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจินตนาการหรือจำนวนเชิงซ้อนหากได้ค่าเป็นศูนย์ จะต้องใช้วิธีอื่นแทน นั่นคือ

${\displaystyle \exp \left(-{\tfrac {1}{2}}Dz\right)w(z),}$

โดยที่w ( z )คือฟังก์ชันลิมิตไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบบรรจบกันที่สอดคล้องกับเงื่อนไข

${\displaystyle zw''(z)+Cw'(z)+\left(E-{\tfrac {1}{2}}CD\right)w(z)=0.}$

ดังที่กล่าวไว้ด้านล่าง แม้แต่สมการเบสเซลก็สามารถแก้ได้โดยใช้ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบบรรจบกัน

ถ้าRe b > Re a > 0 , M ( a , b , z )สามารถแสดงได้ในรูปของอินทิกรัล

${\displaystyle M(a,b,z)={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (b-a)}}\int _{0}^{1}e^{zu}u^{a-1}(1-u)^{b-a-1}\,du.}$

ดังนั้นM ( a , a + b , it )คือฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของการแจกแจงเบต้าสำหรับค่า aที่มีส่วนจริงเป็นบวก ค่าUสามารถหาได้โดยใช้ปริพันธ์ลาปลาส

${\displaystyle U(a,b,z)={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\,dt,\quad (\operatorname {Re} \ a>0)}$

อินทิกรัลนี้กำหนดคำตอบในระนาบครึ่งขวาRe z > 0

นอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้ในรูปของอินทิกรัลของบาร์นส์

${\displaystyle M(a,b,z)={\frac {1}{2\pi i}}{\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (-s)\Gamma (a+s)}{\Gamma (b+s)}}(-z)^{s}ds}$

โดยที่เส้นโค้งผ่านไป ยัง ด้านหนึ่งของขั้วของΓ(− s )และไปยังอีกด้านหนึ่งของขั้วของΓ( a + s )

ถ้าคำตอบของสมการของ Kummer มีลักษณะเชิงเส้นกำกับของกำลังของzเมื่อz → ∞แล้วกำลังนั้นจะต้องเป็น− aในความเป็นจริงแล้ว คำตอบของ Tricomi U ( a , b , z ) ก็เป็นเช่นนั้น พฤติกรรมเชิงเส้นกำกับเมื่อz → ∞สามารถอนุมานได้จากการแสดงในรูปอินทิกรัล ถ้าz = x ∈ Rแล้วการเปลี่ยนตัวแปรในอินทิกรัลตามด้วยการขยายอนุกรมทวินามและอินทิเกรตอย่างเป็นทางการทีละพจน์จะทำให้เกิด การขยาย อนุกรมเชิงเส้นกำกับที่ใช้ได้เมื่อx → ∞ : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle U(a,b,x)\sim x^{-a}\,_{2}F_{0}\left(a,a-b+1;\,;-{\frac {1}{x}}\right),}$

โดยที่เป็นอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกทั่วไปที่มี 1 เป็นพจน์นำ ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะไม่ลู่เข้าที่ใด แต่มีอยู่จริงในรูปอนุกรมกำลังใน1/ xการขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกนี้ยังใช้ได้กับz เชิงซ้อนแทนที่จะเป็น xจริง โดยที่| arg z | < 3π /2${\displaystyle _{2}F_{0}(\cdot ,\cdot ;;-1/x)}$

พฤติกรรมเชิงอะซิ้มโทติกของคำตอบของ Kummer สำหรับค่า| z | ขนาดใหญ่ คือ:

${\displaystyle M(a,b,z)\sim \Gamma (b)\left({\frac {e^{z}z^{a-b}}{\Gamma (a)}}+{\frac {(-z)^{-a}}{\Gamma (b-a)}}\right)}$

กำลังของzจะถูกใช้โดยใช้−3 π /2 < arg z ≤ π /2 [ ^{3 ] ไม่}จำเป็นต้องใช้พจน์แรกเมื่อΓ( b − a )มีค่าจำกัด นั่นคือเมื่อb − aไม่ใช่จำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวก และส่วนจริงของzมีค่าเป็นลบอนันต์ ในขณะที่ไม่จำเป็นต้องใช้พจน์ที่สองเมื่อΓ( a )มีค่าจำกัด นั่นคือเมื่อaไม่ใช่จำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวก และส่วนจริงของzมีค่าเป็นบวกอนันต์

สมการของ Kummer จะมีคำตอบเสมอที่เข้าใกล้e ^z z ^{a − b}เมื่อz → −∞โดยปกติแล้วคำตอบนี้จะเป็นการรวมกันของทั้งM ( a , b , z )และU ( a , b , z )แต่ก็สามารถแสดงได้ในรูปe ^z (−1) ^{a - b} U ( b − a , b , − z )เช่น กัน

มีความสัมพันธ์มากมายระหว่างฟังก์ชัน Kummer สำหรับตัวแปรต่างๆ และอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านั้น ส่วนนี้จะยกตัวอย่างทั่วไปบางส่วน

กำหนดให้M ( a , b , z )ฟังก์ชันทั้งสี่M ( a ± 1, b , z ), M ( a , b ± 1, z )เรียกว่าฟังก์ชันต่อเนื่องกับM ( a , b , z )ฟังก์ชันM ( a , b , z )สามารถเขียนได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันต่อเนื่องสองฟังก์ชันใดๆ โดยมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะในรูปของa, bและzซึ่งจะได้(⁴ ₂) = 6ความสัมพันธ์ ซึ่งกำหนดโดยการระบุเส้นตรงสองเส้นใดๆ ทางด้านขวามือของ

${\displaystyle {\begin{aligned}z{\frac {dM}{dz}}=z{\frac {a}{b}}M(a+,b+)&=a(M(a+)-M)\\&=(b-1)(M(b-)-M)\\&=(b-a)M(a-)+(a-b+z)M\\&=z(a-b)M(b+)/b+zM\\\end{aligned}}}$

ในสัญลักษณ์ข้างต้นM = M ( a , b , z ) , M ( a +) = M ( a + 1, b , z )และอื่นๆ

การนำความสัมพันธ์เหล่านี้ไปใช้ซ้ำๆ จะได้ความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างฟังก์ชันสามฟังก์ชันใดๆ ในรูปแบบM ( a + m , b + n , z ) (และอนุพันธ์อันดับสูงกว่าของฟังก์ชันเหล่านั้น) โดยที่m , nเป็นจำนวนเต็ม

มีความสัมพันธ์ที่คล้ายคลึงกันสำหรับUด้วย

ฟังก์ชันของ Kummer ยังมีความสัมพันธ์กันผ่านการแปลงของ Kummer ด้วย:

${\displaystyle M(a,b,z)=e^{z}\,M(b-a,b,-z)}$

${\displaystyle U(a,b,z)=z^{1-b}U\left(1+a-b,2-b,z\right)}$.

ทฤษฎีบทการคูณต่อไปนี้เป็นจริง:

${\displaystyle {\begin{aligned}U(a,b,z)&=e^{(1-t)z}\sum _{i=0}{\frac {(t-1)^{i}z^{i}}{i!}}U(a,b+i,zt)\\&=e^{(1-t)z}t^{b-1}\sum _{i=0}{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}U(a-i,b-i,zt).\end{aligned}}}$

ในแง่ของพหุนามลากูร์ฟังก์ชันของคุมเมอร์มีการขยายหลายแบบ ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle M\left(a,b,{\frac {xy}{x-1}}\right)=(1-x)^{a}\cdot \sum _{n}{\frac {a^{(n)}}{b^{(n)}}}L_{n}^{(b-1)}(y)x^{n}}$( Erdélyi และคณะ 1953 , 6.12)

หรือ

${\displaystyle M\left(a,\,b,\,z\right)={\frac {\Gamma \left(1-a\right)\cdot \Gamma \left(b\right)}{\Gamma \left(b-a\right)}}\cdot L_{-a}^{(b-1)}\left(z\right)}$[1]

ฟังก์ชันที่สามารถแสดงได้ในรูปกรณีพิเศษของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบบรรจบกัน ได้แก่:

• ฟังก์ชันพื้นฐานบาง ฟังก์ชัน ที่ด้านซ้ายมือไม่นิยามเมื่อbเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวก แต่ด้านขวามือยังคงเป็นคำตอบของสมการ Kummer ที่เกี่ยวข้อง:

${\displaystyle M(0,b,z)=1}$

${\displaystyle U(0,c,z)=1}$

${\displaystyle M(b,b,z)=e^{z}}$

${\displaystyle U(a,a,z)=e^{z}\int _{z}^{\infty }u^{-a}e^{-u}du}$(พหุนาม ถ้าaเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวก)

${\displaystyle {\frac {U(1,b,z)}{\Gamma (b-1)}}+{\frac {M(1,b,z)}{\Gamma (b)}}=z^{1-b}e^{z}}$

${\displaystyle M(n,b,z)}$สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวกnจะเป็นพหุนามลากูร์แบบทั่วไป

${\displaystyle U(n,c,z)}$สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวกn นั้นเป็นผลคูณของพหุนามลากูร์แบบทั่วไป โดยมีค่าเท่ากับเมื่อพหุนามดังกล่าวมีอยู่จริง${\displaystyle {\tfrac {\Gamma (1-c)}{\Gamma (n+1-c)}}M(n,c,z)}$

${\displaystyle U(c-n,c,z)}$เมื่อnเป็นจำนวนเต็มบวก จะได้รูปแบบปิดที่มีกำลังของzเท่ากับเมื่อ z มีอยู่จริง${\displaystyle {\tfrac {\Gamma (c-1)}{\Gamma (c-n)}}z^{1-c}M(1-n,2-c,z)}$

${\displaystyle U(a,a+1,z)=z^{-a}}$

${\displaystyle U(-n,-2n,z)}$สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบnจะเป็นพหุนามเบสเซล (ดูรายละเอียดด้านล่าง)

${\displaystyle M(1,2,z)=(e^{z}-1)/z,\ \ M(1,3,z)=2!(e^{z}-1-z)/z^{2}}$เป็นต้น

เมื่อใช้ความสัมพันธ์ที่ต่อเนื่องกันเราจะได้ตัวอย่างเช่น${\displaystyle aM(a+)=(a+z)M+z(a-b)M(b+)/b}$${\displaystyle M(2,1,z)=(1+z)e^{z}.}$

• หน้าที่ของเบทแมน
• ฟังก์ชันเบสเซลและฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องอีกมากมาย เช่นฟังก์ชันแอรี่ ฟังก์ชัน เค ลวิน ฟังก์ชันแฮงเคลตัวอย่างเช่น ในกรณีพิเศษที่b = 2a ฟังก์ชันจะลดรูปเป็นฟังก์ชันเบสเซล :

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a,2a,x)=e^{x/2}\,{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)=e^{x/2}\left({\tfrac {x}{4}}\right)^{1/2-a}\Gamma \left(a+{\tfrac {1}{2}}\right)I_{a-1/2}\left({\tfrac {x}{2}}\right).}$

บางครั้งอัตลักษณ์นี้ก็ถูกเรียกว่าการแปลงร่างครั้งที่สอง ของคุมเมอร์ เช่นกัน ในทำนองเดียวกัน

${\displaystyle U(a,2a,x)={\frac {e^{x/2}}{\sqrt {\pi }}}x^{1/2-a}K_{a-1/2}(x/2),}$

เมื่อaเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวก ค่านี้จะเท่ากับ2 ^{− a} θ _{− a} ( x /2)โดยที่θคือพหุนามเบสเซล

• ฟังก์ชันความคลาดเคลื่อนสามารถแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\ {}_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}},-x^{2}\right).}$

• ฟังก์ชันคลื่นคูลอมบ์
• หน้าที่ของคันนิงแฮม
• อินทิกรัลเลขชี้กำลังและฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง เช่นอินทิกรัลไซน์อินทิกรัลลอการิทึม
• พหุนามเฮอร์ไมต์
• ฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์
• พหุนามลากูร์
• ฟังก์ชันทรงกระบอกพาราโบลา (หรือฟังก์ชันเวเบอร์)
• ฟังก์ชันปัวซง-ชาร์เลียร์
• ฟังก์ชันของโตรอนโต
• ฟังก์ชัน Whittaker M _κ,μ ( z ), W _κ,μ ( z )คือคำตอบของสมการ Whittakerที่สามารถแสดงในรูปของฟังก์ชัน Kummer MและUได้โดย

${\displaystyle M_{\kappa ,\mu }(z)=e^{-{\tfrac {z}{2}}}z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}$

${\displaystyle W_{\kappa ,\mu }(z)=e^{-{\tfrac {z}{2}}}z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}$

• โมเมนต์ดิบลำดับpทั่วไป ( pไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม) สามารถแสดงได้ดังนี้^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\left|N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)\right|^{p}\right]&={\frac {\left(2\sigma ^{2}\right)^{p/2}\Gamma \left({\tfrac {1+p}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}\ {}_{1}F_{1}\left(-{\tfrac {p}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\\operatorname {E} \left[N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)^{p}\right]&=\left(-2\sigma ^{2}\right)^{p/2}U\left(-{\tfrac {p}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

ในสูตรที่สอง สามารถเลือกการตัดสาขาที่สองของฟังก์ชันได้ โดยการคูณด้วย (−1) ^p

โดยการใช้การโต้แย้งแบบจำกัดกับเศษส่วนต่อเนื่องของเกาส์จะสามารถแสดงได้ว่า^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {M(a+1,b+1,z)}{M(a,b,z)}}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {\displaystyle {\frac {b-a}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {\displaystyle {\frac {a+1}{(b+1)(b+2)}}z}{1-{\cfrac {\displaystyle {\frac {b-a+1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {\displaystyle {\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}}z}{1-\ddots }}}}}}}}}}}$

และเศษส่วนต่อเนื่องนี้ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอไปยังฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกของzในทุกโดเมนที่มีขอบเขตซึ่งไม่รวมขั้ว

• เส้นโค้งเบซิเยร์แบบผสม

• ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบบรรจบกันในคลังฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ดิจิทัลของ NIST
• ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกของ Kummerบนเว็บไซต์ Wolfram Functions
• ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริก Tricomiบนเว็บไซต์ Wolfram Functions