ในทางคณิตศาสตร์พหุนามเบสเซลเป็นลำดับ พหุ นามเชิงตั้งฉากมีคำจำกัดความที่แตกต่างกันแต่เกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิดอยู่หลายแบบ คำจำกัดความที่นักคณิตศาสตร์นิยมใช้คือตามอนุกรม^{[ 1 ] : 101}

${\displaystyle y_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{(nk)!k!}}\,\left({\frac {x}{2}}\right)^{k}.}$

นิยามอีกประการหนึ่งที่วิศวกรไฟฟ้านิยมใช้ บางครั้งเรียกว่าพหุนามเบสเซลแบบย้อนกลับ^{[ 2 ] : 8 [ 3 ] : 15}

${\displaystyle \theta _{n}(x)=x^{n}\,y_{n}(1/x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{(nk)!k!}}\,{\frac {x^{nk}}{2^{k}}}.}$

สัมประสิทธิ์ของนิยามที่สองเหมือนกับนิยามแรก แต่เรียงลำดับกลับกัน ตัวอย่างเช่น พหุนามเบสเซลดีกรีสามคือ

${\displaystyle y_{3}(x)=1+6x+15x^{2}+15x^{3}}$

ในขณะที่พหุนามเบสเซลผกผันดีกรีสามคือ

${\displaystyle \theta _{3}(x)=x^{3}+6x^{2}+15x+15.}$

พหุนามเบสเซลแบบผกผันถูกนำมาใช้ในการออกแบบตัวกรองอิเล็กทรอนิกส์แบบเบสเซล

พหุนามเบสเซลอาจถูกกำหนดโดยใช้ฟังก์ชันเบสเซลซึ่งเป็นที่มาของชื่อพหุนามนี้

${\displaystyle y_{n}(x)=\,x^{n}\theta _{n}(1/x)\,}$

${\displaystyle y_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\,e^{1/x}K_{n+{\frac {1}{2}}}(1/x)}$

${\displaystyle \theta _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,x^{n+1/2}e^{x}K_{n+{\frac {1}{2}}}(x)}$

โดยที่K _n ( x ) เป็น ฟังก์ชันเบส เซลที่ดัดแปลงชนิดที่สอง y n ₍ x ) เป็นพหุนามธรรมดา และθ _n ( x ) เป็นพหุนามผกผัน^{[ 2 ] : 7, 34} ตัวอย่างเช่น: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle y_{3}(x)=15x^{3}+15x^{2}+6x+1={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\,e^{1/x}K_{3+{\frac {1}{2}}}(1/x)}$

พหุนามเบสเซลอาจถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกแบบต่อเนื่อง ได้เช่นกัน ^{[ 5 ] : 8}

${\displaystyle y_{n}(x)=\,_{2}F_{0}(-n,n+1;;-x/2)=\left({\frac {2}{x}}\right)^{-n}U\left(-n,-2n,{\frac {2}{x}}\right)=\left({\frac {2}{x}}\right)^{n+1}U\left(n+1,2n+2,{\frac {2}{x}}\right).}$

นิพจน์ที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับพหุนามเบสเซลทั่วไป (ดูด้านล่าง): ^{[ 2 ] : 35}

${\displaystyle y_{n}(x;a,b)=\,_{2}F_{0}(-n,n+a-1;;-x/b)=\left({\frac {b}{x}}\right)^{n+a-1}U\left(n+a-1,2n+a,{\frac {b}{x}}\right).}$

พหุนามเบสเซลผกผันสามารถนิยามได้ว่าเป็นพหุนามลากูร์ แบบทั่วไป :

${\displaystyle \theta _{n}(x)={\frac {n!}{(-2)^{n}}}\,L_{n}^{-2n-1}(2x)}$

จากนั้นจึงสรุปได้ว่า ฟังก์ชันนี้สามารถนิยามได้ว่าเป็นฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกด้วยเช่นกัน:

${\displaystyle \theta _{n}(x)={\frac {(-2n)_{n}}{(-2)^{n}}}\,\,_{1}F_{1}(-n;-2n;2x)}$

โดยที่ (−2 n ) _nคือสัญลักษณ์ Pochhammer (แฟกทอเรียลที่เพิ่มขึ้น)

พหุนามเบสเซลที่มีการเลื่อนดัชนีจะมีฟังก์ชันก่อกำเนิดดังนี้

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}x^{n+{\frac {1}{2}}}e^{x}K_{n-{\frac {1}{2}}}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=1+x\sum _{n=1}^{\infty }\ทีต้า _{n-1}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=e^{x(1-{\sqrt {1-2t}})}.}$

เมื่อทำการหาอนุพันธ์เทียบกับและตัดทิ้งจะได้ฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับพหุนาม${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \{\theta _{n}\__{n\geq 0}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\theta _{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {1}{\sqrt {1-2t}}}e^{x(1-{\sqrt {1-2t}})}.}$

ฟังก์ชันก่อกำเนิดที่คล้ายกันมีอยู่สำหรับพหุนามเช่นกัน: ^{[ 1 ] : 106} ${\displaystyle y_{n}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }y_{n-1}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=\exp \left({\frac {1-{\sqrt {1-2xt}}}{x}}\right).}$

เมื่อตั้งค่าแล้ว จะได้การแสดง ฟังก์ชันเลขชี้กำลังดังต่อไปนี้: ^{[ 1 ] : 107} ${\displaystyle t=z-xz^{2}/2}$

${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }y_{n-1}(x){\frac {(z-xz^{2}/2)^{n}}{n!}}.}$

พหุนามเบสเซลอาจถูกกำหนดโดยสูตรเวียนเกิดได้เช่นกัน:

${\displaystyle y_{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle y_{1}(x)=x+1\,}$

${\displaystyle y_{n}(x)=(2n\!-\!1)x\,y_{n-1}(x)+y_{n-2}(x)\,}$

และ

${\displaystyle \theta _{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle \theta _{1}(x)=x+1\,}$

${\displaystyle \theta _{n}(x)=(2n\!-\!1)\theta _{n-1}(x)+x^{2}\theta _{n-2}(x)\,}$

พหุนามเบสเซลเป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์ ต่อไปนี้ :

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y_{n}(x)}{dx^{2}}}+2(x\!+\!1){\frac {dy_{n}(x)}{dx}}-n(n+1)y_{n}(x)=0}$

และ

${\displaystyle x{\frac {d^{2}\theta _{n}(x)}{dx^{2}}}-2(x\!+\!n){\frac {d\theta _{n}(x)}{dx}}+2n\,\theta _{n}(x)=0}$

พหุนามเบสเซลตั้งฉากกันโดยสัมพันธ์กับน้ำหนักที่รวมเข้าด้วยกันเหนือวงกลมหน่วยของระนาบเชิงซ้อน^{[ 1 ] : 104} กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้า ${\displaystyle e^{-2/x}}$${\displaystyle n\neq m}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }y_{n}\left(e^{i\theta }\right)y_{m}\left(e^{i\theta }\right)ie^{i\theta }\mathrm {d} \theta =0}$

นอกจากนี้ยังตั้งฉากกับน้ำหนักจริงด้วย หากน้ำหนักนั้นเป็นไฮเปอร์ฟังก์ชัน^{[ 6 ]}

มีการเสนอแนวคิดทั่วไปของพหุนามเบสเซลไว้ในเอกสารทางวิชาการ ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta ):=(-1)^{n}n!\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{n}L_{n}^{(-1-2n-\alpha )}\left({\frac {\beta }{x}}\right),}$

พหุนามผกผันที่สอดคล้องกันคือ

${\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta ):={\frac {n!}{(-\beta )^{n}}}L_{n}^{(-1-2n-\alpha )}(\beta x)=x^{n}y_{n}\left({\frac {1}{x}};\alpha ,\beta \right).}$

สัมประสิทธิ์ที่ชัดเจนของพหุนามคือ: ^{[ 1 ] : 108} ${\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta )}$

${\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta )=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n+k+\alpha -2)^{\underline {k}}\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{k}.}$

ดังนั้นพหุนามจึงสามารถเขียนได้อย่างชัดเจนดังนี้: ${\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta )}$

${\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta )=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(2n-k+\alpha -2)^{\underline {n-k}}{\frac {x^{k}}{\beta ^{n-k}}}.}$

สำหรับฟังก์ชันการถ่วงน้ำหนัก

${\displaystyle \rho (x;\alpha ,\beta ):={}_{1}F_{1}\left(1,\alpha -1,-{\frac {\beta }{x}}\right)}$

พวกมันตั้งฉากกัน เนื่องจากความสัมพันธ์

${\displaystyle 0=\oint _{c}\rho (x;\alpha ,\beta )y_{n}(x;\alpha ,\beta )y_{m}(x;\alpha ,\beta )\,\mathrm {d} x}$

ใช้ได้เมื่อm ≠ nและcเป็นเส้นโค้งที่ล้อมรอบจุด 0

พวกเขามีความเชี่ยวชาญเฉพาะด้านพหุนามเบสเซลสำหรับ α = β = 2 ซึ่งในสถานการณ์นี้ ρ( x ) = exp(−2/ x )

กำลังของถูกแสดงในแง่ของพหุนามเบสเซลทั่วไปจากสูตรการเชื่อมต่อผกผันซึ่งมีการประยุกต์ใช้ในการเปลี่ยนฐานให้กับพหุนามเหล่านี้^{[ 7 ]}${\displaystyle x}$

${\displaystyle x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\alpha (n,k,\alpha ,\beta )\ y_{n-k}(x;\alpha ,\beta )}$

ที่ไหนและ. ${\displaystyle \alpha (n,k,\alpha ,\beta )={n \choose k}{\frac {(-1)^{k}\beta ^{n}(2(n-k)+\alpha -1)}{(n-k+\alpha -1)_{n+1}}}}$${\displaystyle n\geq 0}$

ในทำนองเดียวกัน สำหรับพหุนามเบสเซลทั่วไปแบบผกผัน

${\displaystyle x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{1}(n,k,\alpha ,\beta )\ \theta _{n-k}(x;\alpha ,\beta )}$

ที่ไหนและ. ${\displaystyle \alpha _{1}(n,k,\alpha ,\beta )=(-1)^{k}{\frac {n \choose k}{\beta ^{k}}}(n+\alpha -1)(n+\alpha -2k)_{k-1}}$${\displaystyle n\geq 0}$

สูตร ของRodriguesสำหรับพหุนาม Bessel ซึ่งเป็นคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ข้างต้นคือ:

${\displaystyle B_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {a_{n}^{(\alpha ,\beta )}}{x^{\alpha }e^{-{\frac {\beta }{x}}}}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}(x^{\alpha +2n}e^{-{\frac {\beta }{x}}})}$

ที่ซึ่ง^{(α, β)} _nคือค่าสัมประสิทธิ์การทำให้เป็นมาตรฐาน

จากการสรุปโดยทั่วไปนี้ เราจะได้สมการเชิงอนุพันธ์ทั่วไปต่อไปนี้สำหรับพหุนามเบสเซลที่เกี่ยวข้อง:

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{dx^{2}}}+[(\alpha +2)x+\beta ]{\frac {dB_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{dx}}-\left[n(\alpha +n+1)+{\frac {m\beta }{x}}\right]B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)=0}$

ที่ไหนคำตอบคือ ${\displaystyle 0\leq m\leq n}$

${\displaystyle B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {a_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}}{x^{\alpha +m}e^{-{\frac {\beta }{x}}}}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n-m}(x^{\alpha +2n}e^{-{\frac {\beta }{x}}})}$

ถ้ากำหนดให้ศูนย์ของเป็นและศูนย์ของเป็นแล้วการประมาณค่าต่อไปนี้มีอยู่: ^{[ 2 ] : 82} ${\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta )}$${\displaystyle \alpha _{k}^{(n)}(\alpha ,\beta )}$${\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta )}$${\displaystyle \beta _{k}^{(n)}(\alpha ,\beta )}$

${\displaystyle {\frac {2}{n(n+\alpha -1)}}\leq \alpha _{k}^{(n)}(\alpha ,2)\leq {\frac {2}{n+\alpha -1}},}$

และ

${\displaystyle {\frac {n+\alpha -1}{2}}\leq \beta _{k}^{(n)}(\alpha ,2)\leq {\frac {n(n+\alpha -1)}{2}},}$

สำหรับทุกค่านอกจากนี้ ค่าศูนย์ทั้งหมดเหล่านี้มีส่วนจริงเป็นลบ ${\displaystyle \alpha \geq 2}$

ผลลัพธ์ที่ชัดเจนยิ่งขึ้นสามารถกล่าวได้หากใช้ทฤษฎีบทที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นเกี่ยวกับการประมาณค่าศูนย์ของพหุนาม (โดยเฉพาะทฤษฎีบทพาราโบลาของ Saff และ Varga หรือเทคนิคสมการเชิงอนุพันธ์) ^{[ 2 ] : 88 [ 8 ]} ผลลัพธ์หนึ่งคือดังต่อไปนี้: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\frac {2}{2n+\alpha -{\frac {2}{3}}}}\leq \alpha _{k}^{(n)}(\alpha ,2)\leq {\frac {2}{n+\alpha -1}}.}$

พหุนามเบสเซลจนถึงคือ^{[ 10 ]}${\displaystyle y_{n}(x)}$${\displaystyle n=5}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}(x)&=1\\y_{1}(x)&=x+1\\y_{2}(x)&=3x^{2}+3x+1\\y_{3}(x)&=15x^{3}+15x^{2}+6x+1\\y_{4}(x)&=105x^{4}+105x^{3}+45x^{2}+10x+1\\y_{5}(x)&=945x^{5}+945x^{4}+420x^{3}+105x^{2}+15x+1\end{aligned}}}$

พหุนามเบสเซลไม่สามารถแยกตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีต่ำกว่าที่มีสัมประสิทธิ์ตรรกยะได้^{[ 11 ]} พหุนามเบสเซลแบบผกผันได้มาจากการสลับสัมประสิทธิ์ หรือเทียบเท่ากับ ซึ่งส่งผลให้ได้ดังต่อไปนี้: ${\textstyle \theta _{k}(x)=x^{k}y_{k}(1/x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{0}(x)&=1\\\theta _{1}(x)&=x+1\\\theta _{2}(x)&=x^{2}+3x+3\\\theta _{3}(x)&=x^{3}+6x^{2}+15x+15\\\theta _{4}(x)&=x^{4}+10x^{3}+45x^{2}+105x+105\\\theta _{5}(x)&=x^{5}+15x^{4}+105x^{3}+420x^{2}+945x+945\\\end{aligned}}}$

• ฟังก์ชันเบสเซล
• พหุนามนอยมันน์
• พหุนามลอมเมล
• การแปลง Hankel
• อนุกรมฟูริเยร์-เบสเซล

• "พหุนามเบสเซล" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "พหุนามเบสเซล" . แมทเวิลด์ .