การแจกแจงปัวซง
ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น แกนแนวนอนคือดัชนีkซึ่งเป็นจำนวนครั้งที่เกิดขึ้นλคืออัตราการเกิดเหตุการณ์ที่คาดหวัง แกนแนวตั้งคือความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์k ครั้ง เมื่อกำหนดค่า λแล้ว ฟังก์ชันนี้กำหนดได้เฉพาะที่ค่าk เป็นจำนวนเต็ม เท่านั้น เส้นเชื่อมระหว่างแกนเป็นเพียงเส้นนำสายตาเท่านั้น
ฟังก์ชันการกระจายสะสม แกนแนวนอนคือดัชนีkซึ่งเป็นจำนวนครั้งที่เกิดขึ้น ฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) จะไม่ต่อเนื่องที่จำนวนเต็มkและจะราบเรียบที่จุดอื่นๆ เนื่องจากตัวแปรที่มีการกระจายแบบปัวซงจะมีค่าเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น
สัญกรณ์	${\displaystyle \operatorname {Pois} (\lambda )}$
พารามิเตอร์	${\displaystyle \lambda \in (0,\infty )}$ (ประเมิน)
สนับสนุน	${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$( จำนวนธรรมชาติเริ่มต้นจาก 0)
พีเอ็มเอฟ	${\displaystyle {\frac {\แลมบ์ดา ^{k}e^{-\แลมบ์ดา }}{k!}}}$
ซีดีเอฟ	${\displaystyle {\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}},}$หรือหรือ${\displaystyle e^{-\lambda }\sum _{j=0}^{\lfloor k\rfloor }{\frac {\lambda ^{j}}{j!}},}$${\displaystyle Q(\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}$ (โดยที่คือฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์บนคือฟังก์ชันพื้นและคือฟังก์ชันแกมมาแบบปรับค่า )${\displaystyle k\geq 0,}$${\displaystyle \Gamma (x,y)}$${\displaystyle \lfloor k\rfloor }$${\displaystyle Q}$
หมายถึง	${\displaystyle \lambda }$
ค่ามัธยฐาน	${\displaystyle \approx \left\lfloor \lambda +{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{50\lambda }}\right\rfloor }$
โหมด	${\displaystyle \left\lceil \lambda \right\rceil -1,\left\lfloor \lambda \right\rfloor }$
ความแปรปรวน	${\displaystyle \lambda }$
ความเบี่ยงเบน	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}}$
ความโค้งส่วนเกิน	${\displaystyle {\frac {1}{\แลมบ์ดา }}}$
เอนโทรปี	${\displaystyle \lambda {\Bigl [}1-\ln(\lambda ){\Bigr ]}+e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\ln(k!)}{k!}}}$ หรือสำหรับขนาดใหญ่${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\approx {\frac {1}{2}}\ln \left(2\pi e\lambda \right)-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}\\-{\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{\lambda ^{4}}}\right)\end{aligned}}}$
เอ็มจีเอฟ	${\displaystyle \exp \left[\lambda \left(e^{t}-1\right)\right]}$
ซีเอฟ	${\displaystyle \exp \left[\lambda \left(e^{it}-1\right)\right]}$
พีจีเอฟ	${\displaystyle \exp \left[\lambda \left(z-1\right)\right]}$
ข้อมูลของฟิชเชอร์	${\displaystyle {\frac {1}{\แลมบ์ดา }}}$

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติการแจกแจงปัวซง ( / ˈ p w ɑː s ɒ n / ) เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง ที่แสดงความน่าจะเป็นของการเกิด เหตุการณ์จำนวนหนึ่งในช่วงเวลาที่กำหนด หากเหตุการณ์เหล่านี้เกิดขึ้นด้วยอัตราเฉลี่ยคงที่ที่ทราบ และเป็นอิสระจากเวลาตั้งแต่เหตุการณ์สุดท้าย^{[ 1 ]}นอกจากนี้ยังสามารถใช้สำหรับจำนวนเหตุการณ์ในช่วงเวลาประเภทอื่นที่ไม่ใช่เวลา และในมิติที่มากกว่า 1 (เช่น จำนวนเหตุการณ์ในพื้นที่หรือปริมาตรที่กำหนด) การแจกแจงปัวซงตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสSiméon Denis Poissonมีบทบาทสำคัญในการแจกแจงแบบเสถียรไม่ต่อเนื่อง

ภายใต้การแจกแจงปัวซงที่คาดหวังเหตุการณ์λในช่วงเวลาที่กำหนด ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์k ในช่วงเวลาเดียวกันคือ: ^{[ 2 ] : 60} ตัวอย่างเช่น พิจารณาศูนย์บริการลูกค้าที่รับสายโดยเฉลี่ยλ = 3สายต่อนาทีตลอดเวลา หากจำนวนสายที่ได้รับในช่วงเวลาสองช่วงใดๆ ที่ไม่ทับซ้อนกันเป็นอิสระต่อกัน จำนวนสาย k ที่ได้รับในนาทีใดๆ จะมีการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบปัวซง การรับสาย k = 1 ถึง 4สายจะมีความน่าจะเป็นประมาณ 0.77 ในขณะที่การรับสาย 0 หรืออย่างน้อย 5 สายจะมีความน่าจะเป็นประมาณ 0.23 $${\displaystyle {\frac {\แลมบ์ดา ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}.}$$

ตัวอย่างคลาสสิกที่ใช้เพื่อกระตุ้นให้เกิดการแจกแจงแบบปัวซงคือจำนวน เหตุการณ์ การสลายตัวของกัมมันตรังสีในช่วงระยะเวลาการสังเกตที่กำหนด^{[ 3 ]}

การนำเสนอการแจกแจงปัวซงได้รับการยกย่องให้แก่นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศสSiméon Denis Poisson (1781–1840) ซึ่งตีพิมพ์พร้อมกับทฤษฎีความน่าจะเป็นของเขาในRecherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile  (1837) ^{[ 4 ] : 205-207} งานนี้ตั้งทฤษฎีเกี่ยวกับจำนวนการตัดสินผิดพลาดในประเทศหนึ่งๆ โดยมุ่งเน้นไปที่ตัวแปรสุ่มN บางตัว ที่นับจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาที่กำหนด อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์ที่คล้ายกันนี้เคยมีมาก่อนแล้วในปี 1711 โดยAbraham de MoivreในDe Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus ^{[ 5 ] : 219 [ 6 ] : 14-15 [ 7 ] : 193 [ 8 ] : 157} สิ่งนี้ทำให้เป็นตัวอย่างของกฎของ Stiglerและกระตุ้นให้ผู้เขียนบางคนโต้แย้งว่าการแจกแจงปัวซงควรใช้ชื่อว่า de Moivre ^{[ 9 ] [ 10 ]}

ในปี พ.ศ. 2403 Simon Newcombได้ปรับการแจกแจงแบบปัวซงให้เข้ากับจำนวนดาวที่พบในหน่วยของพื้นที่^{[ 11 ]} การประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติเพิ่มเติมเกิดขึ้นโดยLadislaus Bortkiewiczในปี พ.ศ. 2441 Bortkiewicz แสดงให้เห็นว่าความถี่ที่ทหารในกองทัพปรัสเซียถูกม้าเตะจนเสียชีวิตโดยอุบัติเหตุนั้นสามารถจำลองได้อย่างดีด้วยการแจกแจงแบบปัวซง^{[ 12 ] :} 23-25

ตัวแปรสุ่ม แบบ ไม่ต่อเนื่อง Xกล่าวได้ว่ามีการแจกแจงแบบปัวซงที่มีพารามิเตอร์ถ้ามีฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นที่กำหนดโดย: ^{[ 2 ] : 60} โดยที่ ${\displaystyle \lambda >0}$$${\displaystyle f(k;\lambda )=\Pr(X{=}k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}},}$$

• kคือจำนวนครั้งที่เกิดขึ้น ( )${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$
• eคือจำนวนของออยเลอร์ ( )${\displaystyle e=2.71828\ldots }$
• k ! = k ( k– 1) ··· (3)(2)(1)คือแฟกทอเรียล

จำนวนจริง บวกλเท่ากับค่าที่คาดหวังของXและเท่ากับความแปรปรวน ของมัน ด้วย^{[ 13 ]}$${\displaystyle \lambda =\operatorname {E} (X)=\operatorname {Var} (X).}$$

การแจกแจงปัวซงสามารถนำไปใช้กับระบบที่มีเหตุการณ์ที่เป็นไปได้จำนวนมาก ซึ่งแต่ละเหตุการณ์เกิดขึ้นได้ยากจำนวนเหตุการณ์ดังกล่าวที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาที่กำหนดนั้น ภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสม จะเป็นจำนวนสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปัวซง

สมการสามารถปรับเปลี่ยนได้ หากแทนที่จะใช้จำนวนเหตุการณ์เฉลี่ยเราได้รับอัตราเฉลี่ยที่เหตุการณ์เกิดขึ้น จากนั้นและ: ^{[ 14 ]}${\displaystyle \lambda ,}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \lambda =rt,}$$${\displaystyle P(k{\text{ เหตุการณ์ในช่วงเวลา }}t)={\frac {(rt)^{k}e^{-rt}}{k!}}.}$$

การแจกแจงแบบปัวซงอาจมีประโยชน์ในการจำลองเหตุการณ์ต่างๆ เช่น:

• จำนวนอุกกาบาตที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางมากกว่าหนึ่งเมตรที่พุ่งชนโลกในหนึ่งปี
• จำนวนโฟตอนเลเซอร์ที่ตกกระทบตัวตรวจจับในช่วงเวลาที่กำหนด
• จำนวนนักเรียนที่ได้คะแนนต่ำและคะแนนสูงในการสอบ และ
• ตำแหน่งของข้อบกพร่องและการเคลื่อนตัวในวัสดุ

ตัวอย่างของการเกิดจุดสุ่มในอวกาศ ได้แก่ ตำแหน่งที่ดาวเคราะห์น้อยพุ่งชนโลก (2 มิติ) ตำแหน่งของความไม่สมบูรณ์ในวัสดุ (3 มิติ) และตำแหน่งของต้นไม้ในป่า (2 มิติ) ^{[ 15 ]}

การแจกแจงปัวซงเป็นแบบจำลองที่เหมาะสมหากข้อสมมติฐานต่อไปนี้เป็นจริง:

• kเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ซึ่งระบุจำนวนครั้งที่เหตุการณ์เกิดขึ้นในช่วงเวลาหนึ่ง
• การเกิดเหตุการณ์หนึ่งไม่ได้ส่งผลต่อโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ที่สอง
• อัตราเฉลี่ยของการเกิดเหตุการณ์นั้นไม่ขึ้นอยู่กับการเกิดเหตุการณ์ใดๆ
• เหตุการณ์สองเหตุการณ์ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันในเวลาเดียวกันได้อย่างแม่นยำ

ถ้าเงื่อนไขเหล่านี้เป็นจริง แสดงว่าkเป็นตัวแปรสุ่มปัวซง และการแจกแจงของkก็เป็นการแจกแจงปัวซงเช่นกัน

การแจกแจงปัวซงยังเป็นลิมิตของการแจกแจงทวินามซึ่งความน่าจะเป็นของความสำเร็จในการทดลองแต่ละครั้งคือโดยที่คือค่าคาดหวัง และคือจำนวนครั้งของการทดลอง ในลิมิตที่โดยที่ คงที่ ^{[ 16 ] [ 17 ]} (ดูการแจกแจงที่เกี่ยวข้อง ): ${\displaystyle p={\frac {\แลมบ์ดา }{n}}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle \lambda }$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\dbinom {n}{k}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\,\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{nk}={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda }}$$

การแจกแจงปัวซงอาจได้มาจากสมการเชิงอนุพันธ์ด้วยเช่นกัน^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]}

$${\displaystyle {\frac {d\,P_{k}(t)}{dt}}=\lambda \,{\Big (}P_{k-1}(t)-P_{k}(t){\Big )}}$$

โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้นและประเมินผลที่${\displaystyle P_{k}(0)=\เดลต้า _{k0}}$${\displaystyle t=1}$

จำนวนนักเรียนที่มาถึงอาคารสโมสรนักศึกษาต่อนาทีนั้น อาจจะไม่เป็นไปตามการแจกแจงแบบปัวซง เนื่องจากอัตราการมาถึงไม่คงที่ (อัตราต่ำในช่วงเวลาเรียน อัตราสูงระหว่างช่วงเวลาเรียน) และการมาถึงของนักเรียนแต่ละคนก็ไม่เป็นอิสระต่อกัน (นักเรียนมักจะมาเป็นกลุ่ม) อัตราการมาถึงที่ไม่คงที่นี้อาจจำลองได้ด้วยการแจกแจงแบบปัวซงผสมและการมาถึงของกลุ่มนักเรียนแทนที่จะเป็นนักเรียนแต่ละคนอาจ จำลองได้ด้วย การแจกแจงแบบปัวซงเชิงประกอบ

จำนวนแผ่นดินไหวขนาด 5 ริกเตอร์ต่อปีในประเทศหนึ่ง อาจไม่เป็นไปตามการกระจายแบบปัวซง หากแผ่นดินไหวขนาดใหญ่ครั้งหนึ่งเพิ่มความน่าจะเป็นของการเกิดแผ่นดินไหวตามมาที่มีขนาดใกล้เคียงกัน

ตัวอย่างที่รับประกันว่าจะมีเหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์เกิดขึ้นนั้น ไม่ได้มีการแจกแจงแบบปัวซง แต่สามารถจำลองได้โดยใช้การแจกแจงแบบปัวซงที่ตัดศูนย์ออก

การแจกแจงจำนวนนับที่จำนวนช่วงเวลาที่มีเหตุการณ์เป็นศูนย์สูงกว่าที่คาดการณ์โดยแบบจำลองปัวซง อาจสร้างแบบจำลองได้โดยใช้แบบจำลองที่มีค่าศูนย์มากเกินไป (zero-inflated model )

• ค่าที่คาดหวังของตัวแปรสุ่มปัวซงคือλ
• ค่าความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มปัวซงก็คือλ เช่น กัน
• ค่าสัมประสิทธิ์ความแปรผันคือในขณะที่ดัชนีการกระจายตัวคือ 1 ^{[ 8 ] : 163} ${\textstyle \lambda ^{-1/2},}$
• ค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์เฉลี่ยรอบค่าเฉลี่ยคือ^{[ 8 ] : 163} $${\displaystyle \operatorname {E} [\ |X-\lambda |\ ]={\frac {2\lambda ^{\lfloor \lambda \rfloor +1}e^{-\lambda }}{\lfloor \lambda \rfloor !}}.}$$
• โหมด ของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปัวซง โดยที่ λไม่ใช่จำนวนเต็มจะเท่ากับ ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุด ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ  λเขียนได้อีกแบบว่าfloor ( λ )เมื่อλเป็นจำนวนเต็มบวก โหมดจะเป็นλและλ − 1${\displaystyle \lfloor \lambda \rfloor ,}$
• ค่า สะสมทั้งหมดของการแจกแจงปัวซงมีค่าเท่ากับค่าคาดหวัง  λ โมเมนต์แฟกทอเรียลลำดับที่n ของการแจกแจงปัวซงคือλ ⁿ
• ค่าที่คาดหวังของกระบวนการปัวซงบางครั้งจะถูกแยกออกเป็นผลคูณของความเข้มและการสัมผัส (หรือโดยทั่วไปแล้วจะแสดงเป็นปริพันธ์ของ "ฟังก์ชันความเข้ม" ในช่วงเวลาหรือพื้นที่ ซึ่งบางครั้งเรียกว่า "การสัมผัส") ^{[ 22 ]}

ขอบเขตสำหรับค่ามัธยฐาน ( ) ของการกระจายเป็นที่ทราบและมีความแม่นยำ : ^{[ 23 ]}${\displaystyle \nu }$$${\displaystyle \lambda -\ln 2\leq \nu <\lambda +{\frac {1}{3}}.}$$

โมเมนต์ ที่ไม่เป็นศูนย์กลางที่สูงกว่าm _kของการแจกแจงปัวซงคือพหุนาม Touchardในλ : โดยที่วงเล็บปีกกา { } หมายถึงจำนวน Stirling ชนิดที่สอง [ ^{24 ] [ 1 ] : 6} กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อค่าที่คาดหวังถูกตั้งค่าเป็นλ = 1สูตรของ Dobinskiบ่งชี้ว่า โมเมนต์ลำดับที่ nเท่ากับจำนวนพาร์ติชันของเซตที่ มีขนาดn$${\displaystyle m_{k}=\sum _{i=0}^{k}\lambda ^{i}{\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}},}$$$${\displaystyle E[X]=\lambda ,\quad E[X(X-1)]=\lambda ^{2},\quad E[X(X-1)(X-2)]=\lambda ^{3},\cdots }$$

ขอบเขตบนแบบง่ายคือ: ^{[ 25 ]}$${\displaystyle m_{k}=E[X^{k}]\leq \left({\frac {k}{\log(k/\lambda +1)}}\right)^{k}\leq \lambda ^{k}\exp \left({\frac {k^{2}}{2\lambda }}\right).}$$

ถ้าสำหรับเป็นอิสระต่อกันแล้ว^{[ 26 ] : 65} บทกลับคือทฤษฎีบทของ Raikovซึ่งกล่าวว่า ถ้าผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวมีการแจกแจงแบบปัวซง ตัวแปรสุ่มอิสระทั้งสองตัวนั้นก็จะมีการแจกแจงแบบปัวซงเช่นกัน^{[ 27 ] [ 28 ]}${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{i})}$${\displaystyle i=1,\dotsc ,n}$${\textstyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Pois} \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right).}$

เป็นการแจกแจงเอนโทรปีสูงสุดในเซตของการแจกแจงทวินามทั่วไป ที่มี ^ค่าเฉลี่ยและ[ ^{29 ]}โดยที่การแจกแจงทวินามทั่วไปถูกกำหนดให้เป็นการแจกแจงผลรวมของตัวแปรเบอร์นูลีอิสระจำนวน N ตัวแต่ไม่ได้แจกแจงเหมือนกัน ${\displaystyle B_{n}(\lambda )}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle n\to \infty }$

• การแจกแจงปัวซงเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นที่แบ่งได้ไม่จำกัด^{[ 30 ] : 233 [ 8 ] : 164}
• ความแตกต่าง แบบKullback–Leibler ที่มีทิศทาง ของจากกำหนดโดย${\displaystyle P=\operatorname {Pois} (\lambda )}$${\displaystyle P_{0}=\operatorname {Pois} (\lambda _{0})}$$${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(P\parallel P_{0})=\lambda _{0}-\lambda +\lambda \log {\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}.}$$
• ถ้าเป็นจำนวนเต็มจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขและ^{[ 31 ]}${\displaystyle \lambda \geq 1}$${\displaystyle Y\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$${\displaystyle \Pr(Y\geq E[Y])\geq {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \Pr(Y\leq E[Y])\geq {\frac {1}{2}}.}$
• ขอบเขตสำหรับความน่าจะเป็นส่วนหางของตัวแปรสุ่มปัวซงสามารถหาได้โดยใช้การอ้างเหตุผลขอบเขตของเชอร์นอฟ^{[ 32 ] : 97-98} ${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$$${\displaystyle {\begin{aligned}P(X\geq x)&\leq {\frac {\left(e\lambda \right)^{x}e^{-\lambda }}{x^{x}}},&{\text{ for }}x>\lambda ,\\[1ex]P(X\leq x)&\leq {\frac {\left(e\lambda \right)^{x}e^{-\lambda }}{x^{x}}},&{\text{ for }}x<\lambda .\end{aligned}}}$$
• ความน่าจะ เป็นของหางด้านบนสามารถกระชับได้ (อย่างน้อยสองเท่า) ดังนี้: ^{[ 33 ]}โดยที่คือความแตกต่างของ Kullback–Leibler จาก$${\displaystyle P(X\geq x)\leq {\frac {e^{-\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)}}{\max {(2,{\sqrt {4\pi \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)}}})}},{\text{ for }}x>\lambda ,}$$${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)}$${\displaystyle Q=\operatorname {Pois} (x)}$${\displaystyle P=\operatorname {Pois} (\lambda )}$
• อสมการที่เชื่อมโยงฟังก์ชันการกระจายสะสมของตัวแปรสุ่มปัวซงกับฟังก์ชันการกระจายสะสมของการกระจายปกติมาตรฐานมีดังนี้: ^{[ 34 ]}${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$${\displaystyle \Phi }$

$${\displaystyle \Phi {\left(\operatorname {sign} (k-\lambda ){\sqrt {2\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{-}\parallel P)}}\right)}<P(X\leq k)<\Phi {\left(\operatorname {sign} (k+1-\lambda ){\sqrt {2\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{+}\parallel P)}}\right)},{\text{ for }}k>0,}$$โดยที่ค่าความแตกต่างแบบ Kullback–Leibler ของมาจากและค่าความแตกต่างแบบ Kullback–Leibler ของมาจาก ${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{-}\parallel P)}$${\displaystyle Q_{-}=\operatorname {Pois} (k)}$${\displaystyle P=\operatorname {Pois} (\lambda )}$${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{+}\parallel P)}$${\displaystyle Q_{+}=\operatorname {Pois} (k+1)}$${\displaystyle P}$

ให้และเป็นตัวแปรสุ่มอิสระ โดยที่ แล้วเราจะได้ว่า ${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$${\displaystyle Y\sim \operatorname {Pois} (\mu )}$${\displaystyle \lambda <\mu ,}$$${\displaystyle {\frac {e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}}{(\lambda +\mu )^{2}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{2{\sqrt {\lambda \mu }}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{4\lambda \mu }}\leq P(X-Y\geq 0)\leq e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}}$$

ขอบเขตบนได้รับการพิสูจน์โดยใช้ขอบเขตเชอร์นอฟมาตรฐาน

ขอบล่างสามารถพิสูจน์ได้โดยสังเกตว่าคือความน่าจะเป็นที่ ซึ่งซึ่งมีขอบเขตล่างโดย โดยที่คือเอนโทรปีสัมพัทธ์ (ดูรายละเอียดในหัวข้อขอบเขตของหางของการแจกแจงแบบทวินาม) นอกจากนี้ การสังเกตว่าและการคำนวณขอบล่างของความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไขจะให้ผลลัพธ์ รายละเอียดเพิ่มเติมสามารถพบได้ในภาคผนวกของ Kamath et al. ^{[ 35 ]}${\displaystyle P(X-Y\geq 0\mid X+Y=i)}$${\textstyle Z\geq {\frac {i}{2}},}$${\textstyle Z\sim \operatorname {Bin} \left(i,{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\right),}$${\textstyle {\frac {1}{(i+1)^{2}}}e^{-iD\left(0.5\|{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\right)},}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X+Y\sim \operatorname {Pois} (\lambda +\mu ),}$

การแจกแจงปัวซงสามารถหาได้จากกรณีจำกัดของการแจกแจงทวินามเมื่อจำนวนการทดลองเข้าสู่ค่าอนันต์ และจำนวนความสำเร็จที่คาดหวัง ยังคงคงที่ — ดู หลักการของเหตุการณ์หายากด้านล่าง ดังนั้นจึงสามารถใช้เป็นการประมาณค่าของการแจกแจงทวินามได้หากnมีขนาดใหญ่พอและpมีขนาดเล็กพอ การแจกแจงปัวซงเป็นการประมาณค่าที่ดีของการแจกแจงทวินามหากnมีค่าอย่างน้อย 20 และpมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 0.05 และเป็นการประมาณค่าที่ดีเยี่ยมหากn ≥ 100และnp ≤ 10 [ ^{36 ] ให้}และเป็นฟังก์ชันความหนาแน่นสะสมของการแจกแจงทวินามและการแจกแจงปัวซงตามลำดับ จะได้ว่า: การพิสูจน์อย่างหนึ่งของสิ่งนี้ใช้ฟังก์ชันสร้างความน่าจะเป็น [ ^{37 ] พิจารณา}การทดลองแบบเบอร์นูลลี (การโยนเหรียญ) ซึ่งความน่าจะเป็นของความสำเร็จหนึ่งครั้ง (หรือจำนวนความสำเร็จที่คาดหวัง) อยู่ภายในช่วงเวลาที่กำหนด แบ่งช่วงเวลาออกเป็นnส่วน และทำการทดลองในแต่ละช่วงย่อยด้วยความน่าจะเป็นความน่าจะเป็นของ ความสำเร็จ kครั้งจาก การทดลอง nครั้งตลอดทั้งช่วงเวลาจะกำหนดโดยการแจกแจงทวินาม ซึ่งมีฟังก์ชันก่อกำเนิดคือ: เมื่อพิจารณาลิมิตเมื่อnเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์ (โดยที่xคงที่) และใช้คำจำกัดความของลิมิตผลคูณของฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะได้ฟังก์ชันก่อกำเนิดของการแจกแจงปัวซง: ${\displaystyle F_{\mathrm {B} }}$${\displaystyle F_{\mathrm {P} }}$$${\displaystyle F_{\mathrm {B} }(k;n,p)\ \approx \ F_{\mathrm {P} }(k;\lambda =np).}$$${\displaystyle \lambda \leq 1}$${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{n}}}$$${\displaystyle p_{k}^{(n)}={\binom {n}{k}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{\!k}\left(1{-}{\frac {\lambda }{n}}\right)^{\!n-k},}$$$${\displaystyle P^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}^{(n)}x^{k}=\left(1-{\frac {\lambda }{n}}+{\frac {\lambda }{n}}x\right)^{n}.}$$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P^{(n)}(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1{+}{\tfrac {\lambda (x-1)}{n}}\right)^{n}=e^{\lambda (x-1)}=\sum _{k=0}^{\infty }e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}x^{k}.}$$

• ถ้าและเป็นอิสระต่อกัน ผลต่างจะเป็นไปตามการแจกแจงแบบสเกลลัม (Skellam distribution )${\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\,}$${\displaystyle X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\,}$${\displaystyle Y=X_{1}-X_{2}}$
• ถ้าและเป็นอิสระต่อกัน การแจกแจงของโดยมีเงื่อนไขว่า เป็นการแจกแจงทวินาม${\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\,}$${\displaystyle X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\,}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$
  โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าหากว่า${\displaystyle X_{1}+X_{2}=k,}$${\displaystyle X_{1}|X_{1}+X_{2}=k\sim \mathrm {Binom} (k,\lambda _{1}/(\lambda _{1}+\lambda _{2})).}$
  โดยทั่วไปแล้ว ถ้าX ₁ , X ₂ , ..., X _nเป็นตัวแปรสุ่มปัวซงอิสระที่มีพารามิเตอร์λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _nแล้ว
  เมื่อพิจารณาแล้ว จึงสรุปได้ว่าในความเป็นจริง${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}X_{j}=k,}$${\displaystyle X_{i}{\Big |}\sum _{j=1}^{n}X_{j}=k\sim \mathrm {Binom} \left(k,{\frac {\lambda _{i}}{\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}}}\right).}$${\displaystyle \{X_{i}\}\sim \mathrm {Multinom} \left(k,\left\{{\frac {\lambda _{i}}{\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}}}\right\}\right).}$
• ถ้าการแจกแจงของX = kเป็นการแจกแจงแบบทวินามการแจกแจงของ Y จะเป็นการแจกแจงแบบปัวซงในความเป็นจริง ถ้า การแจกแจงของ Y เป็นการแจกแจงแบบ พหุนาม การแจกแจงของ Y จะเป็นการแจกแจงแบบปัวซงที่เป็นอิสระต่อกัน${\displaystyle X\sim \mathrm {Pois} (\lambda )\,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y\mid (X=k)\sim \mathrm {Binom} (k,p),}$${\displaystyle Y\sim \mathrm {Pois} (\lambda \cdot p).}$${\displaystyle \{X=k\},}$${\displaystyle \{Y_{i}\}}$${\displaystyle \{Y_{i}\}\mid (X=k)\sim \mathrm {Multinom} \left(k,p_{i}\right),}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle Y_{i}\sim \mathrm {Pois} (\lambda \cdot p_{i}),\rho (Y_{i},Y_{j})=0.}$
• การแจกแจงปัวซงเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงปัวซงแบบผสมแบบไม่ต่อเนื่อง (หรือการแจกแจงปัวซงแบบกระตุก) ที่มีพารามิเตอร์เพียงตัวเดียว^{[ 38 ] [ 39 ]}การแจกแจงปัวซงแบบผสมแบบไม่ต่อเนื่องสามารถอนุมานได้จากการแจกแจงจำกัดของการแจกแจงพหุนามแบบเอกตัวแปร นอกจากนี้ยังเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงปัวซงแบบผสมอีก ด้วย
• สำหรับค่าλ ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ (เช่นλ > 1000 ) การแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ยλและความแปรปรวนλ (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน) เป็นการประมาณค่าที่ดีเยี่ยมของการแจกแจงปัวซง หากλมากกว่าประมาณ 10 การแจกแจงปกติจะเป็นการประมาณค่าที่ดีหาก มี การแก้ไขความต่อเนื่อง ที่เหมาะสม กล่าวคือ หากP( X ≤ x )โดยที่xเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ถูกแทนที่ด้วยP( X ≤ x + 0.5 )${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}}$$${\displaystyle F_{\mathrm {Poisson} }(x;\lambda )\approx F_{\mathrm {normal} }(x;\mu =\lambda ,\sigma ^{2}=\lambda )}$$
• การแปลงที่ทำให้ความแปรปรวนคงที่ : ถ้าเช่นนั้น^{[ 8 ] : 168} และ^{[ 40 ] : 196} ภายใต้การแปลงนี้ การลู่เข้าสู่ภาวะปกติ (เมื่อเพิ่มขึ้น) จะเร็วกว่าตัวแปรที่ไม่ได้แปลงมาก การแปลงที่ทำให้ความแปรปรวนคงที่ที่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อยก็มีอยู่^{[ 8 ] : 168} หนึ่งในนั้นคือ การ แปลงAnscombe ^{[ 41 ]}ดูการแปลงข้อมูล (สถิติ)สำหรับการใช้งานการแปลงทั่วไปเพิ่มเติม${\displaystyle X\sim \mathrm {Pois} (\lambda ),}$$${\displaystyle Y=2{\sqrt {X}}\approx {\mathcal {N}}(2{\sqrt {\lambda }};1),}$$$${\displaystyle Y={\sqrt {X}}\approx {\mathcal {N}}({\sqrt {\lambda }};1/4).}$$${\displaystyle \lambda }$
• ถ้าสำหรับทุกt > 0จำนวนการมาถึงในช่วงเวลา[0, t ]เป็นไปตามการแจกแจงปัวซงที่มีค่าเฉลี่ยλtแล้วลำดับของเวลาระหว่างการมาถึงจะเป็นตัวแปรสุ่มเอกซ์โพเนนเชียลที่เป็นอิสระและมีการแจกแจงเหมือนกัน โดยมีค่าเฉลี่ย  1/ λ ^{[ 42 ]} : ^317–319
• ฟังก์ชันการกระจายสะสมของการกระจายแบบปัวซงและไคกำลังสองมีความสัมพันธ์กันในลักษณะต่อไปนี้: ^{[ 8 ] : 167} และ^{[ 8 ] : 158} $${\displaystyle F_{\text{Poisson}}(k;\lambda )=1-F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2(k+1))\quad \quad {\text{ integer }}k,}$$$${\displaystyle P(X=k)=F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2(k+1))-F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2k).}$$

สมมติว่า[ ^{43 ] มี}การแจกแจงแบบพหุนาม โดยมี เงื่อนไขว่า${\displaystyle X_{1}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{1}),X_{2}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{2}),\dots ,X_{n}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{n})}$${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\dots +\lambda _{n}=1,}$${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Mult} (N,\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})}$${\displaystyle N=X_{1}+X_{2}+\dots X_{n}.}$

หมายความว่า^{[ 32 ] : 101-102} ในบรรดาสิ่งอื่นๆ สำหรับฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบใดๆ หากมีการแจกแจงแบบพหุนามแล้ว โดย ที่${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$${\displaystyle (Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})\sim \operatorname {Mult} (m,\mathbf {p} )}$$${\displaystyle \operatorname {E} [f(Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})]\leq e{\sqrt {m}}\operatorname {E} [f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})]}$$${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Pois} (\mathbf {p} ).}$

สามารถแทนค่าตัวประกอบของ ด้วย 2 ได้ หาก ถือว่า เป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างต่อเนื่อง ${\displaystyle e{\sqrt {m}}}$${\displaystyle f}$

การแจกแจงนี้ได้รับการขยายไปยังกรณีสองตัวแปร^{[ 44 ]}ฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับการแจกแจงนี้คือ ด้วย $${\displaystyle g(u,v)=\exp[(\theta _{1}-\theta _{12})(u-1)+(\theta _{2}-\theta _{12})(v-1)+\theta _{12}(uv-1)]}$$$${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2}>\theta _{12}>0}$$

การแจกแจงแบบมาร์จินัลคือการแจกแจงปัวซง ( θ ₁ )และการแจกแจงปัวซง ( θ ₂ )และค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ถูกจำกัดอยู่ในช่วง $${\displaystyle 0\leq \rho \leq \min \left\{{\sqrt {\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}},{\sqrt {\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}}\right\}}$$

วิธีง่ายๆ ในการสร้างการแจกแจงปัวซงแบบสองตัวแปรคือการนำการแจกแจงปัวซงอิสระสามแบบที่มีค่าเฉลี่ยมากำหนดฟังก์ชันความน่าจะเป็นของการแจกแจงปัวซงแบบสองตัวแปรคือ ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$${\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3}}$${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$${\displaystyle X_{1}=Y_{1}+Y_{3},X_{2}=Y_{2}+Y_{3}.}$$${\displaystyle \Pr(X_{1}=k_{1},X_{2}=k_{2})=\exp \left(-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}\right){\frac {\lambda _{1}^{k_{1}}}{k_{1}!}}{\frac {\lambda _{2}^{k_{2}}}{k_{2}!}}\sum _{k=0}^{\min(k_{1},k_{2})}{\binom {k_{1}}{k}}{\binom {k_{2}}{k}}k!\left({\frac {\lambda _{3}}{\lambda _{1}\lambda _{2}}}\right)^{k}}$$

การแจกแจงปัวซงแบบอิสระ^{[ 45 ]}ที่มีขนาดและอัตราการ กระโดด เกิดขึ้นใน ทฤษฎี ความน่าจะเป็นแบบอิสระเป็นขีดจำกัดของการสังเคราะห์แบบอิสระ ซ้ำๆ เมื่อN → ∞ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \lambda }$$${\displaystyle \left(\left(1-{\frac {\lambda }{N}}\right)\delta _{0}+{\frac {\lambda }{N}}\delta _{\alpha }\right)^{\boxplus N}}$$

กล่าว อีกนัยหนึ่ง ให้ และเป็นตัวแปรสุ่ม โดยที่มีค่าด้วยความน่าจะเป็นและมีค่า 0 ด้วยความน่าจะเป็นที่เหลือ สมมติว่า กลุ่มเป็นอิสระต่อกันอย่างอิสระแล้วลิมิตเมื่อของกฎของจะได้จากกฎปัวซงอิสระที่มีพารามิเตอร์${\displaystyle X_{N}}$${\displaystyle X_{N}}$${\displaystyle \alpha }$${\textstyle {\frac {\lambda }{N}}}$${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$${\displaystyle N\to \infty }$${\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{N}}$${\displaystyle \lambda ,\alpha .}$

คำจำกัดความนี้คล้ายคลึงกับวิธีการหนึ่งในการได้มาซึ่งการแจกแจงปัวซงแบบคลาสสิกจากกระบวนการปัวซง (แบบคลาสสิก)

มาตรการที่เกี่ยวข้องกับกฎปัวซงอิสระจะได้รับจาก^{[ 46 ]} โดยที่ และมีการรองรับ$${\displaystyle \mu ={\begin{cases}(1-\lambda )\delta _{0}+\nu ,&{\text{if }}0\leq \lambda \leq 1\\\nu ,&{\text{if }}\lambda >1,\end{cases}}}$$$${\displaystyle \nu ={\frac {1}{2\pi \alpha t}}{\sqrt {4\lambda \alpha ^{2}-(t-\alpha (1+\lambda ))^{2}}}\,dt}$$${\displaystyle [\alpha (1-{\sqrt {\lambda }})^{2},\alpha (1+{\sqrt {\lambda }})^{2}].}$

กฎนี้ยังปรากฏในทฤษฎีเมทริกซ์สุ่ม ในรูปของ กฎมาร์เชนโก-ปาสตูร์ค่าคุมูลันต์อิสระของกฎนี้เท่ากับ${\displaystyle \kappa _{n}=\lambda \alpha ^{n}.}$

เราให้ค่าของการแปลงที่สำคัญบางอย่างของกฎปัวซงอิสระ การคำนวณสามารถพบได้ในหนังสือLectures on the Combinatorics of Free Probabilityโดย A. Nica และ R. Speicher ^{[ 47 ]}

การแปลง R ของกฎปัวซงอิสระกำหนดโดย $${\displaystyle R(z)={\frac {\lambda \alpha }{1-\alpha z}}.}$$

การแปลงโคชี (ซึ่งเป็นการแปลงกลับของการแปลงสติลต์เจส ) กำหนดโดย $${\displaystyle G(z)={\frac {z+\alpha -\lambda \alpha -{\sqrt {(z-\alpha (1+\lambda ))^{2}-4\lambda \alpha ^{2}}}}{2\alpha z}}}$$

การแปลง S กำหนดโดย ในกรณีที่$${\displaystyle S(z)={\frac {1}{z+\lambda }}}$$${\displaystyle \alpha =1.}$

เมื่อกำหนดตัวอย่าง ค่าที่วัดได้ nค่าสำหรับi = 1, ..., nเราต้องการประมาณค่าพารามิเตอร์λของประชากรปัวซงที่ดึงตัวอย่างมา การประมาณค่า ความน่าจะเป็นสูงสุดคือ^{[ 48 ]}${\displaystyle k_{i}\in \{0,1,\dots \},}$

$${\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}\ .}$$

เนื่องจากแต่ละการสังเกตมีค่าเฉลี่ยλดังนั้นค่าเฉลี่ยของตัวอย่างจึงมีค่าเฉลี่ย λ เช่นกัน ด้วยเหตุนี้ การประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดจึงเป็นตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงของλนอกจากนี้ยังเป็นตัวประมาณค่าที่มีประสิทธิภาพ เนื่องจากความแปรปรวนของมันบรรลุขอบเขตล่างของ Cramér–Rao (CRLB) ^{[ 49 ]}ดังนั้นจึงเป็นตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงที่มีความแปรปรวนต่ำสุด นอกจากนี้ยังสามารถพิสูจน์ได้ว่าผลรวม (และด้วยเหตุนี้ค่าเฉลี่ย ของ ตัวอย่าง เนื่องจากเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งของผลรวม) เป็นสถิติที่สมบูรณ์และเพียงพอสำหรับλ

เพื่อพิสูจน์ความเพียงพอ เราอาจใช้ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบพิจารณาการแบ่งฟังก์ชันความน่าจะเป็นมวลของการแจกแจงปัวซงร่วมสำหรับตัวอย่างออกเป็นสองส่วน: ส่วนหนึ่งที่ขึ้นอยู่กับตัวอย่างเท่านั้นเรียกว่าและอีกส่วนหนึ่งที่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์และตัวอย่างผ่านฟังก์ชันเท่านั้นดังนั้น จึงเป็นสถิติที่เพียงพอสำหรับ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle h(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle T(\mathbf {x} ).}$${\displaystyle T(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \lambda .}$

$${\displaystyle P(\mathbf {x} )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {\lambda ^{x_{i}}e^{-\lambda }}{x_{i}!}}={\frac {1}{\prod _{i=1}^{n}x_{i}!}}\times \lambda ^{\sum _{i=1}^{n}x_{i}}e^{-n\lambda }}$$

พจน์แรกขึ้นอยู่กับเท่านั้นพจน์ที่สองขึ้นอยู่กับตัวอย่างผ่านทางเท่านั้นดังนั้นจึงเพียงพอแล้ว ${\displaystyle h(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle g(T(\mathbf {x} )|\lambda )}$${\textstyle T(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}$${\displaystyle T(\mathbf {x} )}$

ในการหาค่าพารามิเตอร์λที่ทำให้ฟังก์ชันความน่าจะเป็นสำหรับประชากรแบบปัวซงมีค่าสูงสุด เราสามารถใช้ลอการิทึมของฟังก์ชันความน่าจะเป็นได้:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ell (\lambda )&=\ln \prod _{i=1}^{n}f(k_{i}\mid \lambda )\\&=\sum _{i=1}^{n}\ln \!\left({\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k_{i}}}{k_{i}!}}\right)\\&=-n\lambda +\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)\ln(\lambda )-\sum _{i=1}^{n}\ln(k_{i}!).\end{aligned}}}$$

เราหาอนุพันธ์ของเทียบกับλแล้วเปรียบเทียบกับศูนย์: ${\displaystyle \ell }$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\ell (\lambda )=0\iff -n+\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right){\frac {1}{\lambda }}=0.\!}$$

การแก้สมการหาค่าλจะได้จุดนิ่ง

$${\displaystyle \lambda ={\frac {\sum _{i=1}^{n}k_{i}}{n}}}$$

ดังนั้นλคือค่าเฉลี่ยของ ค่า k _iการหาเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสองของLที่จุดนิ่งจะช่วยกำหนดว่าλเป็น ค่าสุดขั้วประเภทใด

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \lambda ^{2}}}=-\lambda ^{-2}\sum _{i=1}^{n}k_{i}}$$

การประเมินอนุพันธ์อันดับสองณ จุดวิเคราะห์จะได้:

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \lambda ^{2}}}=-{\frac {n^{2}}{\sum _{i=1}^{n}k_{i}}}}$$

ซึ่งเป็นค่าลบของnคูณด้วยส่วนกลับของค่าเฉลี่ยของk _iนิพจน์นี้จะมีค่าเป็นลบเมื่อค่าเฉลี่ยเป็นบวก ถ้าเงื่อนไขนี้เป็นจริง จุดนิ่งจะทำให้ฟังก์ชันความน่าจะเป็นมีค่าสูงสุด

เพื่อให้ครบถ้วนสมบูรณ์ตระกูลของการแจกแจงจะเรียกว่าสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อหมายความว่าสำหรับทุกถ้าแต่ละบุคคลเป็นอิสระและมี การแจกแจงเหมือนกัน (iid) แล้ว เมื่อทราบการแจกแจงที่เราต้องการตรวจสอบแล้ว ก็เห็นได้ง่ายว่าสถิตินั้นสมบูรณ์ ${\displaystyle E(g(T))=0}$${\displaystyle P_{\lambda }(g(T)=0)=1}$${\displaystyle \lambda .}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \mathrm {Po} (\lambda ),}$${\textstyle T(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \mathrm {Po} (n\lambda ).}$

$${\displaystyle E(g(T))=\sum _{t=0}^{\infty }g(t){\frac {(n\lambda )^{t}e^{-n\lambda }}{t!}}=0}$$

เพื่อให้ความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงต้องเป็น 0 ซึ่งเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าไม่มีพจน์อื่นใดจะเป็น 0 สำหรับทุกค่าในผลรวมและสำหรับทุกค่าที่เป็นไปได้ของดังนั้นสำหรับทุก ค่า หมายความว่าและสถิติได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสมบูรณ์ ${\displaystyle g(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \lambda .}$${\displaystyle E(g(T))=0}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle P_{\lambda }(g(T)=0)=1,}$

ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับค่าเฉลี่ยของการแจกแจงปัวซงสามารถแสดงได้โดยใช้ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของการแจกแจงปัวซงและการแจกแจงไคกำลังสองการแจกแจงไคกำลังสองมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการแจกแจงแกมมาและนี่นำไปสู่การแสดงออกอีกแบบหนึ่ง เมื่อกำหนดค่าสังเกตkจากการแจกแจงปัวซงที่มีค่าเฉลี่ยμช่วงความเชื่อมั่นสำหรับμที่ระดับความเชื่อมั่น1 – αคือ

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}(\alpha /2;2k)\leq \mu \leq {\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}(1-\alpha /2;2k+2),}$$

หรือเทียบเท่า

$${\displaystyle F^{-1}(\alpha /2;k,1)\leq \mu \leq F^{-1}(1-\alpha /2;k+1,1),}$$

โดยที่ฟังก์ชันควอนไทล์ (ที่สอดคล้องกับพื้นที่หางล่างp ) ของการแจกแจงไคกำลังสองที่มีองศาอิสระn และ ฟังก์ชันควอนไทล์ของการแจกแจงแกมมาที่มีพารามิเตอร์รูปร่าง n และพารามิเตอร์มาตราส่วน 1 ^{[ 8 ] : 176-178 [ 50 ]}ช่วงนี้เป็น ' ช่วงที่แน่นอน ' ในแง่ที่ว่าความน่าจะเป็นของการครอบคลุมจะไม่น้อยกว่าค่าที่กำหนด1 – α${\displaystyle \chi ^{2}(p;n)}$${\displaystyle F^{-1}(p;n,1)}$

เมื่อควอนไทล์ของการแจกแจงแกมมาไม่พร้อมใช้งาน ได้มีการเสนอการประมาณค่าที่แม่นยำสำหรับช่วงที่แน่นอนนี้ (โดยอิงจากการแปลงวิลสัน-ฮิลเฟอร์ตี้ ) ดังนี้: ^{[ 51 ]} โดยที่แสดงถึงค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานปกติที่มีพื้นที่หางด้านบนα / 2 $${\displaystyle k\left(1-{\frac {1}{9k}}-{\frac {z_{\alpha /2}}{3{\sqrt {k}}}}\right)^{3}\leq \mu \leq (k+1)\left(1-{\frac {1}{9(k+1)}}+{\frac {z_{\alpha /2}}{3{\sqrt {k+1}}}}\right)^{3},}$$${\displaystyle z_{\alpha /2}}$

สำหรับการประยุกต์ใช้สูตรเหล่านี้ในบริบทเดียวกันกับข้างต้น (โดยกำหนดให้มี ค่าที่วัดได้ nค่าk _iแต่ละค่าสุ่มมาจากการแจกแจงแบบปัวซงที่มีค่าเฉลี่ยλ ) จะต้องตั้งค่าดังนี้

$${\displaystyle k=\sum _{i=1}^{n}k_{i},}$$คำนวณ ช่วงสำหรับμ = nλจากนั้นหาช่วงสำหรับλ

ในการอนุมานแบบเบย์เซียนไพรเออร์คู่ควบสำหรับพารามิเตอร์อัตราλของการแจกแจงปัวซงคือการแจกแจงแกมมา^{[ 52 ]}ให้

$${\displaystyle \lambda \sim \mathrm {Gamma} (\alpha ,\beta )}$$

แสดงว่าλมีการกระจายตามความหนาแน่น แกมมา gซึ่งกำหนดโดยพารามิเตอร์รูปร่างαและพารามิเตอร์มาตราส่วน ผกผัน β :

$${\displaystyle g(\lambda \mid \alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\;\lambda ^{\alpha -1}\;e^{-\beta \,\lambda }\qquad {\text{ for }}\lambda >0\,\!.}$$

จากนั้น เมื่อกำหนดตัวอย่าง ค่าที่วัดได้ nค่าk _i เช่นเดียว กับก่อนหน้านี้และค่าความน่าจะเป็นก่อนหน้าเป็นGamma( α , β )การแจกแจงความน่าจะเป็นภายหลังจะเป็นดังนี้

$${\displaystyle \lambda \sim \mathrm {Gamma} {\left(\alpha +\sum _{i=1}^{n}k_{i},\beta +n\right)}.}$$

โปรดทราบว่าค่าเฉลี่ยภายหลังเป็นเชิงเส้นและกำหนดโดย สามารถแสดงได้ว่าการแจกแจงแกมมาเป็นไพรเออร์เพียงอย่างเดียวที่เหนี่ยวนำให้เกิดความเป็นเชิงเส้นของค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไข ยิ่งไปกว่านั้น มีผลลัพธ์ตรงกันข้ามที่ระบุว่าหากค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไขใกล้เคียงกับฟังก์ชันเชิง เส้นในระยะทาง การแจกแจงไพรเออร์ของλจะต้องใกล้เคียงกับการแจกแจงแกมมาในระยะทาง Levy ^{[ 53 ]}$${\displaystyle E[\lambda \mid k_{1},\ldots ,k_{n}]={\frac {\alpha +\sum _{i=1}^{n}k_{i}}{\beta +n}}.}$$${\displaystyle L_{2}}$

ค่าเฉลี่ยภายหลังE[ λ ]เข้าใกล้ค่าประมาณความน่าจะเป็นสูงสุดในลิมิตเมื่อซึ่งเป็นผลมาจากนิพจน์ทั่วไปของค่าเฉลี่ยของการแจกแจงแกมมาโดยตรง ${\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }}$${\displaystyle \alpha \to 0,\beta \to 0,}$

การแจกแจงการทำนายภายหลังสำหรับการสังเกตเพิ่มเติมเพียงครั้งเดียวคือการแจกแจงทวินามเชิงลบ^{[ 54 ]} : ⁵³ บางครั้งเรียกว่าการแจกแจงแกมมา-ปัวซง

สมมติว่าเป็นเซตของตัวแปรสุ่มอิสระจากเซตของการแจกแจงปัวซง โดยแต่ละตัวแปรมีพารามิเตอร์และเราต้องการประมาณค่าพารามิเตอร์เหล่านี้ จากนั้น Clevenson และ Zidek แสดงให้เห็นว่าภายใต้การสูญเสียความคลาดเคลื่อนกำลังสองแบบปกติเมื่อนั้น คล้ายกับในตัวอย่างของ Steinสำหรับค่าเฉลี่ยปกติ ตัวประมาณค่า MLE จะไม่สามารถยอมรับได้^{[ 55 ]}${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \lambda _{i},}$${\displaystyle i=1,\dots ,p,}$${\textstyle L(\lambda ,{\hat {\lambda }})=\sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}^{-1}({\hat {\lambda }}_{i}-\lambda _{i})^{2},}$${\displaystyle p>1,}$${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{i}=X_{i}}$

ในกรณีนี้ ตระกูลของตัวประมาณค่ามินิแม็กซ์จะถูกกำหนดสำหรับค่าใดๆและดังเช่น^{[ 56 ]}${\displaystyle 0<c\leq 2(p-1)}$${\displaystyle b\geq (p-2+p^{-1})}$$${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{i}=\left(1-{\frac {c}{b+\sum _{i=1}^{p}X_{i}}}\right)X_{i},\qquad i=1,\dots ,p.}$$

การประยุกต์ใช้การแจกแจงปัวซงกับข้อมูลการนับ (จำนวนเหตุการณ์) บางประการ: ^{[ 57 ]}

• โทรคมนาคม : สายโทรศัพท์ที่เข้ามาในระบบ
• ดาราศาสตร์ : โฟตอนที่เดินทางมาถึงกล้องโทรทรรศน์
• เคมี : การกระจายมวลโมลาร์ของ การพอลิเม ^อไรเซชันที่มีชีวิต [ ^{58 ]}
• ชีววิทยา : จำนวนการกลายพันธุ์บนสายดีเอ็นเอต่อหน่วยความยาว
• การจัดการ : ลูกค้าที่มาถึงเคาน์เตอร์หรือศูนย์บริการ^{[ 59 ]}
• ด้านการเงินและการประกันภัย : จำนวนความเสียหายหรือการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทนที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาที่กำหนด
• แผ่นดินไหววิทยา : แบบจำลองปัวซงเชิงอะซิมโทติกของความเสี่ยงสำหรับแผ่นดินไหวขนาดใหญ่^{[ 60 ]}
• กัมมันตภาพรังสี : สลายตัวในช่วงเวลาที่กำหนดในตัวอย่างกัมมันตภาพรังสี^{[ 61 ]}
• ทัศนศาสตร์ : จำนวนโฟตอนที่ปล่อยออกมาในพัลส์เลเซอร์เดียว (จุดอ่อนสำคัญของ โปรโตคอล การกระจายกุญแจควอนตัมซึ่งรู้จักกันในชื่อการแบ่งจำนวนโฟตอน)

ตัวอย่างเพิ่มเติมของการนับเหตุการณ์ที่สามารถจำลองได้ด้วยกระบวนการปัวซง ได้แก่:

• ทหารที่เสียชีวิตจากการถูกม้าเตะในแต่ละปีในแต่ละกอง ทหารม้า ของปรัสเซียตัวอย่างนี้ใช้ในหนังสือของLadislaus Bortkiewicz (1868–1931) ^{[ 12 ] : 23-25}
• เซลล์ยีสต์ที่ใช้ในการผลิต เบียร์ กินเนสส์ตัวอย่างนี้ใช้โดยWilliam Sealy Gosset (1876–1937) ^{[ 62 ] [ 63 ]}
• สายโทรศัพท์ที่มาถึงศูนย์บริการภายในหนึ่งนาที ตัวอย่างนี้ได้รับการอธิบายโดยAK Erlang (1878–1929) ^{[ 64 ]}
• เป้าหมายในกีฬาที่เกี่ยวข้องกับทีมแข่งขันสองทีม^{[ 65 ]}
• จำนวนผู้เสียชีวิตต่อปีในกลุ่มอายุที่กำหนด^{[ 66 ]}
• การเปลี่ยนแปลงอย่างฉับพลันของราคาหุ้นในช่วงเวลาที่กำหนด
• จำนวนครั้ง ที่เข้าถึง เว็บเซิร์ฟเวอร์ต่อนาที (ภายใต้สมมติฐานว่ามีความสม่ำเสมอ )
• การกลายพันธุ์ ใน ดีเอ็นเอส่วนหนึ่งหลังจากได้รับรังสีในปริมาณหนึ่ง
• เซลล์ที่ติดเชื้อที่ระดับความเข้มข้นของการติดเชื้อที่ กำหนด
• แบคทีเรียในของเหลวปริมาณหนึ่ง^{[ 67 ]}
• โฟตอนที่มาถึงวงจรพิกเซลภายใต้ความสว่างที่กำหนดในช่วงเวลาที่กำหนด^{[ 68 ]}
• การลงจอดของระเบิดบิน V-1ในลอนดอนระหว่างสงครามโลกครั้งที่ 2 ได้รับการตรวจสอบโดย RD Clarke ในปี พ.ศ. 2489 ^{[ 69 ]}

ในทฤษฎีจำนวนเชิงความน่าจะเป็นแกลลาเกอร์แสดงให้เห็นในปี 1976 ว่า หากสมมติฐานr-tuple ของจำนวนเฉพาะ ที่ยังไม่ได้ รับ การพิสูจน์บางเวอร์ชันเป็นจริง ^{[ 70 ]} แล้วจำนวนเฉพาะในช่วงเวลาสั้นๆ จะเป็นไปตามการแจกแจงปัวซง^{[ 71 ]}

อัตราการเกิดเหตุการณ์มีความสัมพันธ์กับความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์นั้นจะเกิดขึ้นในช่วงเวลาย่อยเล็กๆ (ไม่ว่าจะเป็นเวลา สถานที่ หรืออื่นๆ) ในกรณีของการแจกแจงปัวซง เราจะสมมติว่ามีช่วงเวลาย่อยที่เล็กพอซึ่งความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นสองครั้งนั้น "น้อยมาก" ด้วยสมมติฐานนี้ เราสามารถสร้างการแจกแจงปัวซงจากการแจกแจงทวินามได้ โดยอาศัยเพียงข้อมูลเกี่ยวกับจำนวนเหตุการณ์ทั้งหมดที่คาดหวังในช่วงเวลาทั้งหมดเท่านั้น

ให้จำนวนเหตุการณ์ทั้งหมดในช่วงเวลาทั้งหมดแทนด้วยแบ่งช่วงเวลาทั้งหมดออกเป็นช่วงย่อยที่มีขนาดเท่ากัน โดยที่(เนื่องจากเราสนใจเฉพาะส่วนเล็ก ๆ ของช่วงเวลาเท่านั้น สมมติฐานนี้จึงมีความหมาย) ซึ่งหมายความว่าจำนวนเหตุการณ์ที่คาดหวังในแต่ละ ช่วงย่อยทั้ง nช่วงนั้นเท่ากับ${\displaystyle \lambda .}$${\displaystyle n}$${\displaystyle I_{1},\dots ,I_{n}}$${\displaystyle n>\lambda }$${\displaystyle \lambda /n.}$

ตอนนี้เราสมมติว่าการเกิดเหตุการณ์ในช่วงเวลาทั้งหมดสามารถมองได้ว่าเป็นลำดับของการทดลองแบบเบอร์นูลลีn ครั้ง โดยที่การทดลองแบบเบอร์นูลลี ครั้งที่ -th สอดคล้องกับการตรวจสอบว่าเหตุการณ์เกิดขึ้นในช่วงเวลาย่อยด้วยความน่าจะเป็น -n หรือ ไม่ จำนวนเหตุการณ์ทั้งหมดที่คาดหวังในการทดลองดังกล่าวจะเป็นจำนวนเหตุการณ์ทั้งหมดที่คาดหวังในช่วงเวลาทั้งหมด ดังนั้นสำหรับแต่ละส่วนย่อยของช่วงเวลา เราได้ประมาณการการเกิดเหตุการณ์เป็นกระบวนการแบบเบอร์นูลลีในรูปแบบดังที่เราได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ เราต้องการพิจารณาเฉพาะช่วงเวลาย่อยที่เล็กมากเท่านั้น ดังนั้น เราจึงใช้ลิมิตเมื่อ n เข้าสู่∞ ${\displaystyle i}$${\displaystyle I_{i}}$${\displaystyle \lambda /n.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lambda ,}$${\displaystyle {\textrm {B}}(n,\lambda /n).}$${\displaystyle n}$

ในกรณีนี้การแจกแจงทวินามจะลู่เข้าสู่สิ่งที่เรียกว่าการแจกแจงปัวซงโดยทฤษฎีบทขีดจำกัดของปัวซง

ในตัวอย่างข้างต้นหลายๆ ตัวอย่าง เช่น จำนวนการกลายพันธุ์ในลำดับดีเอ็นเอที่กำหนด เหตุการณ์ที่ถูกนับนั้นแท้จริงแล้วเป็นผลลัพธ์ของการทดลองแบบไม่ต่อเนื่อง และจะสามารถจำลองได้อย่างแม่นยำยิ่งขึ้นโดยใช้การแจกแจงแบบทวินามนั่นคือ $${\displaystyle X\sim {\textrm {B}}(n,p).}$$

ในกรณีเช่นนี้nจะมีค่ามากและpจะมีค่าน้อยมาก (ดังนั้นค่าเฉลี่ยnpจึงมีขนาดปานกลาง) จากนั้นจึงสามารถประมาณการกระจายตัวได้โดยใช้การกระจายแบบปัวซงซึ่งไม่ซับซ้อนกว่า $${\displaystyle X\sim {\textrm {Pois}}(np).}$$

บางครั้งการประมาณค่านี้เรียกว่ากฎของเหตุการณ์หายาก [ ^{72 ] : 5} เนื่องจาก เหตุการณ์เบอร์นูลลีแต่ละรายการ จำนวน n ^{รายการ}เกิดขึ้นได้ยาก

ชื่อ "กฎของเหตุการณ์หายาก" อาจทำให้เข้าใจผิดได้ เพราะจำนวนรวมของเหตุการณ์ที่ประสบความสำเร็จในกระบวนการปัวซงไม่จำเป็นต้องหายากเสมอไป หากค่าพารามิเตอร์npไม่น้อย ตัวอย่างเช่น จำนวนสายโทรศัพท์ที่โทรเข้ามายังตู้รับสายที่ไม่ว่างในหนึ่งชั่วโมงนั้น เป็นไปตามการแจกแจงแบบปัวซง โดยเหตุการณ์เหล่านั้นดูเหมือนจะเกิดขึ้นบ่อยสำหรับผู้ให้บริการ แต่ถือว่าหายากจากมุมมองของคนทั่วไปที่แทบจะไม่โทรเข้ามายังตู้รับสายนั้นในชั่วโมงดังกล่าวเลย

ความแปรปรวนของการแจกแจงแบบทวินามเป็น1 − pเท่าของความแปรปรวนของการแจกแจงแบบปัวซง ดังนั้นจึงเกือบเท่ากันเมื่อpมีค่าเล็กมาก

บางครั้ง คำว่ากฎถูกใช้เป็นคำพ้องความหมายของการแจกแจงความน่าจะเป็นและการบรรจบกันในกฎหมายถึงการบรรจบกันในการแจกแจงดังนั้น การแจกแจงปัวซงจึงบางครั้งเรียกว่า "กฎของจำนวนน้อย" เพราะเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นของจำนวนครั้งของการเกิดเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นไม่บ่อยนัก แต่มีโอกาสเกิดขึ้นมากมายกฎของจำนวนน้อยเป็นหนังสือของ Ladislaus Bortkiewicz เกี่ยวกับการแจกแจงปัวซง ตีพิมพ์ในปี 1898 ^{[ 12 ] [ 73 ]}

การแจกแจงปัวซงเกิดขึ้นจากจำนวนจุดของกระบวนการจุดปัวซงที่อยู่ในบริเวณจำกัดบางแห่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าDเป็นปริภูมิบริเวณ เช่น ปริภูมิยุคลิดR ^dซึ่ง| D |พื้นที่ ปริมาตร หรือโดยทั่วไปแล้ว การวัดแบบเลเบสของบริเวณนั้นมีค่าจำกัด และถ้าN ( D )แทนจำนวนจุดในDแล้ว

$${\displaystyle P(N(D)=k)={\frac {(\lambda |D|)^{k}e^{-\lambda |D|}}{k!}}.}$$