การกระจายปัวซงแบบผสม
สัญกรณ์	${\displaystyle \operatorname {Pois} (\lambda )\,{\underset {\lambda }{\wedge }}\,\pi (\lambda )}$
พารามิเตอร์	${\displaystyle \lambda \in (0,\infty )}$
สนับสนุน	${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$
พีเอ็มเอฟ	${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\,\,\pi (\lambda )\,d\lambda }$
หมายถึง	${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\lambda )\,d\lambda }$
ความแปรปรวน	${\displaystyle \int _{0}^{\infty }(\lambda +(\lambda -\mu _{\pi })^{2})\,\,\pi (\lambda )\,d\lambda }$
ความเบี่ยงเบน	${\displaystyle \left(\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}\right)^{-3/2}\,\left[\int _{0}^{\infty }\left[{\left(\lambda -\mu _{\pi }\right)}^{3}+3{\left(\lambda -\mu _{\pi }\right)}^{2}\right]\pi (\lambda )\,d\lambda +\mu _{\pi }\right]}$
เอ็มจีเอฟ	${\displaystyle M_{\pi }(e^{t}-1)}$โดยมีMGF ของπ${\displaystyle M_{\pi }}$
ซีเอฟ	${\displaystyle M_{\pi }(e^{it}-1)}$
พีจีเอฟ	${\displaystyle M_{\pi }(z-1)}$

การแจกแจงปัวซงแบบผสมเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง ของตัวแปรเดียว ในทางสถิติ เกิดจากการสมมติว่าการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของตัวแปรสุ่ม เมื่อกำหนดค่าของพารามิเตอร์อัตรา เป็นการแจกแจงปัวซงและพารามิเตอร์อัตราเองก็ถือว่าเป็นตัวแปรสุ่ม ดังนั้นจึงเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบผสมการแจกแจงปัวซงแบบผสมสามารถพบได้ในคณิตศาสตร์ประกันภัยในฐานะแนวทางทั่วไปสำหรับการแจกแจงจำนวนการเรียกร้อง และยังได้รับการตรวจสอบในฐานะแบบจำลองทางระบาดวิทยา อีก ด้วย^{[ 1 ]}ไม่ควรสับสนกับการแจกแจงปัวซงแบบผสมหรือกระบวนการปัวซงแบบผสม^{[ 2 ]}

ตัวแปรสุ่มXสอดคล้องกับการแจกแจงปัวซงแบบผสมที่มีความหนาแน่นπ ( λ ) หากมีการแจกแจงความน่าจะเป็น^{[ 3 ]}

$${\displaystyle \operatorname {P} (X=k)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\,\,\pi (\lambda )\,d\lambda .}$$

ถ้าเรากำหนดความน่าจะเป็นของการแจกแจงปัวซงด้วยq _λ ( k )แล้ว

$${\displaystyle \operatorname {P} (X=k)=\int _{0}^{\infty }q_{\lambda }(k)\,\,\pi (\lambda )\,d\lambda .}$$

• ค่าความแปรปรวนมักจะมากกว่าค่าที่คาดหวัง เสมอ คุณสมบัตินี้เรียกว่าการกระจายตัวเกิน (overdispersion ) ซึ่งแตกต่างจากการแจกแจงแบบปัวซง (Poisson distribution) ที่ค่าเฉลี่ยและค่าความแปรปรวนเท่ากัน
• ในทางปฏิบัติ ความ หนาแน่นของ π ( λ ) ที่ใช้ แทบจะมีเพียงความหนาแน่นของ การแจกแจงแกมมาการแจกแจงปกติแบบลอการิทึมและการแจกแจงเกาส์เซียนผกผัน เท่านั้น หากเราเลือกความหนาแน่นของการแจกแจงแกมมาเราจะได้การแจกแจงทวินามเชิงลบซึ่งอธิบายได้ว่าทำไมจึงเรียกการแจกแจงนี้ว่าการแจกแจงปัวซงแกมมาด้วย

ต่อไปนี้ ให้เป็นค่าคาดหวังของความหนาแน่นและเป็นค่าความแปรปรวนของความหนาแน่น ${\displaystyle \mu _{\pi }=\int _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\lambda )\,d\lambda \,}$${\displaystyle \pi (\แลมบ์ดา )\,}$${\displaystyle \sigma _{\pi }^{2}=\int _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{2}\,\,\pi (\lambda )\,d\lambda \,}$

ค่าที่คาดหวังของการแจกแจงปัวซงแบบผสมคือ

$${\displaystyle \ตัวดำเนินการ {E} (X)=\mu _{\pi }.}$$

สำหรับความแปรปรวนจะได้^{[ 3 ]}

$${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}.}$$

ค่าความเบี่ยงเบนสามารถแสดงได้ดังนี้

$${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\Bigl (}\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}{\Bigr )}^{-3/2}\,{\Biggl [}\int _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{3}\,\pi (\lambda )\,d{\lambda }+\mu _{\pi }{\Biggr ]}.}$$

ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะมีรูปแบบดังนี้

$${\displaystyle \varphi _{X}(s)=M_{\pi }(e^{is}-1).\,}$$

ฟังก์ชันสร้างโมเมนต์ของความหนาแน่น อยู่ที่ไหน${\displaystyle M_{\pi }}$

สำหรับฟังก์ชันสร้างความน่าจะเป็นจะได้^{[ 3 ]}

$${\displaystyle m_{X}(s)=M_{\pi }(s-1).\,}$$

ฟังก์ชันสร้างโมเมนต์ของการแจกแจงปัวซงแบบผสมคือ

$${\displaystyle M_{X}(s)=M_{\pi }(e^{s}-1).\,}$$

• Grandell, Jan (1997). กระบวนการปัวซงแบบผสม . ลอนดอน: Chapman & Hall. ISBN 0-412-78700-8.
• Britton, Tom (2019). แบบจำลองการระบาดแบบสุ่มพร้อมการอนุมาน . Springer. doi : 10.1007/978-3-030-30900-8 .