ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น μ =1, σ =1
ฟังก์ชันการกระจายสะสม μ =1, σ =1
พารามิเตอร์	μ ∈ R    (รูปร่าง ) σ 2 > 0    (สเกล )
สนับสนุน	x ∈ [0,∞)
พีดี	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}+{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {(x+\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$
ซีดีเอฟ	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[{\mbox{erf}}\left({\frac {x+\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)+{\mbox{erf}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]}$
หมายถึง	${\displaystyle \mu _{Y}=\sigma {\sqrt {\tfrac {2}{\pi }}}\,e^{(-\mu ^{2}/2\sigma ^{2})}+\mu \left(1-2\,\Phi (-{\tfrac {\mu }{\sigma }})\right)}$
ความแปรปรวน	${\displaystyle \sigma _{Y}^{2}=\mu ^{2}+\sigma ^{2}-\mu _{Y}^{2}}$

การแจกแจงปกติแบบพับ (Folded Normal Distribution) ^{เป็นการ}แจกแจงความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับการแจกแจงปกติเมื่อกำหนดตัวแปรสุ่มX ที่แจกแจงแบบปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยμและความแปรปรวนσ²ตัวแปรสุ่มY = | X | จะมีการแจกแจงปกติแบบพับ กรณีเช่นนี้อาจพบได้เมื่อบันทึกเฉพาะขนาดของตัวแปรบางตัว แต่ไม่ได้บันทึกเครื่องหมาย การแจกแจงนี้เรียกว่า "แบบพับ" เพราะมวลความน่าจะเป็นทางด้านซ้ายของx = 0 จะถูกพับทับโดยการใช้ค่าสัมบูรณ์ในฟิสิกส์ของการนำความร้อนการแจกแจงปกติแบบพับเป็นคำตอบพื้นฐานของสมการความร้อนบนครึ่งพื้นที่ ซึ่งสอดคล้องกับการมีฉนวนที่สมบูรณ์แบบบนระนาบที่ผ่านจุดกำเนิด

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (PDF) กำหนดโดย

${\displaystyle f_{Y}(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\,e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\,e^{-{\frac {(x+\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$

สำหรับx ≥ 0 และ 0 ในทุกที่อื่น การกำหนดสูตรทางเลือกอื่นมีดังนี้

${\displaystyle f\left(x\right)={\sqrt {\frac {2}{\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {\left(x^{2}+\mu ^{2}\right)}{2\sigma ^{2}}}}\cosh {\left({\frac {\mu x}{\sigma ^{2}}}\right)}}$,

โดยที่ cosh คือฟังก์ชันโคไซน์ไฮเปอร์โบลิกดังนั้นฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) จึงกำหนดโดย:

${\displaystyle F_{Y}(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{2}}\left[{\mbox{erf}}\left({\frac {x+\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)+{\mbox{erf}}\left({\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)\right]}$

สำหรับx ≥ 0 โดยที่ erf() คือฟังก์ชันความคลาดเคลื่อนนิพจน์นี้จะลดรูปเป็น CDF ของการแจกแจงแบบครึ่งปกติเมื่อμ = 0

ค่าเฉลี่ยของการกระจายแบบพับคือ

${\displaystyle \mu _{Y}=\sigma {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\,\exp \left({\frac {-\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)+\mu \,{\mbox{erf}}\left({\frac {\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)}$

หรือ

${\displaystyle \mu _{Y}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sigma e^{-{\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}}+\mu \left[1-2\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}\right)\right]}$

ฟังก์ชันการกระจายสะสมปกติอยู่ที่ไหน: ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi (x)\;=\;{\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right].}$

ดังนั้น ค่าความแปรปรวนจึงสามารถแสดงออกมาได้ง่ายๆ ในรูปของค่าเฉลี่ย:

${\displaystyle \sigma _{Y}^{2}=\mu ^{2}+\sigma ^{2}-\mu _{Y}^{2}.}$

ค่าฐานนิยมของการแจกแจงคือค่าของที่ทำให้ความหนาแน่นมีค่าสูงสุด ในการหาค่านี้ เราจะหาอนุพันธ์อันดับแรกของความหนาแน่นเทียบกับและกำหนดให้เท่ากับศูนย์ น่าเสียดายที่ไม่มีสูตรสำเร็จรูป แต่เราสามารถเขียนอนุพันธ์ในรูปแบบที่ดีกว่าและได้สมการที่ไม่เป็นเชิงเส้น ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}=0\Rightarrow -{\frac {\left(x-\mu \right)}{\sigma ^{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}-{\frac {\left(x+\mu \right)}{\sigma ^{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x+\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}=0}$

${\displaystyle x\left[e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}+e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x+\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}\right]-\mu \left[e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}-e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x+\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}}\right]=0}$

${\displaystyle x\left(1+e^{-{\frac {2\mu x}{\sigma ^{2}}}}\right)-\mu \left(1-e^{-{\frac {2\mu x}{\sigma ^{2}}}}\right)=0}$

${\displaystyle \left(\mu +x\right)e^{-{\frac {2\mu x}{\sigma ^{2}}}}=\mu -x}$

${\displaystyle x=-{\frac {\sigma ^{2}}{2\mu }}\log {\frac {\mu -x}{\mu +x}}}$.

Tsagris et al. (2014) พบจากการวิเคราะห์เชิงตัวเลขว่า เมื่อค่าสูงสุดจะเกิดขึ้นเมื่อและเมื่อมีค่ามากกว่าค่าสูงสุดจะเข้าใกล้ ซึ่งเป็นสิ่งที่คาดหวังได้ เนื่องจากในกรณีนี้ การแจกแจงปกติแบบพับจะลู่เข้าสู่การแจกแจงปกติ เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาใดๆ ที่เกิดจากค่าความแปรปรวนติดลบ จึงแนะนำให้ใช้การยกกำลังของพารามิเตอร์ หรืออีกทางเลือกหนึ่ง คุณสามารถเพิ่มข้อจำกัด เช่น หากตัวปรับค่าเหมาะสมที่สุดเลือกค่าความแปรปรวนติดลบ ค่าของลอการิทึมความน่าจะเป็นจะเป็น NA หรือค่าที่เล็กมาก${\displaystyle \mu <\sigma }$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle 3\sigma }$${\displaystyle \mu }$

• ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะกำหนดโดย

${\displaystyle \varphi _{x}\left(t\right)=e^{{\frac {-\sigma ^{2}t^{2}}{2}}+i\mu t}\Phi \left({\frac {\mu }{\sigma }}+i\sigma t\right)+e^{-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}-i\mu t}\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}+i\sigma t\right)}$.

• ฟังก์ชันสร้างโมเมนต์กำหนดโดย

${\displaystyle M_{x}\left(t\right)=\varphi _{x}\left(-it\right)=e^{{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}+\mu t}\Phi \left({\frac {\mu }{\sigma }}+\sigma t\right)+e^{{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}-\mu t}\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}+\sigma t\right)}$.

• ฟังก์ชันก่อกำเนิดคูมูลันต์กำหนดโดย

${\displaystyle K_{x}\left(t\right)=\log {M_{x}\left(t\right)}=\left({\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}+\mu t\right)+\log {\left\lbrace 1-\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}-\sigma t\right)+e^{{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}-\mu t}\left[1-\Phi \left({\frac {\mu }{\sigma }}-\sigma t\right)\right]\right\rbrace }}$.

• การแปลงลาปลาสมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle E\left(e^{-tx}\right)=e^{{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}-\mu t}\left[1-\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}+\sigma t\right)\right]+e^{{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}+\mu t}\left[1-\Phi \left({\frac {\mu }{\sigma }}+\sigma t\right)\right]}$.

• การแปลงฟูริเยร์กำหนดโดย

${\displaystyle {\hat {f}}\left(t\right)=\varphi _{x}\left(-2\pi t\right)=e^{{\frac {-4\pi ^{2}\sigma ^{2}t^{2}}{2}}-i2\pi \mu t}\left[1-\Phi \left(-{\frac {\mu }{\sigma }}-i2\pi \sigma t\right)\right]+e^{-{\frac {4\pi ^{2}\sigma ^{2}t^{2}}{2}}+i2\pi \mu t}\left[1-\Phi \left({\frac {\mu }{\sigma }}-i2\pi \sigma t\right)\right]}$.

• เมื่อμ = 0การกระจายของYจะเป็นการกระจายแบบครึ่งปกติ (half-normal distribution )
• ตัวแปรสุ่ม( Y / σ ) ²มี การ แจกแจงไคกำลังสองแบบไม่ศูนย์กลางโดยมีองศาอิสระ 1 และค่าไม่ศูนย์กลางเท่ากับ( μ / σ ) ²
• การแจกแจงปกติแบบพับ (folded normal distribution) สามารถมองได้ว่าเป็นลิมิตของการแจกแจง t แบบไม่มาตรฐานแบบพับ (folded non-standardized t distribution)เมื่อจำนวนองศาอิสระเข้าสู่ค่าอนันต์
• มีการพัฒนาเวอร์ชันแบบสองตัวแปรโดย Psarakis และ Panaretos (2001) รวมถึงเวอร์ชันแบบหลายตัวแปรที่พัฒนาโดย Chakraborty และ Chatterjee (2013)
• การแจกแจงแบบไรซ์ (Rice distribution)เป็นการขยายความแบบหลายตัวแปรของการแจกแจงแบบปกติพับ (folded normal distribution)

มีหลายวิธีในการประมาณค่าพารามิเตอร์ของฟังก์ชันปกติแบบพับ (folded normal) โดยพื้นฐานแล้วทุกวิธีล้วนเป็นกระบวนการประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุด แต่ในบางกรณีจะทำการหาค่าสูงสุดเชิงตัวเลข ในขณะที่ในกรณีอื่นๆ จะทำการค้นหารากของสมการ ค่าลอการิทึมความน่าจะเป็นของฟังก์ชันปกติแบบพับเมื่อมีตัวอย่างขนาดสามารถเขียนได้ในลักษณะต่อไปนี้ ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle l=-{\frac {n}{2}}\log {2\pi \sigma ^{2}}+\sum _{i=1}^{n}\log {\left[e^{-{\frac {\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}+e^{-{\frac {\left(x_{i}+\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right]}}$

${\displaystyle l=-{\frac {n}{2}}\log {2\pi \sigma ^{2}}+\sum _{i=1}^{n}\log {\left[e^{-{\frac {\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\left(1+e^{-{\frac {\left(x_{i}+\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}e^{\frac {\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\right]}}$

${\displaystyle l=-{\frac {n}{2}}\log {2\pi \sigma ^{2}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}+\sum _{i=1}^{n}\log {\left(1+e^{-{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}\right)}}$

ในภาษาโปรแกรม Rการใช้แพ็กเกจ Rfastช่วยให้หาค่าประมาณความน่าจะเป็นสูงสุด (MLE foldnorm.mle) ได้อย่างรวดเร็ว (คำสั่ง `rfast`) หรืออีกทางเลือกหนึ่ง คำสั่ง ` optim`หรือ`nlm`ก็สามารถหาค่าประมาณความน่าจะเป็นสูงสุด (MLE) ได้เช่นกัน การหาค่าสูงสุดนั้นง่าย เนื่องจากมีพารามิเตอร์สองตัว ( `x` และ ` y`) เกี่ยวข้อง โปรดทราบว่าค่า `x` ทั้งบวกและลบนั้นยอมรับได้ เนื่องจาก `x` อยู่ในเส้นจำนวนจริง ดังนั้นเครื่องหมายจึงไม่สำคัญ เพราะการแจกแจงนั้นสมมาตรกับเส้นจำนวนจริง โค้ดต่อไปนี้เขียนด้วยภาษา R${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$

พับ<- ฟังก์ชัน( y ) {## y คือเวกเตอร์ที่มีข้อมูลบวกn <- length ( y ) ## ขนาดตัวอย่างsy2 <- sum ( y ^ 2 )แซม<- ฟังก์ชั่น( พารา, n , sy2 ) { ฉัน<- พารา[ 1 ] ; se <- exp ( พารา[ 2 ] ) f <- - n / 2 * log ( 2 / pi / se ) + n * me ^ 2 / 2 / se + sy2 / 2 / se - sum ( บันทึก( cosh ( ฉัน* y / se ) ) ) f }mod <- optim ( c ( mean ( y ), sd ( y ) ), n = n , sy2 = sy2 , sam , control = list ( maxit = 2000 ) ) mod <- optim ( mod $ par , sam , n = n , sy2 = sy2 , control = list ( maxit = 20000 ) ) result <- c ( - mod $ value , mod $ par [ 1 ], exp ( mod $ par [ 2 ]) ) names ( result ) <- c ( "log-likelihood" , "mu" , "sigma squared" ) result}

อนุพันธ์ย่อยของลอการิทึมความน่าจะเป็นเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle {\frac {\partial l}{\partial \mu }}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)}{\sigma ^{2}}}-{\frac {2}{\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}e^{\frac {-2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}{1+e^{\frac {-2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial l}{\partial \mu }}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)}{\sigma ^{2}}}-{\frac {2}{\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{1+e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}\ \ {\text{and}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial l}{\partial \sigma ^{2}}}=-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}+{\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{4}}}+{\frac {2\mu }{\sigma ^{4}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}e^{-{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}{1+e^{-{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial l}{\partial \sigma ^{2}}}=-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}+{\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{4}}}+{\frac {2\mu }{\sigma ^{4}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{1+e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}}$.

โดยการเทียบอนุพันธ์ย่อยอันดับแรกของลอการิทึมความน่าจะเป็นให้เท่ากับศูนย์ เราจะได้ความสัมพันธ์ที่ดี

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{1+e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)}{2}}}$.

โปรดสังเกตว่าสมการข้างต้นมีสามคำตอบ คำตอบหนึ่งอยู่ที่ศูนย์ และอีกสองคำตอบมีเครื่องหมายตรงข้าม เมื่อแทนสมการข้างต้นลงในอนุพันธ์ย่อยของล็อกความน่าจะเป็นเทียบกับและกำหนดให้เท่ากับศูนย์ เราจะได้นิพจน์ต่อไปนี้สำหรับความแปรปรวน ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}{n}}+{\frac {2\mu \sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)}{n}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}^{2}-\mu ^{2}\right)}{n}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{n}}-\mu ^{2}}$,

ซึ่งเป็นสูตรเดียวกับในการกระจายแบบปกติความแตกต่างหลักอยู่ที่ว่าและไม่เป็นอิสระทางสถิติ ความสัมพันธ์ข้างต้นสามารถนำมาใช้เพื่อหาค่าประมาณความน่าจะเป็นสูงสุดได้อย่างมีประสิทธิภาพด้วยวิธีการวนซ้ำ เราเริ่มต้นด้วยค่าเริ่มต้นสำหรับและหาค่ารากบวก ( ) ของสมการสุดท้าย จากนั้นเราจะได้ค่าที่อัปเดตของกระบวนการนี้จะถูกทำซ้ำจนกว่าการเปลี่ยนแปลงในค่าลอการิทึมความน่าจะเป็นจะน้อยมาก อีกวิธีที่ง่ายกว่าและมีประสิทธิภาพกว่าคือการใช้อัลกอริธึมการค้นหา ลองเขียนสมการสุดท้ายในรูปแบบที่สวยงามกว่า ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle 2\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{1+e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}\left(1+e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}\right)}{1+e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}+n\mu =0}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}\left(1-e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}\right)}{1+e^{\frac {2\mu x_{i}}{\sigma ^{2}}}}}+n\mu =0}$.

เห็นได้ชัดว่าการปรับค่าลอการิทึมความน่าจะเป็นให้เหมาะสมกับพารามิเตอร์ทั้งสองนั้นได้กลายเป็นการค้นหารากของฟังก์ชัน ซึ่งแน่นอนว่าเหมือนกับการค้นหารากก่อนหน้านี้ Tsagris et al. (2014) พบว่ามีรากสามรากสำหรับสมการนี้ นั่นคือมีค่าที่เป็นไปได้สามค่าของที่สอดคล้องกับสมการนี้ ได้แก่ และซึ่งเป็นค่าประมาณความน่าจะเป็นสูงสุด และ 0 ซึ่งสอดคล้องกับลอการิทึมความน่าจะเป็นต่ำสุด ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle -\mu }$${\displaystyle +\mu }$

• การแจกแจงสะสมแบบพับ
• การกระจายแบบครึ่งปกติ
• การแจกแจงแบบครึ่งปกติที่แก้ไขแล้ว^{[ 1 ]}ที่มี pdf บนกำหนดให้เป็นโดยที่แสดงถึงฟังก์ชัน Fox–Wright Psi${\displaystyle (0,\infty )}$${\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}}$${\displaystyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}$
• การแจกแจงปกติแบบตัดทอน

• Random (เดิมชื่อ Virtual Laboratories): การแจกแจงแบบปกติพับ (Folded Normal Distribution)