ในการประมวลผลสัญญาณสเปกตรัมกำลังของสัญญาณเวลาต่อเนื่องจะอธิบายการกระจายกำลังไปยังส่วนประกอบความถี่ที่ประกอบเป็นสัญญาณนั้น^{[ 1 ]}การวิเคราะห์ฟูริเยร์แสดงให้เห็นว่าสัญญาณทางกายภาพใดๆ ก็สามารถแยกออกเป็นการกระจายความถี่ในช่วงต่อเนื่องได้ โดยที่กำลังบางส่วนอาจกระจุกตัวอยู่ที่ความถี่ที่ไม่ต่อเนื่อง ค่าเฉลี่ยทางสถิติของพลังงานหรือกำลังของสัญญาณประเภทใดๆ (รวมถึงสัญญาณรบกวน ) ที่วิเคราะห์ในแง่ของเนื้อหาความถี่ เรียกว่าความหนาแน่น สเปกตรัม${\displaystyle S_{xx}(f)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle f}$

เมื่อพลังงานของสัญญาณกระจุกตัวอยู่ในช่วงเวลาจำกัด โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากพลังงานรวมมีค่าจำกัด เราสามารถคำนวณความหนาแน่นสเปกตรัมของพลังงานได้ โดยทั่วไปมักใช้ความหนาแน่นสเปกตรัมของกำลัง (PSD หรือเรียกง่ายๆ ว่าสเปกตรัมกำลัง ) ซึ่งใช้กับสัญญาณที่มีอยู่ตลอดเวลาหรือในช่วงเวลาที่มากพอ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเทียบกับระยะเวลาของการวัด) จนอาจถือได้ว่าเป็นช่วงเวลาอนันต์ ดังนั้น PSD จึงหมายถึงการกระจายกำลังสเปกตรัมที่จะพบ เนื่องจากพลังงานรวมของสัญญาณดังกล่าวตลอดเวลาโดยทั่วไปจะเป็นอนันต์การรวมหรือการอินทิเกรตส่วนประกอบสเปกตรัมจะให้กำลังรวม (สำหรับกระบวนการทางกายภาพ) หรือความแปรปรวน (ในกระบวนการทางสถิติ) ซึ่งเหมือนกับสิ่งที่ได้จากการอินทิเกรตในช่วงเวลา ตาม ทฤษฎีบท ของParseval ^{[ 1 ]}${\displaystyle x^{2}(t)}$

สเปกตรัมของกระบวนการทางกายภาพมักมีข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับธรรมชาติของกระบวนการนั้นตัวอย่างเช่นระดับเสียงและคุณภาพเสียงของเครื่องดนตรีสามารถกำหนดได้จากการวิเคราะห์สเปกตรัมสีของแหล่งกำเนิดแสงถูกกำหนดโดยสเปกตรัมของสนามไฟฟ้าของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าขณะที่มันสั่นด้วยความถี่สูงมาก การได้มาซึ่งสเปกตรัมจากข้อมูลอนุกรมเวลาเช่นนี้เกี่ยวข้องกับการแปลงฟูริเยร์และการสรุปทั่วไปโดยอาศัยการวิเคราะห์ฟูริเยร์ ในหลายกรณี โดเมนเวลาไม่ได้ถูกบันทึกไว้โดยตรงในทางปฏิบัติ เช่น เมื่อ ใช้ ปริซึมกระจายแสงเพื่อหาสเปกตรัมของแสงในสเปกโทรแกรมหรือเมื่อรับรู้เสียงผ่านผลกระทบต่อตัวรับเสียงในหูชั้นใน ซึ่งแต่ละตัวมีความไวต่อความถี่เฉพาะ ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle E(t)}$

อย่างไรก็ตาม บทความนี้มุ่งเน้นไปที่สถานการณ์ที่ทราบอนุกรมเวลา (อย่างน้อยในเชิงสถิติ) หรือวัดโดยตรง (เช่น โดยไมโครโฟนที่สุ่มตัวอย่างโดยคอมพิวเตอร์) สเปกตรัมกำลังมีความสำคัญในการประมวลผลสัญญาณทางสถิติและในการศึกษาทางสถิติของกระบวนการสุ่มตลอดจนในสาขาฟิสิกส์และวิศวกรรมศาสตร์ อื่นๆ อีกมากมาย โดยทั่วไปกระบวนการจะเป็นฟังก์ชันของเวลา แต่เราสามารถอภิปรายข้อมูลในโดเมนเชิงพื้นที่ที่ถูกแยกส่วนในแง่ของความถี่เชิงพื้นที่ได้ เช่นกัน ^{[ 1 ]}

ในทางฟิสิกส์สัญญาณอาจเป็นคลื่น เช่นคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าคลื่นเสียงหรือการสั่นสะเทือนของกลไก ความหนาแน่นสเปกตรัมกำลัง (PSD) ของสัญญาณอธิบาย ความหนาแน่น กำลังของสัญญาณเป็นฟังก์ชันของความถี่ ความหนาแน่นสเปกตรัมกำลังมักแสดงในหน่วย SI วัตต์ต่อเฮิรตซ์ (W/Hz) ^{[ 2 ]}

เมื่อสัญญาณถูกกำหนดในแง่ของแรงดันไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาเท่านั้น ตัวอย่างเช่น จะไม่มีกำลังเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับแรงดันไฟฟ้าที่กำหนด ในกรณีนี้ "กำลัง" จะถูกคำนวณในแง่ของกำลังสองของสัญญาณ เนื่องจากสิ่งนี้จะเป็นสัดส่วนกับกำลังจริงที่ส่งโดยสัญญาณนั้นไปยังอิมพีแดนซ์ที่กำหนด^{เสมอดังนั้น}อาจใช้หน่วยV²⋅Hz⁻¹ ^{สำหรับ} PSD ความหนาแน่นสเปกตรัมพลังงาน (ESD) จะมีหน่วย^{V²⋅s⋅Hz⁻¹}เนื่องจากพลังงานคือ กำลังคูณด้วยเวลา (เช่นวัตต์-ชั่วโมง ) ^{[ 3 ]}

โดยทั่วไปแล้ว หน่วยของ PSD จะเป็นอัตราส่วนของหน่วยความแปรปรวนต่อหน่วยความถี่ ตัวอย่างเช่น ชุดของค่าการกระจัด (เป็นเมตร) ในช่วงเวลา (เป็นวินาที) จะมี PSD ที่มีหน่วยเป็น m² / ^Hzในการวิเคราะห์การสั่นสะเทือน แบบ ^สุ่มอาจใช้หน่วยg₀²⋅Hz⁻¹ สำหรับ PSD _ของความเร่งโดยที่_g₀หมายถึงแรง^โน้มถ่วงมาตรฐาน^{[ 4 ]}

ในทางคณิตศาสตร์ ไม่จำเป็นต้องกำหนดมิติทางกายภาพให้กับสัญญาณหรือตัวแปรอิสระ ในการอธิบายต่อไปนี้ ความหมายของx ( t ) จะยังคงไม่ระบุ แต่จะถือว่าตัวแปรอิสระคือเวลา

PSD อาจเป็น ฟังก์ชัน ด้านเดียวของความถี่บวกเท่านั้น หรือเป็น ฟังก์ชัน สองด้านของทั้งความถี่บวกและลบแต่มีแอมพลิจูดเพียงครึ่งเดียว โดยทั่วไปแล้ว PSD ของสัญญาณรบกวนจะเป็นแบบด้านเดียวในทางวิศวกรรม และแบบสองด้านในทางฟิสิกส์^{[ 5 ]}

ในการประมวลผลสัญญาณพลังงานของสัญญาณจะกำหนดโดย สมมติว่าพลังงานทั้งหมดมีค่าจำกัด (กล่าวคือเป็นฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ ) ทำให้สามารถใช้ทฤษฎีบทของ Parseval (หรือทฤษฎีบทของ Plancherel ) ได้ ^{[ 6 ]}นั่นคือ โดยที่ คือการแปลงฟูริเยร์ของที่ความถี่ (ในHz ) ^{[ 7 ]}ทฤษฎีบทนี้ยังคงใช้ได้ในกรณีเวลาไม่ต่อเนื่อง เนื่องจากปริพันธ์ทางด้านซ้ายมือคือพลังงานของสัญญาณ ค่าของสามารถตีความได้ว่าเป็นฟังก์ชันความหนาแน่นที่คูณด้วยช่วงความถี่ที่เล็กมาก ซึ่งอธิบายพลังงานที่มีอยู่ในสัญญาณที่ความถี่ในช่วงความถี่ ${\displaystyle x(t)}$$${\displaystyle E\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }\left|x(t)\right|^{2}\ dt.}$$${\displaystyle x(t)}$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}\,df,}$$$${\displaystyle {\hat {x}}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi ft}x(t)\ dt,}$$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}df}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f+df}$

ดังนั้นความหนาแน่นสเปกตรัมพลังงานของจึงถูกกำหนดเป็น^{[ 8 ]}${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)\triangleq \left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}}$

สมการที่ 1

ฟังก์ชันและความสัมพันธ์อัตโนมัติของรูปแบบเป็นคู่การแปลงฟูริเยร์ ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทไวเนอร์-คินชิน (ดูเพิ่มเติมที่พีริโอโดแกรม ) ${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)}$${\displaystyle x(t)}$

เพื่อเป็นตัวอย่างทางกายภาพของการวัดความหนาแน่นสเปกตรัมพลังงานของสัญญาณ สมมติว่าแทนศักย์ ไฟฟ้า (ในหน่วยโวลต์ ) ของพัลส์ไฟฟ้าที่แพร่กระจายไปตามสายส่งที่มีอิมพีแดนซ์และสมมติว่าสายส่งนั้นต่อกับ ตัวต้านทาน ที่เข้าคู่กัน (เพื่อให้พลังงานพัลส์ทั้งหมดถูกส่งไปยังตัวต้านทานและไม่มีพลังงานสะท้อนกลับ) ตามกฎของโอห์มพลังงานที่ส่งไปยังตัวต้านทาน ณ เวลาเท่ากับดังนั้นพลังงานทั้งหมดจึงหาได้จากการอินทิเกรตเทียบกับเวลาตลอดระยะเวลาของพัลส์ ในการหาค่าความหนาแน่นสเปกตรัมพลังงานที่ความถี่ เราสามารถใส่ตัวกรองแบบแถบความถี่ผ่าน ( bandpass filter ) ระหว่างสายส่งและตัวต้านทานซึ่งจะยอมให้เฉพาะช่วงความถี่แคบๆ ( เช่น ) ใกล้กับความถี่ที่สนใจผ่านไปได้ จากนั้นวัดพลังงานทั้งหมดที่กระจายไปทั่วตัวต้านทาน ค่าความหนาแน่นสเปกตรัมพลังงานที่ จึงประมาณ ได้เป็นในตัวอย่างนี้ เนื่องจากกำลังมีหน่วยเป็นV²⋅Ω⁻¹ ^{พลังงาน}จึงมีหน่วยเป็น V²⋅s⋅Ω⁻¹ = ^J  และด้วยเหตุนี้ ค่าประมาณ ของความหนาแน่นสเปกตรัมพลังงาน ^จึงมีหน่วยเป็น J⋅Hz⁻¹ ^{ในหลาย}สถานการณ์ เป็นเรื่องปกติที่จะละเว้นขั้นตอนการหารด้วยเพื่อให้ความหนาแน่นสเปกตรัมพลังงานมีหน่วยเป็น^V²⋅s · ^Hz⁻¹แทน ${\displaystyle V(t)}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle t}$${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Delta f}$${\displaystyle E(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle E(f)/\Delta f}$${\displaystyle V(t)^{2}/Z}$${\displaystyle E(f)}$${\displaystyle E(f)/\Delta f}$${\displaystyle Z}$

นิยามนี้สามารถขยายไปสู่สัญญาณแบบไม่ต่อเนื่องที่มีค่าเป็นอนันต์นับได้เช่น สัญญาณที่สุ่มตัวอย่าง ณ เวลาไม่ต่อ เนื่อง ได้อย่างตรงไปตรง มา โดยที่คือการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องของ  ช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่างมีความจำเป็นเพื่อรักษาหน่วยทางกายภาพที่ถูกต้องและเพื่อให้แน่ใจว่าเราจะได้กรณีต่อเนื่องกลับคืนมาในขีดจำกัดแต่ในวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ ช่วงเวลามักจะถูกกำหนดให้เป็น 1 ซึ่งทำให้ผลลัพธ์ง่ายขึ้นแต่แลกมาด้วยความทั่วไปที่ลดลง (ดูเพิ่มเติมที่ความถี่ปกติ (หน่วย) ) ${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle t_{n}=t_{0}+(n\,\Delta t)}$$${\displaystyle {\bar {S}}_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }(\Delta t)^{2}\underbrace {\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}} _{\left|{\hat {x}}_{d}(f)\right|^{2}},}$$${\displaystyle {\hat {x}}_{d}(f)}$${\displaystyle x_{n}.}$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \Delta t\to 0}$

นิยามของความหนาแน่นสเปกตรัมพลังงานข้างต้นนั้นเหมาะสมสำหรับสัญญาณชั่วคราว (สัญญาณคล้ายพัลส์) ซึ่งพลังงานกระจุกตัวอยู่รอบช่วงเวลาหนึ่ง โดยทั่วไปแล้วการแปลงฟูริเยร์ของสัญญาณเหล่านั้นจะมีอยู่แล้ว สำหรับสัญญาณต่อเนื่องตลอดเวลา เราต้องกำหนดความหนาแน่นสเปกตรัมกำลัง (PSD) ซึ่งมีอยู่สำหรับกระบวนการคงที่ซึ่งอธิบายว่ากำลังของสัญญาณหรืออนุกรมเวลามีการกระจายตัวอย่างไรตามความถี่ ดังตัวอย่างง่ายๆ ที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ ในที่นี้ กำลังอาจเป็นกำลังทางกายภาพจริง หรือบ่อยครั้งเพื่อความสะดวกกับสัญญาณนามธรรม จะถูกระบุว่าเป็นค่ากำลังสองของสัญญาณ ตัวอย่างเช่น นักสถิติศึกษาความแปรปรวนของฟังก์ชันเมื่อเวลาผ่านไป(หรือตามตัวแปรอิสระอื่น) และโดยใช้การเปรียบเทียบกับสัญญาณไฟฟ้า (รวมถึงกระบวนการทางกายภาพอื่นๆ) เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกมันว่าสเปกตรัมกำลังแม้ว่าจะไม่มีกำลังทางกายภาพเกี่ยวข้องก็ตาม หากเราสร้าง แหล่งจ่าย แรงดัน ทางกายภาพ ที่ติดตามและนำไปใช้กับขั้วของตัวต้านทาน 1 โอห์มกำลังทันทีที่กระจายไปในตัวต้านทานนั้นจะมีค่าเป็น วัตต์${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x^{2}(t)}$

ดังนั้น กำลังเฉลี่ยของสัญญาณตลอดช่วงเวลาทั้งหมดจึงคำนวณได้จากค่าเฉลี่ยตามเวลาดังต่อไปนี้ โดยที่คาบเวลาจะอยู่กึ่งกลางที่เวลาใดเวลาหนึ่งโดยพลการ: ${\displaystyle P}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle t=t_{0}}$$${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{t_{0}-T/2}^{t_{0}+T/2}\left|x(t)\right|^{2}\,dt}$$

เมื่อใดก็ตามที่สะดวกกว่าที่จะจัดการกับข้อจำกัดด้านเวลาในตัวสัญญาณเอง แทนที่จะจัดการกับข้อจำกัดด้านเวลาในขอบเขตของอินทิกรัล กำลังเฉลี่ยสามารถเขียนได้เป็น โดย ที่และมีค่าเป็นหนึ่งภายในช่วงเวลาที่กำหนด และเป็นศูนย์ที่อื่น $${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|x_{T}(t)\right|^{2}\,dt,}$$${\displaystyle x_{T}(t)=x(t)w_{T}(t)}$${\displaystyle w_{T}(t)}$

เมื่อไม่เป็นศูนย์ อินทิกรัลจะต้องเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์อย่างน้อยที่สุดด้วยความเร็วเท่ากับที่เกิดขึ้น นั่นคือเหตุผลที่เราไม่สามารถใช้พลังงานของสัญญาณ ซึ่งก็คืออินทิกรัลที่ลู่เข้าสู่ค่าอนันต์ได้ ${\displaystyle P}$${\displaystyle T}$

ในการวิเคราะห์เนื้อหาความถี่ของสัญญาณอาจต้องการคำนวณการแปลงฟูริเยร์แบบธรรมดาอย่างไรก็ตาม สำหรับสัญญาณที่น่าสนใจหลายๆ สัญญาณ การแปลงฟูริเยร์แบบธรรมดาไม่มีอยู่จริง^{[ nb 1 ]}อย่างไรก็ตาม ภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสม การวางนัยทั่วไปบางอย่างของการแปลงฟูริเยร์ (เช่นการแปลงฟูริเยร์-สติลต์เจส ) ยังคงเป็นไปตามทฤษฎีบทของ Parsevalดังนั้น โดยที่อินทิกรัลกำหนดความหนาแน่นสเปกตรัมกำลัง : ^{[ 9 ] [ 10 ]}${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle {\hat {x}}(f)}$$${\displaystyle P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}\,df,}$$

${\displaystyle S_{xx}(f)=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}\,}$

สมการที่ 2

ทฤษฎีบทการสังเคราะห์ช่วยให้สามารถพิจารณาการแปลงฟูริเยร์ของการสังเคราะห์เวลาของและโดยที่ * แทนค่าสังยุคเชิงซ้อน ${\displaystyle |{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}}$${\displaystyle x_{T}^{*}(-t)}$${\displaystyle x_{T}(t)}$

เพื่อพิสูจน์ข้ออ้างด้านล่างสมการที่ 2 เราจะหานิพจน์สำหรับที่จะเป็นประโยชน์สำหรับจุดประสงค์นี้ อันที่จริง เราจะแสดงให้เห็นว่าเริ่มต้นด้วยการสังเกตว่า และให้ดังนั้นเมื่อและในทางกลับกัน ดังนั้น โดยที่ในบรรทัดสุดท้ายได้ใช้และเป็นตัวแปรดัมมี่ ดังนั้น เราได้ พิสูจน์แล้ว ${\displaystyle [{\hat {x}}_{T}(f)]^{*}}$${\displaystyle [{\hat {x}}_{T}(f)]^{*}={\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(-t)e^{-i2\pi ft}dt\end{aligned}}}$$${\displaystyle z=-t}$${\displaystyle z\rightarrow -\infty }$${\displaystyle t\rightarrow \infty }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(-t)e^{-i2\pi ft}dt&=\int _{\infty }^{-\infty }x_{T}^{*}(z)e^{i2\pi fz}\left(-dz\right)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(z)e^{i2\pi fz}dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)e^{i2\pi ft}dt\end{aligned}}}$$${\displaystyle z}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(-t)e^{-i2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)e^{i2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)[e^{-i2\pi ft}]^{*}dt\\&=\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}(t)e^{-i2\pi ft}dt\right]^{*}\\&=\left[{\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\right]^{*}\\&=\left[{\hat {x}}_{T}(f)\right]^{*}\end{aligned}}}$$

ต่อไปนี้ เราจะพิสูจน์ข้ออ้างด้านล่างสมการที่ 2 โดยใช้เอกลักษณ์ที่ได้พิสูจน์แล้ว นอกจากนี้ เราจะทำการแทนที่ในลักษณะนี้ เราจะได้: โดยใช้ทฤษฎีบทการสังเคราะห์เมื่อเปลี่ยนจากบรรทัดที่ 3 ไปยังบรรทัดที่ 4 ${\displaystyle u(t)=x_{T}^{*}(-t)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}&=[{\hat {x}}_{T}(f)]^{*}\cdot {\hat {x}}_{T}(f)\\&={\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{u(t)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{u(t)\mathbin {\mathbf {*} } x_{T}(t)\right\}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }u(\tau -t)x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau ,\end{aligned}}}$$

ทีนี้ ถ้าเราหารการสังเคราะห์เวลาข้างต้นด้วยคาบและหาลิมิตเมื่อมันจะกลายเป็น ฟังก์ชัน สหสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณที่ไม่ใช้หน้าต่างซึ่งแสดงด้วย โดยมีเงื่อนไขว่าเป็นเออร์โกดิกซึ่งเป็นจริงในกรณีส่วนใหญ่ แต่ไม่ใช่ทุกกรณีในทางปฏิบัติ^{[ nb 2 ]}${\displaystyle T}$${\displaystyle T\rightarrow \infty }$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle R_{xx}(\tau )}$${\displaystyle x(t)}$$${\displaystyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau }$$

เมื่อพิจารณาถึงความเป็นเออร์โกดิกของ ความหนาแน่นสเปกตรัมกำลังสามารถหาได้อีกครั้งโดยใช้การแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติซึ่งเป็นคุณสมบัติที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทไวเนอร์-คินชิน^{[ 11 ]}${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle R_{xx}}$

${\displaystyle S_{xx}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }\,d\tau ={\hat {R}}_{xx}(f)}$

สมการที่ 3

ผู้เขียนหลายคนใช้ความสัมพันธ์นี้เพื่อกำหนดความหนาแน่นสเปกตรัมกำลังในแง่ของฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติแทนที่จะใช้การแปลงฟูริเยร์ของสัญญาณดังที่เราได้ทำ^{[ 12 ]}

กำลังของสัญญาณในช่วงความถี่ที่กำหนดโดยที่สามารถคำนวณได้โดยการอินทิเกรตเหนือความถี่ เนื่องจากกำลังที่เท่ากันสามารถกำหนดให้กับช่วงความถี่บวกและลบได้ ซึ่งอธิบายถึงปัจจัย 2 ในรูปแบบต่อไปนี้ (ปัจจัยเล็กน้อยดังกล่าวขึ้นอยู่กับข้อตกลงที่ใช้): โดยทั่วไปแล้ว อาจใช้เทคนิคที่คล้ายกันเพื่อประมาณความหนาแน่นสเปกตรัมที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา ในกรณีนี้ ช่วงเวลาจะจำกัดแทนที่จะเข้าใกล้ค่าอนันต์ ซึ่งส่งผลให้ความครอบคลุมและความละเอียดของสเปกตรัมลดลง เนื่องจากความถี่ที่น้อยกว่าจะไม่ถูกสุ่มตัวอย่าง และผลลัพธ์ที่ความถี่ที่ไม่ใช่จำนวนเต็มเท่าของจะไม่เป็นอิสระ การใช้เพียงอนุกรมเวลาดังกล่าวเพียงชุดเดียว สเปกตรัมกำลังที่ประมาณได้จะ "มีสัญญาณรบกวน" มาก อย่างไรก็ตาม สามารถบรรเทาปัญหานี้ได้หากสามารถประเมินค่าที่คาดหวัง (ในสมการข้างต้น) โดยใช้สเปกตรัมระยะสั้นจำนวนมาก (หรืออนันต์) ที่สอดคล้องกับกลุ่มทางสถิติของการรับรู้ของ ที่ประเมินในช่วงเวลาที่กำหนด ${\displaystyle [f_{1},f_{2}]}$${\displaystyle 0<f_{1}<f_{2}}$${\displaystyle S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)}$$${\displaystyle P_{\textsf {band-limited}}=2\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{xx}(f)\,df}$$${\displaystyle T}$${\displaystyle 1/T}$${\displaystyle 1/T}$${\displaystyle x(t)}$

เช่นเดียวกับความหนาแน่นสเปกตรัมพลังงาน นิยามของความหนาแน่นสเปกตรัมกำลังสามารถขยายไปสู่ตัวแปรเวลาแบบไม่ต่อเนื่องได้ เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ เราสามารถพิจารณาหน้าต่างที่มีสัญญาณที่สุ่มตัวอย่างในช่วงเวลาแบบไม่ต่อเนื่องสำหรับ ช่วงเวลาการวัดทั้งหมด โปรดทราบว่าสามารถประมาณค่า PSD เพียงครั้งเดียวได้จากการสุ่มตัวอย่างจำนวนจำกัด เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ PSD ที่แท้จริงจะเกิดขึ้นเมื่อ(และดังนั้น) เข้าใกล้ค่าอนันต์ และค่าที่คาดหวังจะถูกนำมาใช้ในทางทฤษฎี ในการใช้งานจริง โดยทั่วไปแล้วจะมีการหาค่าเฉลี่ยของ PSD การวัดแบบจำกัดจำนวนครั้งในการทดลองหลายครั้งเพื่อให้ได้ค่าประมาณ PSD ทางทฤษฎีของกระบวนการทางกายภาพที่อยู่เบื้องหลังการวัดแต่ละครั้งที่แม่นยำยิ่งขึ้น PSD ที่คำนวณได้นี้บางครั้งเรียกว่าperiodogram periodogram นี้จะลู่เข้าสู่ PSD ที่แท้จริงเมื่อจำนวนการประมาณค่ารวมถึงช่วงเวลาเฉลี่ยเข้าใกล้ค่าอนันต์^{[ 13 ]}${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle -N\leq n\leq N}$${\displaystyle t_{n}=t_{0}+(n\,\Delta t)}$${\displaystyle T=(2N+1)\,\Delta t}$$${\displaystyle S_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }{\frac {(\Delta t)^{2}}{T}}\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}}$$${\displaystyle N}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

หากสัญญาณทั้งสองมีค่าความหนาแน่นสเปกตรัมกำลัง (PSD) เหมือนกัน ก็สามารถคำนวณค่า ความหนาแน่นสเปกตรัมร่วม (cross-spectral density)ได้ในทำนองเดียวกัน เนื่องจาก PSD เกี่ยวข้องกับค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติ (autocorrelation) ดังนั้น ค่าความหนาแน่นสเปกตรัมร่วมจึงเกี่ยวข้องกับค่าสหสัมพันธ์ร่วม (cross-correlation ) ด้วยเช่นกัน

คุณสมบัติบางประการของ PSD ได้แก่: ^{[ 14 ]}

เมื่อมีสัญญาณสองสัญญาณคือ และแต่ละสัญญาณมีค่าความหนาแน่นสเปกตรัมกำลังคือ และเราสามารถกำหนดความหนาแน่นสเปกตรัมกำลังร่วม ( CPSD ) หรือความหนาแน่นสเปกตรัมร่วม ( CSD ) ได้ เริ่มต้นด้วยการพิจารณาค่ากำลังเฉลี่ยของสัญญาณรวมดังกล่าว ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle S_{xx}(f)}$${\displaystyle S_{yy}(f)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}P&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]^{*}\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]dt\\&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|x_{T}(t)|^{2}+x_{T}^{*}(t)y_{T}(t)+y_{T}^{*}(t)x_{T}(t)+|y_{T}(t)|^{2}dt\\\end{aligned}}}$$

โดยใช้สัญลักษณ์และวิธีการเดียวกันกับที่ใช้ในการหาค่าความหนาแน่นสเปกตรัมกำลัง เราใช้ทฤษฎีบทของ Parseval และได้ ผลลัพธ์ดังนี้ โดยที่ส่วนประกอบของและนั้นเป็นที่เข้าใจกันอยู่แล้ว โปรดทราบว่าดังนั้นส่วนประกอบทั้งหมดของกำลังไขว้โดยทั่วไปมาจากสองเท่าของส่วนจริงของCPSD แต่ละตัว เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ จากตรงนี้เราแปลงผลคูณเหล่านี้เป็นการแปลงฟูริเยร์ของการสังเคราะห์เวลา ซึ่งเมื่อหารด้วยคาบและนำไปสู่ลิมิตจะกลายเป็นการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันสหสัมพันธ์ไขว้^{[ 16 ]} โดยที่คือสหสัมพันธ์ไขว้ของกับและคือสหสัมพันธ์ไขว้ของกับในแง่ของสิ่งนี้ PSD ถือเป็นกรณีพิเศษของ CSD สำหรับถ้าและเป็นสัญญาณจริง (เช่น แรงดันไฟฟ้าหรือกระแสไฟฟ้า) การแปลงฟูริเยร์ของและมักจะถูกจำกัดไว้ที่ความถี่บวกตามธรรมเนียม ดังนั้นในการประมวลผลสัญญาณทั่วไปCPSD เต็มรูปแบบจึง เป็นเพียงหนึ่งในCPSDที่ปรับขนาดด้วยปัจจัยสองเท่า $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{xy}(f)&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {x}}_{T}^{*}(f){\hat {y}}_{T}(f)\right]&S_{yx}(f)&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left[{\hat {y}}_{T}^{*}(f){\hat {x}}_{T}(f)\right]\end{aligned}}}$$${\displaystyle S_{xx}(f)}$${\displaystyle S_{yy}(f)}$${\displaystyle S_{xy}^{*}(f)=S_{yx}(f)}$${\displaystyle T\to \infty }$$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{xy}(f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )y_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau \\S_{yx}(f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }y_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{yx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau ,\end{aligned}}}$$${\displaystyle R_{xy}(\tau )}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle R_{yx}(\tau )}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x(t)=y(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle {\hat {x}}(f)}$${\displaystyle {\hat {y}}(f)}$$${\displaystyle \operatorname {CPSD} _{\text{Full}}=2S_{xy}(f)=2S_{yx}(f)}$$

สำหรับสัญญาณแบบไม่ต่อเนื่องx _nและy _nความสัมพันธ์ระหว่างความหนาแน่นสเปกตรัมร่วมและความแปรปรวนร่วมคือ $${\displaystyle S_{xy}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau _{n})e^{-i2\pi f\tau _{n}}\,\Delta \tau }$$

เป้าหมายของการประมาณความหนาแน่นสเปกตรัมคือการประมาณความหนาแน่นสเปกตรัมของสัญญาณสุ่มจากลำดับของตัวอย่างเวลา เทคนิคการประมาณค่าขึ้นอยู่กับสิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับสัญญาณนั้น อาจใช้ แนวทาง แบบพาราเมตริกหรือ แบบ ไม่พาราเมตริกและอาจอิงตามการวิเคราะห์ในโดเมนเวลาหรือโดเมนความถี่ ตัวอย่างเช่น เทคนิคแบบพาราเมตริกที่ใช้กันทั่วไปคือการปรับข้อมูลให้เข้ากับแบบจำลองอัตถารี เกรสซีฟ ส่วนเทคนิคแบบไม่พาราเมตริกที่ใช้กันทั่วไปคือเพริโอโดแกรม

โดยทั่วไปแล้ว ความหนาแน่นสเปกตรัมจะถูกประมาณโดยใช้ วิธี การแปลงฟูริเยร์ (เช่นวิธีเวลช์ ) แต่เทคนิคอื่นๆ เช่น วิธี เอนโทรปีสูงสุดก็สามารถนำมาใช้ได้เช่นกัน ในปี 2026 การประมาณความหนาแน่นสเปกตรัมที่ไม่เอนเอียงและการวางนัยทั่วไปลำดับสูงกว่าได้รับการกำหนดขึ้นในบริบทของโพลีสเปกตรัมโดยอาศัยการแปลงฟูริเยร์แบบมีหน้าต่างและสถิติK ^{[ 17 ]}

• จุดศูนย์กลางสเปกตรัมของสัญญาณคือจุดกึ่งกลางของฟังก์ชันความหนาแน่นสเปกตรัม กล่าวคือความถี่ที่แบ่งการกระจายออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน
• ความถี่ขอบสเปกตรัม ( SEF ) ซึ่งมักแสดงเป็น "SEF x " แสดงถึงความถี่ที่ต่ำกว่าxเปอร์เซ็นต์ของกำลังทั้งหมดของสัญญาณที่กำหนด โดยทั่วไปxจะอยู่ในช่วง 75 ถึง 95 โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นการวัดที่นิยมใช้ใน การตรวจสอบ EEGซึ่งในกรณีนี้ SEF ถูกนำมาใช้เพื่อประเมินความลึกของการดมยาสลบและระยะของการนอนหลับ^{[ 18 ] [ 19 ]}
• ซองสเปกตรัม (spectral envelope ) คือเส้นโค้งที่แสดงความหนาแน่นของสเปกตรัม มันอธิบายถึงจุดเวลาหนึ่ง (หรือหน้าต่างเวลาหนึ่ง) ตัวอย่างเช่น ในการสำรวจระยะไกลโดยใช้สเปกโทรเมตรซองสเปกตรัมของลักษณะเฉพาะคือขอบเขตของ คุณสมบัติ ทางสเปกตรัมซึ่งกำหนดโดยช่วงระดับความสว่างในแต่ละแถบสเปกตรัมที่สนใจ
• ความหนาแน่นสเปกตรัมเป็นฟังก์ชันของความถี่ ไม่ใช่ฟังก์ชันของเวลา อย่างไรก็ตาม สามารถคำนวณความหนาแน่นสเปกตรัมของหน้าต่างเล็กๆ ของสัญญาณที่ยาวกว่า และพล็อตเทียบกับเวลาที่เกี่ยวข้องกับหน้าต่างนั้นได้ กราฟดังกล่าวเรียกว่าสเปกโทรแกรมนี่คือพื้นฐานของเทคนิคการวิเคราะห์สเปกตรัมหลายอย่าง เช่นการแปลงฟูริเยร์แบบช่วงเวลาสั้นและเวฟเล็ต
• โดยทั่วไป "สเปกตรัม" หมายถึงความหนาแน่นสเปกตรัมกำลัง ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น ซึ่งแสดงถึงการกระจายของเนื้อหาสัญญาณตามความถี่ สำหรับฟังก์ชันถ่ายโอน (เช่นแผนภูมิ Bode , สัญญาณชิป ) การตอบสนองความถี่ทั้งหมดอาจแสดงเป็นกราฟสองส่วน คือ กำลังเทียบกับความถี่ และเฟสเทียบกับความถี่ ซึ่งก็คือความหนาแน่นสเปกตรัมเฟส สเปกตรัมเฟสหรือเฟสสเปกตรัม ในบาง กรณีที่พบได้น้อยกว่า สองส่วนนี้อาจเป็นส่วนจริงและส่วนจินตนาการของฟังก์ชันถ่ายโอน สิ่งนี้ไม่ควรสับสนกับการตอบสนองความถี่ของฟังก์ชันถ่ายโอน ซึ่งรวมถึงเฟส (หรือเทียบเท่ากับส่วนจริงและส่วนจินตนาการ) เป็นฟังก์ชันของความถี่ด้วยการตอบสนองแบบอิมพัลส์ ในโดเมนเวลา โดยทั่วไปไม่สามารถกู้คืนได้อย่างเฉพาะเจาะจงจากความหนาแน่นสเปกตรัมกำลังเพียงอย่างเดียวโดยปราศจากส่วนของเฟส แม้ว่าสิ่งเหล่านี้จะเป็นคู่การแปลงฟูริเยร์เช่นกัน แต่ก็ไม่มีสมมาตร (เช่นเดียวกับการหาความสัมพันธ์อัตโนมัติ ) ที่บังคับให้การแปลงฟูริเยร์เป็นค่าจริง ดูพัลส์สั้นพิเศษ # เฟสสเปกตรัม สัญญาณรบกวนเฟสความล่าช้าของกลุ่ม${\displaystyle h(t)}$
• บางครั้งเราอาจพบความหนาแน่นสเปกตรัมแอมพลิจูด ( ASD ) ซึ่งเป็นรากที่สองของ PSD; ASD ของสัญญาณแรงดันไฟฟ้ามีหน่วยเป็น V⋅Hz −1/2 ^{[ 20 ] ซึ่ง}มีประโยชน์เมื่อรูปร่างของสเปกตรัมค่อนข้างคงที่ เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงใน ASD จะเป็นสัดส่วนกับการเปลี่ยนแปลงในระดับแรงดันไฟฟ้าของสัญญาณเอง แต่ในทางคณิตศาสตร์แล้วควรใช้ PSD เนื่องจากในกรณีนั้นเท่านั้นที่พื้นที่ใต้เส้นโค้งมีความหมายในแง่ของกำลังไฟฟ้าจริงตลอดช่วงความถี่ทั้งหมดหรือตลอดช่วงแบนด์วิดท์ที่กำหนด

สัญญาณใดๆ ที่สามารถแสดงได้ในรูปตัวแปรที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา จะมีสเปกตรัมความถี่ที่สอดคล้องกัน ซึ่งรวมถึงสิ่งต่างๆ ที่คุ้นเคย เช่นแสงที่มองเห็นได้ (รับรู้เป็นสี ) โน้ตดนตรี (รับรู้เป็นระดับเสียง ) วิทยุ/โทรทัศน์ (ระบุโดยความถี่ หรือบางครั้งก็ความยาวคลื่น ) และแม้แต่การหมุนของโลกอย่างสม่ำเสมอ เมื่อมองสัญญาณเหล่านี้ในรูปของสเปกตรัมความถี่ จะทำให้เห็นแง่มุมบางอย่างของสัญญาณที่ได้รับหรือกระบวนการพื้นฐานที่สร้างสัญญาณเหล่านั้น ในบางกรณี สเปกตรัมความถี่อาจมีจุดสูงสุดที่ชัดเจนซึ่งสอดคล้องกับ ส่วนประกอบของ คลื่นไซน์และนอกจากนี้ อาจมีจุดสูงสุดที่สอดคล้องกับฮาร์โมนิกของจุดสูงสุดพื้นฐาน ซึ่งบ่งชี้ถึงสัญญาณเป็นคาบที่ไม่ใช่เพียงแค่คลื่นไซน์ หรือสเปกตรัมต่อเนื่องอาจแสดงช่วงความถี่แคบๆ ที่ถูกเสริมอย่างมากซึ่งสอดคล้องกับการสั่นพ้อง หรือช่วงความถี่ที่มีกำลังเกือบเป็นศูนย์ เช่นเดียวกับที่เกิดจากตัวกรองแบบน็อตช์

แนวคิดและการใช้สเปกตรัมกำลังของสัญญาณมีความสำคัญอย่างยิ่งในวิศวกรรมไฟฟ้าโดยเฉพาะอย่างยิ่งในระบบสื่อสารอิเล็กทรอนิกส์ซึ่งรวมถึงการสื่อสารทางวิทยุเรดาร์และระบบที่เกี่ยวข้อง ตลอดจน เทคโนโลยี การสำรวจระยะไกล แบบพาสซี ฟเครื่องมืออิเล็กทรอนิกส์ที่เรียกว่าเครื่องวิเคราะห์สเปกตรัมถูกใช้ในการสังเกตและวัดสเปกตรัมกำลังของสัญญาณ

เครื่องวิเคราะห์สเปกตรัมจะวัดขนาดของการแปลงฟูริเยร์แบบช่วงเวลาสั้น (STFT) ของสัญญาณอินพุต หากสัญญาณที่กำลังวิเคราะห์ถือได้ว่าเป็นกระบวนการคงที่ STFT จะเป็นการประมาณค่าความหนาแน่นสเปกตรัมกำลังแบบเรียบที่ดี

ความผันผวนดั้งเดิมซึ่งเป็นการเปลี่ยนแปลงความหนาแน่นในเอกภพยุคแรก สามารถวัดได้ด้วยสเปกตรัมกำลัง ซึ่งแสดงกำลังของการเปลี่ยนแปลงเป็นฟังก์ชันของมาตราส่วนเชิงพื้นที่

• ไบสเปกตรัม
• อุณหภูมิความสว่าง
• สีสันแห่งเสียงรบกวน
• การวิเคราะห์สเปกตรัมกำลังสองน้อยที่สุด
• ความหนาแน่นสเปกตรัมของเสียงรบกวน
• โพลีสเปกตรัม (สเปกตรัมลำดับสูง)
• การประมาณความหนาแน่นสเปกตรัม
• ประสิทธิภาพเชิงสเปกตรัม
• การรั่วไหลของสเปกตรัม
• การกระจายกำลังสเปกตรัม
• ความน่าจะเป็นของ Whittle
• ฟังก์ชันหน้าต่าง

• สคริปต์ Matlab สำหรับความหนาแน่นสเปกตรัมกำลัง