ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทการผกผันฟูริเยร์กล่าวว่า สำหรับฟังก์ชันหลายประเภท เราสามารถกู้คืนฟังก์ชันนั้นได้จากการแปลงฟูริเยร์ ของมัน โดยสัญชาตญาณแล้ว อาจมองได้ว่า หากเรารู้ ข้อมูล ความถี่และเฟส ทั้งหมด เกี่ยวกับคลื่น เราก็สามารถสร้างคลื่นดั้งเดิมขึ้นมาใหม่ได้อย่างแม่นยำ

ทฤษฎีบทกล่าวว่า ถ้าเรามีฟังก์ชันที่ตรงตามเงื่อนไขบางประการ และเราใช้ข้อตกลงสำหรับการแปลงฟูริเยร์ที่ว่า ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\xi ):=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,}$

แล้ว

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi .}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่า

${\displaystyle f(x)=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{2\pi i(xy)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

สมการสุดท้ายนี้เรียกว่าทฤษฎีบทปริพันธ์ฟูริเยร์

อีกวิธีหนึ่งในการกล่าวถึงทฤษฎีบทนี้คือ ถ้าเป็นตัวดำเนินการพลิกกลับกล่าวคือแล้ว ${\displaystyle R}$${\displaystyle (Rf)(x):=f(-x)}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}R=R{\mathcal {F}}.}$

ทฤษฎีบทนี้เป็นจริงก็ต่อเมื่อทั้งและการแปลงฟูริเยร์ของ สามารถหาปริพันธ์สัมบูรณ์ได้ (ในความหมายของเลเบส ) และมีความต่อเนื่องที่จุด⁠ ⁠อย่างไรก็ตาม แม้ภายใต้เงื่อนไขทั่วไปมากขึ้น ทฤษฎีบทการผกผันฟูริเยร์ก็ยังคงเป็นจริง ในกรณีเหล่านี้ ปริพันธ์ข้างต้นอาจไม่ลู่เข้าในความหมายปกติ ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

ในส่วนนี้ เราจะถือว่าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่สามารถหาปริพันธ์ได้ โดยใช้ข้อกำหนดสำหรับการแปลงฟูริเยร์ที่ว่า ${\displaystyle f}$

${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\xi ):=\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy.}$

นอกจากนี้ เรายังสมมติว่าการแปลงฟูริเยร์นั้นสามารถหาปริพันธ์ได้ด้วย

คำกล่าวที่พบบ่อยที่สุดของทฤษฎีบทการผกผันฟูริเยร์คือการกล่าวถึงการแปลงผกผันในรูปของปริพันธ์ สำหรับฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้และเซต ทั้งหมด${\displaystyle g}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi .}$

แล้วสำหรับทุกสิ่งที่เรามี ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

ทฤษฎีบทนี้สามารถกล่าวใหม่ได้ดังนี้

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

โดยการนำส่วนจริง^{[ 1 ]}ของแต่ละด้านข้างต้นมา เราจะได้

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }\cos(2\pi (x-y)\cdot \xi )\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

สำหรับฟังก์ชันใดๆให้กำหนดตัวดำเนินการพลิก^{[ 2 ]}โดย ${\displaystyle g}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle Rg(x):=g(-x).}$

จากนั้นเราอาจกำหนดนิยามใหม่ได้

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f:=R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}Rf.}$

จากนิยามของการแปลงฟูริเยร์และตัวดำเนินการพลิก จะเห็นได้ทันทีว่าทั้งและ ตรงกับนิยามเชิงปริพันธ์ของและโดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีค่าเท่ากันและสอดคล้องกับ${\displaystyle R{\mathcal {F}}f}$${\displaystyle {\mathcal {F}}Rf}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}$

เนื่องจากเรามีและ⁠ ⁠ . ${\displaystyle Rf=R{\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}f=RR{\mathcal {FF}}f={\mathcal {F}}^{2}f}$${\displaystyle R={\mathcal {F}}^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{3}}$

รูปแบบของทฤษฎีบทการผกผันฟูริเยร์ที่กล่าวไว้ข้างต้นนั้น โดยทั่วไปแล้วจะเป็นดังนี้

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นตัวผกผันซ้ายของการแปลงฟูริเยร์ อย่างไรก็ตาม มันก็เป็นตัวผกผันขวาของการแปลงฟูริเยร์ด้วยเช่นกัน ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(\xi )=f(\xi ).}$

เนื่องจากมีความคล้ายคลึงกับ มากจึงสามารถสรุปได้ง่ายมากจากทฤษฎีบทการผกผันของฟูริเยร์ (โดยการเปลี่ยนตัวแปร) : ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \zeta :=-\xi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)\\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi \\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }e^{-2\pi ix\cdot \zeta }\,e^{2\pi iy\cdot \zeta }\,f(y)\,dy\,d\zeta \\[6pt]&={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x).\end{aligned}}}$

อีกทางเลือกหนึ่ง สามารถพิจารณาได้จากความสัมพันธ์ระหว่างตัวดำเนินการพลิกและคุณสมบัติการสลับที่ของการประกอบฟังก์ชันเนื่องจาก ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}$

${\displaystyle f={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)={\mathcal {F}}R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f).}$

เมื่อใช้ในฟิสิกส์และวิศวกรรม ทฤษฎีบทการผกผันฟูริเยร์มักถูกใช้ภายใต้สมมติฐานว่าทุกอย่าง "ทำงานได้อย่างราบรื่น" ในทางคณิตศาสตร์ ไม่อนุญาตให้ใช้การให้เหตุผล แบบฮิวริสติก เช่นนั้น และทฤษฎีบทการผกผันฟูริเยร์มีการระบุอย่างชัดเจนว่าฟังก์ชันประเภทใดที่สามารถใช้ได้ อย่างไรก็ตาม ไม่มีฟังก์ชันประเภทใดที่ "ดีที่สุด" ที่จะนำมาพิจารณา ดังนั้นจึงมีทฤษฎีบทการผกผันฟูริเยร์หลายรูปแบบ แม้ว่าจะมีข้อสรุปที่เข้ากันได้ก็ตาม

ทฤษฎีบทการผกผันฟูริเยร์ใช้ได้กับฟังก์ชันชวาร์ตซ์ ทั้งหมด (กล่าวโดยคร่าว ๆ คือ ฟังก์ชันเรียบที่ลดลงอย่างรวดเร็วและอนุพันธ์ทุกอันดับลดลงอย่างรวดเร็ว) เงื่อนไขนี้มีข้อดีคือเป็นข้อความโดยตรงพื้นฐานเกี่ยวกับฟังก์ชัน (ตรงข้ามกับการกำหนดเงื่อนไขให้กับการแปลงฟูริเยร์) และปริพันธ์ที่กำหนดการแปลงฟูริเยร์และผกผันของมันสามารถหาปริพันธ์สัมบูรณ์ได้ ทฤษฎีบทเวอร์ชันนี้ถูกนำไปใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทการผกผันฟูริเยร์สำหรับการกระจายแบบเทมเปอร์ (ดูด้านล่าง)

ทฤษฎีบทการผกผันฟูริเยร์ใช้ได้กับฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมดที่สามารถหาปริพันธ์สัมบูรณ์ได้ (เช่น⁠ ⁠${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ) และมีการแปลงฟูริเยร์ที่สามารถหาปริพันธ์สัมบูรณ์ได้เช่นกัน ซึ่งรวมถึงฟังก์ชันชวาร์ตซ์ทั้งหมด ดังนั้นจึงเป็นรูปแบบที่เข้มงวดกว่าทฤษฎีบทที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ เงื่อนไขนี้เป็นเงื่อนไขที่ใช้ข้างต้นในส่วนของข้อความ

อีกรูปแบบหนึ่งที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยคือ การตัดเงื่อนไขที่ว่าฟังก์ชันต้องต่อเนื่องออกไป แต่ยังคงกำหนดให้ฟังก์ชันและการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันนั้นต้องสามารถหาปริพันธ์สัมบูรณ์ได้ ดังนั้นเกือบทุกที่ที่gเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และสำหรับทุกๆ⁠ ⁠ . ${\displaystyle f}$${\displaystyle f=g}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=g(x)}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

เรียบเป็นช่วงๆ; มิติเดียว

ถ้าฟังก์ชันสามารถหาปริพันธ์สัมบูรณ์ได้ในมิติเดียว (เช่น⁠ ⁠${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$ ) และมีความเรียบเป็นช่วงๆ แล้ว ทฤษฎีบทการผกผันของฟูริเยร์ในรูปแบบหนึ่งจะใช้ได้ ในกรณีนี้ เรากำหนด

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{-R}^{R}e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi .}$

แล้วสำหรับทุกคน${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)={\frac {1}{2}}(f(x_{-})+f(x_{+})),}$

กล่าวคือเท่ากับค่าเฉลี่ยของลิมิตซ้ายและลิมิตขวาของที่ ⁠ ⁠ ที่จุดที่ต่อเนื่อง ค่านี้จะเท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)}$

ทฤษฎีบทในรูปแบบที่มีมิติสูงกว่าก็ยังคงใช้ได้อยู่ แต่ตามที่ฟอลแลนด์ (1992) กล่าวไว้ว่า "ค่อนข้างละเอียดอ่อนและไม่ค่อยมีประโยชน์นัก"

ต่อเนื่องเป็นช่วงๆ; หนึ่งมิติ

ถ้าฟังก์ชันสามารถหาปริพันธ์ได้อย่างสมบูรณ์ในมิติเดียว (เช่น⁠ ⁠${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$ ) แต่มีความต่อเนื่องเป็นช่วงๆ เท่านั้น ทฤษฎีบทการผกผันฟูริเยร์ก็ยังคงใช้ได้ ในกรณีนี้ ปริพันธ์ในการแปลงฟูริเยร์ผกผันจะถูกกำหนดโดยใช้ฟังก์ชันตัดขอบเรียบแทนที่จะเป็นฟังก์ชันตัดขอบคม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เรากำหนด

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} }\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\xi ^{2}}.}$

ดังนั้น ข้อสรุปของทฤษฎีบทจึงเหมือนกับกรณีพื้นผิวเรียบเป็นช่วงๆ ที่กล่าวถึงข้างต้น

ต่อเนื่อง; จำนวนมิติใดก็ได้

ถ้าฟังก์ชันต่อเนื่องและสามารถหาปริพันธ์สัมบูรณ์ได้บนช่วง [0, 1] แล้วทฤษฎีบทการผกผันของฟูริเยร์ยังคงใช้ได้ตราบใดที่เรากำหนดการแปลงผกผันอีกครั้งด้วยฟังก์ชันตัดขอบเรียบ เช่น ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\vert \xi \vert ^{2}}.}$

สรุปได้ว่า สำหรับทุกคน${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

ไม่มีเงื่อนไขความสม่ำเสมอ; จำนวนมิติเท่าใดก็ได้

ถ้าเราละทิ้งข้อสมมติทั้งหมดเกี่ยวกับความต่อเนื่อง (แบบเป็นช่วงๆ) ของและสมมติเพียงว่ามันสามารถหาปริพันธ์ได้อย่างสมบูรณ์แล้ว ทฤษฎีบทในรูปแบบหนึ่งก็ยังคงใช้ได้อยู่ การแปลงผกผันจะถูกกำหนดอีกครั้งด้วยการตัดขอบเรียบ แต่ได้ข้อสรุปว่า ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}$

สำหรับเกือบทุกอย่าง⁠ ⁠${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ .

ในกรณีนี้ การแปลงฟูริเยร์ไม่สามารถนิยามโดยตรงเป็นปริพันธ์ได้ เนื่องจากอาจไม่ลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ ดังนั้นจึงนิยามโดยใช้การอาร์กิวเมนต์ความหนาแน่นแทน (ดูการแปลงฟูริเยร์ § บนปริภูมิ Lp ) ตัวอย่างเช่น การวาง

${\displaystyle g_{k}(\xi ):=\int _{\{y\in \mathbb {R} ^{n}:\left\vert y\right\vert \leq k\}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,\qquad k\in \mathbb {N} ,}$

เราสามารถกำหนดตำแหน่งที่นำค่าลิมิตมาใช้ในนอร์มได้ การแปลงผกผันอาจถูกกำหนดโดยความหนาแน่นในลักษณะเดียวกัน หรือโดยการกำหนดในแง่ของการแปลงฟูริเยร์และตัวดำเนินการพลิกกลับ จากนั้นเราจะได้ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}f:=\lim _{k\to \infty }g_{k}}$${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle f(x)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x)={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$

ในบรรทัดฐานกำลังสองเฉลี่ยในมิติเดียว (และเพียงมิติเดียวเท่านั้น) ยังสามารถแสดงได้ว่ามันลู่เข้าสำหรับเกือบทุกค่านี่${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$คือทฤษฎีบทของคาร์เลสันแต่ยากต่อการพิสูจน์มากกว่าการลู่เข้าในบรรทัดฐานกำลังสองเฉลี่ย

การแปลงฟูริเยร์สามารถนิยามได้บนปริภูมิของการกระจายแบบเทมเปอร์ โดยอาศัยความเป็นคู่ของการแปลงฟูริเยร์บนปริภูมิของฟังก์ชันชวาร์ตซ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับและสำหรับฟังก์ชันทดสอบทั้งหมดเรากำหนดให้ ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \langle {\mathcal {F}}f,\varphi \rangle :=\langle f,{\mathcal {F}}\varphi \rangle ,}$

โดยที่ถูกกำหนดโดยใช้สูตรอินทิกรัล^{[ 3 ]}ถ้าเช่นนั้นจะสอดคล้องกับคำจำกัดความปกติ เราอาจกำหนดการแปลงผกผันได้ไม่ว่าจะโดยความเป็นคู่จากการแปลงผกผันบนฟังก์ชัน Schwartz ในลักษณะเดียวกัน หรือโดยการกำหนดในแง่ของตัวดำเนินการพลิก (โดยที่ตัวดำเนินการพลิกถูกกำหนดโดยความเป็นคู่) จากนั้นเราจะมี ${\displaystyle {\mathcal {F}}\varphi }$${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}:{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}{\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}=\operatorname {Id} _{{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}.}$

ทฤษฎีบทการผกผันฟูริเยร์นั้นคล้ายคลึงกับการลู่เข้าของอนุกรมฟูริเยร์ในกรณีของการแปลงฟูริเยร์ เรามี

${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,\quad {\hat {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi ):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,}$

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }\,{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

ในกรณีของอนุกรมฟูริเยร์ เราจะมีแทนดังนี้

${\displaystyle f:[0,1]^{n}\to \mathbb {C} ,\quad {\hat {f}}:\mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle {\hat {f}}(k):=\int _{[0,1]^{n}}e^{-2\pi iy\cdot k}\,f(y)\,dy,}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot k}\,{\hat {f}}(k).}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งในมิติเดียวและผลรวมจะวิ่งจากถึง⁠ ⁠ . ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$

ในการประยุกต์ใช้การแปลงฟูริเยร์ทฤษฎีบทการผกผันฟูริเยร์มักมีบทบาทสำคัญ ในหลายสถานการณ์ กลยุทธ์พื้นฐานคือการใช้การแปลงฟูริเยร์ ทำการคำนวณหรือลดรูปบางอย่าง แล้วจึงใช้การแปลงฟูริเยร์ผกผัน

กล่าวโดยสรุป ทฤษฎีบทการผกผันฟูริเยร์เป็นข้อความเกี่ยวกับการแปลงฟูริเยร์ในฐานะตัวดำเนินการ (ดูการแปลงฟูริเยร์ § การแปลงฟูริเยร์บนปริภูมิฟังก์ชัน ) ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทการผกผันฟูริเยร์บนแสดงให้เห็นว่าการแปลงฟูริเยร์เป็นตัวดำเนินการเอกภาพบน⁠ ⁠${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

• พื้นที่ฮิลเบิร์ตที่ถูกดัดแปลง
• แพ็กเก็ตคลื่น