ในการประมวลผลสัญญาณการหาความสัมพันธ์ไขว้ (cross-correlation)คือการวัดความคล้ายคลึงกันของอนุกรมสองชุด โดยพิจารณาจากค่าการเลื่อนของอนุกรมชุดหนึ่งเทียบกับอีกชุดหนึ่ง เรียกอีกอย่างว่า ผลคูณดอทแบบ เลื่อน (sliding dot product ) หรือ ผลคูณภายใน แบบเลื่อน (sliding inner-product ) โดยทั่วไปจะใช้ในการค้นหาสัญญาณยาวเพื่อหาคุณลักษณะที่สั้นกว่าและทราบค่า มีการประยุกต์ใช้ในด้านการรู้จำรูปแบบการวิเคราะห์อนุภาคเดี่ยวการถ่ายภาพรังสีอิเล็กตรอนการ หา ค่าเฉลี่ยการวิเคราะห์รหัสและสรีรวิทยาประสาทความสัมพันธ์ไขว้มีลักษณะคล้ายกับการสังเคราะห์ (convolution ) ของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน ในความสัมพันธ์อัตโนมัติ (autocorrelation ) ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ไขว้ของสัญญาณกับตัวมันเอง จะมีจุดสูงสุดที่ค่าการหน่วงเวลาเป็นศูนย์เสมอ และขนาดของจุดสูงสุดนั้นจะเท่ากับพลังงานของสัญญาณ

ในวิชาความน่าจะเป็นและสถิติคำว่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ไขว้ (cross-correlations)หมายถึงความสัมพันธ์ระหว่างค่าในเวกเตอร์สุ่ม สองตัว คือ และในขณะที่สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของเวกเตอร์สุ่มคือ ความสัมพันธ์ระหว่างค่าในเวกเตอร์สุ่มนั้นเอง ซึ่งก็คือค่าที่ประกอบกันเป็นเมทริกซ์สหสัมพันธ์ของถ้าแต่ละค่าของและเป็นตัวแปรสุ่มแบบสเกลาร์ที่เกิดขึ้นซ้ำๆ ในอนุกรมเวลาความสัมพันธ์ของค่าต่างๆ ในแต่ละช่วงเวลาของจะเรียกว่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์อัตโนมัติ (autocorrelations)ของและสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ไขว้ของกับในช่วงเวลาต่างๆ เรียกว่า สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ไขว้เชิงเวลา (temporal cross-correlations) ในวิชาความน่าจะเป็นและสถิติ นิยามของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์มักจะรวมปัจจัยมาตรฐานไว้ด้วยเสมอ เพื่อให้ค่าของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์อยู่ระหว่าง -1 และ +1 ${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$

ถ้าและเป็นตัวแปรสุ่มอิสระ สองตัว ที่มีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นและตามลำดับ ความหนาแน่นความน่าจะเป็นของผลต่างจะกำหนดโดยความสัมพันธ์ไขว้ (ในความหมายของการประมวลผลสัญญาณ) อย่างเป็นทางการอย่างไรก็ตาม คำศัพท์นี้ไม่ได้ใช้ในความน่าจะเป็นและสถิติ ในทางตรงกันข้ามการสังเคราะห์ (เทียบเท่ากับความสัมพันธ์ไขว้ของและ) จะให้ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของผลรวม ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle YX}$${\displaystyle f\star g}$${\displaystyle f*g}$${\displaystyle {\overline {f(-t)}}}$${\displaystyle g(t)}$${\displaystyle X+Y}$

สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องและความสัมพันธ์ไขว้จะถูกกำหนดดังนี้: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}ซึ่งเทียบเท่ากับ โดยที่แทนค่าสังยุคเชิงซ้อนของและเรียกว่าการเลื่อนหรือความล่าช้า ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$$${\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(t)}}g(t+\tau )\,dt}$$$${\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(t-\tau )}}g(t)\,dt}$$${\displaystyle {\overline {f(t)}}}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle \tau }$

สำหรับข้อมูลที่มีความสัมพันธ์กันสูงและมีค่าสหสัมพันธ์ไขว้สูงสุดที่ค่า t เฉพาะค่าหนึ่งลักษณะเฉพาะในข้อมูล ที่มีค่า t จะเกิดขึ้นในภายหลังในข้อมูลที่ มีค่า t เช่นกัน ดังนั้นจึงสามารถอธิบายได้ว่ามีความล่าช้าเท่ากับt ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle f}$${\displaystyle t}$${\displaystyle g}$${\displaystyle t+\tau }$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \tau }$

ถ้าและ เป็นฟังก์ชันคาบต่อเนื่องทั้งคู่ที่มี คาบ การอินทิเกรต จาก ถึงจะถูกแทนที่ด้วยการอินทิเกรตในช่วงใดๆที่มีความยาว: ซึ่งเทียบเท่ากับ ในทำนองเดียวกัน สำหรับฟังก์ชันแบบไม่ต่อเนื่อง ความสัมพันธ์ไขว้จะถูกกำหนดดังนี้: ^{[ 4 ] [ 5 ]}ซึ่งเทียบเท่ากับ: สำหรับฟังก์ชันแบบไม่ต่อเนื่องจำกัดความสัมพันธ์ไขว้ (แบบวงกลม) จะถูกกำหนดดังนี้: ^{[ 6 ]}ซึ่งเทียบเท่ากับ: สำหรับฟังก์ชันแบบไม่ต่อเนื่องจำกัด, ความสัมพันธ์ไขว้ของเคอร์เนลจะถูกกำหนดดังนี้: ^{[ 7 ]}โดยที่เป็นเวกเตอร์ของฟังก์ชันเคอร์เนลและเป็นการแปลงเชิงเส้น ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle T}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle [t_{0},t_{0}+T]}$${\displaystyle T}$$${\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{\overline {f(t)}}g(t+\tau )\,dt}$$$${\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{\overline {f(t-\tau )}}g(t)\,dt}$$$${\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m]}}g[m+n]}$$$${\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[mn]}}g[m]}$$${\displaystyle f,g\in \mathbb {C} ^{N}}$$${\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[m]}}g[(m+n)_{{\text{mod}}~N}]}$$$${\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[(mn)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]}$$${\displaystyle f\in \mathbb {C} ^{N}}$${\displaystyle g\in \mathbb {C} ^{M}}$$${\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[m]}}K_{g}[(m+n)_{{\text{mod}}~N}]}$$${\displaystyle K_{g}=[k(g,T_{0}(g)),k(g,T_{1}(g)),\dots ,k(g,T_{N-1}(g))]}$${\displaystyle k(\cdot ,\cdot )\colon \mathbb {C} ^{M}\times \mathbb {C} ^{M}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle T_{i}(\cdot )\colon \mathbb {C} ^{M}\to \mathbb {C} ^{M}}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งอาจเป็นการแปลงการเลื่อนแบบวงกลม การแปลงการหมุน หรือการแปลงขนาด เป็นต้น การหาความสัมพันธ์ร่วมของเคอร์เนลเป็นการขยายการหาความสัมพันธ์ร่วมจากพื้นที่เชิงเส้นไปสู่พื้นที่เคอร์เนล การหาความสัมพันธ์ร่วมมีความสมมาตรต่อการเลื่อน การหาความสัมพันธ์ร่วมของเคอร์เนลมีความสมมาตรต่อการแปลงเชิงเส้นใดๆ รวมถึงการเลื่อน การหมุน และการปรับขนาด เป็นต้น ${\displaystyle T_{i}(\cdot )}$

ยกตัวอย่างเช่น พิจารณาฟังก์ชันค่าจริงสองฟังก์ชันและที่แตกต่างกันเพียงแค่การเลื่อนตามแกน x ที่ไม่ทราบค่า เราสามารถใช้การหาความสัมพันธ์ร่วม (cross-correlation) เพื่อหาว่า ต้องเลื่อนไปตามแกน x เท่าใดจึงจะทำให้ และ เหมือนกับฟังก์ชัน ได้สูตรนี้จะเลื่อนฟังก์ชันไปตามแกน x โดยคำนวณค่าอินทิกรัลของผลคูณของฟังก์ชันทั้งสอง ณ ตำแหน่งแต่ละตำแหน่ง เมื่อฟังก์ชันทั้งสองตรงกัน ค่าของจะมีค่าสูงสุด เนื่องจากเมื่อจุดสูงสุด (พื้นที่บวก) ตรงกัน จะมีส่วนสำคัญต่อค่าอินทิกรัล ในทำนองเดียวกัน เมื่อจุดต่ำสุด (พื้นที่ลบ) ตรงกัน ก็จะมีส่วนสำคัญต่อค่าอินทิกรัลเช่นกัน เพราะผลคูณของจำนวนลบสองจำนวนจะมีค่าเป็นบวก ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle (f\star g)}$

สำหรับฟังก์ชันที่มีค่าเชิงซ้อน และการหาค่าสังยุคของจะช่วยให้มั่นใจได้ว่าจุดสูงสุด (หรือจุดต่ำสุด) ที่เรียงตัวกันและมีส่วนประกอบจินตนาการจะส่งผลในเชิงบวกต่อปริพันธ์ ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$

ในเศรษฐศาสตร์เชิงปริมาณ ความสัมพันธ์ไขว้ที่ล่าช้าบางครั้งเรียกว่าความสัมพันธ์อัตโนมัติไขว้^{[ 8 ] : หน้า 74}

สำหรับเวกเตอร์สุ่ม และแต่ละตัวประกอบด้วยองค์ประกอบสุ่มที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเมทริกซ์สหสัมพันธ์ไขว้ของและถูกกำหนดโดย^{[ 10 ] : หน้า 337} และมีมิติเขียนเป็นส่วนประกอบ: เวกเตอร์สุ่มและไม่จำเป็นต้องมีมิติเดียวกัน และอาจเป็นค่าสเกลาร์ก็ได้ โดยที่คือค่าเฉลี่ย ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})}$${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$$${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }\triangleq \ \operatorname {E} \left[\mathbf {X} \mathbf {Y} \right]}$$${\displaystyle m\times n}$$${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}Y_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}Y_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X_{m}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{m}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{m}Y_{n}]\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$${\displaystyle \operatorname {E} }$

ตัวอย่างเช่น ถ้าและเป็นเวกเตอร์สุ่ม แล้วจะเป็นเมทริกซ์ที่มีสมาชิกลำดับที่คือ ${\displaystyle \mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)}$${\displaystyle \mathbf {Y} =\left(Y_{1},Y_{2}\right)}$${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}$${\displaystyle 3\times 2}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}Y_{j}]}$

ถ้าและเป็นเวกเตอร์สุ่มเชิงซ้อนโดยแต่ละเวกเตอร์ประกอบด้วยตัวแปรสุ่มที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนอยู่ เมทริกซ์สหสัมพันธ์ไขว้ของและจะถูกกำหนดโดย โดยที่หมายถึงการสลับตำแหน่งแบบเฮอร์มิเชียน ${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{m})}$${\displaystyle \mathbf {W} =(W_{1},\ldots ,W_{n})}$${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {W} }$$${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]}$$${\displaystyle {}^{\rm {H}}}$

ในการวิเคราะห์อนุกรมเวลาและสถิติความสัมพันธ์ไขว้ของกระบวนการสุ่ม สองกระบวนการ คือความสัมพันธ์ระหว่างค่าของกระบวนการทั้งสอง ณ เวลาต่างๆ โดยเป็นฟังก์ชันของเวลาทั้งสองนั้น ให้เป็นคู่ของกระบวนการสุ่ม และเป็นจุดใดๆ ในเวลา ( อาจเป็นจำนวนเต็มสำหรับ กระบวนการ เวลาไม่ต่อเนื่องหรือจำนวนจริงสำหรับ กระบวนการ เวลาต่อเนื่อง ) แล้วคือค่า (หรือผลลัพธ์ ) ที่ได้จากการทำงานของกระบวนการ ในแต่ละครั้ง ณ เวลาt ${\displaystyle (X_{t},Y_{t})}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle t}$

สมมติว่ากระบวนการมีค่าเฉลี่ยและค่าความแปรปรวนและที่เวลาสำหรับแต่ละค่าจากนั้นนิยามของความสัมพันธ์ไขว้ระหว่างเวลาและคือ^{[ 10 ] : หน้า 392} โดยที่เป็น ตัวดำเนินการ ค่าคาดหวัง โปรดทราบว่านิพจน์นี้อาจไม่ได้กำหนดไว้ ${\displaystyle \mu _{X}(t)}$${\displaystyle \mu _{Y}(t)}$${\displaystyle \sigma _{X}^{2}(t)}$${\displaystyle \sigma _{Y}^{2}(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle t_{2}}$$${\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(t_{1},t_{2})\triangleq \ \operatorname {E} \left[{\overline {X_{t_{1}}}}Y_{t_{2}}\right]}$$${\displaystyle \operatorname {E} }$

การลบค่าเฉลี่ยก่อนการคูณจะให้ค่าความแปรปรวนร่วมระหว่างเวลาและ: ^{[ 10 ] : หน้า 392} โปรดทราบว่านิพจน์นี้ไม่ได้กำหนดไว้อย่างชัดเจนสำหรับอนุกรมเวลาหรือกระบวนการทั้งหมด เนื่องจากค่าเฉลี่ยหรือความแปรปรวนอาจไม่มีอยู่ ${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle t_{2}}$$${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})\triangleq \ \operatorname {E} \left[{\overline {\left(X_{t_{1}}-\mu _{X}(t_{1})\right)}}(Y_{t_{2}}-\mu _{Y}(t_{2}))\right]}$$

ให้แทนคู่ของกระบวนการสุ่มที่เสถียรในความหมายกว้างร่วมกันแล้วฟังก์ชันความแปรปรวนร่วมและฟังก์ชันสหสัมพันธ์ร่วมจะเป็นฟังก์ชันของช่วงเวลาหน่วงเท่านั้น(ไม่ใช่เวลาสัมบูรณ์) และกำหนดไว้ดังนี้ ${\displaystyle (X_{t},Y_{t})}$${\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}$

$${\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(\tau )\triangleq \ \operatorname {E} \left[{\overline {X_{t}}}Y_{t+\tau }\right]}$$หรือเทียบเท่า$${\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(\tau )=\operatorname {E} \left[{\overline {X_{t-\tau }}}Y_{t}\right]}$$

คำจำกัดความนี้ใช้โดย Newland ^{[ 11 ]}โปรดทราบว่าเอกสารอ้างอิงบางฉบับรวมถึง Gubner ^{[ 10 ]}ใช้แบบแผนทางเลือกซึ่งเทียบเท่ากับการกลับเครื่องหมายของความล่าช้าของเวลาและ (สำหรับกระบวนการที่มีค่าเชิงซ้อน) การหาค่าสังยุคเชิงซ้อน สเปกตรัมที่ได้จะเป็นค่าสังยุคเชิงซ้อนของสเปกตรัมที่ได้มาโดยใช้แบบแผนอื่น ${\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(\tau )=\operatorname {E} \left[X_{t+\tau }{\overline {Y}}\right]}$

$${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )\triangleq \ \operatorname {E} \left[{\overline {\left(X_{t}-\mu _{X}\right)}}\left(Y_{t+\tau }-\mu _{Y}\right)\right]}$$หรือเทียบเท่ากับที่และคือค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกระบวนการซึ่งคงที่ตลอดเวลาเนื่องจากภาวะคงที่ และในทำนองเดียวกันสำหรับ ตามลำดับแสดงถึงค่าที่คาดหวัง การที่ค่าความแปรปรวนร่วมและค่าสหสัมพันธ์ร่วมเป็นอิสระจากคือข้อมูลเพิ่มเติม (นอกเหนือจากการเป็นภาวะคงที่ในความหมายกว้างเป็นรายบุคคล) ที่สื่อโดยข้อกำหนดที่ว่า เป็นภาวะคงที่ในความหมายกว้าง ร่วมกัน$${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {E} \left[{\overline {\left(X_{t-\tau }-\mu _{X}\right)}}\left(Y_{t}-\mu _{Y}\right)\right]}$$${\displaystyle \mu _{X}}$${\displaystyle \sigma _{X}}$${\displaystyle (X_{t})}$${\displaystyle (Y_{t})}$${\displaystyle \operatorname {E} [\ ]}$${\displaystyle t}$${\displaystyle (X_{t},Y_{t})}$

ค่าสหสัมพันธ์ไขว้ของกระบวนการสุ่มแบบสถิตในความหมายกว้าง สอง กระบวนการ สามารถประมาณได้โดยการหาค่าเฉลี่ยของผลคูณของตัวอย่างที่วัดได้จากกระบวนการหนึ่งและตัวอย่างที่วัดได้จากอีกกระบวนการหนึ่ง (รวมถึงการเลื่อนเวลา) ตัวอย่างที่รวมอยู่ในค่าเฉลี่ยสามารถเป็นส่วนย่อยใดๆ ของตัวอย่างทั้งหมดในสัญญาณ (เช่น ตัวอย่างภายในช่วงเวลาที่จำกัด หรือการสุ่มตัวอย่างย่อยจากสัญญาณหนึ่ง) สำหรับจำนวนตัวอย่างจำนวนมาก ค่าเฉลี่ยจะลู่เข้าสู่ค่าสหสัมพันธ์ไขว้ที่แท้จริง

ในบางสาขาวิชา (เช่น สถิติและ การวิเคราะห์อนุกรมเวลา ) เป็นเรื่องปกติที่จะทำการปรับค่าฟังก์ชันความสัมพันธ์ไขว้ให้เป็นค่าปกติ เพื่อให้ได้ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เพียร์สัน ที่ขึ้นอยู่กับเวลา อย่างไรก็ตาม ในสาขาวิชาอื่นๆ (เช่น วิศวกรรมศาสตร์) มักจะละเว้นการปรับค่าให้เป็นค่าปกติ และใช้คำว่า "ความสัมพันธ์ไขว้" และ "ความแปรปรวนร่วมไขว้" แทนกันได้

นิยามของค่าสหสัมพันธ์ไขว้แบบนอร์มาไลซ์ของกระบวนการสุ่มคือถ้าฟังก์ชันนั้นถูกกำหนดไว้อย่างดี ค่าของมันจะต้องอยู่ในช่วงโดยที่ 1 แสดงถึงความสัมพันธ์ที่สมบูรณ์แบบ และ −1 แสดงถึงความสัมพันธ์ผกผันที่สมบูรณ์ แบบ$${\displaystyle \rho _{XX}(t_{1},t_{2})={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{X}(t_{1})\sigma _{X}(t_{2})}}={\frac {\operatorname {E} \left[{\overline {\left(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}}\right)}}\left(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}}\right)\right]}{\sigma _{X}(t_{1})\sigma _{X}(t_{2})}}}$$${\displaystyle \rho _{XX}}$${\displaystyle [-1,1]}$

สำหรับกระบวนการสุ่มแบบสถิตในความหมายกว้างร่วมกัน นิยามคือการทำให้เป็นมาตรฐานมีความสำคัญทั้งเพราะการตีความความสัมพันธ์อัตโนมัติว่าเป็นความสัมพันธ์จะให้มาตรวัดความแข็งแกร่งของการพึ่งพาทางสถิติที่ ไม่ ขึ้นกับมาตราส่วน และเพราะการทำให้เป็นมาตรฐานมีผลต่อคุณสมบัติทางสถิติของความสัมพันธ์อัตโนมัติที่ประมาณได้ $${\displaystyle \rho _{XY}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XY}(\tau )}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}={\frac {\operatorname {E} \left[{\overline {\left(X_{t}-\mu _{X}\right)}}\left(Y_{t+\tau }-\mu _{Y}\right)\right]}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}}$$

สำหรับกระบวนการสุ่มแบบสถิตในความหมายกว้างร่วมกัน ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ไขว้มีคุณสมบัติสมมาตรดังต่อไปนี้: ^{[ 12 ] : หน้า 173} ตามลำดับสำหรับกระบวนการ WSS ร่วมกัน:$${\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {R} _{YX}(t_{2},t_{1})}}}$$$${\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(\tau )={\overline {\operatorname {R} _{YX}(-\tau )}}}$$

การหาความสัมพันธ์ไขว้มีประโยชน์ในการกำหนดความล่าช้าของเวลาระหว่างสัญญาณสองสัญญาณ เช่น การกำหนดความล่าช้าของเวลาสำหรับการแพร่กระจายของสัญญาณเสียงผ่านอาร์เรย์ไมโครโฟน^{[ 13 ] [ 14 ]} หลังจากคำนวณความสัมพันธ์ไขว้ระหว่างสัญญาณทั้งสองแล้ว ค่าสูงสุด (หรือค่าต่ำสุดหากสัญญาณมีความสัมพันธ์เชิงลบ) ของฟังก์ชันความสัมพันธ์ไขว้จะระบุจุดเวลาที่สัญญาณมีการจัดเรียงที่ดีที่สุด กล่าวคือ ความล่าช้าของเวลาระหว่างสัญญาณทั้งสองจะถูกกำหนดโดยอาร์กิวเมนต์ของค่าสูงสุด หรือarg maxของความสัมพันธ์ไขว้ ดังเช่นใน

$${\displaystyle \tau _{\mathrm {delay} }={\underset {t\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}((f\star g)(t))}$$

สำหรับ แอปพลิเคชัน การประมวลผลภาพที่ความสว่างของภาพและแม่แบบอาจแตกต่างกันไปเนื่องจากสภาพแสงและการเปิดรับแสง สามารถทำการปรับค่าภาพให้เป็นมาตรฐานก่อนได้ โดยทั่วไปจะทำในทุกขั้นตอนโดยการลบค่าเฉลี่ยและหารด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานนั่นคือ ค่าสหสัมพันธ์ไขว้ของแม่แบบ กับภาพย่อยคือ ${\displaystyle t(x,y)}$${\displaystyle f(x,y)}$

$${\displaystyle {\frac {1}{n\sigma _{f}\sigma _{t}}}\sum _{x,y}\left(f(x,y)-\mu _{f}\right)\left(t(x,y)-\mu _{t}\right)}$$

โดยที่คือ จำนวนพิกเซลในและคือ ค่าเฉลี่ยของและคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของ${\displaystyle n}$${\displaystyle t(x,y)}$${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle \mu _{f}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sigma _{f}}$${\displaystyle f}$

ใน แง่ของ การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันสามารถคิดได้ว่าเป็นผลคูณดอทของเวกเตอร์นอร์มัลไลซ์ สองตัว นั่นคือ ถ้าและแล้วผลรวมข้างต้นจะเท่ากับ โดยที่คือผลคูณภายในและคือนอร์มL² จาก นั้นCauchy–Schwarzบ่งชี้ว่า ZNCC มีช่วงของ $${\displaystyle F(x,y)=f(x,y)-\mu _{f}}$$$${\displaystyle T(x,y)=t(x,y)-\mu _{t}}$$$${\displaystyle \left\langle {\frac {F}{\|F\|}},{\frac {T}{\|T\|}}\right\rangle }$$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle [-1,1]}$

ดังนั้น ถ้าและเป็นเมทริกซ์จริง ค่าสหสัมพันธ์ไขว้แบบนอร์มาไลซ์ของเมทริกซ์ทั้งสองจะเท่ากับค่าโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์หน่วยและซึ่งจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อเท่ากับคูณด้วยค่าสเกลาร์บวก เท่านั้น${\displaystyle f}$${\displaystyle t}$${\displaystyle F}$${\displaystyle T}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle F}$${\displaystyle T}$

ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบนอร์มาไลซ์เป็นหนึ่งในวิธีการที่ใช้สำหรับการจับคู่แม่แบบ ซึ่งเป็นกระบวนการที่ใช้ในการค้นหาตัวอย่างของรูปแบบหรือวัตถุภายในภาพ นอกจากนี้ยังเป็น ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบเพียร์สันในรูปแบบ 2 มิติอีกด้วย

NCC คล้ายกับ ZNCC โดยมีข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือ ไม่ได้ลบค่าเฉลี่ยความเข้มในพื้นที่ออก:$${\displaystyle {\frac {1}{n\sigma _{f}\sigma _{t}}}\sum _{x,y}f(x,y)t(x,y)}$$

ต้องใช้ความระมัดระวังเมื่อใช้ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ไขว้ซึ่งถือว่าความแปรปรวนเป็นแบบเกาส์เซียนสำหรับระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้น ในบางสถานการณ์ซึ่งขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของอินพุต สหสัมพันธ์ไขว้ระหว่างอินพุตและเอาต์พุตของระบบที่มีพลวัตที่ไม่เป็นเชิงเส้นอาจมองไม่เห็นผลกระทบที่ไม่เป็นเชิงเส้นบางอย่างเลย^{[ 15 ]}ปัญหานี้เกิดขึ้นเนื่องจากโมเมนต์กำลังสองบางตัวอาจเท่ากับศูนย์ และสิ่งนี้อาจชี้ให้เห็นอย่างไม่ถูกต้องว่ามี "ความสัมพันธ์" น้อยมาก (ในแง่ของการพึ่งพาทางสถิติ) ระหว่างสัญญาณสองตัว ในขณะที่ในความเป็นจริงแล้วสัญญาณทั้งสองมีความสัมพันธ์กันอย่างมากโดยพลวัตที่ไม่เป็นเชิงเส้น

• Tahmasebi, Pejman; Hezarkhani, Ardeshir; Sahimi, Muhammad (2012). "การสร้างแบบจำลองทางภูมิสถิติแบบหลายจุดโดยอาศัยฟังก์ชันสหสัมพันธ์ไขว้". ธรณีศาสตร์เชิงคำนวณ . 16 (3): 779– 797. Bibcode : 2012CmpGe..16..779T . doi : 10.1007/s10596-012-9287-1 . S2CID  62710397 .

• การหาค่าสหสัมพันธ์ไขว้จาก Mathworld
• http://scribblethink.org/Work/nvisionInterface/nip.html
• http://www.staff.ncl.ac.uk/oliver.hinton/eee305/Chapter6.pdf