การหาความสัมพันธ์ของเฟสเป็นวิธีการประมาณ ค่า การเลื่อน ตำแหน่งสัมพัทธ์ ระหว่างภาพสองภาพ ที่คล้ายคลึงกัน ( การหาความสัมพันธ์ของภาพดิจิทัล ) หรือชุดข้อมูลอื่นๆ วิธีนี้มักใช้ในการลงทะเบียนภาพและอาศัยการแสดงข้อมูลในโดเมนความถี่ ซึ่งโดยปกติจะคำนวณโดย การแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว คำนี้ใช้โดยเฉพาะกับเทคนิค การหาความสัมพันธ์ไขว้บางส่วนที่แยกข้อมูลเฟสออกจากข้อมูลที่แสดงในพื้นที่ฟูริเยร์ของแผนภาพความสัมพันธ์ไขว้

ภาพต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงการใช้ความสัมพันธ์ของเฟสเพื่อกำหนดการเคลื่อนที่เชิงแปลสัมพัทธ์ระหว่างภาพสองภาพที่ถูกทำลายด้วยสัญญาณรบกวนแบบเกาส์เซียนอิสระ ภาพถูกเลื่อนไปเป็นระยะ (20,23) พิกเซล ดังนั้นจึงสามารถเห็นจุดสูงสุดในการแสดงความสัมพันธ์ของเฟสได้อย่างชัดเจนที่ประมาณ (20,23)

กำหนดให้มีภาพอินพุตสองภาพและ: ${\displaystyle \ g_{a}}$${\displaystyle \ g_{b}}$

ใช้ฟังก์ชันหน้าต่าง (เช่น ฟังก์ชัน หน้าต่างแฮมมิง ) กับภาพทั้งสองเพื่อลดเอฟเฟกต์ขอบ (ขั้นตอนนี้อาจเป็นทางเลือก ขึ้นอยู่กับลักษณะของภาพ) จากนั้น คำนวณ การแปลงฟูริเยร์แบบ 2 มิติแบบไม่ต่อเนื่องของภาพทั้งสอง

${\displaystyle \ \mathbf {G} _{a}={\mathcal {F}}\{g_{a}\},\;\mathbf {G} _{b}={\mathcal {F}}\{g_{b}\}}$

คำนวณสเปกตรัมกำลังไขว้โดยการหาค่าสังยุคเชิงซ้อนของผลลัพธ์ที่สอง คูณการแปลงฟูริเยร์เข้าด้วยกันแบบทีละองค์ประกอบ และปรับค่าผลคูณนี้ให้เป็นค่าปกติแบบทีละองค์ประกอบ

${\displaystyle \ R={\frac {\mathbf {G} _{a}\circ \mathbf {G} _{b}^{*}}{|\mathbf {G} _{a}\circ \mathbf {G} _{b}^{*}|}}}$

ผล คูณ แบบHadamard (ผลคูณแบบรายองค์ประกอบ) และค่าสัมบูรณ์นั้นคำนวณแบบรายองค์ประกอบเช่นกัน เขียนออกมาแบบรายองค์ประกอบตามดัชนีขององค์ประกอบ: ${\displaystyle \circ }$${\displaystyle (j,k)}$

${\displaystyle \ R_{jk}={\frac {G_{a,jk}\cdot G_{b,jk}^{*}}{|G_{a,jk}\cdot G_{b,jk}^{*}|}}}$

หาค่าสหสัมพันธ์ไขว้แบบนอร์มาไลซ์โดยใช้การแปลงฟูริเยร์ผกผัน

${\displaystyle \ r={\mathcal {F}}^{-1}\{R\}}$

กำหนดตำแหน่งของจุดสูงสุดใน. ${\displaystyle \ r}$

${\displaystyle \ (\เดลต้า x,\เดลต้า y)=\arg \max _{(x,y)}\{r\}}$

โดยทั่วไป วิธีการประมาณค่าแบบแทรกสอด (interpolation)ถูกนำมาใช้เพื่อประมาณตำแหน่งจุดสูงสุดในกราฟความสัมพันธ์ ไขว้ (cross-correlogram) ให้เป็นค่าที่ไม่ใช่จำนวนเต็มแม้ว่าข้อมูลจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องก็ตาม และกระบวนการนี้มักเรียกว่า 'การลงทะเบียนระดับซับพิกเซล' (subpixel registration) มีวิธีการประมาณค่าแบบแทรกสอดระดับซับพิกเซลมากมายที่ระบุไว้ในเอกสารทางเทคนิค วิธีการประมาณค่าจุดสูงสุดที่ใช้กันทั่วไป เช่น การประมาณค่าแบบพาราโบลา (parabolic interpolation) ได้ถูกนำมาใช้ และ แพ็กเกจคอมพิวเตอร์วิชั่น OpenCVก็ใช้ วิธีการแบบอิง จุดศูนย์กลาง (centroid -based method) แม้ว่าโดยทั่วไปแล้ววิธีการเหล่านี้จะมีความแม่นยำต่ำกว่าเมื่อเทียบกับวิธีการที่ซับซ้อนกว่าก็ตาม

เนื่องจากได้คำนวณการแสดงข้อมูลแบบฟูริเยร์ไว้แล้ว จึงสะดวกเป็นพิเศษที่จะใช้ทฤษฎีบทการเลื่อนฟูริเยร์ที่มี การเลื่อนค่า จริง (จำนวนเต็มย่อย) สำหรับวัตถุประสงค์นี้ ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วจะทำการประมาณค่าโดยใช้ฟังก์ชันพื้นฐาน ไซน์ ของการแปลงฟูริเยร์ ตัวประมาณค่าแบบ FT ที่ได้รับความนิยมเป็นพิเศษนั้นได้มาจาก Foroosh et al. ^{[ 1 ]}ในวิธีนี้ ตำแหน่งจุดสูงสุดของพิกเซลย่อยจะถูกประมาณด้วยสูตรอย่างง่ายที่เกี่ยวข้องกับค่าพิกเซลสูงสุดและค่าของเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด โดยที่คือค่าสูงสุด และคือเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดในทิศทาง x (โดยสมมติว่า เช่นเดียวกับในวิธีการส่วนใหญ่ ได้มีการค้นหาการเลื่อนจำนวนเต็มแล้ว และภาพเปรียบเทียบจะแตกต่างกันเพียงแค่การเลื่อนพิกเซลย่อยเท่านั้น) ${\displaystyle r_{(0,0)}}$${\displaystyle r_{(1,0)}}$

${\displaystyle \ \Delta x={\frac {r_{(1,0)}}{r_{(1,0)}\pm r_{(0,0)}}}}$

วิธีการ ของ Foroosh et al.ค่อนข้างเร็วเมื่อเทียบกับวิธีการส่วนใหญ่ แม้ว่าจะไม่แม่นยำที่สุดเสมอไป บางวิธีจะเลื่อนจุดสูงสุดในพื้นที่ฟูริเยร์และใช้การปรับให้เหมาะสมแบบไม่เชิงเส้นเพื่อเพิ่มจุดสูงสุดของคอร์เรโลแกรม แต่โดยทั่วไปแล้ววิธีเหล่านี้จะช้ามาก เนื่องจากต้องใช้การแปลงฟูริเยร์ผกผันหรือเทียบเท่าในฟังก์ชันวัตถุประสงค์^{[ 2 ]}

นอกจากนี้ยังสามารถอนุมานตำแหน่งจุดสูงสุดจากลักษณะเฟสในพื้นที่ฟูริเยร์โดยไม่ต้องแปลงผกผัน ดังที่สโตนได้กล่าวไว้^{[ 3 ]} โดย ทั่วไปแล้ววิธีการเหล่านี้จะใช้ การปรับ มุมเฟสแบบกำลังสองน้อยที่สุดเชิงเส้น (LLS) กับแบบจำลองระนาบ ข้อเสียคือความล่าช้าในการคำนวณมุมเฟสในวิธีการเหล่านี้ แต่บางครั้งความเร็วอาจเทียบได้กับวิธีการของ Foroosh et al.ขึ้นอยู่กับขนาดของภาพ โดยทั่วไปแล้วความเร็วของวิธีการเหล่านี้มักจะดีกว่าการวนซ้ำหลายครั้งของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่ช้ามากในวิธีการวนซ้ำแบบไม่เชิงเส้น

เนื่องจากวิธีการคำนวณการเลื่อนพิกเซลย่อยทั้งหมดเป็นวิธีการประมาณค่าแบบสอดแทรกโดยพื้นฐาน ประสิทธิภาพของวิธีการใดวิธีการหนึ่งจึงขึ้นอยู่กับว่าข้อมูลพื้นฐานสอดคล้องกับข้อสมมติฐานในตัวประมาณค่าแบบสอดแทรกได้ดีเพียงใด ข้อเท็จจริงนี้อาจจำกัดประโยชน์ของความแม่นยำเชิงตัวเลขสูงในอัลกอริทึมได้เช่นกัน เนื่องจากความไม่แน่นอนที่เกิดจากการเลือกวิธีการประมาณค่าแบบสอดแทรกอาจมีขนาดใหญ่กว่าข้อผิดพลาดเชิงตัวเลขหรือข้อผิดพลาดในการประมาณค่าใดๆ ในวิธีการนั้นๆ

วิธีการประมวลผลระดับซับพิกเซลมีความไวต่อสัญญาณรบกวนในภาพเป็นพิเศษ และประโยชน์ของอัลกอริทึมใดอัลกอริทึมหนึ่งนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับความเร็วและความแม่นยำเพียงอย่างเดียว แต่ยังขึ้นอยู่กับความสามารถในการรับมือกับสัญญาณรบกวนประเภทต่างๆ ในการใช้งานด้วย

วิธีการนี้อิงตามทฤษฎีบทการเลื่อนฟูริเยร์

ให้ภาพทั้งสองภาพเป็นภาพที่เลื่อนตำแหน่งแบบวงกลมของกันและกัน: ${\displaystyle \ g_{a}}$${\displaystyle \ g_{b}}$

${\displaystyle \ g_{b}(x,y)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ g_{a}((x-\Delta x){\bmod {M}},(y-\Delta y){\bmod {N}})}$

(โดยที่รูปภาพมีขนาดระบุไว้) ${\displaystyle \ M\times N}$

จากนั้น การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องของภาพจะถูกเลื่อนเฟสสัมพัทธ์ :

${\displaystyle \mathbf {G} _{b}(u,v)=\mathbf {G} _{a}(u,v)e^{-2\pi i({\frac {u\Delta x}{M}}+{\frac {v\Delta y}{N}})}}$

จากนั้นจึงสามารถคำนวณสเปกตรัมกำลังร่วมแบบนอร์มาไลซ์เพื่อแยกความแตกต่างของเฟสออกได้:

${\displaystyle {\begin{aligned}R(u,v)&={\frac {\mathbf {G} _{a}\mathbf {G} _{b}^{*}}{|\mathbf {G} _{a}\mathbf {G} _{b}^{*}|}}\\&={\frac {\mathbf {G} _{a}\mathbf {G} _{a}^{*}e^{2\pi i({\frac {u\Delta x}{M}}+{\frac {v\Delta y}{N}})}}{|\mathbf {G} _{a}\mathbf {G} _{a}^{*}e^{2\pi i({\frac {u\Delta x}{M}}+{\frac {v\Delta y}{N}})}|}}\\&={\frac {\mathbf {G} _{a}\mathbf {G} _{a}^{*}e^{2\pi i({\frac {u\Delta x}{M}}+{\frac {v\Delta y}{N}})}}{|\mathbf {G} _{a}\mathbf {G} _{a}^{*}|}}\\&=e^{2\pi i({\frac {u\Delta x}{M}}+{\frac {v\Delta y}{N}})}\end{aligned}}}$

เนื่องจากขนาดของเลขชี้กำลังจินตนาการมีค่าเท่ากับหนึ่งเสมอ และเฟสของ เลขชี้กำลังนั้น มีค่าเท่ากับศูนย์เสมอ ${\displaystyle \ \mathbf {G} _{a}\mathbf {G} _{a}^{*}}$

การแปลงฟูริเยร์ผกผันของเลขชี้กำลังเชิงซ้อนคือฟังก์ชันเดลต้าของดิแรก กล่าวคือ มีเพียงยอดเดียว:

${\displaystyle \ r(x,y)=\เดลต้า (x+\เดลต้า x,y+\เดลต้า y)}$

ผลลัพธ์นี้สามารถได้มาจากการคำนวณค่าสหสัมพันธ์ไขว้โดยตรงได้เช่นกัน ข้อดีของวิธีนี้คือ การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องและการแปลงผกผันสามารถทำได้โดยใช้การแปลงฟูริเยร์แบบเร็วซึ่งเร็วกว่าการหาค่าสหสัมพันธ์สำหรับภาพขนาดใหญ่มาก

วิธีการหาความสัมพันธ์ของเฟสแตกต่างจากอัลกอริธึมในโดเมนเชิงพื้นที่หลายๆ วิธี เนื่องจากสามารถทนต่อสัญญาณรบกวน การบดบัง และข้อบกพร่องอื่นๆ ที่พบได้ทั่วไปในภาพทางการแพทย์หรือภาพจากดาวเทียม^{[ 4 ]}

วิธีการนี้สามารถขยายเพื่อกำหนดความแตกต่างของการหมุนและการปรับขนาดระหว่างภาพสองภาพได้ โดยการแปลงภาพเป็นพิกัดลอการิทึมเชิงขั้ว ก่อน เนื่องจากคุณสมบัติของการแปลงฟูริเยร์พารามิเตอร์การหมุนและการปรับขนาดสามารถกำหนดได้ในลักษณะที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการแปล^{[ 5 ] [ 6 ]}

ในทางปฏิบัติ มีความเป็นไปได้มากกว่าที่จะเป็นการเลื่อนเชิงเส้นอย่างง่ายของมากกว่าการเลื่อนแบบวงกลมตามที่ระบุไว้ในคำอธิบายข้างต้น ในกรณีเช่นนี้จะไม่ใช่ฟังก์ชันเดลต้าอย่างง่าย ซึ่งจะลดประสิทธิภาพของวิธีการ ในกรณีเช่นนี้ ควรใช้ ฟังก์ชันหน้าต่าง (เช่น หน้าต่างเกาส์เซียนหรือหน้าต่างทูคีย์) ในระหว่างการแปลงฟูริเยร์เพื่อลดเอฟเฟกต์ขอบ หรือควรเติมศูนย์ให้กับภาพเพื่อให้สามารถละเลยเอฟเฟกต์ขอบได้ หากภาพประกอบด้วยพื้นหลังเรียบ โดยมีรายละเอียดทั้งหมดอยู่ห่างจากขอบ การเลื่อนเชิงเส้นจะเทียบเท่ากับการเลื่อนแบบวงกลม และการคำนวณข้างต้นจะใช้ได้อย่างแม่นยำ สามารถทำให้จุดสูงสุดคมชัดขึ้นได้โดยใช้ความสัมพันธ์ของขอบหรือเวกเตอร์^{[ 7 ]}${\displaystyle \ g_{b}}$${\displaystyle \ g_{a}}$${\displaystyle \ r}$

สำหรับ ภาพ ที่มีลักษณะเป็นคาบ (เช่น กระดานหมากรุกหรือรั้วไม้) การหาความสัมพันธ์ของเฟสอาจให้ผลลัพธ์ที่ไม่ชัดเจน โดยมีจุดสูงสุดหลายจุดในผลลัพธ์ที่ได้

การหาความสัมพันธ์ของเฟสเป็นวิธีการที่นิยมใช้ในการแปลงมาตรฐานโทรทัศน์เนื่องจากทำให้เกิดสิ่งผิดปกติในภาพน้อยที่สุด

ทั่วไป

• ความสัมพันธ์ไขว้
• ความสัมพันธ์แบบปรับขนาด
• การดึงเฟส

โทรทัศน์

• การแปลงมาตรฐานโทรทัศน์
• การแปลงมาตรฐานย้อนกลับ

• ใช้ Matlab ในการคำนวณค่าสหสัมพันธ์ไขว้แบบนอร์มาไลซ์บนรูปภาพ