การหาค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติ ( Autocorrelation ) หรือบางครั้งเรียกว่าค่าสหสัมพันธ์อนุกรม (Serial Correlation ) ในกรณีเวลาไม่ต่อเนื่อง คือการวัด ความสัมพันธ์ของ สัญญาณกับสำเนาของ สัญญาณ นั้น ที่ล่าช้ากว่าค่าเดิม โดยพื้นฐานแล้ว มันคือการวัดความคล้ายคลึงกันระหว่างการสังเกตตัวแปรสุ่มณ จุดต่างๆ ในโดเมน ของมัน (โดยทั่วไปคือเวลา ) การวิเคราะห์ค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการระบุรูปแบบที่ซ้ำกันหรือคาบเวลา ที่ซ่อน อยู่ภายในสัญญาณที่ถูกบดบังด้วยสัญญาณรบกวน ค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการประมวลผลสัญญาณโดเมนเวลาและการวิเคราะห์อนุกรมเวลาเพื่อทำความเข้าใจพฤติกรรมของข้อมูลเมื่อเวลาผ่านไป

สาขาวิชาต่างๆ ให้คำจำกัดความของความสัมพันธ์อัตโนมัติแตกต่างกัน และคำจำกัดความเหล่านั้นไม่ได้มีความหมายเหมือนกันทั้งหมด ในบางสาขาวิชา คำนี้ใช้แทนกันได้กับคำว่าความ แปรปรวนร่วมอัตโนมัติ

แบบจำลองอนุกรมเวลาหลายแบบรวมเอาความสัมพันธ์อัตโนมัติไว้ด้วย เช่นกระบวนการรากหน่วยกระบวนการคงที่ตามแนวโน้มกระบวนการถดถอยอัตโนมัติและกระบวนการค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่

ในทางสถิติความสัมพันธ์อัตโนมัติของกระบวนการสุ่ม จริงหรือเชิงซ้อน คือความสัมพันธ์แบบเพียร์สันระหว่างค่าของกระบวนการ ณ เวลาต่างๆ โดยเป็นฟังก์ชันของเวลาทั้งสองหรือของช่วงเวลาที่ล่าช้า ให้เป็นกระบวนการสุ่มในช่วงเวลา และเป็นตัวแปรสุ่ม ณ เวลา( อาจเป็นจำนวนเต็มสำหรับ กระบวนการ เวลาไม่ต่อเนื่องหรือจำนวนจริงสำหรับ กระบวนการ เวลาต่อเนื่อง ) ดังนั้น นิยามของฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติระหว่างเวลาและคือ^{[ 1 ] : 388 [ 2 ] : 165} ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle t_{2}}$

โดยที่คือ ตัวดำเนินการ ค่าคาดหวังและเครื่องหมายขีดคั่นแทนการสังยุคเชิงซ้อนโปรดทราบว่าค่าคาดหวังอาจไม่สามารถนิยามได้อย่างชัดเจน ${\displaystyle \operatorname {E} }$

สมมติว่ากระบวนการมีค่าเฉลี่ย และความแปรปรวนที่เวลาสำหรับแต่ละ การลบค่าเฉลี่ยก่อนการคูณจะได้ฟังก์ชันความแปรปรวนร่วมอัตโนมัติระหว่างเวลาและ: ^{[ 1 ] : 392 [ 2 ] : 168} ${\displaystyle \mu _{t}}$${\displaystyle \sigma _{t}^{2}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle t_{2}}$

โปรดทราบว่านิพจน์นี้ไม่ได้นิยามไว้อย่างชัดเจนสำหรับอนุกรมเวลาหรือกระบวนการทั้งหมด เนื่องจากค่าเฉลี่ยอาจไม่มีอยู่จริง หรือค่าความแปรปรวนอาจเป็นศูนย์ (สำหรับกระบวนการคงที่) หรือเป็นอนันต์ (สำหรับกระบวนการที่มีการกระจายตัวที่ขาดโมเมนต์ที่เหมาะสม เช่นกฎกำลัง บางประเภท )

ถ้าเป็นกระบวนการสถิตในความหมายกว้างค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนจะไม่ขึ้นกับเวลา และยิ่งไปกว่านั้น ฟังก์ชันความแปรปรวนร่วมอัตโนมัติจะขึ้นอยู่กับความล่าช้าระหว่างและ เท่านั้น กล่าวคือ ความแปรปรวนร่วมอัตโนมัติขึ้นอยู่กับระยะห่างของเวลาระหว่างคู่ของค่า แต่ไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของค่าเหล่านั้นในเวลา นอกจากนี้ยังหมายความว่า ความแปรปรวนร่วมอัตโนมัติและความสัมพันธ์อัตโนมัติสามารถแสดงได้ในรูปฟังก์ชันของความล่าช้าของเวลา และนี่จะเป็นฟังก์ชันคู่ของความล่าช้า ซึ่งทำให้ได้รูปแบบที่คุ้นเคยมากขึ้นสำหรับฟังก์ชันความสัมพันธ์อัตโนมัติ^{[ 1 ] : 395} ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle t_{2}}$${\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}$

และฟังก์ชันความแปรปรวนร่วมอัตโนมัติ :

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โปรดสังเกตว่า

$${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}.}$$

ในบางสาขาวิชา (เช่น สถิติและ การวิเคราะห์อนุกรมเวลา ) เป็นเรื่องปกติ ที่จะทำการปรับค่าฟังก์ชันความแปรปรวนร่วมอัตโนมัติให้เป็นค่ามาตรฐาน เพื่อให้ได้ ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เพียร์สัน ที่ขึ้นอยู่กับเวลา อย่างไรก็ตาม ในสาขาวิชาอื่นๆ (เช่น วิศวกรรมศาสตร์) มักจะละเว้นการปรับค่ามาตรฐาน และใช้คำว่า "สหสัมพันธ์อัตโนมัติ" และ "ความแปรปรวนร่วมอัตโนมัติ" แทนกันได้

นิยามของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์อัตโนมัติของกระบวนการสุ่มคือ^{[ 2 ] : 169}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{XX}(t_{1},t_{2})&={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}\\&={\frac {\operatorname {E} \left[\left(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}}\right){\overline {\left(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}}\right)}}\right]}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}.\end{aligned}}}$$

หากฟังก์ชันนั้นได้รับการกำหนดไว้อย่างดี ค่าของฟังก์ชันจะต้องอยู่ในช่วงโดยที่ 1 แสดงถึงความสัมพันธ์ที่สมบูรณ์แบบ และ −1 แสดงถึงความสัมพันธ์ผกผัน ที่สมบูรณ์ แบบ ${\displaystyle \rho _{XX}}$${\displaystyle [-1,1]}$

สำหรับ กระบวนการ สถิตในความหมายกว้าง (WSS) นิยามคือ

$${\displaystyle \rho _{XX}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X_{t+\tau }-\mu ){\overline {(X_{t}-\mu )}}\right]}{\sigma ^{2}}}.}$$

การทำให้เป็นมาตรฐานมีความสำคัญทั้งในแง่ที่ว่า การตีความค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติว่าเป็นค่าสหสัมพันธ์จะให้มาตรวัดความแข็งแกร่งของการพึ่งพาทางสถิติ ที่ไม่ขึ้นกับมาตราส่วน และในแง่ที่ว่าการทำให้เป็นมาตรฐานมีผลต่อคุณสมบัติทางสถิติของค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติที่ประมาณได้

ข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติเป็นฟังก์ชันคู่สามารถระบุได้ดังนี้^{[ 2 ] : 171} ตามลำดับสำหรับกระบวนการ WSS: ^{[ 2 ] : 173} ${\displaystyle \operatorname {R} _{XX}}$$${\displaystyle \operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {R} _{XX}(t_{2},t_{1})}}}$$$${\displaystyle \operatorname {R} _{XX}(\tau )={\overline {\operatorname {R} _{XX}(-\tau )}}.}$$

สำหรับกระบวนการ WSS: ^{[ 2 ] : 174} โปรดสังเกตว่าเป็นของจริงเสมอ $${\displaystyle \left|\operatorname {R} _{XX}(\tau )\right|\leq \operatorname {R} _{XX}(0)}$$${\displaystyle \operatorname {R} _{XX}(0)}$

อสมการ โคชี-ชวาร์ซอสมการสำหรับกระบวนการสุ่ม: ^{[ 1 ] : 392} $${\displaystyle \left|\operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})\right|^{2}\leq \operatorname {E} \left[|X_{t_{1}}|^{2}\right]\operatorname {E} \left[|X_{t_{2}}|^{2}\right]}$$

ค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณ ไวท์นอยส์แบบต่อเนื่องจะมีค่าสูงสุดที่ชัดเจน (แสดงด้วยฟังก์ชันเดลต้าของดิแรก ) ที่และจะมีค่าเท่ากับ อย่างแน่นอนสำหรับค่าอื่นๆทั้งหมด ${\displaystyle \tau =0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \tau }$

ทฤษฎีบทWiener–Khinchinเชื่อมโยงฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติกับความหนาแน่นสเปกตรัมกำลังผ่านการแปลงฟูริเยร์ : ${\displaystyle \operatorname {R} _{XX}}$${\displaystyle S_{XX}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {R} _{XX}(\tau )&=\int _{-\infty }^{\infty }S_{XX}(\omega )e^{i\omega \tau }\,{\rm {d}}\omega \\[1ex]S_{XX}(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {R} _{XX}(\tau )e^{-i\omega \tau }\,{\rm {d}}\tau .\end{aligned}}}$$

สำหรับฟังก์ชันค่าจริง ฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติแบบสมมาตรจะมีการแปลงแบบสมมาตรที่เป็นค่าจริง ดังนั้นทฤษฎีบท Wiener–Khinchinจึงสามารถเขียนใหม่ได้โดยใช้โคไซน์ที่เป็นค่าจริงเท่านั้น:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {R} _{XX}(\tau )&=\int _{-\infty }^{\infty }S_{XX}(\omega )\cos(\omega \tau )\,{\rm {d}}\omega \\[1ex]S_{XX}(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {R} _{XX}(\tau )\cos(\omega \tau )\,{\rm {d}}\tau .\end{aligned}}}$$

เมทริกซ์ความสัมพันธ์อัตโนมัติ ( ซึ่งอาจเปลี่ยนแปลงตามเวลา) (หรือเรียกว่าโมเมนต์ที่สอง) ของเวกเตอร์ สุ่ม (ซึ่งอาจเปลี่ยนแปลงตามเวลา) คือเมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบเป็นค่าความสัมพันธ์อัตโนมัติของทุกคู่ขององค์ประกอบในเวกเตอร์สุ่มนั้น เมทริกซ์ความสัมพันธ์อัตโนมัตินี้ถูกนำไปใช้ใน อัลกอริธึม การประมวลผลสัญญาณดิจิทัลต่างๆ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\rm {T}}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbf {X} }$

สำหรับเวกเตอร์สุ่ม ที่มีองค์ประกอบสุ่มซึ่ง มี ค่าคาดหวังและความแปรปรวนเมทริกซ์สหสัมพันธ์อัตโนมัติจะถูกกำหนดโดย^{[ 3 ] : 190 [ 1 ] : 334} ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\rm {T}}}$

โดยที่หมายถึงการสลับตำแหน่งของเวกเตอร์ ${\displaystyle {}^{\rm {T}}}$

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ: ${\displaystyle n\times n}$

$${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}X_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}X_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}X_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}X_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}X_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}X_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X_{n}X_{1}]&\operatorname {E} [X_{n}X_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{n}X_{n}]\end{bmatrix}}}$$

ตัวอย่างเช่น ถ้าเป็นเวกเตอร์สุ่ม แล้วเป็นเมทริกซ์ที่มี สมาชิกลำดับ ที่ คือ${\displaystyle \mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)^{\rm {T}}}$${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}X_{j}]}$

ถ้าเป็นเวกเตอร์สุ่มเชิงซ้อนเมทริกซ์สหสัมพันธ์อัตโนมัติจะถูกกำหนดโดย แทน ${\displaystyle \mathbf {Z} }$

$${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{\rm {H}}].}$$

ในที่นี้หมายถึงการสลับตำแหน่งของเฮอร์มิเชียน ${\displaystyle {}^{\rm {H}}}$

• เมทริกซ์ออโตสหสัมพันธ์เป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนสำหรับเวกเตอร์สุ่มเชิงซ้อนและเป็นเมทริกซ์สมมาตรสำหรับเวกเตอร์สุ่มจริง^{[ 3 ] : 190}
• เมทริกซ์สหสัมพันธ์อัตโนมัติเป็นเมทริกซ์กึ่งบวก^{[ 3 ]} : ¹⁹⁰ เช่นสำหรับเวกเตอร์สุ่มจริง และตามลำดับในกรณีของเวกเตอร์สุ่มเชิงซ้อน${\displaystyle \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {a} ^{\mathrm {H} }\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {C} ^{n}}$
• ค่าไอเกนทั้งหมดของเมทริกซ์สหสัมพันธ์อัตโนมัติเป็นจำนวนจริงและไม่เป็นลบ
• เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมอัตโนมัติมีความสัมพันธ์กับเมทริกซ์สหสัมพันธ์อัตโนมัติ ดังนี้: สำหรับเวกเตอร์สุ่มเชิงซ้อน:$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }&=\operatorname {E} \left[(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])^{\rm {T}}\right]\\&=\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{\rm {T}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }&=\operatorname {E} \left[(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])^{\rm {H}}\right]\\&=\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]^{\rm {H}}\end{aligned}}}$$

ในการประมวลผลสัญญาณคำจำกัดความข้างต้นมักจะใช้โดยไม่ต้องทำการทำให้เป็นมาตรฐาน กล่าวคือ โดยไม่ต้องลบค่าเฉลี่ยและหารด้วยความแปรปรวน เมื่อฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติถูกทำให้เป็นมาตรฐานโดยค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน บางครั้งจะเรียกว่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์อัตโนมัติ^{[ 4 ]}หรือฟังก์ชันความแปรปรวนร่วมอัตโนมัติ

เมื่อกำหนดสัญญาณแล้ว ความสัมพันธ์อัตโนมัติแบบต่อเนื่องมักจะถูกกำหนดให้เป็นปริพันธ์ความสัมพันธ์ไขว้ แบบต่อเนื่องของ กับตัวมันเอง ที่ช่วงเวลาล่าช้า[ ^{1 ] : 411} ${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle R_{ff}(\tau )}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle \tau }$

โดยที่แทนค่าสังยุคเชิงซ้อนของโปรดทราบว่าพารามิเตอร์ในอินทิกรัลเป็นตัวแปรสมมติและจำเป็นเฉพาะสำหรับการคำนวณอินทิกรัลเท่านั้น ไม่มีความหมายเฉพาะเจาะจง ${\displaystyle {\overline {f(t)}}}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle t}$

ค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติแบบไม่ต่อเนื่องที่ช่วงเวลาล่าช้าสำหรับสัญญาณเวลาไม่ต่อเนื่องคือ ${\displaystyle R}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle y(n)}$

คำจำกัดความข้างต้นใช้ได้กับสัญญาณที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ หรือสามารถหาผลรวมกำลังสองได้ กล่าวคือ มีพลังงานจำกัด สัญญาณที่ "คงอยู่ตลอดไป" จะถูกมองว่าเป็นกระบวนการสุ่ม ซึ่งในกรณีนี้จำเป็นต้องใช้คำจำกัดความที่แตกต่างกัน โดยขึ้นอยู่กับค่าที่คาดหวัง สำหรับกระบวนการสุ่มแบบสถิตในความหมายกว้างความสัมพันธ์อัตโนมัติจะถูกกำหนดดังนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{ff}(\tau )&=\operatorname {E} \left[f(t){\overline {f(t-\tau )}}\right]\\R_{yy}(\ell )&=\operatorname {E} \left[y(n)\,{\overline {y(n-\ell )}}\right].\end{aligned}}}$$

สำหรับกระบวนการที่ไม่คงที่ ค่าเหล่านี้จะเป็นฟังก์ชันของหรือ ด้วยเช่น กัน ${\displaystyle t}$${\displaystyle n}$

สำหรับกระบวนการที่เป็นเออร์โกดิก เช่นกัน ความคาดหวังสามารถแทนที่ด้วยลิมิตของค่าเฉลี่ยตามเวลา ความสัมพันธ์อัตโนมัติของกระบวนการเออร์โกดิกบางครั้งถูกกำหนดหรือเทียบเท่ากับ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{ff}(\tau )&=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t+\tau ){\overline {f(t)}}\,{\rm {d}}t\\R_{yy}(\ell )&=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}y(n)\,{\overline {y(n-\ell )}}.\end{aligned}}}$$

คำจำกัดความเหล่านี้มีข้อดีตรงที่ให้ผลลัพธ์แบบพารามิเตอร์เดียวที่ชัดเจนและสมเหตุสมผลสำหรับฟังก์ชันคาบ แม้ว่าฟังก์ชันเหล่านั้นจะไม่ใช่ผลลัพธ์ของกระบวนการเออร์โกดิกแบบอยู่ตัวก็ตาม

อีกทางเลือกหนึ่ง สัญญาณที่คงอยู่ตลอดไปสามารถวิเคราะห์ได้ด้วยการวิเคราะห์ฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติในช่วงเวลาสั้น โดยใช้ปริพันธ์ในช่วงเวลาจำกัด (ดูการแปลงฟูริเยร์ในช่วงเวลาสั้นสำหรับกระบวนการที่เกี่ยวข้อง)

ถ้าเป็นฟังก์ชันคาบต่อเนื่องที่มีคาบ การอินทิเกรตจากถึงจะถูกแทนที่ด้วยการอินทิเกรตในช่วงใดๆที่มีความยาว: ${\displaystyle f}$${\displaystyle T}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle [t_{0},t_{0}+T]}$${\displaystyle T}$

$${\displaystyle R_{ff}(\tau )\triangleq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t+\tau ){\overline {f(t)}}\,dt}$$

ซึ่งเทียบเท่ากับ

$${\displaystyle R_{ff}(\tau )\triangleq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t){\overline {f(t-\tau )}}\,dt}$$

ต่อไปนี้ เราจะอธิบายคุณสมบัติของความสัมพันธ์อัตโนมัติแบบหนึ่งมิติเท่านั้น เนื่องจากคุณสมบัติส่วนใหญ่สามารถถ่ายโอนจากกรณีหนึ่งมิติไปยังกรณีหลายมิติได้อย่างง่ายดาย คุณสมบัติเหล่านี้ใช้ได้กับ กระบวนการ สถิตในความหมายกว้าง^{[ 5 ]}

• คุณสมบัติพื้นฐานอย่างหนึ่งของการหาค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติคือสมมาตรซึ่งพิสูจน์ได้ง่ายจากนิยาม ในกรณีต่อเนื่อง ${\displaystyle R_{ff}(\tau )=R_{ff}(-\tau )}$
  • ค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติเป็นฟังก์ชันคู่ เมื่อเป็นฟังก์ชันจริง และ${\displaystyle R_{ff}(-\tau )=R_{ff}(\tau )}$${\displaystyle f}$
  • ค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติเป็นฟังก์ชันเฮอร์มิเชียน เมื่อเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อน${\displaystyle R_{ff}(-\tau )=R_{ff}^{*}(\tau )}$${\displaystyle f}$
• ฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติแบบต่อเนื่องจะถึงจุดสูงสุดที่จุดกำเนิด ซึ่งมีค่าจริง กล่าวคือ สำหรับความล่าช้าใดๆ ก็ตาม[ 1 ^{] : 410นี่} เป็นผลสืบเนื่องมาจากความไม่เท่าเทียมกันของการจัดเรียงใหม่ผลลัพธ์เดียวกันนี้ยังคงใช้ได้ในกรณีแบบไม่ต่อเนื่อง${\displaystyle \tau }$${\displaystyle |R_{ff}(\tau )|\leq R_{ff}(0)}$
• ค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติของฟังก์ชันคาบนั้นเองก็เป็นฟังก์ชันคาบเช่นกัน โดยมีคาบเดียวกัน
• ค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติของผลรวมของฟังก์ชันสองฟังก์ชันที่ไม่เกี่ยวข้องกันโดยสมบูรณ์ (ค่าสหสัมพันธ์ไขว้เป็นศูนย์สำหรับทุกค่า) คือผลรวมของค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติของแต่ละฟังก์ชันแยกกัน${\displaystyle \tau }$
• เนื่องจากการหาค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติ (autocorrelation) เป็นประเภทเฉพาะของการหาค่าสหสัมพันธ์ไขว้ (cross -correlation) จึงยังคงคุณสมบัติทั้งหมดของการหาค่าสหสัมพันธ์ไขว้เอาไว้
• โดยใช้สัญลักษณ์แทนการสังเคราะห์และเป็นฟังก์ชันที่จัดการฟังก์ชันและถูกกำหนดเป็น ดังนั้นนิยามของอาจเขียนได้ดังนี้:${\displaystyle *}$${\displaystyle g_{-1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g_{-1}(f)(t)=f(-t)}$${\displaystyle R_{ff}(\tau )}$$${\displaystyle R_{ff}(\tau )=(f*g_{-1}({\overline {f}}))(\tau )}$$

การหาค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติ แบบหลายมิติมีนิยามที่คล้ายคลึงกัน ตัวอย่างเช่น ในสามมิติ ค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณแบบไม่ ต่อเนื่องที่สามารถหาผลรวมกำลังสองได้ จะเป็นดังนี้

$${\displaystyle R(j,k,\ell )=\sum _{n,q,r}x_{n,q,r}\,{\overline {x}}_{n-j,q-k,r-\ell }.}$$

เมื่อนำค่าเฉลี่ยมาลบออกจากสัญญาณก่อนคำนวณฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติ ฟังก์ชันที่ได้มักเรียกว่าฟังก์ชันความแปรปรวนร่วมอัตโนมัติ

สำหรับข้อมูลที่แสดงเป็น ลำดับแบบ ไม่ต่อเนื่องมักจำเป็นต้องคำนวณค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติด้วยประสิทธิภาพการคำนวณ สูง สามารถใช้วิธีการแบบใช้กำลังทั้งหมด โดย อิงตามนิยามของการประมวลผลสัญญาณ ได้เมื่อขนาดของสัญญาณมีขนาดเล็ก ตัวอย่างเช่น ในการคำนวณค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติของลำดับสัญญาณจริง (เช่นและ สำหรับค่า iอื่นๆ ทั้งหมด) ด้วยมือ เราต้องตระหนักก่อนว่านิยามที่กล่าวมาข้างต้นนั้นเหมือนกับการคูณแบบ "ปกติ" แต่มีการเลื่อนไปทางขวา โดยการบวกในแนวตั้งแต่ละครั้งจะให้ค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติสำหรับค่าความล่าช้าเฉพาะ: ${\textstyle R_{xx}(j)=\sum _{n}x_{n}\,{\overline {x}}_{n-j}}$${\displaystyle x=(2,3,-1)}$${\displaystyle x_{0}=2,x_{1}=3,x_{2}=-1}$${\displaystyle x_{i}=0}$$${\displaystyle {\begin{array}{rrrrrr}&2&3&-1\\\times &2&3&-1\\\hline &-2&-3&1\\&&6&9&-3\\+&&&4&6&-2\\\hline &-2&3&14&3&-2\end{array}}}$$

ดังนั้นลำดับออโตคอร์เรเลชันที่ต้องการคือโดยที่และออโตคอร์เรเลชันสำหรับค่าความล่าช้าอื่นๆ เป็นศูนย์ ในการคำนวณนี้ เราไม่ได้ทำการทดเลขระหว่างการบวกเหมือนที่ทำกันทั่วไปในการคูณ โปรดทราบว่าเราสามารถลดจำนวนการดำเนินการที่จำเป็นลงครึ่งหนึ่งได้โดยใช้ประโยชน์จากสมมาตรโดยธรรมชาติของออโตคอร์เรเลชัน หากสัญญาณเป็นคาบ เช่นเราจะได้ออโตคอร์เรเลชันแบบวงกลม (คล้ายกับการสังเคราะห์แบบวงกลม ) โดยที่ส่วนหางด้านซ้ายและด้านขวาของลำดับออโตคอร์เรเลชันก่อนหน้านี้จะทับซ้อนกันและให้ซึ่งมีคาบเดียวกับลำดับสัญญาณกระบวนการนี้สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นการประยุกต์ใช้คุณสมบัติการสังเคราะห์ของZ-transformของสัญญาณแบบไม่ต่อเนื่อง ${\displaystyle R_{xx}=(-2,3,14,3,-2)}$${\displaystyle R_{xx}(0)=14,}$${\displaystyle R_{xx}(-1)=R_{xx}(1)=3,}$${\displaystyle R_{xx}(-2)=R_{xx}(2)=-2,}$${\displaystyle x=(\ldots ,2,3,-1,2,3,-1,\ldots ),}$${\displaystyle R_{xx}=(\ldots ,14,1,1,14,1,1,\ldots )}$${\displaystyle x.}$

ในขณะที่อัลกอริทึมแบบใช้กำลังทั้งหมดมีลำดับn² ^แต่ก็มีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพหลายอย่างที่สามารถคำนวณค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติได้ในลำดับn log( n )ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบท Wiener–Khinchinอนุญาตให้คำนวณค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติจากข้อมูลดิบX ( t )ด้วยการแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว (FFT) สองครั้ง: ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{R}(f)&=\operatorname {FFT} [X(t)]\\S(f)&=F_{R}(f)F_{R}^{*}(f)\\R(\tau )&=\operatorname {IFFT} [S(f)]\end{aligned}}}$$

โดยที่ IFFT หมายถึงการแปลงฟูริเยร์ผกผันแบบเร็วเครื่องหมายดอกจันหมายถึง ค่าสั ง ยุคเชิงซ้อน

อีกทางเลือกหนึ่งคือ สามารถทำการหาความสัมพันธ์แบบหลายτ ได้โดยใช้การคำนวณแบบ brute force สำหรับค่า τ ต่ำ จากนั้นค่อยๆ จัดกลุ่ม ข้อมูล X ( t )ด้วย ความหนาแน่น แบบลอการิทึมเพื่อคำนวณค่าที่สูงขึ้น ส่งผลให้ได้ ประสิทธิภาพ n log( n ) เท่ากัน แต่ใช้หน่วยความจำน้อยลง^{[ 7 ] [ 8 ]}

สำหรับ กระบวนการ แบบไม่ต่อเนื่องที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนที่ทราบแล้ว ซึ่งเราสังเกตค่าสังเกตการณ์ต่างๆ ค่าประมาณของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์อัตโนมัติสามารถหาได้ดังนี้ ${\displaystyle n}$${\displaystyle \{X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{n}\}}$

$${\displaystyle {\hat {R}}(k)={\frac {1}{(n-k)\sigma ^{2}}}\sum _{t=1}^{n-k}(X_{t}-\mu )(X_{t+k}-\mu )}$$

สำหรับจำนวนเต็มบวกใดๆ เมื่อ ทราบค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน ที่แท้จริง การประมาณค่านี้จะ ไม่เอนเอียงหากไม่ทราบค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนที่ แท้จริง ของกระบวนการ จะมีหลายความเป็นไปได้: ${\displaystyle k<n}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

• หาก แทนที่ และด้วยสูตรมาตรฐานสำหรับค่าเฉลี่ยตัวอย่างและความแปรปรวนตัวอย่างแล้วค่าประมาณนี้จะไม่ถูกต้อง${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma ^{2}}$
• การประมาณค่าตาม พีริโอโดแกรมจะแทนที่ในสูตรข้างต้นด้วยการประมาณค่านี้มักจะเอนเอียง อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปจะมีค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ย ที่น้อยกว่า ^{[ 9 ] [ 10 ]}${\displaystyle n-k}$${\displaystyle n}$
• ความเป็นไปได้อื่นๆ มาจากการประมวลผลข้อมูลทั้งสองส่วน แยกกัน และคำนวณค่าเฉลี่ยตัวอย่างและ/หรือค่าความแปรปรวนตัวอย่างแยกกัน เพื่อใช้ในการกำหนดค่าประมาณ${\displaystyle \{X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{n-k}\}}$${\displaystyle \{X_{k+1},\,X_{k+2},\,\ldots ,\,X_{n}\}}$

ข้อดีของการประมาณค่าประเภทสุดท้ายคือ ชุดของค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติที่ประมาณได้ ซึ่งเป็นฟังก์ชันของจะสร้างฟังก์ชันที่เป็นสหสัมพันธ์อัตโนมัติที่ถูกต้องในแง่ที่ว่าสามารถกำหนดกระบวนการทางทฤษฎีที่มีสหสัมพันธ์อัตโนมัติดังกล่าวได้ การประมาณค่าอื่นๆ อาจประสบปัญหาที่ว่า หากนำไปใช้ในการคำนวณความแปรปรวนของผลรวมเชิงเส้นของ's ความแปรปรวนที่คำนวณได้อาจเป็นค่าลบ^{[ 11 ]}${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$

ในการวิเคราะห์อนุกรมเวลาทฤษฎีบท Hassani −1/2เป็นเอกลักษณ์ตัวอย่างจำกัดที่เกี่ยวข้องกับตัวประมาณแบบดั้งเดิมของฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติของตัวอย่าง (ACF) สำหรับอนุกรมเวลาที่มีความยาวโดยใช้ตัวประมาณที่แก้ไขค่าเฉลี่ยตัวอย่างตามปกติHassani แสดงให้เห็นว่าผลรวมของสหสัมพันธ์อัตโนมัติของตัวอย่างเหนือค่าความล่าช้าที่เป็นบวกทั้งหมดมีค่าคงที่: ^{[ 12 ]}${\displaystyle T\geq 2}$${\displaystyle {\hat {\rho }}(h)}$

$${\displaystyle \sum _{h=1}^{T-1}{\hat {\rho }}(h)=-{\tfrac {1}{2}}.}$$

เอกลักษณ์ดังกล่าวเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าค่าความแปรปรวนร่วมอัตโนมัติของตัวอย่างคำนวณได้หลังจากลบค่าเฉลี่ยของตัวอย่างแล้ว ดังนั้น ผลรวมของค่าสังเกตที่ปรับให้มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์จึงเป็นศูนย์ ซึ่งเป็นการกำหนดข้อจำกัดทางพีชคณิตให้กับชุดค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติของตัวอย่างทั้งหมด ทฤษฎีบทนี้จึงเป็นคุณสมบัติของตัวประมาณค่าและตัวอย่างที่มีขนาดจำกัด มากกว่าจะเป็นคุณสมบัติของกระบวนการสุ่มพื้นฐาน

ผลลัพธ์บ่งชี้ว่าค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติของตัวอย่างข้ามช่วงเวลาไม่เป็นอิสระต่อกัน นอกจากนี้ยังแสดงให้เห็นว่าค่า ACF ของตัวอย่างไม่สามารถเป็นบวกโดยรวมได้เมื่อรวมกันในช่วงเวลาที่เป็นบวกทั้งหมด ซึ่งนำไปสู่ข้อควรระวังในการตีความผลรวมของค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติที่ประมาณการไว้ว่าเป็นมาตรวัดโดยตรงของการพึ่งพาโดยรวม ความคงทน หรือพฤติกรรมความจำระยะยาว เนื่องจากผลรวมของช่วงเวลาทั้งหมดจะคงที่โดยไม่คำนึงถึงอนุกรมเวลาคงที่พื้นฐาน^{[ 12 ] [ 13 ]}${\displaystyle -1/2}$

ทฤษฎีบทนี้ได้รับการกล่าวถึงในส่วนที่เกี่ยวข้องกับการตรวจสอบการวินิจฉัยและการเลือกแบบจำลองในการวิเคราะห์อนุกรมเวลา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง งานในภายหลังได้ตรวจสอบผลกระทบของทฤษฎีบทนี้ต่อการทดสอบที่อิงตามความสัมพันธ์อัตโนมัติของตัวอย่าง รวมถึงสถิติ Ljung–Box และสำหรับการตีความรูปแบบ ACF เชิงประจักษ์ในกระบวนการหน่วยความจำระยะสั้นและระยะยาว^{[ 14 ] [ 15 ]}เอกลักษณ์นี้ยังถูกใช้เพื่อเน้นความแตกต่างระหว่างความสัมพันธ์อัตโนมัติเชิงทฤษฎีของกระบวนการและความสัมพันธ์อัตโนมัติเชิงประจักษ์ที่ประมาณจากตัวอย่างจำกัด^{[ 16 ]}

ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้กับตัวประมาณค่า ACF ที่แก้ไขค่าเฉลี่ยตัวอย่างมาตรฐาน ไม่ควรสับสนกับข้อความเกี่ยวกับผลรวมของฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติเชิงทฤษฎีของกระบวนการพื้นฐาน ซึ่งอาจแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับแบบจำลองและพารามิเตอร์^{[ 13 ]}

ในการวิเคราะห์การถดถอยโดยใช้ข้อมูลอนุกรมเวลาความสัมพันธ์อัตโนมัติในตัวแปรที่สนใจมักจะถูกจำลองด้วยแบบจำลองอัตถารีเกรสซีฟ (AR) แบบจำลองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ (MA) การรวมกันของทั้งสองแบบจำลองเป็นแบบจำลองอัตถารีเกรสซีฟ-ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ (ARMA) หรือส่วนขยายของแบบจำลองหลังที่เรียกว่าแบบจำลองอัตถารีเกรสซีฟ-ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่แบบบูรณาการ (ARIMA) สำหรับอนุกรมข้อมูลที่มีความสัมพันธ์กันหลายชุด จะใช้แบบจำลองเวกเตอร์อัตถารีเกรสซีฟ (VAR) หรือส่วนขยายของ VAR

ใน การ วิเคราะห์ถดถอยกำลังสองน้อยที่สุดแบบธรรมดา (OLS) ความเหมาะสมของแบบจำลองสามารถตรวจสอบได้บางส่วนโดยการตรวจสอบว่ามีการความสัมพันธ์อัตโนมัติของค่าความคลาดเคลื่อนของการถดถอยหรือไม่ ความสัมพันธ์อัตโนมัติที่เป็นปัญหาของค่าความคลาดเคลื่อน ซึ่งไม่สามารถสังเกตได้นั้น โดยทั่วไปสามารถตรวจพบได้เนื่องจากทำให้เกิดความสัมพันธ์อัตโนมัติในค่าความคลาดเคลื่อนที่สังเกตได้ (ค่าความคลาดเคลื่อนยังเป็นที่รู้จักในชื่อ "พจน์ความคลาดเคลื่อน" ในเศรษฐศาสตร์ ) ความสัมพันธ์อัตโนมัติของค่าความคลาดเคลื่อนขัดแย้งกับข้อสมมติฐานของการวิเคราะห์ถดถอยกำลังสองน้อยที่สุดแบบธรรมดาที่ว่าพจน์ความคลาดเคลื่อนไม่มีความสัมพันธ์กัน ซึ่งหมายความว่าทฤษฎีบท Gauss-Markovไม่สามารถนำมาใช้ได้ และตัวประมาณค่า OLS จะไม่ใช่ตัวประมาณค่าเชิงเส้นที่ดีที่สุดที่ไม่เอนเอียง ( BLUE ) อีกต่อไป แม้ว่าจะไม่ทำให้ค่าประมาณสัมประสิทธิ์ OLS เอนเอียง แต่ค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานมักจะถูกประเมินต่ำเกินไป (และค่า t-scoreจะถูกประเมินสูงเกินไป) เมื่อความสัมพันธ์อัตโนมัติของค่าความคลาดเคลื่อนที่ช่วงเวลาต่ำเป็นบวก

การทดสอบแบบดั้งเดิมสำหรับการมีอยู่ของความสัมพันธ์อัตโนมัติลำดับแรกคือสถิติ Durbin–Watsonหรือหากตัวแปรอธิบายรวมถึงตัวแปรตามที่ล่าช้าสถิติ h ของ Durbin สถิติ Durbin-Watson สามารถแมปเชิงเส้นไปยังความสัมพันธ์ Pearson ระหว่างค่าและค่าที่ล่าช้าได้^{[ 17 ]} การทดสอบที่ยืดหยุ่นกว่า ครอบคลุมความสัมพันธ์อัตโนมัติลำดับสูงกว่า และใช้ได้ไม่ว่าตัวแปรอิสระจะรวมถึงค่าที่ล่าช้าของตัวแปรตามหรือไม่ก็ตาม คือการทดสอบ Breusch–Godfreyซึ่งเกี่ยวข้องกับการถดถอยเสริม โดยที่ค่าตกค้างที่ได้จากการประมาณแบบจำลองที่สนใจจะถูกถดถอยกับ (ก) ตัวแปรอิสระดั้งเดิม และ (ข) ค่าที่ล่าช้า k ค่าของค่าตกค้าง โดยที่ 'k' คือลำดับของการทดสอบ สถิติการทดสอบเวอร์ชันที่ง่ายที่สุดจากการถดถอยเสริมนี้คือTR ²โดยที่Tคือขนาดตัวอย่าง และR ²คือสัมประสิทธิ์การกำหนด ภายใต้สมมติฐานว่างที่ว่าไม่มีความสัมพันธ์อัตโนมัติ สถิตินี้จะมีการกระจายตัวแบบเชิงเส้นกำกับดังนี้ โดย${\displaystyle \chi ^{2}}$มีkองศาอิสระ

การตอบสนองต่อค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติที่ไม่เป็นศูนย์ ได้แก่กำลังสองน้อยที่สุดทั่วไปและตัวประมาณค่า HAC ของ Newey–West (Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent) ^{[ 18 ]}

ในการประมาณค่าแบบจำลองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ (MA) ฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติจะถูกใช้เพื่อกำหนดจำนวนพจน์ความคลาดเคลื่อนที่ล่าช้าที่เหมาะสมที่จะรวมไว้ โดยอิงจากข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับกระบวนการ MA อันดับq เราจะได้สำหรับและสำหรับ${\displaystyle R(\tau )\neq 0}$${\displaystyle \tau =0,1,\ldots ,q}$${\displaystyle R(\tau )=0}$${\displaystyle \tau >q}$

ความสามารถของการหาค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติในการค้นหารูปแบบที่ซ้ำกันในข้อมูลก่อให้เกิดการประยุกต์ใช้งานมากมาย รวมถึง:

• การวิเคราะห์ความสัมพันธ์อัตโนมัติถูกนำมาใช้อย่างมากในสเปกโทรสโกปีความสัมพันธ์ฟลูออเรสเซนซ์^{[ 19 ]}เพื่อให้ข้อมูลเชิงลึกเชิงปริมาณเกี่ยวกับการแพร่กระจายระดับโมเลกุลและปฏิกิริยาเคมี^{[ 20 ]}
• อีกหนึ่งการประยุกต์ใช้ของการหาค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติคือการวัดสเปกตรัมแสง และการวัด พัลส์แสง ที่ มีระยะเวลาสั้นมากซึ่งเกิดจากเลเซอร์โดยทั้งสองอย่างนี้ใช้เครื่องมือหาค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติทางแสง
• การหาค่าสหสัมพันธ์ อัตโนมัติ (Autocorrelation) ถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์ ข้อมูล การกระเจิงแสงแบบไดนามิกซึ่งช่วยให้สามารถกำหนดการกระจายขนาดอนุภาคของอนุภาคขนาดนาโนเมตรหรือไมเซลล์ที่แขวนลอยอยู่ในของเหลวได้ การฉายแสงเลเซอร์เข้าไปในส่วนผสมจะสร้างรูปแบบจุด (speckle pattern)ที่เกิดจากการเคลื่อนที่ของอนุภาค สามารถวิเคราะห์ค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติของสัญญาณในแง่ของการแพร่กระจายของอนุภาคได้ จากนั้น เมื่อทราบความหนืดของของเหลวแล้ว ก็สามารถคำนวณขนาดของอนุภาคได้
• ใช้ใน ระบบ GPSเพื่อแก้ไขความล่าช้าในการแพร่กระจายหรือการเลื่อนเวลา ระหว่างจุดเวลาที่ส่งสัญญาณพาหะที่ดาวเทียม และจุดเวลาที่ตัวรับสัญญาณบนพื้นดิน โดยตัวรับสัญญาณจะสร้างสัญญาณจำลองของรหัส C/A (Coarse/Acquisition) 1,023 บิต และสร้างบรรทัดของชิปโค้ด [-1,1] ในแพ็กเก็ตละสิบชิป หรือ 10,230 ชิป (1,023 × 10) โดยเลื่อนเล็กน้อยไปเรื่อยๆ เพื่อรองรับการเลื่อนดอปเปลอร์ในสัญญาณดาวเทียมขาเข้า จนกว่าสัญญาณจำลองของตัวรับสัญญาณและรหัสสัญญาณดาวเทียมจะตรงกัน^{[ 21 ]}
• ความเข้มของ การกระเจิงรังสีเอกซ์มุมเล็กของระบบโครงสร้างนาโนคือการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติเชิงพื้นที่ของความหนาแน่นอิเล็กตรอน
• ในวิทยาศาสตร์พื้นผิวและกล้องจุลทรรศน์แบบสแกนโพรบการหาความสัมพันธ์อัตโนมัติจะใช้เพื่อสร้างความเชื่อมโยงระหว่างสัณฐานวิทยาของพื้นผิวและลักษณะการทำงาน^{[ 22 ]}
• ในทางทัศนศาสตร์ ค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติและค่าสหสัมพันธ์ไขว้ที่ปรับให้เป็นมาตรฐานจะให้ระดับความสอดคล้องของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า
• ในทางดาราศาสตร์การหาค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติสามารถใช้กำหนดความถี่ของพัลซาร์ได้
• ในดนตรีการหาความสัมพันธ์อัตโนมัติ (เมื่อนำไปใช้ในช่วงเวลาที่เล็กกว่าหนึ่งวินาที) จะถูกใช้เป็นอัลกอริธึมการตรวจจับระดับเสียงสำหรับทั้งเครื่องตั้งเสียงเครื่องดนตรีและ "Auto Tune" (ใช้เป็น เอฟเฟกต์ การบิดเบือนหรือเพื่อแก้ไขระดับเสียง) ^{[ 23 ]}เมื่อนำไปใช้ในช่วงเวลาที่ใหญ่กว่าหนึ่งวินาที การหาความสัมพันธ์อัตโนมัติสามารถระบุจังหวะดนตรีได้เช่น เพื่อกำหนดจังหวะ
• การหาความสัมพันธ์อัตโนมัติในเชิงพื้นที่แทนที่จะเป็นเชิงเวลา ผ่านฟังก์ชันแพตเตอร์สัน ถูกนำมาใช้โดยนักวิทยาศาสตร์ที่ศึกษาการเลี้ยวเบนของรังสีเอกซ์ เพื่อช่วยกู้คืน "ข้อมูลเฟสฟูริเยร์" เกี่ยวกับตำแหน่งของอะตอม ซึ่งไม่สามารถหาได้จากการเลี้ยวเบนเพียงอย่างเดียว
• ในทางสถิติ ความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ระหว่างตำแหน่งตัวอย่างยังช่วยในการประมาณค่าความไม่แน่นอนของค่าเฉลี่ยเมื่อทำการสุ่มตัวอย่างประชากรที่มีความหลากหลาย
• อั ลกอริทึม SEQUESTสำหรับการวิเคราะห์สเปกตรัมมวลใช้การหาความสัมพันธ์อัตโนมัติร่วมกับการหาความสัมพันธ์ไขว้เพื่อประเมินความคล้ายคลึงกันของสเปกตรัมที่สังเกตได้กับสเปกตรัมในอุดมคติที่แสดงถึงเปปไทด์
• ในสาขาฟิสิกส์ดาราศาสตร์การหาความสัมพันธ์อัตโนมัติ (Autocorrelation) ถูกนำมาใช้ในการศึกษาและระบุลักษณะการกระจายตัวเชิงพื้นที่ของกาแล็กซีในเอกภพ และในการสังเกตการณ์ ระบบดาว คู่รังสีเอ็กซ์มวล ต่ำในหลายช่วง คลื่น
• ในข้อมูลแบบพาเนลความสัมพันธ์เชิงพื้นที่หมายถึงความสัมพันธ์ของตัวแปรหนึ่งกับตัวมันเองในเชิงพื้นที่
• ในการวิเคราะห์ ข้อมูล Markov chain Monte Carloต้องคำนึงถึงค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติ (autocorrelation) เพื่อให้สามารถกำหนดค่าความคลาดเคลื่อนได้อย่างถูกต้อง
• ในสาขาธรณีวิทยา (โดยเฉพาะธรณีฟิสิกส์ ) สามารถนำมาใช้คำนวณค่าความสัมพันธ์อัตโนมัติ ของ คุณลักษณะแผ่นดินไหวจากการสำรวจแผ่นดินไหวแบบ 3 มิติใต้ดินได้
• ใน การถ่ายภาพ อัลตราซาวนด์ทางการแพทย์จะใช้การหาค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติ (autocorrelation) เพื่อแสดงภาพการไหลเวียนของเลือด
• ในการเลือกพอร์ตโฟลิโอข้ามช่วงเวลา การมีอยู่หรือไม่มีอยู่ของความสัมพันธ์อัตโนมัติใน อัตราผลตอบแทนของสินทรัพย์สามารถส่งผลต่อสัดส่วนที่เหมาะสมที่สุดของพอร์ตโฟลิโอที่จะถือครองในสินทรัพย์นั้นได้
• ในรีเลย์เชิงตัวเลขมีการใช้การหาค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติเพื่อวัดความถี่ของระบบไฟฟ้าได้อย่างแม่นยำ^{[ 24 ]}

ความสัมพันธ์แบบอนุกรมมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับแนวคิดเรื่องความสัมพันธ์อัตโนมัติ แต่เป็นแนวคิดที่แตกต่างกัน (ดูความสัมพันธ์และความสัมพันธ์แบบอนุกรม ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เป็นไปได้ที่จะมีความสัมพันธ์แบบอนุกรมแต่ไม่มีความสัมพันธ์ (เชิงเส้น) อย่างไรก็ตาม ในบางสาขา คำทั้งสองนี้ถูกใช้เป็นคำพ้องความหมาย

อนุกรม เวลาของตัวแปรสุ่มจะมีความสัมพันธ์แบบอนุกรม หากค่า ณ เวลาใดเวลาหนึ่งในอนุกรมมีความสัมพันธ์ทางสถิติกับค่า ณ เวลาอื่น ส่วนอนุกรมจะไม่มีความเกี่ยวข้องกันแบบอนุกรม หากไม่มีความสัมพันธ์ใดๆ ระหว่างคู่ค่าใดๆ เลย ${\displaystyle t}$${\displaystyle s}$

หากอนุกรมเวลาเป็นแบบคงที่ความสัมพันธ์ทางสถิติระหว่างคู่ค่าจะหมายความว่ามีความสัมพันธ์ทางสถิติระหว่างคู่ค่าทั้งหมดที่ช่วงเวลาเดียวกัน ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$${\displaystyle (X_{t},X_{s})}$${\displaystyle \tau =s-t}$

• Kmenta, Jan (1986). องค์ประกอบของเศรษฐศาสตร์เชิงปริมาณ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก: Macmillan. หน้า  298–334 . ISBN 978-0-02-365070-3.
• Marno Verbeek (10 สิงหาคม 2017). คู่มือเศรษฐศาสตร์เชิงปริมาณสมัยใหม่ . Wiley. ISBN 978-1-119-40110-0.
• Soltanalian, Mojtaba; Stoica, Petre (2012). "การออกแบบเชิงคำนวณของลำดับที่มีคุณสมบัติความสัมพันธ์ที่ดี" IEEE Transactions on Signal Processing . 60 (5): 2180. Bibcode : 2012ITSP...60.2180S . doi : 10.1109/TSP.2012.2186134 .
• โซโลมอน ดับเบิลยู. โกลอมบ์ และกวง กง . การออกแบบสัญญาณเพื่อความสัมพันธ์ที่ดี: สำหรับการสื่อสารไร้สาย การเข้ารหัส และเรดาร์ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2005.
• Klapetek, Petr (2018). การประมวลผลข้อมูลเชิงปริมาณในกล้องจุลทรรศน์แบบสแกนโพรบ: การประยุกต์ใช้ SPM สำหรับนาโนเมตรี (ฉบับที่สอง). Elsevier. หน้า 108–112 ISBN 9780128133477.

• Hassani, Hossein (2009). ผลรวมของฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติของตัวอย่าง ตัวดำเนินการสุ่มและสมการสุ่ม 17 (2): หน้า 125–130. doi : 10.1515/ROSE.2009.008 .

• Hassani, Hossein (2010). หมายเหตุเกี่ยวกับผลรวมของฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติของตัวอย่าง]. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 389 (8): หน้า 1601–1606. doi : 10.1016/j.physa.2009.12.050 .

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "การหาค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติ" . MathWorld .