ในทางคณิตศาสตร์การแกว่งของฟังก์ชันหรือลำดับคือตัวเลขที่วัดว่าลำดับหรือฟังก์ชันนั้นเปลี่ยนแปลงไปมากน้อยเพียงใดระหว่างค่าสุดขั้วเมื่อเข้าใกล้ค่าอนันต์หรือจุดใดจุดหนึ่ง เช่นเดียวกับลิมิตมีคำจำกัดความหลายอย่างที่นำแนวคิดเชิงสัญชาตญาณมาอยู่ในรูปแบบที่เหมาะสมสำหรับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ได้แก่ การแกว่งของลำดับจำนวนจริงการแกว่งของฟังก์ชันค่าจริงณ จุดใดจุดหนึ่ง และการแกว่งของฟังก์ชันบนช่วง (หรือเซตเปิด )

ให้เป็นลำดับของจำนวนจริง การแกว่งของลำดับนั้นถูกนิยามว่าเป็นผลต่าง (อาจเป็นอนันต์) ระหว่างลิมิตบนและลิมิตล่างของ: ${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle \omega (a_{n})}$${\displaystyle (a_{n})}$

${\displaystyle \omega (a_{n})=\limsup _{n\to \infty }a_{n}-\liminf _{n\to \infty }a_{n}}$.

การแกว่งจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อลำดับลู่เข้าเท่านั้น จะไม่นิยามหากและมีค่าเท่ากับ +∞ หรือมีค่าเท่ากับ −∞ ทั้งคู่ กล่าวคือ หากลำดับมีแนวโน้มเข้าสู่ +∞ หรือ −∞ ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }}$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }}$

ให้เป็นฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรจริงการแกว่งของบนช่วงในโดเมนของมันคือผลต่างระหว่างค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของ: ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle I}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \omega _{f}(I)=\sup _{x\in I}f(x)-\inf _{x\in I}f(x).}$

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเป็นฟังก์ชันบนปริภูมิเชิงทอพอโลยี (เช่นปริภูมิเมตริก ) แล้ว การแกว่งของบนเซตเปิดคือ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle \omega _{f}(U)=\sup _{x\in U}f(x)-\inf _{x\in U}f(x).}$

การแกว่งของฟังก์ชันของตัวแปรจริง ณ จุดหนึ่งถูกกำหนดให้เป็นลิมิตเมื่อเข้าใกล้จุดนั้นของการแกว่งของฟังก์ชันนั้นบนบริเวณใกล้เคียงของจุดนั้น: ${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \epsilon \ถึง 0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle \omega _{f}(x_{0})=\lim _{\epsilon \to 0}\omega _{f}(x_{0}-\epsilon ,x_{0}+\epsilon ).}$

นี่เหมือนกับความแตกต่างระหว่างลิมิตบนและลิมิตล่างของฟังก์ชันที่ จุดนั้น โดยที่จุดนั้นไม่ได้ถูกยกเว้นจากลิมิต ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเป็นฟังก์ชันค่าจริงบนปริภูมิเมตริกการแกว่งจะเป็น ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \omega _{f}(x_{0})=\lim _{\epsilon \to 0}\omega _{f}(B_{\epsilon }(x_{0})).}$

• ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$มีการแกว่ง ∞ ที่= 0 และมีการแกว่ง 0 ที่ค่าจำกัดอื่นๆรวมถึงที่ −∞ และ +∞ ด้วย${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \sin {\frac {1}{x}}}$( เส้นโค้งไซน์ของนักทอพอโลยี ) มีการแกว่ง 2 ที่= 0 และเป็น 0 ที่อื่น ๆ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \sin x}$มีการแกว่งเป็น 0 ที่ทุกค่าจำกัดและเป็น 2 ที่ −∞ และ +∞${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle (-1)^{x}}$หรือ 1, −1, 1, −1, 1, −1... มีการแกว่ง 2.

ในตัวอย่างสุดท้าย ลำดับนั้นเป็นลำดับคาบและลำดับใดๆ ที่เป็นคาบแต่ไม่คงที่ จะมีการแกว่งที่ไม่เป็นศูนย์ อย่างไรก็ตาม การแกว่งที่ไม่เป็นศูนย์มักไม่ได้บ่งชี้ถึงความเป็นคาบเสมอไป

ในทางเรขาคณิต กราฟของฟังก์ชันที่แกว่งไปมาบนจำนวนจริงจะเคลื่อนที่ไปตามเส้นทางบางเส้นทางใน ระนาบ xyโดยไม่หยุดนิ่งอยู่ในบริเวณที่เล็กลงเรื่อยๆ ใน กรณี ที่ดีเส้นทางอาจดูเหมือนวงวนที่กลับมายังจุดเริ่มต้น นั่นคือ พฤติกรรมเป็นคาบ ในกรณีที่แย่ที่สุด อาจเป็นการเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอครอบคลุมพื้นที่ทั้งหมด

การแกว่งสามารถใช้เพื่อกำหนดความต่อเนื่องของฟังก์ชันได้และเทียบเท่ากับ คำจำกัดความ ε - δ ทั่วไปได้อย่างง่ายดาย (ในกรณีของฟังก์ชันที่กำหนดทุกที่บนเส้นจำนวนจริง): ฟังก์ชัน ƒ จะต่อเนื่องที่จุดx ₀ก็ต่อเมื่อการแกว่งเป็นศูนย์^{[ 1 ]}ในสัญลักษณ์ข้อดีของคำจำกัดความนี้คือมันระบุปริมาณความไม่ต่อเนื่อง: การแกว่งจะบอกว่าฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง มากน้อย เพียงใดที่จุดหนึ่ง${\displaystyle \omega _{f}(x_{0})=0.}$

ตัวอย่างเช่น ในการจำแนกประเภทของความไม่ต่อเนื่อง :

• ในกรณีที่มีความไม่ต่อเนื่องที่สามารถขจัดออกได้ระยะทางที่ค่าของฟังก์ชันเบี่ยงเบนไปเรียกว่าการแกว่ง
• ในการเกิดจุดไม่ต่อเนื่องแบบกระโดดขนาดของการกระโดดคือการแกว่ง (โดยสมมติว่าค่าณจุดนั้นอยู่ระหว่างขีดจำกัดจากทั้งสองด้าน)
• ในความไม่ต่อเนื่องที่สำคัญการแกว่งจะวัดความล้มเหลวของการมีอยู่ของขีดจำกัด

คำจำกัดความนี้มีประโยชน์ในทฤษฎีเซตเชิงพรรณนาเพื่อศึกษาเซตของจุดไม่ต่อเนื่องและจุดต่อเนื่อง – จุดต่อเนื่องคือจุดตัดของเซตที่การแกว่งน้อยกว่าε (ดังนั้นจึงเป็นเซตG _δ ) – และให้การพิสูจน์อย่างรวดเร็วของทิศทางหนึ่งของเงื่อนไขความสามารถในการบูรณาการของเลเบส^{[ 2 ]}

การแกว่งนั้นเทียบเท่ากับ นิยาม ε - δโดยการจัดเรียงใหม่แบบง่ายๆ และโดยการใช้ลิมิต ( lim sup , lim inf ) เพื่อกำหนดการแกว่ง: ถ้า (ที่จุดที่กำหนด) สำหรับε ₀ ที่กำหนด ไม่มีδใดที่สอดคล้องกับ นิยาม ε - δแล้ว การแกว่งจะมีค่าอย่างน้อยε ₀และในทางกลับกัน ถ้าสำหรับทุกεมีδ ที่ต้องการ การแกว่งจะเป็น 0 นิยามของการแกว่งสามารถขยายไปสู่แผนที่จากปริภูมิเชิงทอพอโลยีไปยังปริภูมิเชิงเมตริกได้อย่างเป็นธรรมชาติ

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าf  : X → Yเป็นฟังก์ชันจากปริภูมิเชิงทอพอโลยีXไปยังปริภูมิเชิงเมตริกYแล้วการแกว่งของfจะถูกกำหนดที่แต่ละx ∈ Xโดย

${\displaystyle \omega (x)=\inf \left\{\mathrm {diam} (f(U))\mid U\mathrm {\ is\ a\ neighborhood\ of\ } x\right\}}$

• สมการคลื่น
• ซองคลื่น
• ซีรีส์ของแกรนดี
• การแกว่งเฉลี่ยที่มีขอบเขต