ใน สาขา การวิเคราะห์ระบบรวมถึงสาขาอื่นๆระบบเชิงเส้นคงที่ตามเวลา ( LTI ) คือระบบที่สร้างสัญญาณเอาต์พุตจากสัญญาณอินพุตใดๆ ภายใต้ข้อจำกัดของความเป็นเชิงเส้นและความไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาซึ่งคำศัพท์เหล่านี้จะถูกนิยามโดยย่อในภาพรวมด้านล่าง คุณสมบัติเหล่านี้ใช้ได้ (อย่างแม่นยำหรือโดยประมาณ) กับระบบทางกายภาพที่สำคัญหลายระบบ ในกรณีดังกล่าว การตอบสนองy ( t )ของระบบต่ออินพุตx ( t ) ใดๆ สามารถหาได้โดยตรงโดยใช้การสังเคราะห์ (convolution ) : y ( t ) = ( x * h )( t )โดยที่h ( t )เรียกว่าการตอบสนองแบบอิมพัลส์ ของระบบ และ * แทนการสังเคราะห์ (ไม่ควรสับสนกับการคูณ) ยิ่งไปกว่านั้น ยังมีวิธีการที่เป็นระบบสำหรับการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว (การหาh ( t ) ) ในขณะที่ระบบที่ไม่ตรงตามคุณสมบัติทั้งสองโดยทั่วไปจะยากกว่า (หรือเป็นไปไม่ได้) ที่จะแก้ปัญหาด้วยวิธีวิเคราะห์ ตัวอย่างที่ดีของระบบ LTI คือวงจรไฟฟ้า ใดๆ ที่ประกอบด้วยตัวต้านทาน ตัว เก็บประจุตัวเหนี่ยวนำและ ตัวขยายสัญญาณ เชิงเส้น^{[ 2 ]}

ทฤษฎีระบบเชิงเส้นคงที่ตามเวลา (LTI) ยังถูกนำมาใช้ในการประมวลผลภาพซึ่งระบบเหล่านี้มีมิติเชิงพื้นที่แทนที่จะเป็นมิติเชิงเวลา หรือเพิ่มเติมจากมิติเชิงเวลา ระบบเหล่านี้อาจเรียกว่าระบบเชิงเส้นคงที่ เมื่อมีการเลื่อน (LTI) เพื่อให้คำศัพท์มีความครอบคลุมมากที่สุด ในกรณีของระบบเวลาไม่ต่อเนื่อง ทั่วไป (เช่น ระบบ ที่สุ่มตัวอย่าง ) คำว่าระบบเชิง เส้นคงที่เมื่อมีการเลื่อน (LTI) คือคำที่เหมาะสมกว่า ทฤษฎีระบบ LTI เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ประยุกต์ที่มีการประยุกต์ใช้โดยตรงใน การวิเคราะห์ และออกแบบวงจรไฟฟ้าการประมวลผลสัญญาณและการออกแบบตัวกรอง ทฤษฎีการควบคุมวิศวกรรมเครื่องกลการประมวลผลภาพการออกแบบเครื่องมือวัดหลายประเภทสเปกโทรสโกปี NMRและสาขาทางเทคนิคอื่นๆ อีกมากมายที่ระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญปรากฏขึ้น

คุณสมบัติที่สำคัญของระบบ LTI ใดๆ คือความเป็นเชิงเส้นและ ความไม่เปลี่ยนแปลง ตาม เวลา

• ความเป็นเชิงเส้นหมายความว่าความสัมพันธ์ระหว่างอินพุตและเอาต์พุตซึ่งทั้งคู่ถือเป็นฟังก์ชัน เป็นการแมปเชิงเส้น: ถ้าเป็นค่าคงที่ เอาต์พุตของระบบไปยังคือ; ถ้าเป็นอินพุตเพิ่มเติมที่มีเอาต์พุตของระบบ คือ โดยที่เงื่อนไขนี้ใช้ได้กับทุกตัวเลือกของ, , เงื่อนไขหลังนี้มักเรียกว่าหลักการซ้อนทับ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle ax(t)}$${\displaystyle ay(t)}$${\displaystyle x'(t)}$${\displaystyle y'(t)}$${\displaystyle x(t)+x'(t)}$${\displaystyle y(t)+y'(t)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x'(t)}$
• ความไม่แปรผันตามเวลาหมายความว่าไม่ว่าเราจะป้อนอินพุตเข้าสู่ระบบในตอนนี้หรือ ในอีก Tวินาทีข้างหน้า เอาต์พุตจะเหมือนกันทุกประการ ยกเว้นความล่าช้าของเวลาTวินาที นั่นคือ ถ้าเอาต์พุตเนื่องจากอินพุตคือเอาต์พุตเนื่องจากอินพุตคือดังนั้น ระบบจึงไม่แปรผันตามเวลาเพราะเอาต์พุตไม่ขึ้นอยู่กับเวลาเฉพาะที่ป้อนอินพุต^{[ 3 ]}${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle x(tT)}$${\displaystyle y(tT)}$

จากคุณสมบัติเหล่านี้ จึงสรุปได้ว่าระบบ LTI สามารถอธิบายได้อย่างสมบูรณ์ด้วยฟังก์ชันเดียวที่เรียกว่าการตอบสนองแบบอิมพัลส์ ของระบบ เนื่องจากโดยการซ้อนทับ สัญญาณใดๆ ก็ตามสามารถแสดงได้เป็นการซ้อนทับของอิมพัลส์ ที่เลื่อนเวลา เอาต์พุตของระบบเป็นเพียงการสังเคราะห์ของอินพุตไปยังระบบกับการตอบสนองแบบอิมพัลส์ของระบบนี่เรียกว่า ระบบ เวลาต่อเนื่องในทำนองเดียวกัน ระบบเชิงเส้นไม่แปรผันตามเวลาแบบไม่ต่อเนื่อง (หรือโดยทั่วไปเรียกว่า "ไม่แปรผันตามการเลื่อน") ถูกกำหนดให้เป็นระบบที่ทำงานในเวลาไม่ต่อเนื่องโดย ที่y , xและhเป็นลำดับและการสังเคราะห์ในเวลาไม่ต่อเนื่องจะใช้ผลรวมแบบไม่ต่อเนื่องแทนที่จะเป็นปริพันธ์^{[ 4 ]}${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle h(t)}$${\displaystyle y_{i}=x_{i}*h_{i}}$

ระบบ LTI สามารถอธิบายลักษณะในโดเมนความถี่ ได้ด้วย ฟังก์ชันถ่ายโอนของระบบซึ่งสำหรับระบบเวลาต่อเนื่องหรือระบบเวลาไม่ต่อเนื่อง ฟังก์ชันถ่ายโอนคือการแปลงลาปลาสหรือการแปลง Zของการตอบสนองแบบอิมพัลส์ของระบบ ตามลำดับ เนื่องจากคุณสมบัติของการแปลงเหล่านี้ เอาต์พุตของระบบในโดเมนความถี่จึงเป็นผลคูณของฟังก์ชันถ่ายโอนและการแสดงผลในโดเมนความถี่ที่สอดคล้องกันของอินพุต กล่าวอีกนัยหนึ่ง การสังเคราะห์ในโดเมนเวลาเทียบเท่ากับการคูณในโดเมนความถี่

สำหรับระบบ LTI ทั้งหมดฟังก์ชันเฉพาะ (eigenfunctions ) และฟังก์ชันพื้นฐานของการแปลง (basis functions) จะเป็นเลขชี้กำลังเชิงซ้อน ดังนั้น หากอินพุตของระบบเป็นรูปคลื่นเชิงซ้อนที่มีแอมพลิจูดเชิงซ้อนและความถี่เชิงซ้อนเอาต์พุตจะเป็นค่าคงที่เชิงซ้อนคูณกับอินพุต เช่นสำหรับแอมพลิจูดเชิงซ้อนใหม่อัตราส่วนนี้คือฟังก์ชันถ่ายโอนที่ความถี่สัญญาณเอาต์พุตจะมีการเปลี่ยนแปลงเฟสและแอมพลิจูดแต่จะมีความถี่เท่าเดิมเสมอเมื่อถึงสภาวะสมดุล ระบบ LTI ไม่สามารถสร้างส่วนประกอบความถี่ที่ไม่มีอยู่ในอินพุตได้ ${\displaystyle A_{s}e^{st}}$${\displaystyle A_{s}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle B_{s}e^{st}}$${\displaystyle B_{s}}$${\displaystyle B_{s}/A_{s}}$${\displaystyle s}$

ทฤษฎีระบบ LTI เหมาะสำหรับการอธิบายระบบสำคัญหลายระบบ ระบบ LTI ส่วนใหญ่ถือว่าวิเคราะห์ได้ "ง่าย" อย่างน้อยก็เมื่อเทียบกับกรณีที่มีการเปลี่ยนแปลงตามเวลาและ/หรือแบบไม่เชิงเส้นระบบใดๆ ที่สามารถจำลองได้ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ เชิงเส้น ที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ ถือเป็นระบบ LTI ตัวอย่างของระบบดังกล่าว ได้แก่วงจรไฟฟ้าที่ประกอบด้วยตัวต้านทานตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุ ( วงจร RLC ) ระบบสปริง-มวล-แดมเปอร์ ในอุดมคติ ก็เป็นระบบ LTI เช่นกัน และมีความเทียบเท่าทางคณิตศาสตร์กับวงจร RLC

แนวคิดของระบบ LTI ส่วนใหญ่มีความคล้ายคลึงกันระหว่างกรณีเวลาต่อเนื่องและเวลาไม่ต่อเนื่อง ในการประมวลผลภาพ ตัวแปรเวลาจะถูกแทนที่ด้วยตัวแปรเชิงพื้นที่สองตัว และแนวคิดเรื่องความไม่แปรเปลี่ยนตามเวลาจะถูกแทนที่ด้วยความไม่แปรเปลี่ยนตามการเลื่อนสองมิติ เมื่อวิเคราะห์ฟิลเตอร์แบงค์และระบบMIMO มักจะเป็นประโยชน์ที่จะพิจารณา เวกเตอร์ของสัญญาณ ระบบเชิงเส้นที่ไม่แปรเปลี่ยนตามเวลาสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีการอื่น เช่นวิธี ฟังก์ชันกรีน

พฤติกรรมของระบบเชิงเส้นแบบต่อเนื่องเวลาไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาที่มีสัญญาณอินพุตx ( t ) และสัญญาณเอาต์พุตy ( t ) อธิบายได้ด้วยอินทิกรัลการสังเคราะห์: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle y(t)=(x*h)(t)}$	${\displaystyle \mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )\cdot h(\tau )\,\mathrm {d} \tau }$
	${\displaystyle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau ,}$     (โดยใช้คุณสมบัติการสลับที่ )

การตอบสนองของระบบต่อแรงกระตุ้นคือดังนั้นจึงเป็นสัดส่วนกับค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของฟังก์ชันอินพุต ฟังก์ชันถ่วงน้ำหนักคือซึ่งเลื่อนไปตามจำนวนเมื่อเปลี่ยนแปลง ฟังก์ชันถ่วงน้ำหนักจะเน้นส่วนต่างๆ ของฟังก์ชันอินพุต เมื่อเป็นศูนย์สำหรับค่าลบทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับค่าของก่อนเวลา เท่านั้น และระบบนั้นเรียกว่าเป็น ระบบ เชิง สาเหตุ${\textstyle h(t)}$${\textstyle x(\tau )=\เดลต้า (\tau )}$${\textstyle y(t)}$${\textstyle x(\tau )}$${\textstyle h(-\tau )}$${\textstyle t}$${\textstyle t}$${\textstyle h(\tau )}$${\textstyle \tau }$${\textstyle y(t)}$${\textstyle x}$${\textstyle t}$

เพื่อให้เข้าใจว่าเหตุใดการคอนโวลูชันจึงสร้างเอาต์พุตของระบบ LTI ให้ใช้สัญลักษณ์ แทนฟังก์ชันที่มีตัวแปรและค่าคงที่ และ ใช้สัญลักษณ์ที่สั้นกว่าแทนจากนั้นระบบเวลาต่อเนื่องจะแปลงฟังก์ชันอินพุตไปเป็นฟังก์ชันเอาต์พุตและโดยทั่วไปแล้ว ค่าทุกค่าของเอาต์พุตสามารถขึ้นอยู่กับค่าทุกค่าของอินพุตได้ แนวคิดนี้แสดงได้ด้วย: โดยที่คือตัวดำเนินการแปลงสำหรับเวลาในระบบทั่วไปจะขึ้นอยู่กับค่าของที่เกิดขึ้นใกล้เวลา มากที่สุด เว้นแต่ว่าการแปลงเองจะเปลี่ยนแปลงไปตามฟังก์ชันเอาต์พุตจะเป็นค่าคงที่ และระบบนั้นก็ไม่น่าสนใจ ${\textstyle \{x(u-\tau );\ u\}}$${\textstyle x(u-\tau )}$${\textstyle u}$${\textstyle \tau }$${\textstyle \{x\}}$${\textstyle \{x(u);\ u\}}$${\textstyle \{x\},}$${\textstyle \{y\}}$$${\displaystyle y(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{x\},}$$${\textstyle O_{t}}$${\textstyle t}$${\textstyle y(t)}$${\textstyle x}$${\textstyle t}$${\textstyle t}$

สำหรับระบบเชิงเส้นจะต้องเป็นไปตามสมการที่ 1 : ${\textstyle O}$

${\displaystyle O_{t}\left\{\int \limits _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ x_{\tau }(u)\,\mathrm {d} \tau ;\ u\right\}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ \underbrace {y_{\tau }(t)} _{O_{t}\{x_{\tau }\}}\,\mathrm {d} \tau .}$

สมการที่ 2

และข้อกำหนดเรื่องความไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาคือ:

${\displaystyle {\begin{aligned}O_{t}\{x(u-\tau );\ u\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} y(t-\tau )\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t-\tau }\{x\}.\,\end{aligned}}}$

สมการที่ 3

ในสัญลักษณ์นี้ เราสามารถเขียนการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นได้ดังนี้${\textstyle h(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{\delta (u);\ u\}.}$

ในทำนองเดียวกัน:

${\displaystyle h(t-\tau )}$	${\displaystyle \mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t-\tau }\{\delta (u);\ u\}}$
	${\displaystyle =O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}.}$     (โดยใช้สมการที่ 3 )

แทนผลลัพธ์นี้ลงในอินทิกรัลการสังเคราะห์: $${\displaystyle {\begin{aligned}(x*h)(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}\,\mathrm {d} \tau ,\,\end{aligned}}}$$

ซึ่งมีรูปแบบเป็นด้านขวาของสมการที่ 2สำหรับกรณีและ${\textstyle c_{\tau }=x(\tau )}$${\textstyle x_{\tau }(u)=\delta (u-\tau ).}$

สมการที่ 2จึงอนุญาตให้ดำเนินการต่อได้ดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}(x*h)(t)&=O_{t}\left\{\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot \delta (u-\tau )\,\mathrm {d} \tau ;\ u\right\}\\[4pt]&=O_{t}\left\{x(u);\ u\right\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} y(t).\,\end{aligned}}}$$

โดยสรุป ฟังก์ชันอินพุตสามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันอิมพัลส์ที่เลื่อนเวลาอย่างต่อเนื่อง ซึ่งรวมกันแบบ "เชิงเส้น" ดังแสดงในสมการที่ 1คุณสมบัติเชิงเส้นของระบบทำให้การตอบสนองของระบบสามารถแสดงได้ด้วยการตอบสนองอิมพัลส์อย่างต่อเนื่องที่สอดคล้องกัน ซึ่งรวมกันในลักษณะเดียวกัน และคุณสมบัติการไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาทำให้การรวมกันนั้นสามารถแสดงได้ด้วยอินทิกรัลการสังเคราะห์ ${\textstyle \{x\}}$

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ข้างต้นมีการจำลองกราฟิกแบบง่าย^{[ 6 ]}

ฟังก์ชันเฉพาะ (eigenfunction)คือฟังก์ชันที่ผลลัพธ์ของตัวดำเนินการเป็นเวอร์ชันที่ปรับขนาดแล้วของฟังก์ชันเดียวกัน กล่าวคือ โดยที่fคือฟังก์ชันเฉพาะ และคือค่าเฉพาะ ซึ่งเป็นค่าคงที่ $${\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f,}$$${\displaystyle \lambda }$

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง โดยที่เป็นฟังก์ชันเฉพาะของ ตัวดำเนินการเชิง เส้นแบบ ไม่เปลี่ยนแปลง ตามเวลาการพิสูจน์อย่างง่ายแสดงให้เห็นถึงแนวคิดนี้ สมมติว่าอินพุตคือเอาต์พุตของระบบที่มีการตอบสนองแบบอิมพัลส์คือ ซึ่งโดยคุณสมบัติการสลับ ที่ ของการสังเคราะห์จะเทียบเท่ากับ ${\displaystyle Ae^{st}}$${\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }$${\displaystyle x(t)=Ae^{st}}$${\displaystyle h(t)}$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )Ae^{s\tau }\,\mathrm {d} \tau }$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\overbrace {\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{s(t-\tau )}\,\mathrm {d} \tau } ^{{\mathcal {H}}f}&=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{st}e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=Ae^{st}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\overbrace {\underbrace {Ae^{st}} _{\text{Input}}} ^{f}\,\overbrace {\underbrace {H(s)} _{\text{Scalar}}} ^{\lambda }\,,\\\end{aligned}}}$$

โดยที่ค่าสเกลาร์ นั้น ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์s เท่านั้น$${\displaystyle H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t}$$

ดังนั้น การตอบสนองของระบบจึงเป็นเวอร์ชันที่ปรับขนาดของอินพุต โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับค่าใดๆ เอาต์พุต ของ ระบบคือผลคูณของอินพุตและค่าคงที่ดังนั้น จึงเป็นฟังก์ชันเฉพาะของระบบ LTI และค่าเฉพาะ ที่สอดคล้องกัน คือ${\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }$${\displaystyle Ae^{st}}$${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle Ae^{st}}$${\displaystyle H(s)}$

นอกจากนี้ ยังสามารถหาค่าเลขชี้กำลังเชิงซ้อนโดยตรงได้จากฟังก์ชันเฉพาะของระบบ LTI อีกด้วย

ลองกำหนดฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่ซับซ้อนและเวอร์ชันที่เลื่อนเวลาของมันดู ${\displaystyle v(t)=e^{i\omega t}}$${\displaystyle v_{a}(t)=e^{i\omega (t+a)}}$

${\displaystyle H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)}$โดยความเป็นเส้นตรงเมื่อเทียบกับค่าคงที่ ${\displaystyle e^{i\omega a}}$

${\displaystyle H[v_{a}](t)=H[v](t+a)}$โดยความไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาของ. ${\displaystyle H}$

ดังนั้นเมื่อเราตั้งค่าและเปลี่ยนชื่อ เราจะได้ ว่า ตัวเลขเลขชี้กำลังเชิงซ้อนที่เป็นอินพุต จะให้ตัวเลขเลขชี้กำลังเชิงซ้อนที่มีความถี่เดียวกันเป็นเอาต์พุต ${\displaystyle H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)}$${\displaystyle t=0}$$${\displaystyle H[v](\tau )=e^{i\omega \tau }H[v](0)}$$${\displaystyle e^{i\omega \tau }}$

คุณสมบัติของฟังก์ชันไอเกนของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลมีประโยชน์อย่างมากทั้งในการวิเคราะห์และทำความเข้าใจระบบ LTI การแปลงลาปลาส แบบด้านเดียว เป็นวิธีที่แม่นยำในการหาค่าไอเกนจากผลตอบสนองอิมพัลส์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันไซน์บริสุทธิ์ (เช่น ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลในรูปแบบที่และ) การแปลงฟูริเยร์จะให้ค่าไอเกนสำหรับฟังก์ชันไซน์เชิงซ้อนบริสุทธิ์ ทั้งและเรียกว่าฟังก์ชันระบบผลตอบสนองของระบบหรือฟังก์ชันถ่ายโอน $${\displaystyle H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}\{h(t)\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t}$$${\displaystyle e^{j\omega t}}$${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$${\displaystyle j\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\sqrt {-1}}}$${\displaystyle H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}}$${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle H(j\omega )}$

การแปลงลาปลาสโดยทั่วไปใช้ในบริบทของสัญญาณด้านเดียว กล่าวคือ สัญญาณที่เป็นศูนย์สำหรับค่าt ทุกค่า ที่น้อยกว่าค่าบางค่า โดยปกติแล้ว "เวลาเริ่มต้น" นี้จะถูกกำหนดให้เป็นศูนย์ เพื่อความสะดวกและโดยไม่สูญเสียความเป็นทั่วไปโดยการอินทิเกรตการแปลงจะครอบคลุมตั้งแต่ศูนย์ถึงอนันต์ (การแปลงที่แสดงข้างต้นซึ่งมีขีดจำกัดล่างของการอินทิเกรตเป็นลบอนันต์นั้น เรียกอย่างเป็นทางการว่าการแปลงลาปลาสแบบสองด้าน )

การแปลงฟูริเยร์ถูกใช้ในการวิเคราะห์ระบบที่ประมวลผลสัญญาณที่มีขนาดอนันต์ เช่น สัญญาณไซน์ที่ถูกมอดูเลต แม้ว่าจะไม่สามารถนำไปใช้กับสัญญาณอินพุตและเอาต์พุตที่ไม่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้โดยตรงก็ตาม การแปลงลาปลาสสามารถใช้งานได้โดยตรงกับสัญญาณเหล่านี้ หากสัญญาณเป็นศูนย์ก่อนเวลาเริ่มต้น แม้ว่าจะไม่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ก็ตาม สำหรับระบบที่มีเสถียรภาพ การแปลงฟูริเยร์มักถูกนำไปใช้กับสเปกตรัมของสัญญาณอนันต์ผ่าน ทฤษฎีบทไวเนอร์-คินชินแม้ว่าการแปลงฟูริเยร์ของสัญญาณเหล่านั้นจะไม่มีอยู่ก็ตาม

เนื่องจากคุณสมบัติการคอนโวลูชันของการแปลงทั้งสองนี้ การคอนโวลูชันที่ให้ผลลัพธ์ของระบบจึงสามารถแปลงเป็นการคูณในโดเมนการแปลงได้ โดยพิจารณาจากสัญญาณที่มีการแปลงอยู่ $${\displaystyle y(t)=(h*x)(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )\,\mathrm {d} \tau \mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)\}.}$$

เราสามารถใช้การตอบสนองของระบบโดยตรงเพื่อกำหนดว่าระบบจัดการกับส่วนประกอบความถี่ใด ๆ อย่างไรด้วยการแปลงลาปลาส หากเราประเมินการตอบสนองของระบบ (การแปลงลาปลาสของการตอบสนองแบบอิมพัลส์) ที่ความถี่เชิงซ้อนs = jωโดยที่ω = 2 πfเราจะได้ | H ( s )| ซึ่งเป็นอัตราขยายของระบบสำหรับความถี่fการเปลี่ยนแปลงเฟสสัมพัทธ์ระหว่างเอาต์พุตและอินพุตสำหรับส่วนประกอบความถี่นั้นก็เช่นเดียวกัน โดยกำหนดโดย arg( H ( s ))

คุณสมบัติที่สำคัญที่สุดบางประการของระบบคือความเป็นเหตุเป็นผลและความเสถียร ความเป็นเหตุเป็นผลเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับระบบทางกายภาพที่มีตัวแปรอิสระคือเวลา อย่างไรก็ตาม ข้อจำกัดนี้ไม่มีอยู่ในกรณีอื่นๆ เช่น การประมวลผลภาพ

ระบบจะเรียกว่าเป็นระบบเชิงสาเหตุได้ก็ต่อเมื่อผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับปัจจัยนำเข้าในปัจจุบันและอดีตเท่านั้น แต่ไม่ขึ้นอยู่กับปัจจัยนำเข้าในอนาคต เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความเป็นเหตุเป็นผลคือ $${\displaystyle h(t)=0\quad \forall t<0,}$$

การตอบสนองต่อแรงกระตุ้นอยู่ ที่ไหน โดยทั่วไปแล้ว การกำหนดความสัมพันธ์เชิงสาเหตุจาก การแปลงลาปลาสแบบสองด้านนั้นเป็นไปไม่ได้อย่างไรก็ตาม เมื่อทำงานในโดเมนเวลา โดยปกติจะใช้การแปลงลาปลาสแบบด้านเดียวซึ่งต้องอาศัยความสัมพันธ์เชิงสาเหตุ ${\displaystyle h(t)}$

ระบบจะมีเสถียรภาพแบบมีอินพุตและเอาต์พุตจำกัด (BIBO stable) ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกอินพุตที่มีขอบเขต เอาต์พุตจะมีค่าจำกัด ในทางคณิตศาสตร์ ถ้าทุกอินพุตที่สอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าว $${\displaystyle \ \|x(t)\|_{\infty }<\infty }$$

นำไปสู่ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ $${\displaystyle \ \|y(t)\|_{\infty }<\infty }$$

(นั่นคือค่าสัมบูรณ์สูงสุดที่ จำกัด ของหมายถึงค่าสัมบูรณ์สูงสุดที่จำกัดของ) ดังนั้นระบบจึงมีเสถียรภาพ เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอคือ ซึ่งเป็นการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น อยู่ในL ¹ (มีนอร์ม L ¹ ที่จำกัด ): ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle h(t)}$$${\displaystyle \|h(t)\|_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }|h(t)|\,\mathrm {d} t<\infty .}$$

ในโดเมนความถี่บริเวณการบรรจบกันจะต้องครอบคลุมแกนจินตภาพ ${\displaystyle s=j\omega }$

ตัวอย่างเช่นตัวกรองความถี่ต่ำ ในอุดมคติ ที่มีการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นเท่ากับฟังก์ชัน sincนั้นไม่เสถียรภายใต้เงื่อนไข BIBO เนื่องจากฟังก์ชัน sinc ไม่มีค่า L₁ นอร์มที่จำกัด^{ดังนั้น}สำหรับอินพุตที่มีขอบเขตบางค่า เอาต์พุตของตัวกรองความถี่ต่ำในอุดมคติจึงไม่มีขอบเขต โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากอินพุตเป็นศูนย์ในช่วงเวลาหนึ่งและเท่ากับสัญญาณไซน์ที่ความถี่ตัดในช่วงเวลาหนึ่ง เอาต์พุตจะไม่มีขอบเขตสำหรับทุกช่วงเวลาอื่นนอกเหนือจากจุดที่อินพุตเป็นศูนย์ ${\displaystyle t<0}$${\displaystyle t>0}$

เกือบทุกอย่างในระบบเวลาต่อเนื่องมีสิ่งที่เทียบเคียงได้ในระบบเวลาไม่ต่อเนื่อง

ในหลายบริบท ระบบเวลาไม่ต่อเนื่อง (DT) แท้จริงแล้วเป็นส่วนหนึ่งของระบบเวลาต่อเนื่อง (CT) ที่ใหญ่กว่า ตัวอย่างเช่น ระบบบันทึกเสียงดิจิทัลรับเสียงอนาล็อก แปลงเป็นดิจิทัล อาจประมวลผลสัญญาณดิจิทัล และเล่นเสียงอนาล็อกกลับคืนให้ผู้ฟัง

ในระบบใช้งานจริง สัญญาณ DT ที่ได้มักจะเป็นสัญญาณ CT ที่สุ่มตัวอย่างอย่างสม่ำเสมอ หากเป็นสัญญาณ CT วงจรการสุ่มตัวอย่างที่ใช้ก่อนตัวแปลงอนาล็อกเป็นดิจิทัลจะแปลงเป็นสัญญาณ DT โดยที่Tคือช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่างก่อนการสุ่มตัวอย่าง สัญญาณอินพุตมักจะผ่านตัวกรอง Nyquistซึ่งจะกำจัดความถี่ที่สูงกว่า "ความถี่พับ" 1/(2T) ซึ่งรับประกันได้ว่าไม่มีข้อมูลใดในสัญญาณที่ผ่านการกรองจะสูญหาย หากไม่มีการกรอง ส่วนประกอบความถี่ใดๆ ที่สูงกว่าความถี่พับ (หรือความถี่ Nyquist ) จะถูกแปลงเป็นความถี่อื่น (ทำให้สัญญาณเดิมผิดเพี้ยน) เนื่องจากสัญญาณ DT สามารถรองรับได้เฉพาะส่วนประกอบความถี่ที่ต่ำกว่าความถี่พับเท่านั้น ${\displaystyle x(t)}$$${\displaystyle x_{n}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x(nT)\qquad \forall \,n\in \mathbb {Z} ,}$$

ให้แทนลำดับ${\displaystyle \{x[m-k];\ m\}}$${\displaystyle \{x[m-k];{\text{ for all integer values of }}m\}.}$

และให้ ใช้สัญลักษณ์ที่สั้นกว่าแทน${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \{x[m];\ m\}.}$

ระบบดิสครีตจะแปลงลำดับอินพุตไปเป็นลำดับเอาต์พุตโดยทั่วไปแล้ว ทุกองค์ประกอบของเอาต์พุตสามารถขึ้นอยู่กับทุกองค์ประกอบของอินพุตได้เราสามารถเขียนแทนตัวดำเนินการแปลงด้วย ได้ดังนี้: ${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \{y\}.}$${\displaystyle O}$$${\displaystyle y[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{x\}.}$$

โปรดทราบว่า เว้นแต่การแปลงนั้นเองจะเปลี่ยนแปลงไปตามnลำดับเอาต์พุตจะคงที่ และระบบนั้นก็ไม่น่าสนใจ (ดังนั้นจึงมีตัวห้อยn ) ในระบบทั่วไปy [ n ] จะขึ้นอยู่กับองค์ประกอบของxที่มีดัชนีอยู่ใกล้n มาก ที่สุด

สำหรับกรณีพิเศษของฟังก์ชันเดลต้าโครเนกเกอร์ลำดับเอาต์พุตคือการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น : ${\displaystyle x[m]=\delta [m],}$$${\displaystyle h[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{\delta [m];\ m\}.}$$

สำหรับระบบเชิงเส้นต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: ${\displaystyle O}$

${\displaystyle O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\cdot x_{k}[m];\ m\right\}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\cdot O_{n}\{x_{k}\}.}$

สมการที่ 4

และข้อกำหนดเรื่องความไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาคือ:

${\displaystyle {\begin{aligned}O_{n}\{x[m-k];\ m\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} y[n-k]\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n-k}\{x\}.\,\end{aligned}}}$

สมการที่ 5

ในระบบดังกล่าว การตอบสนองต่อแรงกระตุ้น (impulse response) จะบ่งบอกลักษณะของระบบได้อย่างสมบูรณ์ นั่นคือ สำหรับลำดับอินพุตใดๆ ลำดับเอาต์พุตสามารถคำนวณได้โดยใช้ข้อมูลอินพุตและการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น เพื่อดูว่าทำได้อย่างไร ลองพิจารณาเอกลักษณ์ต่อไปนี้: ${\displaystyle \{h\}}$$${\displaystyle x[m]\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k],}$$

ซึ่งแสดงออกมาในรูปผลรวมของฟังก์ชันเดลต้าแบบถ่วงน้ำหนัก ${\displaystyle \{x\}}$

ดังนั้น: $${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]=O_{n}\{x\}&=O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k];\ m\right\}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n}\{\delta [m-k];\ m\},\,\end{aligned}}}$$

โดยที่เราได้ใช้สมการ ที่ 4สำหรับกรณีและ${\displaystyle c_{k}=x[k]}$${\displaystyle x_{k}[m]=\delta [m-k]}$

และเนื่องจากสมการที่ 5เราจึงสามารถเขียนได้ว่า: $${\displaystyle {\begin{aligned}O_{n}\{\delta [m-k];\ m\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} O_{n-k}\{\delta [m];\ m\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} h[n-k].\end{aligned}}}$$

ดังนั้น:

${\displaystyle y[n]}$	${\displaystyle =\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k]}$
	${\displaystyle =\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k],}$     ( สมบัติการสลับที่ )

ซึ่งก็คือสูตรการสังเคราะห์แบบไม่ต่อเนื่องที่คุ้นเคย ตัวดำเนินการจึงสามารถตีความได้ว่าแปรผันตามค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของฟังก์ชันx [ k ] ฟังก์ชันถ่วงน้ำหนักคือh [− k ] ซึ่งเลื่อนไปตามจำนวนnเมื่อnเปลี่ยนไป ฟังก์ชันถ่วงน้ำหนักจะเน้นส่วนต่างๆ ของฟังก์ชันอินพุต ในทำนองเดียวกัน การตอบสนองของระบบต่อแรงกระตุ้นที่n =0 คือสำเนาที่ "ย้อนเวลา" ของฟังก์ชันถ่วงน้ำหนักที่ไม่เลื่อน เมื่อh [ k ] เป็นศูนย์สำหรับ kที่เป็นลบทั้งหมดระบบจะเรียกว่าเป็น ระบบ เชิง สาเหตุ${\displaystyle O_{n}}$

ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ (eigenfunction)คือฟังก์ชันที่ผลลัพธ์ของตัวดำเนินการเป็นฟังก์ชันเดียวกัน แต่ถูกปรับขนาดด้วยค่าคงที่บางค่า ในเชิงสัญลักษณ์ $${\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f,}$$

โดยที่fคือฟังก์ชันเฉพาะ และคือค่าเฉพาะซึ่งเป็นค่าคงที่ ${\displaystyle \lambda }$

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง โดยที่เป็นฟังก์ชันเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาคือช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่าง และการพิสูจน์อย่างง่ายแสดงให้เห็นถึงแนวคิดนี้ ${\displaystyle z^{n}=e^{sTn}}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle T\in \mathbb {R} }$${\displaystyle z=e^{sT},\ z,s\in \mathbb {C} }$

สมมติว่าอินพุตคือเอาต์พุตของระบบที่มีการตอบสนองแบบอิมพัลส์คือ ${\displaystyle x[n]=z^{n}}$${\displaystyle h[n]}$$${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,z^{m}}$$

ซึ่งเทียบเท่ากับสิ่งต่อไปนี้โดยอาศัยคุณสมบัติการสลับที่ของการสังเคราะห์ โดยที่ ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์zเท่านั้น $${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(n-m)}=z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{-m}=z^{n}H(z)}$$$${\displaystyle H(z)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}}$$

ดังนั้น จึงเป็นฟังก์ชันเฉพาะของระบบ LTI เนื่องจากผลตอบสนองของระบบจะเหมือนกับอินพุตคูณด้วยค่าคงที่ ${\displaystyle z^{n}}$${\displaystyle H(z)}$

คุณสมบัติฟังก์ชันเฉพาะของเลขชี้กำลังมีประโยชน์อย่างมากทั้งในการวิเคราะห์และทำความเข้าใจระบบ LTI การแปลง Z$${\displaystyle H(z)={\mathcal {Z}}\{h[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}}$$

เป็นวิธีที่ถูกต้องในการหาค่าไอเกนจากผลตอบสนองแบบอิมพัลส์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งไซนูซอยด์บริสุทธิ์ เช่น ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลในรูปแบบโดยที่สามารถเขียนได้เป็นโดยที่การแปลงฟูริเยร์แบบเวลาไม่ต่อเนื่อง (DTFT) จะให้ค่าไอเกนของไซนูซอยด์บริสุทธิ์ ทั้งและเรียกว่าฟังก์ชันระบบผลตอบสนองของระบบหรือฟังก์ชันถ่ายโอน ${\displaystyle e^{j\omega n}}$${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$${\displaystyle z^{n}}$${\displaystyle z=e^{j\omega }}$${\displaystyle H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}}$${\displaystyle H(z)}$${\displaystyle H(e^{j\omega })}$

เช่นเดียวกับการแปลงลาปลาสแบบด้านเดียว การแปลง Z มักใช้ในบริบทของสัญญาณแบบด้านเดียว กล่าวคือ สัญญาณที่เป็นศูนย์สำหรับ t<0 การแปลงฟูริเยร์แบบเวลาไม่ต่อเนื่องและอนุกรมฟูริเยร์อาจใช้สำหรับการวิเคราะห์สัญญาณเป็นคาบ

เนื่องจากคุณสมบัติการสังเคราะห์ของทั้งสองการแปลงนี้ การสังเคราะห์ที่ให้ผลลัพธ์ของระบบจึงสามารถแปลงเป็นการคูณในโดเมนการแปลงได้ กล่าวคือ $${\displaystyle y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]x[m]={\mathcal {Z}}^{-1}\{H(z)X(z)\}.}$$

เช่นเดียวกับฟังก์ชันถ่ายโอนการแปลงลาปลาสในการวิเคราะห์ระบบเวลาต่อเนื่อง การแปลง Z ช่วยให้การวิเคราะห์ระบบง่ายขึ้นและเข้าใจพฤติกรรมของระบบได้ดียิ่งขึ้น

ลักษณะอินพุต-เอาต์พุตของระบบ LTI แบบไม่ต่อเนื่องในเวลาจะถูกอธิบายอย่างสมบูรณ์โดยการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดสองประการของระบบคือความเป็นเหตุเป็นผลและความเสถียร ระบบที่ไม่เป็นเหตุเป็นผล (ในเวลา) สามารถกำหนดและวิเคราะห์ได้ดังที่กล่าวมาข้างต้น แต่ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ในเวลาจริง ระบบที่ไม่เสถียรก็สามารถวิเคราะห์และสร้างขึ้นได้เช่นกัน แต่จะมีประโยชน์ก็ต่อเมื่อเป็นส่วนหนึ่งของระบบขนาดใหญ่ที่มีฟังก์ชันถ่ายโอนโดยรวมที่เสถียร ${\displaystyle h[n]}$

ระบบ LTI แบบเวลาไม่ต่อเนื่องจะเป็นระบบเชิงสาเหตุหากค่าปัจจุบันของเอาต์พุตขึ้นอยู่กับค่าปัจจุบันและค่าในอดีตของอินพุตเท่านั้น^{[ 7 ]} เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความเป็นเหตุเป็นผลคือ โดยที่คือการตอบสนองแบบอิมพัลส์ โดยทั่วไปแล้วไม่สามารถกำหนดความเป็นเหตุเป็นผลจากการแปลง Z ได้ เนื่องจากการแปลงผกผันไม่เป็นเอกลักษณ์ เมื่อ มีการระบุ ขอบเขตของการบรรจบกันแล้ว ก็สามารถกำหนดความเป็นเหตุเป็นผลได้ $${\displaystyle h[n]=0\ \forall n<0,}$$${\displaystyle h[n]}$

ระบบจะมีเสถียรภาพแบบอินพุตจำกัด เอาต์พุตจำกัด (BIBO stable) ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกอินพุตที่มีขอบเขต เอาต์พุตจะมีค่าจำกัด ในทางคณิตศาสตร์ ถ้า $${\displaystyle \|x[n]\|_{\infty }<\infty }$$

หมายความว่า $${\displaystyle \|y[n]\|_{\infty }<\infty }$$

(นั่นคือ ถ้าอินพุตที่มีขอบเขตหมายถึงเอาต์พุตที่มีขอบเขต ในแง่ที่ว่าค่าสัมบูรณ์สูงสุดของและมีค่าจำกัด) แล้วระบบจะมีเสถียรภาพ เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอคือการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น ต้องเป็นไปตาม เงื่อนไขต่อไปนี้${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle y[n]}$${\displaystyle h[n]}$$${\displaystyle \|h[n]\|_{1}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|<\infty .}$$

ในโดเมนความถี่บริเวณการบรรจบกันจะต้องประกอบด้วยวงกลมหน่วย (กล่าวคือตำแหน่งที่สอดคล้องกับเงื่อนไขสำหรับค่าz เชิงซ้อน ) ${\displaystyle |z|=1}$

• เมทริกซ์หมุนเวียน
• การตอบสนองความถี่
• การตอบสนองต่อแรงกระตุ้น
• การวิเคราะห์ระบบ
• ฟังก์ชันสีเขียว
• กราฟแสดงการไหลของสัญญาณ

• ECE 209: การทบทวนวงจรในฐานะระบบ LTI (Long-Term Intimate System) เก็บถาวรเมื่อ 2009-03-19 ที่Wayback Machine  – บทนำสั้นๆ เกี่ยวกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของระบบ LTI (ทางไฟฟ้า)
• ECE 209: แหล่งที่มาของการเลื่อนเฟส(เก็บถาวรเมื่อ 2011-07-16 ที่Wayback Machine)  – อธิบายอย่างเข้าใจง่ายถึงแหล่งที่มาของการเลื่อนเฟสในระบบ LTI ทางไฟฟ้าทั่วไปสองระบบ
• เอกสารประกอบการเรียนวิชา JHU 520.214 สัญญาณและระบบ หลักสูตรสรุปเกี่ยวกับทฤษฎีระบบ LTI เหมาะสำหรับการเรียนรู้ด้วยตนเอง
• ตัวอย่างระบบ LTI: ตัวกรองความถี่ต่ำ RCการตอบสนองแอมพลิจูดและเฟส