ในทฤษฎีการควบคุมระบบ ที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา ( Time-invariant , TI ) คือ ระบบ ที่มี ฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับเวลาแต่ไม่ใช่ฟังก์ชัน ที่ขึ้นอยู่ กับเวลา โดยตรง ระบบ ดัง กล่าวถือเป็นระบบประเภทหนึ่งในสาขาการวิเคราะห์ระบบฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับเวลาของระบบนั้นเป็นฟังก์ชันของฟังก์ชันอินพุต ที่ขึ้นอยู่กับเวลา หากฟังก์ชันนี้ขึ้นอยู่กับโดเมนเวลา โดยอ้อม เท่านั้น (เช่น ผ่านฟังก์ชันอินพุต) ระบบนั้นจะถือว่าเป็นระบบที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา ในทางกลับกัน การที่ฟังก์ชันของระบบขึ้นอยู่กับโดเมนเวลาโดยตรงจะถือว่าเป็น "ระบบที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา"

ในทางคณิตศาสตร์ "ความไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา" ของระบบคือคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ^{[ 4 ] : หน้า 50}

เมื่อกำหนดระบบที่มีฟังก์ชันเอาต์พุตที่ขึ้นอยู่กับเวลาและฟังก์ชัน${\displaystyle y(t)}$อินพุตที่ขึ้นอยู่กับเวลาระบบจะ${\displaystyle x(t)}$ถือว่าไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา หากความล่าช้าของเวลาบนอินพุตเท่ากับความล่าช้าของเวลาบนฟังก์ชันเอาต์พุตโดยตรงตัวอย่างเช่น${\displaystyle x(t+\delta )}$ถ้าเวลาคือ" เวลาที่ผ่านไป" แล้ว "ความไม่เปลี่ยนแปลงตาม เวลา"หมายความว่าความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันอินพุตและฟังก์ชันเอาต์พุตคงที่เมื่อเทียบกับเวลา${\displaystyle y(t+\delta )}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle t:}$

${\displaystyle y(t)=f(x(t),t)=f(x(t)).}$

ในภาษาของการประมวลผลสัญญาณคุณสมบัตินี้จะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อฟังก์ชันถ่ายโอนของระบบไม่ใช่ฟังก์ชันโดยตรงของเวลา ยกเว้นที่แสดงโดยอินพุตและเอาต์พุต

ในบริบทของแผนผังระบบ คุณสมบัตินี้สามารถระบุได้ดังต่อไปนี้ ดังแสดงในรูปด้านขวา:

หากระบบไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา บล็อกของระบบจะสลับการทำงานได้โดยมีความล่าช้าใดๆ ก็ได้

หากระบบที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาเป็นระบบเชิงเส้น ด้วย ระบบ นั้นจะอยู่ภายใต้ทฤษฎีระบบเชิงเส้นที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา (linear time-invariant theory) ซึ่งมีการประยุกต์ใช้โดยตรงในสเปกโทรสโกปี NMR , ธรณีวิทยาแผ่นดินไหว , วงจรไฟฟ้า , การประมวลผลสัญญาณ , ทฤษฎีการควบคุมและสาขาทางเทคนิคอื่นๆ ระบบที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา แบบไม่เชิงเส้นนั้นขาดทฤษฎีที่ครอบคลุม ระบบที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาแบบไม่ต่อเนื่องเรียกว่าระบบที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการเลื่อน (shift-invariant systems ) ส่วนระบบที่ขาดคุณสมบัติที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาจะถูกศึกษาในฐานะระบบที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา (time-variant systems )

เพื่อแสดงวิธีการตรวจสอบว่าระบบใดเป็นระบบคงที่ตามเวลาหรือไม่ ให้พิจารณาระบบสองระบบต่อไปนี้:

• ระบบ A:${\displaystyle y(t)=tx(t)}$
• ระบบ B:${\displaystyle y(t)=10x(t)}$

เนื่องจากฟังก์ชันระบบ สำหรับระบบ A ขึ้นอยู่กับtภายนอก อย่างชัดเจน จึงไม่คงที่ตามเวลาเพราะการขึ้นอยู่กับเวลาไม่ได้เป็นฟังก์ชันของฟังก์ชันอินพุตโดยตรง ${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle x(t)}$

ในทางตรงกันข้าม การพึ่งพาเวลาของระบบ B เป็นเพียงฟังก์ชันของอินพุตที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาเท่านั้นทำให้ระบบ B ไม่ เปลี่ยนแปลง ตามเวลา${\displaystyle x(t)}$

ตัวอย่างเชิงรูปธรรมด้านล่างแสดงให้เห็นโดยละเอียดว่า ในขณะที่ระบบ B เป็นระบบที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการเลื่อนเวลา (Shift-Invariant System) ตามฟังก์ชันของเวลาt แต่ระบบ A ไม่ใช่

ต่อไปนี้จะเป็นการ พิสูจน์อย่างเป็นทางการมากขึ้น ว่าทำไมระบบ A และ B ข้างต้นจึงแตกต่างกัน ในการพิสูจน์นี้ จะใช้คำนิยามที่สอง

ระบบ A:เริ่มต้นด้วยการหน่วงเวลาของอินพุต${\displaystyle x_{d}(t)=x(t+\delta )}$

${\displaystyle y(t)=tx(t)}$

${\displaystyle y_{1}(t)=tx_{d}(t)=tx(t+\delta )}$

ตอนนี้ให้หน่วงเวลาการส่งออกโดย${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle y(t)=tx(t)}$

${\displaystyle y_{2}(t)=y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )}$

เห็นได้ชัดว่า ระบบนี้จึงไม่คงที่เมื่อเวลาผ่านไป${\displaystyle y_{1}(t)\neq y_{2}(t)}$

ระบบ B:เริ่มต้นด้วยการหน่วงเวลาของอินพุต${\displaystyle x_{d}(t)=x(t+\delta )}$

${\displaystyle y(t)=10x(t)}$

${\displaystyle y_{1}(t)=10x_{d}(t)=10x(t+\delta )}$

ตอนนี้ให้หน่วงเวลาการส่งออกโดย${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle y(t)=10x(t)}$

${\displaystyle y_{2}(t)=y(t+\delta )=10x(t+\delta )}$

เห็นได้ชัดว่า ระบบนี้ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา${\displaystyle y_{1}(t)=y_{2}(t)}$

โดยทั่วไปแล้ว ความสัมพันธ์ระหว่างปัจจัยนำเข้าและผลลัพธ์คือ

${\displaystyle y(t)=f(x(t),t),}$

และการเปลี่ยนแปลงของมันตามเวลาคือ

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}.}$

สำหรับระบบที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา คุณสมบัติของระบบจะคงที่ตลอดเวลา

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=0.}$

นำไปใช้กับระบบ A และ B ข้างต้น:

${\displaystyle f_{A}=tx(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{A}}{\partial t}}=x(t)\neq 0}$โดยทั่วไปแล้ว มันจึงไม่คงที่ตลอดเวลา

${\displaystyle f_{B}=10x(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{B}}{\partial t}}=0}$ดังนั้นมันจึงไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา

เราสามารถใช้สัญลักษณ์ แทนตัวดำเนินการเลื่อนโดยที่คือจำนวนที่ชุดดัชนี ของเวกเตอร์ ควรถูกเลื่อน ตัวอย่างเช่น ระบบ "เลื่อนไปข้างหน้า 1 ตำแหน่ง" ${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle x(t+1)=\delta (t+1)*x(t)}$

สามารถแสดงได้ในสัญลักษณ์นามธรรมนี้โดย

${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=\mathbb {T} _{1}{\tilde {x}}}$

โดยที่เป็นฟังก์ชันที่กำหนดโดย ${\displaystyle {\tilde {x}}}$

${\displaystyle {\tilde {x}}=x(t)\forall t\in \mathbb {R} }$

โดยระบบจะให้ผลลัพธ์ที่เลื่อนออกไป

${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=x(t+1)\forall t\in \mathbb {R} }$

ดังนั้น จึงเป็นตัวดำเนินการที่เลื่อนเวกเตอร์อินพุตไปข้างหน้า 1 หน่วย ${\displaystyle \mathbb {T} _{1}}$

สมมติว่าเราแทนระบบด้วยตัวดำเนินการ ระบบนี้จะคงที่เมื่อเวลาผ่านไป ก็ต่อ เมื่อมันสลับที่ได้กับตัวดำเนินการเลื่อน นั่นคือ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

${\displaystyle \mathbb {T} _{r}\mathbb {H} =\mathbb {H} \mathbb {T} _{r}\forall r}$

ถ้าสมการระบบของเรากำหนดโดย

${\displaystyle {\tilde {y}}=\mathbb {H} {\tilde {x}}}$

ดังนั้น ระบบจะไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา หากเราสามารถใช้ตัวดำเนินการระบบกับตามด้วยตัวดำเนินการเลื่อนหรือเราสามารถใช้ตัวดำเนินการเลื่อนตามด้วยตัวดำเนินการระบบซึ่งการคำนวณทั้งสองแบบให้ผลลัพธ์ที่เทียบเท่ากัน ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle {\tilde {x}}}$${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$${\displaystyle \mathbb {H} }$

การใช้ตัวดำเนินการระบบก่อนจะทำให้ได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle \mathbb {T} _{r}\mathbb {H} {\tilde {x}}=\mathbb {T} _{r}{\tilde {y}}={\tilde {y}}_{r}}$

การใช้ตัวดำเนินการกะก่อนจะทำให้ได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle \mathbb {H} \mathbb {T} _{r}{\tilde {x}}=\mathbb {H} {\tilde {x}}_{r}}$

ถ้าหากระบบนั้นไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาแล้ว

${\displaystyle \mathbb {H} {\tilde {x}}_{r}={\tilde {y}}_{r}}$

• การตอบสนองแบบอิมพัลส์จำกัด
• ลำดับของเชฟเฟอร์
• พื้นที่สถานะ (การควบคุม)
• กราฟแสดงการไหลของสัญญาณ
• ทฤษฎีระบบ LTI
• ระบบอัตโนมัติ (คณิตศาสตร์)