ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์บรรทัดฐานสม่ำเสมอ (หรือฟังก์ชัน sup normกำหนดค่าจำนวนไม่เป็นลบให้กับ ฟังก์ชันที่มีขอบเขตซึ่งมีค่าจำนวนจริงหรือที่กำหนดบนเซต${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\|f\|_{\infty ,S}=\sup \left\{\,|f(s)|:s\in S\,\right\}.}$

มาตรฐานนี้เรียกอีกอย่างว่าบรรทัดฐานสูงสุด​บรรทัดฐานเชบิเชฟนอร์มอนันต์หรือเมื่อค่าสูงสุดคือค่าสูงสุดจริงๆนอร์มสูงสุดชื่อ "นอร์มเอกรูป" มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าลำดับของฟังก์ชัน^จะลู่เข้า${\displaystyle \left\{f_{n}\right\}}$สู่ภายใต้${\displaystyle f}$เมตริกที่จากนอร์มเอกรูปก็ต่อเมื่อลู่เข้า${\displaystyle f_{n}}$สู่อย่างสม่ำเสมอ${\displaystyle f}$ [ ^{1 ]}

ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle f}$เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิดและมีขอบเขตหรือโดยทั่วไปแล้ว บนเซต กระชับ ฟังก์ชัน นั้นจะมีขอบเขต และค่าสูงสุดในนิยามข้างต้นได้มาจากการทฤษฎีบทค่าสุดขีด ของไวเออร์สตรัส ดังนั้นเราจึงสามารถแทนที่ค่าสูงสุดด้วยค่าสูงสุดได้ ในกรณีนี้ ค่าบรรทัดฐานก็เรียกว่าค่าสูงสุดเช่นกันบรรทัดฐานสูงสุดโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า⁠⁠${\displaystyle x}$เป็นเวกเตอร์บางตัวที่อยู่ในปริภูมิพิกัดมิติจำกัดซึ่งจะมีรูปแบบดังนี้: ${\displaystyle x=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$

${\displaystyle \|x\|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).}$

สิ่งนี้เรียกว่า-นอร์ม ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

โดยทั่วไปแล้ว นอร์มเอกรูปจะถูกกำหนดขึ้นสำหรับฟังก์ชันที่มีขอบเขตซึ่งมีค่าอยู่ในปริภูมิที่มีนอร์มให้เป็นเซต และให้เป็นปริภูมิที่มีนอร์มบนเซตของฟังก์ชันจากไปจะมีนอร์มแบบขยายที่กำหนดโดย ${\displaystyle X}$${\displaystyle (Y,\|\|_{Y})}$${\displaystyle Y^{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \|f\|=\sup _{x\in X}\|f(x)\|_{Y}\in [0,\infty ].}$

โดยทั่วไปแล้ว นี่คือบรรทัดฐานแบบขยาย เนื่องจากฟังก์ชันอาจไม่มีขอบเขต การจำกัดบรรทัดฐานแบบขยายนี้เฉพาะฟังก์ชันที่มีขอบเขต (กล่าวคือ ฟังก์ชันที่มีค่าจำกัดของบรรทัดฐานแบบขยายข้างต้น) จะได้บรรทัดฐาน (ที่มีค่าจำกัด) ที่เรียกว่าบรรทัดฐานเอกรูปบนเซตโปรดทราบว่านิยามของบรรทัดฐานเอกรูปไม่ได้อาศัยโครงสร้างเพิ่มเติมใดๆ บนเซตแม้ว่าในทางปฏิบัติ เซตมักจะเป็นอย่างน้อยปริภูมิเชิงทอพอโลยีก็ตาม ${\displaystyle f}$${\displaystyle Y^{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

การลู่เข้าในโทโพโลยีที่เกิดจากบรรทัดฐานขยายแบบเอกรูป คือการลู่เข้าแบบเอกรูปสำหรับลำดับ และสำหรับเน็ตและฟิลเตอร์บน ด้วยเช่น กัน ${\displaystyle Y^{X}}$${\displaystyle Y^{X}}$

เราสามารถกำหนดเซตปิดและการปิดของเซตโดยสัมพันธ์กับโทโพโลยีเมตริกนี้ได้ เซตปิดในบรรทัดฐานเอกรูปบางครั้งเรียกว่าเซตปิดเอกรูปและการปิดเรียก ว่า การปิดเอกรูป การปิดเอกรูปของเซตฟังก์ชัน A คือปริภูมิของฟังก์ชันทั้งหมดที่สามารถประมาณได้ด้วยลำดับของฟังก์ชันที่ลู่เข้าเอกรูปบนตัวอย่างเช่น การกล่าวซ้ำทฤษฎีบทสโตน-ไวเออร์สตรัส อีกประการหนึ่ง คือ เซตของฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมดบนคือการปิดเอกรูปของเซตของพหุนามบน${\displaystyle A.}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle [a,b].}$

สำหรับ ฟังก์ชัน ต่อเนื่อง เชิงซ้อน บนปริภูมิกระชับ จะทำให้กลายเป็นพีชคณิต C* (ดูการแสดงแทนแบบ Gelfand )

เมตริกเอกรูป (uniform metric)ระหว่างฟังก์ชันที่มีขอบเขตสองฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปยังปริภูมิเมตริก (metric space)ถูกกำหนดโดย ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (Y,d_{Y})}$

${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in X}d_{Y}(f(x),g(x))}$

เมตริกแบบเอกรูปเรียกอีกอย่างว่าเมตริกเชบิเชฟ ตั้งชื่อตามปาฟนูตี เชบิเชฟผู้ซึ่งเป็นคนแรกที่ศึกษาเมตริกอย่างเป็นระบบ ในกรณีนี้จะมีขอบเขตก็ต่อเมื่อมีค่าจำกัดสำหรับฟังก์ชันคงที่หากเราอนุญาตให้ใช้ฟังก์ชันที่ไม่มีขอบเขต สูตรนี้จะไม่ให้ค่าบรรทัดฐานหรือเมตริกในความหมายที่แท้จริง แม้ว่าเมตริกขยายจะยังคงอนุญาตให้กำหนดโทโพโลยีบนปริภูมิฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องได้ การลู่เข้าก็ยังคงเป็นการลู่เข้าแบบเอกรูปโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ลำดับจะลู่เข้าแบบเอกรูปไปยังฟังก์ชันก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle f}$${\displaystyle d(f,g)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \left\{f_{n}:n=1,2,3,\ldots \right\}}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }d(f_{n},f)=0.\,}$$

ถ้าเป็นปริภูมิบรรทัดฐานแล้ว มันจะเป็นปริภูมิเมตริกโดยธรรมชาติ เมตริกขยายบนที่เกิดจากบรรทัดฐานขยายแบบเอกรูปนั้นเหมือนกับเมตริกขยายแบบเอกรูป ${\displaystyle (Y,\|\|_{Y})}$${\displaystyle Y^{X}}$

${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in X}\|f(x)-g(x)\|_{Y}}$

บน${\displaystyle Y^{X}}$

ให้เป็นเซต และให้เป็นปริภูมิเอกรูป ลำดับของฟังก์ชันจากไปกล่าวได้ว่าลู่เข้าเอกรูปไปยังฟังก์ชันถ้าสำหรับแต่ละกลุ่มฟังก์ชันจะมีจำนวนธรรมชาติเช่นนั้นอยู่ในเมื่อใดก็ตามที่และในทำนองเดียวกันสำหรับเน็ต นี่คือการลู่เข้าในโทโพโลยีบนในความเป็นจริง เซต ${\displaystyle X}$${\displaystyle (Y,{\คณิตศาสตร์ {E}__{Y})}$${\displaystyle (f_{n})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle E\in {\คณิตศาสตร์ {E}__{Y}}$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle (f_{n}(x),f(x))}$${\displaystyle E}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle n\geq n_{0}}$${\displaystyle Y^{X}}$

${\displaystyle \{(f,g)\colon \forall x\in X\colon (f(x),g(x))\in E\}}$

โดยที่วิ่งผ่านกลุ่มของรูปแบบระบบพื้นฐานของกลุ่มของความสม่ำเสมอบนเรียกว่าความสม่ำเสมอของการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอบน การลู่เข้า แบบสม่ำเสมอคือการลู่เข้าภายใต้โทโพโลยีแบบสม่ำเสมอของมันนั่นเอง ${\displaystyle E}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y^{X}}$${\displaystyle Y^{X}}$

ถ้าเป็นปริภูมิเมตริกแล้ว โดยค่าเริ่มต้นจะมีคุณสมบัติความเป็นเอกรูปเมตริกคุณสมบัติความเป็นเอกรูปเมตริก บนเมื่อเทียบกับเมตริกขยายเอกรูป คือ คุณสมบัติความเป็นเอกรูปของการลู่เข้าเอกรูปบน ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$${\displaystyle Y^{X}}$${\displaystyle Y^{X}}$

เซตของเวกเตอร์ที่มีค่านอร์มอนันต์เป็นค่าคงที่ที่กำหนดจะก่อตัวเป็นพื้นผิวของไฮเปอร์คิวบ์ที่มีความยาวด้าน ${\displaystyle c,}$${\displaystyle 2c.}$

เหตุผลที่ใช้ตัวห้อย “ ” คือ เมื่อใดก็ตามที่ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและสำหรับบางค่าแล้ว โดย ที่ เป็น โดเมนของ; อินทิกรัลจะมีค่าเท่ากับผลรวม ถ้าเป็นเซตแบบไม่ต่อเนื่อง (ดูp -norm ) ${\displaystyle \infty }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Vert f\Vert _{p}<\infty }$${\displaystyle p\in (0,\infty )}$$${\displaystyle \lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}=\|f\|_{\infty },}$$$${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{D}|f|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}}$$${\displaystyle D}$${\displaystyle f}$${\displaystyle D}$

• L-อินฟินิตี้  – ปริภูมิของลำดับที่มีขอบเขต
• ความต่อเนื่องที่สม่ำเสมอ  – การจำกัดการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันอย่างสม่ำเสมอ
• ปริภูมิเอกรูป  – ปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีแนวคิดเกี่ยวกับคุณสมบัติเอกรูป
• ระยะทางเชบิเชฟ  – เมตริกทางคณิตศาสตร์