ในทางคณิตศาสตร์เดลต้าโครเนกเกอร์ (ตั้งชื่อตามเลโอโปลด์ โครเนกเกอร์ ) คือฟังก์ชันของตัวแปร สองตัว ซึ่งโดยปกติจะ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบฟังก์ชันจะมีค่าเป็น 1 ถ้าตัวแปรทั้งสองเท่ากัน และมีค่าเป็น 0 ถ้าตัวแปรทั้งสองไม่เท่ากัน หรือโดยใช้วงเล็บไอเวอร์สัน : ตัวอย่างเช่นเพราะใน ขณะที่เพราะ$${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{ถ้า }}i\neq j,\\1&{\text{ถ้า }}i=j.\end{cases}}}$$$${\displaystyle \delta _{ij}=[i=j]\,}$$${\displaystyle \เดลต้า _{12}=0}$${\displaystyle 1\neq 2}$${\displaystyle \เดลต้า _{33}=1}$${\displaystyle 3=3}$

เดลต้าโครเนกเกอร์ปรากฏขึ้นตามธรรมชาติในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ วิศวกรรมศาสตร์ และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ โดยเป็นวิธีการแสดงคำจำกัดความข้างต้นอย่างกระชับ เดลต้าโครเนกเกอร์เวอร์ชันทั่วไปพบการประยุกต์ใช้ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และแคลคูลัสเทนเซอร์สมัยใหม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการกำหนดทฤษฎีเกจและแบบจำลองสนามโทโพโลยี^{[ 1 ]}

ในพีชคณิตเชิงเส้นเมทริกซ์เอกลักษณ์จะมีสมาชิกเท่ากับเดลต้าโครเนกเกอร์ โดยที่และมีค่าเป็นและผลคูณภายในของเวกเตอร์สามารถเขียนได้ดังนี้ โดย ที่เวกเตอร์ยุคลิดถูกกำหนดให้เป็นn -tuple ดังนี้และและขั้นตอนสุดท้ายได้มาจากการใช้ค่าของเดลต้าโครเนกเกอร์เพื่อลดผลรวมเหนือ ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbf {I} }$$${\displaystyle I_{ij}=\เดลต้า _{ij}}$$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle 1,2,\cdots ,n}$$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i,j=1}^{n}a_{i}\delta _{ij}b_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.}$$${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},...,b_{n})}$${\displaystyle j}$

โดยทั่วไปแล้วiและjจะถูกจำกัดให้อยู่ในเซตที่มีรูปแบบ{1, 2, ..., n }หรือ{0, 1, ..., n − 1}แต่เดลต้าโครเนกเกอร์สามารถกำหนดได้บนเซตใดๆ ก็ได้

สมการต่อไปนี้เป็นจริง: ดังนั้น เมทริกซ์δจึงถือได้ว่าเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j}\delta _{ij}a_{j}&=a_{i},\\\sum _{i}a_{i}\delta _{ij}&=a_{j},\\\sum _{k}\delta _{ik}\delta _{kj}&=\delta _{ij}.\end{aligned}}}$$

รูปแบบการแสดงผลที่มีประโยชน์อีกรูปแบบหนึ่งคือรูปแบบต่อไปนี้: ซึ่งสามารถหาได้โดยใช้สูตรสำหรับอนุกรม เรขาคณิต$${\displaystyle \delta _{nm}=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}e^{2\pi i{\frac {k}{N}}(nm)}}$$

การใช้วงเล็บไอเวอร์สัน :$${\displaystyle \delta _{ij}=[i=j].}$$

โดยทั่วไปจะใช้สัญกรณ์ที่มีอาร์กิวเมนต์เดียวซึ่งเทียบเท่ากับการตั้งค่า: ${\displaystyle \delta _{i}}$${\displaystyle j=0}$$${\displaystyle \delta _{i}=\delta _{i0}={\begin{cases}0,&{\text{ถ้า }}i\neq 0\\1,&{\text{ถ้า }}i=0\end{cases}}}$$

ในพีชคณิตเชิงเส้นสามารถคิดได้ว่าเป็นเทนเซอร์และเขียนว่าบางครั้งเดลต้าโครเนกเกอร์เรียกว่าเทนเซอร์ทดแทน^{[ 2 ]}${\displaystyle \เดลต้า _{j}^{i}}$

ในการศึกษาการประมวลผลสัญญาณดิจิทัล (DSP) ฟังก์ชันเดลต้าโครเนกเกอร์บางครั้งหมายถึงฟังก์ชันตัวอย่างหน่วยซึ่งแสดงถึงกรณีพิเศษของฟังก์ชันเดลต้าโครเนกเกอร์ 2 มิติโดยที่ดัชนีโครเนกเกอร์รวมถึงเลขศูนย์ และดัชนีตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์: ${\displaystyle \delta [n]}$${\displaystyle \delta _{ij}}$$${\displaystyle \delta [n]\equiv \delta _{n0}\equiv \delta _{0n}~~~{\text{โดยที่}}-\infty <n<\infty }$$

หรือโดยทั่วไปแล้วในกรณีที่: $${\displaystyle \delta [nk]\equiv \delta [kn]\equiv \delta _{nk}\equiv \delta _{kn}{\text{โดยที่}}-\infty <n<\infty ,-\infty <k<\infty }$$

สำหรับสัญญาณเวลาไม่ต่อเนื่อง ตามธรรมเนียมแล้วจะใช้ดัชนีจำนวนเต็มตัวเดียวในวงเล็บเหลี่ยม ในทางตรงกันข้าม เดลต้าโครเนกเกอร์สามารถมีดัชนีได้หลายตัว ใน ทฤษฎี ระบบ LTIฟังก์ชันตัวอย่างหน่วยไม่ต่อเนื่องมักใช้เป็นอินพุตของระบบเวลาไม่ต่อเนื่องเพื่อกำหนด ฟังก์ชัน การตอบสนองแบบอิมพัลส์ของระบบ ซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของระบบสำหรับอินพุตทั่วไปใดๆ ในทางตรงกันข้าม วัตถุประสงค์ทั่วไปของฟังก์ชันเดลต้าโครเนกเกอร์คือการกรองเทอมจากแบบแผนการรวมผลบวกของไอน์สไตน์ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

ฟังก์ชันการสุ่มตัวอย่างหน่วยแบบไม่ต่อเนื่องนั้น สามารถนิยามได้อย่างง่ายๆ ดังนี้: $${\displaystyle \delta [n]={\begin{cases}1&n=0\\0&n{\text{ เป็นจำนวนเต็มอีกตัวหนึ่ง}}\end{cases}}}$$

ในทางเปรียบเทียบ ในระบบเวลาต่อเนื่องฟังก์ชันเดลต้าของ Diracมักถูกเข้าใจผิดว่าเป็นทั้งฟังก์ชันเดลต้าของ Kronecker และฟังก์ชันตัวอย่างหน่วย ฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac นิยามได้ดังนี้: $${\displaystyle {\begin{cases}\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\delta (t)dt=1&\forall \varepsilon >0\\\delta (t)=0&\forall t\neq 0\end{cases}}}$$

ต่างจากฟังก์ชันเดลต้าของโครเนกเกอร์และฟังก์ชันตัวอย่างหน่วย ฟังก์ชันเดลต้าของดิแรกไม่มีดัชนีเป็นจำนวนเต็ม แต่มีค่าต่อเนื่องที่ไม่ใช่จำนวนเต็มเพียงค่าเดียวคือ t${\displaystyle \delta _{ij}}$${\displaystyle \delta [n]}$${\displaystyle \delta (t)}$

ในระบบเวลาต่อเนื่อง คำว่า " ฟังก์ชันอิมพัลส์หน่วย " ใช้เพื่ออ้างถึงฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac หรือในระบบเวลาไม่ต่อเนื่อง ใช้เพื่ออ้างถึงฟังก์ชันเดลต้าของKronecker ${\displaystyle \delta (t)}$${\displaystyle \delta [n]}$

เดลต้าโครเนกเกอร์มีคุณสมบัติที่เรียกว่า คุณสมบัติ การกรองสำหรับ: และหากจำนวนเต็มถูกมองว่าเป็นปริภูมิการวัดซึ่งมีมาตรวัดการนับแล้วคุณสมบัตินี้จะตรงกับคุณสมบัติที่กำหนดของฟังก์ชันเดลต้าของดิแรก และในความเป็นจริง เดลต้าของดิแรกได้รับการตั้งชื่อตามเดลต้าโครเนกเกอร์เนื่องจากคุณสมบัติที่คล้ายคลึงกันนี้^{[ 3 ]} ในการประมวลผลสัญญาณ บริบท (เวลาแบบไม่ต่อเนื่องหรือแบบต่อเนื่อง) มักจะเป็นตัวแยกแยะ "ฟังก์ชัน" โครเนกเกอร์และดิแรก และตามธรรมเนียม โดยทั่วไปจะบ่งชี้ถึงเวลาแบบต่อเนื่อง (ดิแรก) ในขณะที่อาร์กิวเมนต์เช่น, , , , , และมักจะสงวนไว้สำหรับเวลาแบบไม่ต่อเนื่อง (โครเนกเกอร์) การปฏิบัติทั่วไปอีกอย่างหนึ่งคือการแสดงลำดับแบบไม่ต่อเนื่องด้วยวงเล็บเหลี่ยม ดังนั้น: เดลต้าโครเนกเกอร์ไม่ใช่ผลลัพธ์ของการสุ่มตัวอย่างฟังก์ชันเดลต้าของดิแรกโดยตรง ${\displaystyle j\in \mathbb {Z} }$$${\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ij}=a_{j}.}$$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)f(x)\,dx=f(y),}$$${\displaystyle \delta (t)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$${\displaystyle l}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \delta [n]}$

เดลต้าโครเนกเกอร์สร้างองค์ประกอบเอกลักษณ์ การคูณ ของพีชคณิตเหตุการณ์^{[ 4 ]}

เดลต้าโครเนกเกอร์เป็นฟังก์ชัน เรียกซ้ำพื้นฐาน

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติฟังก์ชันเดลต้าโครเนกเกอร์และ เดลต้าดิแรก สามารถใช้แทนการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องได้ ทั้งคู่ ถ้าขอบเขตของการแจกแจงประกอบด้วยจุดโดยมีความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันแล้วฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นของการแจกแจงบนสามารถเขียนได้โดยใช้เดลต้าโครเนกเกอร์ดังนี้ ${\displaystyle \mathbf {x} =\{x_{1},\cdots ,x_{n}\}}$${\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n}}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle \mathbf {x} }$$${\displaystyle p(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta _{xx_{i}}.}$$

ในทำนองเดียวกันฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น ของการแจกแจงสามารถเขียนได้โดยใช้ฟังก์ชันเดลต้าของดิแรกดังนี้ ${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}).}$$

ภายใต้เงื่อนไขบางประการ เดลต้าโครเนกเกอร์สามารถเกิดขึ้นได้จากการสุ่มตัวอย่างฟังก์ชันเดลต้าของดิแรก ตัวอย่างเช่น หากพัลส์เดลต้าของดิแรกเกิดขึ้นอย่างแม่นยำที่จุดสุ่มตัวอย่างและถูกกรองความถี่ต่ำอย่างสมบูรณ์แบบ (โดยมีจุดตัดที่ความถี่วิกฤต) ตามทฤษฎีบทการสุ่มตัวอย่างของไนควิสต์-แชนนอนสัญญาณเวลาไม่ต่อเนื่องที่ได้จะเป็นฟังก์ชันเดลต้าโครเนกเกอร์

หากพิจารณาว่าเป็นเทนเซอร์ ประเภทหนึ่ง เทนเซอร์โครเนกเกอร์สามารถเขียนได้โดยใช้ดัชนีโคแวเรียนต์และดัชนีคอนทราแวเรียนต์ : ${\displaystyle (1,1)}$${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$$${\displaystyle \delta _{j}^{i}={\begin{cases}0&(i\neq j),\\1&(i=j).\end{cases}}}$$

เทนเซอร์นี้แสดงถึง:

• เมทริกซ์เอกลักษณ์ (หรือเมทริกซ์ความเหมือน) ถือเป็นการแมปเชิงเส้น หรือ${\displaystyle V\to V}$${\displaystyle V^{*}\to V^{*}}$
• ร่องรอยหรือการหดตัวของเทนเซอร์ถือเป็นการแมป${\displaystyle V^{*}\otimes V\to K}$
• แผนภาพนี้แสดงการคูณสเกลาร์ในรูปผลรวมของ ผล คูณภายนอก${\displaystyle K\to V^{*}\otimes V}$

เดอะเดลต้าโครเนกเกอร์แบบทั่วไปหรือเดลต้าโครเนกเกอร์แบบหลายดัชนีอันดับเป็นเทนเซอร์ประเภทหนึ่งที่มีสมมาตรผกผันในดัชนีบน และในดัชนีล่าง ${\displaystyle 2p}$${\displaystyle (p,p)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

มีการใช้ คำจำกัดความสองแบบที่แตกต่างกันด้วยปัจจัยด้านล่างนี้ เวอร์ชันที่นำเสนอจะมีส่วนประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งปรับขนาดเป็นเวอร์ชันที่สองมีส่วนประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งเป็นซึ่งส่งผลให้ปัจจัยการปรับขนาดในสูตรเปลี่ยนแปลงไป เช่น ปัจจัยการปรับขนาดของใน§ คุณสมบัติของเดลต้าโครเนกเกอร์ทั่วไปด้านล่างหายไป^{[ 5 ]}${\displaystyle p!}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle \pm 1/p!}$${\displaystyle 1/p!}$

ในแง่ของดัชนี เดลต้าโครเนกเกอร์ทั่วไปถูกกำหนดดังนี้: ^{[ 6 ] [ 7 ]}$${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{cases}{\phantom {-}}1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ are distinct integers and are an even permutation of }}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\-1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ are distinct integers and are an odd permutation of }}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\{\phantom {-}}0&\quad {\text{in all other cases}}.\end{cases}}}$$

ให้เป็นกลุ่มสมมาตร ที่มีดีกรี n แล้ว: ${\displaystyle \mathrm {S} _{p}}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{\sigma (1)}}^{\mu _{1}}\cdots \delta _{\nu _{\sigma (p)}}^{\mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{\sigma (1)}}\cdots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{\sigma (p)}}.}$$

การใช้การต่อต้านสมมาตร : $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=p!\delta _{[\nu _{1}}^{\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}]}^{\mu _{p}}=p!\delta _{\nu _{1}}^{[\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}]}.}$$

ในแง่ของตัวกำหนด : ^{[ 8 ]}${\displaystyle p\times p}$$${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{vmatrix}\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{1}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{p}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\end{vmatrix}}.}$$

โดยใช้การขยายลาปลาส ( สูตรของลาปลาส ) ของดีเทอร์มิแนนต์ อาจกำหนดแบบเวียนซ้ำได้ดังนี้ : ^{[ 9 ]} โดยที่ caron, , บ่งชี้ถึงดัชนีที่ถูกละเว้นจากลำดับ $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=\sum _{k=1}^{p}(-1)^{p+k}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots {\check {\nu }}_{k}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{k}\dots {\check {\mu }}_{p}}\\&=\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p-1}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p-1}}-\sum _{k=1}^{p-1}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{k-1}\,\nu _{p}\,\nu _{k+1}\dots \nu _{p-1}}^{\mu _{1}\dots \mu _{k-1}\,\mu _{k}\,\mu _{k+1}\dots \mu _{p-1}},\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\check {}}}$

เมื่อ(มิติของปริภูมิเวกเตอร์) ในแง่ของสัญลักษณ์ Levi-Civita : โดยทั่วไปแล้ว สำหรับ โดยใช้หลักการบวกแบบไอน์สไตน์ : ${\displaystyle p=n}$$${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}=\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}\,.}$$${\displaystyle m=n-p}$$${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\tfrac {1}{m!}}\varepsilon ^{\kappa _{1}\dots \kappa _{m}\mu _{1}\dots \mu _{p}}\varepsilon _{\kappa _{1}\dots \kappa _{m}\nu _{1}\dots \nu _{p}}\,.}$$

การหดตัวของ Kronecker Delta ขึ้นอยู่กับมิติของปริภูมิ ตัวอย่างเช่น โดยที่dคือมิติของปริภูมิ จากความสัมพันธ์นี้จะได้เดลต้าที่หดตัวอย่างสมบูรณ์ดังนี้ การวางนัยทั่วไปของสูตรข้างต้นคือ $${\displaystyle \delta _{\mu _{1}}^{\nu _{1}}\delta _{\nu _{1}\nu _{2}}^{\mu _{1}\mu _{2}}=(d-1)\delta _{\nu _{2}}^{\mu _{2}},}$$$${\displaystyle \delta _{\mu _{1}\mu _{2}}^{\nu _{1}\nu _{2}}\delta _{\nu _{1}\nu _{2}}^{\mu _{1}\mu _{2}}=2d(d-1).}$$$${\displaystyle \delta _{\mu _{1}\dots \mu _{n}}^{\nu _{1}\dots \nu _{n}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=n!{\frac {(d-p+n)!}{(d-p)!}}\delta _{\nu _{n+1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{n+1}\dots \mu _{p}}.}$$

สามารถใช้เดลต้าโครเนกเกอร์แบบทั่วไปสำหรับการต่อต้านสมมาตรได้ : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=a^{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=a_{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]}.\end{aligned}}}$$

จากสมการข้างต้นและคุณสมบัติของเทนเซอร์แบบแอนติสมมาตรเราสามารถอนุมานคุณสมบัติของเดลต้าโครเนกเกอร์แบบทั่วไปได้ ซึ่งเป็นเวอร์ชันทั่วไปของสูตรที่เขียนไว้ในหัวข้อ § คุณสมบัติสูตรสุดท้ายนี้เทียบเท่ากับสูตรโคชี-บิเนต์ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]}&=a^{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]}&=a_{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}\delta _{\kappa _{1}\dots \kappa _{p}}^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=\delta _{\kappa _{1}\dots \kappa _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}},\end{aligned}}}$$

การลดลำดับโดยการรวมดัชนีอาจแสดงด้วยเอกลักษณ์^{[ 10 ]}$${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}\,\mu _{s+1}\dots \mu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}\,\mu _{s+1}\dots \mu _{p}}={\frac {(n-s)!}{(n-p)!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}}.}$$

โดยใช้ทั้งกฎการรวมสำหรับกรณีและความสัมพันธ์กับสัญลักษณ์ Levi-Civita กฎการรวมของสัญลักษณ์ Levi-Civitaจึงได้มา: เวอร์ชัน 4 มิติของความสัมพันธ์สุดท้ายปรากฏในแนวทางสปินเนอร์ของ Penrose สำหรับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป^{[ 11 ]}ซึ่งต่อมาเขาได้ขยายความในขณะที่เขากำลังพัฒนาไดอะแกรมของ Aitken ^{[ 12 ]}เพื่อให้กลายเป็นส่วนหนึ่งของเทคนิคสัญกรณ์กราฟิกของPenrose [ ^{13 ] นอกจาก}นี้ ความสัมพันธ์นี้ยังถูกใช้อย่างกว้างขวางใน ทฤษฎี S-dualityโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเขียนในภาษาของรูปแบบเชิงอนุพันธ์และHodge duals${\displaystyle p=n}$$${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\frac {1}{(n-p)!}}\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{p}\,\kappa _{p+1}\dots \kappa _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{p}\,\kappa _{p+1}\dots \kappa _{n}}.}$$

สำหรับจำนวนเต็มใดๆและค่าเดลต้าของโครเนกเกอร์สามารถเขียนได้ในรูปอินทิกรัลเส้น โค้งเชิงซ้อนโดยใช้การคำนวณ เศษเหลือมาตรฐาน อินทิ กรัลนี้คำนวณบนวงกลมหน่วยในระนาบเชิงซ้อนซึ่งมีทิศทางทวนเข็มนาฬิกา การแสดงอินทิกรัลที่เทียบเท่ากันเกิดขึ้นได้โดยการกำหนดพารามิเตอร์เส้นโค้งด้วยมุมรอบจุดกำเนิด ${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$$${\displaystyle \delta _{jk}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|z|=1}z^{j-k-1}\,dz={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(j-k)\varphi }\,d\varphi }$$

ฟังก์ชันหวีโครเนกเกอร์ที่มีคาบ N ถูกกำหนด (โดยใช้ สัญกรณ์ DSP ) ดังนี้: โดยที่, และเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น หวีโครเนกเกอร์จึงประกอบด้วยอนุกรมอนันต์ของอิมพัลส์หน่วยที่ ห่างกัน Nหน่วย โดยเรียงตัวกันเพื่อให้หนึ่งในอิมพัลส์เกิดขึ้นที่ศูนย์ อาจถือได้ว่าเป็นอนาล็อกแบบไม่ต่อเนื่องของหวีดิแรก ${\displaystyle N}$$${\displaystyle \Delta _{N}[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta [n-kN],}$$${\displaystyle N\neq 0}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

• การวัดแบบดิแรก
• ฟังก์ชันขั้นบันไดเฮวิไซด์
• ฟังก์ชันตัวบ่งชี้
• สัญลักษณ์ Levi-Civita
• เมตริกมินคอฟสกี
• สัญลักษณ์กีบเท้า
• ฟังก์ชันหน่วย
• เกต XNOR