วงจรRLCเป็นวงจรไฟฟ้าที่ประกอบด้วยตัวต้านทาน (R) ตัวเหนี่ยวนำ (L) และตัวเก็บประจุ (C) ที่ต่อกันแบบอนุกรมหรือแบบขนาน ชื่อของวงจรนี้ได้มาจากตัวอักษรที่ใช้แทนส่วนประกอบของวงจร โดยลำดับของส่วนประกอบอาจแตกต่างจาก RLC ได้

วงจรนี้สร้างออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกสำหรับกระแสไฟฟ้า และเกิดการสั่นพ้องในลักษณะคล้ายกับวงจร LCการเพิ่มตัวต้านทานจะทำให้การสั่นพ้องเหล่านี้ลดลง ซึ่งเรียกว่า การ หน่วงตัวต้านทานยังช่วยลดความถี่เรโซแนนซ์สูงสุดด้วย ความต้านทานบางส่วนเป็นสิ่งที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ แม้ว่าจะไม่ได้ระบุตัวต้านทานเป็นส่วนประกอบโดยเฉพาะก็ตาม

วงจร RLC มีการใช้งานมากมายในฐานะวงจร oscillatorเครื่องรับวิทยุและโทรทัศน์ใช้วงจรนี้ในการปรับจูนเพื่อเลือกช่วงความถี่แคบๆ จากคลื่นวิทยุรอบข้าง ในบทบาทนี้ วงจรนี้มักถูกเรียกว่าวงจรปรับจูน วงจร RLC สามารถใช้เป็นตัวกรองแบบ band-pass , band-stop , low-passหรือhigh-passได้ ตัวอย่างเช่น การปรับจูนเป็นตัวอย่างของการกรองแบบ band-pass ตัวกรอง RLC ถูกอธิบายว่าเป็น วงจร อันดับสอง ซึ่งหมายความว่าแรงดันหรือกระแสใดๆ ในวงจรสามารถอธิบายได้ด้วย สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองใน การ วิเคราะห์ วงจร

องค์ประกอบวงจรทั้งสาม ได้แก่ R, L และ C สามารถนำมาประกอบกันได้ในหลายรูปแบบการต่ออนุกรมหรือการต่อขนานองค์ประกอบทั้งสามนั้นง่ายที่สุดในเชิงแนวคิดและวิเคราะห์ได้ง่ายที่สุด อย่างไรก็ตาม ยังมีการจัดเรียงแบบอื่น ๆ ซึ่งบางแบบมีความสำคัญในทางปฏิบัติในวงจรจริง ปัญหาหนึ่งที่มักพบคือความจำเป็นต้องคำนึงถึงความต้านทานของตัวเหนี่ยวนำ ตัวเหนี่ยวนำมักสร้างขึ้นจากขดลวด ซึ่งความต้านทานของขดลวดนั้นโดยทั่วไปไม่เป็นที่ต้องการ แต่ก็มักมีผลกระทบอย่างมากต่อวงจร

หนึ่งของวงจรนี้คือความสามารถในการสั่นพ้องที่ความถี่เฉพาะ ซึ่งเรียกว่าเรโซแนนซ์ f₀ ความถี่วัดเป็นหน่วยเฮิรตซ์ในบทความนี้ จะใช้ ความถี่เชิงมุมω₀เนื่องจากสะดวกกว่าทางคณิตศาสตร์ ความถี่เชิงมุมวัดเป็นหน่วยเรเดียนต่อวินาที ความสัมพันธ์ระหว่างความถี่และความถี่เป็นไปตามสัดส่วนอย่างง่าย

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}\,.}$

ปรากฏการณ์เรโซแนนซ์เกิดขึ้นเนื่องจากพลังงานในสถานการณ์นี้ถูกเก็บไว้ในสองรูปแบบที่แตกต่างกัน คือ ในสนามไฟฟ้าเมื่อตัวเก็บประจุถูกชาร์จ และในสนามแม่เหล็กเมื่อกระแสไฟฟ้าไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำ พลังงานสามารถถ่ายโอนจากรูปแบบหนึ่งไปยังอีกรูปแบบหนึ่งภายในวงจรได้ และสิ่งนี้สามารถทำให้เกิดการสั่นได้ การเปรียบเทียบทางกลศาสตร์คือ น้ำหนักที่แขวนอยู่บนสปริง ซึ่งจะสั่นขึ้นลงเมื่อปล่อย นี่ไม่ใช่เพียงแค่การเปรียบเทียบชั่วคราว น้ำหนักบนสปริงนั้นถูกอธิบายด้วยสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองแบบเดียวกันกับวงจร RLC และสำหรับคุณสมบัติทั้งหมดของระบบหนึ่ง จะพบคุณสมบัติที่คล้ายคลึงกันของอีกระบบหนึ่ง คุณสมบัติทางกลศาสตร์ที่สอดคล้องกับตัวต้านทานในวงจรคือแรงเสียดทานในระบบสปริง-น้ำหนัก แรงเสียดทานจะค่อยๆ ทำให้การสั่นหยุดลงหากไม่มีแรงภายนอกมาขับเคลื่อน ในทำนองเดียวกัน ความต้านทานในวงจร RLC จะ "ลดทอน" การสั่น ทำให้การสั่นลดลงเมื่อเวลาผ่านไปหากไม่มีแหล่งจ่ายไฟกระแสสลับในวงจร

ความถี่เรโซแนนซ์ถูกนิยามว่าเป็นความถี่ที่อิมพีแดนซ์ของวงจรมีค่าต่ำสุด หรืออาจนิยามได้อีกอย่างหนึ่งว่า เป็นความถี่ที่อิมพีแดนซ์เป็นค่าจริงล้วน (กล่าวคือ เป็นค่าความต้านทานล้วน) ปรากฏการณ์นี้เกิดขึ้นเนื่องจากอิมพีแดนซ์ของตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุที่ความถี่เรโซแนนซ์มีค่าเท่ากันแต่มีเครื่องหมายตรงข้ามกันและหักล้างกันไป วงจรที่ L และ C ต่อขนานกันแทนที่จะต่ออนุกรม จะมีอิมพีแดนซ์สูงสุดแทนที่จะเป็นอิมพีแดนซ์ต่ำสุด ด้วยเหตุนี้จึงมักเรียกวงจรเหล่านี้ว่าแอนติเรโซเนเตอร์อย่างไรก็ตาม ยังคงนิยมเรียกความถี่ที่เกิดปรากฏการณ์นี้ว่า ความถี่เรโซแนนซ์

ความถี่เรโซแนนซ์ถูกกำหนดโดยพิจารณาจากอิมพีแดนซ์ที่ป้อนให้กับแหล่งกำเนิดสัญญาณ วงจรยังคงสามารถสั่นต่อไปได้ (ในช่วงเวลาหนึ่ง) หลังจากที่แหล่งกำเนิดสัญญาณถูกถอดออก หรือหลังจากที่แรงดันไฟฟ้าถูกเปลี่ยนแปลง (รวมถึงการเปลี่ยนแปลงลงเหลือศูนย์) ปรากฏการณ์นี้คล้ายกับส้อมเสียงที่ ยังคงส่งเสียงกังวานต่อไปหลังจากถูกตี และมักเรียกปรากฏการณ์นี้ว่า "การสั่น" ปรากฏการณ์นี้คือความถี่เรโซแนนซ์ธรรมชาติสูงสุดของวงจร และโดยทั่วไปแล้วจะไม่เหมือนกับความถี่ เรโซแนนซ์ที่ถูกขับเคลื่อนอย่างแน่นอน แม้ว่าทั้งสองค่าจะค่อนข้างใกล้เคียงกันก็ตาม ผู้เขียนหลายท่านใช้คำศัพท์ที่แตกต่างกันเพื่อแยกแยะความแตกต่างระหว่างสองค่านี้ แต่โดยทั่วไปแล้ว ความถี่เรโซแนนซ์ที่ไม่ได้ระบุคุณสมบัติหมายถึงความถี่เรโซแนนซ์ที่ถูกขับเคลื่อน ความถี่ที่ถูกขับเคลื่อนอาจเรียกว่า ความถี่เรโซแนนซ์แบบไม่ลดทอน หรือความถี่ธรรมชาติแบบ ไม่ลดทอน และความถี่สูงสุดอาจเรียกว่าความถี่เรโซแนนซ์แบบลดทอน หรือความถี่ธรรมชาติแบบลดทอน เหตุผลของคำศัพท์เหล่านี้คือ ความถี่เรโซแนนซ์ที่ถูกขับเคลื่อนในวงจรเรโซแนนซ์แบบอนุกรมหรือแบบขนานมีค่าคงที่^{[ 1 ]}

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {L\,C~}}}\,~.}$

นี่คือความถี่เรโซแนนซ์ที่เหมือนกับวงจร LC ที่ไม่มีการสูญเสียพลังงาน – กล่าวคือ วงจรที่ไม่มีตัวต้านทานอยู่ ความถี่เรโซแนนซ์สำหรับ วงจร RLC ที่ถูกขับเคลื่อนจะเหมือนกับวงจรที่ไม่มีการหน่วง ดังนั้นจึงเรียกว่าความถี่เรโซแนนซ์แบบไม่หน่วง ในทางกลับกัน แอมพลิจูดสูงสุดของความถี่เรโซแนนซ์จะขึ้นอยู่กับค่าของตัวต้านทานและเรียกว่าความถี่เรโซแนนซ์แบบหน่วง วงจรที่ มีการหน่วงสูงมากจะไม่เกิดเรโซแนนซ์เลยเมื่อไม่ถูกขับเคลื่อน วงจรที่มีค่าตัวต้านทานที่ทำให้เกิดการสั่นไหวอย่างพอดีเรียกว่าวงจรหน่วงวิกฤต ส่วน วงจร ที่อยู่ด้านข้างของวงจรหน่วงวิกฤตจะเรียกว่าวงจรหน่วงน้อยเกินไป (เกิดการสั่นไหว) และวงจรหน่วงมากเกินไป (การสั่นไหวถูกระงับ)

วงจรที่มีโครงสร้างซับซ้อนกว่าวงจรอนุกรมหรือวงจรขนานแบบธรรมดา (ตัวอย่างบางส่วนจะกล่าวถึงในภายหลังในบทความนี้) จะมีความถี่เรโซแนนซ์ที่ถูกกระตุ้นซึ่งเบี่ยงเบนไปจากค่ามาตรฐานและสำหรับวงจรเหล่านั้น ความถี่เรโซแนนซ์แบบไม่หน่วง ความถี่เรโซแนนซ์แบบหน่วง และความถี่เรโซแนนซ์ที่ถูกกระตุ้น อาจแตกต่างกันได้ทั้งหมด ${\displaystyle \ \omega _{0}=1/{\sqrt {L\,C~}}\ }$

การหน่วงเกิดจากความต้านทานในวงจร มันเป็นตัวกำหนดว่าวงจรจะเกิดการสั่นพ้องตามธรรมชาติหรือไม่ (นั่นคือ โดยไม่มีแหล่งกำเนิดสัญญาณกระตุ้น) วงจรที่เกิดการสั่นพ้องในลักษณะนี้เรียกว่าวงจรหน่วงน้อยเกินไป (underdamped) และวงจรที่ไม่เกิดการสั่นพ้องเรียกว่าวงจรหน่วงมากเกินไป (overdamped) ค่าการหน่วง (สัญลักษณ์α ) วัดเป็นเนเปอร์ต่อวินาที อย่างไรก็ตามค่าตัวประกอบการหน่วง ที่ไม่มีหน่วย (สัญลักษณ์ζ , ซีตา) มักเป็นมาตรวัดที่มีประโยชน์มากกว่า ซึ่งมีความสัมพันธ์กับαโดย

${\displaystyle \ \zeta ={\frac {\alpha }{\ \omega _{0}\ }}\ .}$

กรณีพิเศษที่ζ = 1เรียกว่าการหน่วงวิกฤต (critical damping)ซึ่งแสดงถึงวงจรที่อยู่บนขอบของการสั่น (oscillation) พอดี เป็นค่าการหน่วงต่ำสุดที่สามารถใช้ได้โดยไม่ทำให้เกิดการสั่น

ปรากฏการณ์เรโซแนนซ์สามารถใช้ในการกรองได้ การเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วของอิมพีแดนซ์ใกล้กับเรโซแนนซ์สามารถใช้เพื่อส่งผ่านหรือปิดกั้นสัญญาณที่อยู่ใกล้ความถี่เรโซแนนซ์ได้ สามารถสร้างตัวกรองแบบผ่านย่านความถี่ (band-pass filter) และแบบหยุดย่านความถี่ (band-stop filter) ได้ และวงจรตัวกรองบางส่วนจะแสดงไว้ในภายหลังของบทความนี้ พารามิเตอร์สำคัญในการออกแบบตัวกรองคือแบนด์วิดท์ แบนด์วิดท์วัดระหว่างความถี่ตัดซึ่งส่วนใหญ่มักกำหนดให้เป็นความถี่ที่กำลังไฟฟ้าที่ผ่านวงจรลดลงเหลือครึ่งหนึ่งของค่าที่ผ่านที่เรโซแนนซ์ มีความถี่ครึ่งกำลังไฟฟ้าสองค่า คือค่าหนึ่งอยู่เหนือและอีกค่าหนึ่งอยู่ต่ำกว่าความถี่เรโซแนนซ์

${\displaystyle \Delta \omega =\omega _{2}-\omega _{1}\,,}$

โดยที่Δωคือแบนด์วิดท์, ω1คือความถี่ครึ่งกำลังล่าง และω2คือความถี่ครึ่งกำลังบน แบนด์วิดท์มีความสัมพันธ์กับการ ลด

${\displaystyle \Delta \omega =2\alpha \,,}$

โดยหน่วยเป็นเรเดียนต่อวินาทีและเนเปอร์ต่อวินาทีตามลำดับ หน่วยอื่นๆ อาจต้องใช้ตัวแปลง หน่วยวัดแบนด์วิดท์ที่ครอบคลุมกว่าคือแบนด์วิดท์แบบเศษส่วน ซึ่งแสดงแบนด์วิดท์เป็นเศษส่วนของความถี่เรโซแนนซ์และกำหนดโดย

${\displaystyle B_{\mathrm {f} }={\frac {\Delta \omega }{\omega _{0}}}\,.}$

แบนด์วิดท์แบบเศษส่วนมักระบุเป็นเปอร์เซ็นต์ด้วยเช่นกัน การลดทอนของวงจรกรองจะถูกปรับเพื่อให้ได้แบนด์วิดท์ที่ต้องการ ตัวกรองแบบแถบความถี่แคบ เช่นตัวกรองแบบน็อตช์ต้องการการลดทอนต่ำ ในขณะที่ตัวกรองแบบแถบความถี่กว้างต้องการการลดทอนสูง

ค่าQ เป็น มาตรวัดที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในการกำหนดลักษณะของตัวเรโซเนเตอร์ โดยนิยามว่าคือพลังงานสูงสุดที่เก็บไว้ในวงจรหารด้วยพลังงานเฉลี่ยที่สูญเสียไปต่อเรเดียนที่ความถี่เรโซแนนซ์ ดังนั้น วงจรที่มีค่า Q ต่ำ จึงมีการหน่วงและมีการสูญเสียสูง ใน ขณะที่วงจรที่มี ค่า Q สูง จะมีการหน่วงน้อยและมีแนวโน้มที่จะเกิดแอมพลิจูดสุดขั้วหากถูกขับเคลื่อนที่ความถี่เรโซแนนซ์^{[ a ]}ค่า Qเกี่ยวข้องกับแบนด์วิดท์ วงจรที่มีค่า Q ต่ำ จะมีแบนด์วิดท์กว้าง และ วงจรที่มีค่า Q สูง จะมีแบนด์วิดท์แคบ ในความเป็นจริง ค่าQเป็นส่วนกลับของแบนด์วิดท์แบบเศษส่วน

${\displaystyle Q={\frac {1}{\,B_{\mathrm {f} }\,}}={\frac {\omega _{\text{o}}}{\,\operatorname {\Delta } \omega \,}}\;.}$^{[ 2 ]}

ค่า Qมีความสัมพันธ์โดยตรงกับค่าการเลือกรับสัญญาณเนื่องจาก ค่า Qแปรผกผันกับแบนด์วิดท์

สำหรับวงจรเรโซแนนซ์แบบอนุกรม ( ดังแสดงด้านล่าง ) สามารถคำนวณค่า Qได้ดังนี้: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle Q={\frac {X}{\,R\;}}={\frac {1}{\,\omega _{\text{o}}R\,C\,}}={\frac {\,\omega _{\text{o}}L\,}{R}}={\frac {1}{\,R\;}}{\sqrt {{\frac {L}{\,C\,}}\,}}={\frac {\,Z_{\text{o}}\,}{R\;}}\;,}$^{[ 2 ]}

ค่ารีแอกแทนซ์ของหรือของ ที่สภาวะเรโซแนนซ์นั้นอยู่ ที่ใดและ${\displaystyle \,X\,}$${\displaystyle \,L\,}$${\displaystyle \,C\,}$${\displaystyle \,Z_{\text{o}}\equiv {\sqrt {{\frac {L}{\,C\,}}\,}}\;.}$

พารามิเตอร์ζ , B และQทั้งหมดถูกปรับขนาดให้เข้ากับω ซึ่งหมายความว่าวงจรที่มีพารามิเตอร์คล้ายกันจะมีลักษณะที่คล้ายกัน ไม่ว่าวงจรเหล่านั้นจะทำงานในย่านความถี่เดียวกันหรือไม่ก็ตาม

บทความถัดไปจะวิเคราะห์วงจร RLC แบบอนุกรมโดยละเอียด ส่วนการกำหนดค่าอื่นๆ จะไม่ได้อธิบายในรายละเอียดมากนัก แต่จะกล่าวถึงความแตกต่างที่สำคัญจากกรณีอนุกรม รูปแบบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ให้ไว้ในส่วนของวงจรอนุกรมนั้น สามารถนำไปใช้กับวงจรลำดับที่สองทั้งหมด และสามารถใช้เพื่ออธิบายแรงดันหรือกระแสในองค์ประกอบ ใดๆ ของแต่ละวงจรได้

ในวงจรนี้ ส่วนประกอบทั้งสามต่ออนุกรมกับแหล่งจ่ายแรงดัน สมการ เชิงอนุพันธ์ที่ควบคุมวงจรสามารถหาได้โดยการแทนสมการองค์ประกอบ ของแต่ละองค์ประกอบทั้งสามลงใน กฎแรงดันของเคิร์ชฮอฟฟ์ (KVL) จาก KVL

${\displaystyle V_{\mathrm {R} }(t)+V_{\mathrm {L} }(t)+V_{\mathrm {C} }(t)=V(t)\,,}$

โดยที่VR , VLและVCคือแรงดันตกคร่อมR , LและCตามลำดับ และV ( t ) คือแรงดันจากแหล่ง ทั้งหมดเป็นฟังก์ชันของเวลาtเนื่องจากอาจเปลี่ยนแปลงตาม

เมื่อแทนค่าและลงในสมการข้างต้นจะได้: ${\displaystyle V_{R}(t)=R\ I(t)\,,}$${\displaystyle \,V_{\mathrm {L} }(t)=L{\frac {\mathrm {d} I(t)}{\mathrm {d} t}}\,}$${\displaystyle \,V_{\mathrm {C} }(t)=V_{\mathrm {C} }(0)+{\frac {1}{\,C\,}}\int _{0}^{t}I(\tau )\,\mathrm {d} \tau \,}$

${\displaystyle RI(t)+L{\frac {\,\mathrm {d} I(t)\,}{\mathrm {d} t}}+V_{\mathrm {C} }(0)+{\frac {1}{\,C\,}}\int _{0}^{t}I(\tau )\,\mathrm {d} \tau =V(t)\;.}$

ในกรณีที่แหล่งกำเนิดเป็นแรงดันไฟฟ้าคงที่ การหาอนุพันธ์เทียบกับเวลาและหารด้วยL (และเรียงลำดับพจน์สองพจน์แรกใหม่ และตัด 0 ออกจากการหาอนุพันธ์ของพจน์ที่ 3 ที่เป็นค่าคงที่) จะนำไปสู่สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองดังต่อไปนี้:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+{\frac {R}{\,L\,}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}I(t)+{\frac {1}{\,L\,C\,}}I(t)=0\;.}$

สามารถอธิบายสิ่งนี้ให้อยู่ในรูปแบบที่นำไปใช้ได้ทั่วไปมากขึ้นได้ดังนี้:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+2\alpha {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}I(t)+\omega _{0}^{2}I(t)=0\;.}$

αและω ต่างก็มีหน่วยเป็นความถี่เชิงมุมαเรียกว่าความถี่เนเปอร์หรือการลดทอนและเป็นการวัดว่าการตอบสนองชั่วคราวของวงจรจะค่อยๆ จางหายไปเร็วแค่ไหนหลังจากที่สิ่งกระตุ้นถูกกำจัดออกไป คำว่าเนเปอร์ปรากฏในชื่อเนื่องจากหน่วยสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นเนเปอร์ต่อวินาที โดยเนเปอร์เป็นหน่วยลอการิทึมของการลดทอนω คือความถี่เรโซแนนซ์เชิงมุม^{[ 3 ]}

สำหรับกรณีของวงจร RLC แบบอนุกรม พารามิเตอร์ทั้งสองนี้กำหนดโดย: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {R}{\,2L\,}}\\\omega _{0}&={\frac {1}{\,{\sqrt {L\,C\,}}\,}}\;.\end{aligned}}}$

พารามิเตอร์ที่มีประโยชน์คือปัจจัยการหน่วงζซึ่งกำหนดเป็นอัตราส่วนของทั้งสองนี้ แม้ว่าบางครั้ง จะไม่ใช้ ζและใช้α เป็น ปัจจัยการหน่วงแทน ดังนั้นจึงต้องระบุการใช้คำนั้นอย่างระมัดระวัง^{[ 5 ]}

${\displaystyle \zeta \equiv {\frac {\alpha }{\,\omega _{0}\,}}\;.}$

ในกรณีของวงจร RLC แบบอนุกรม ค่าตัวประกอบการหน่วงจะกำหนดโดย

${\displaystyle \zeta ={\frac {\,R\,}{2}}{\sqrt {{\frac {C}{\,L\,}}\,}}={\frac {1}{\ 2Q\ }}~.}$

ค่าของปัจจัยการหน่วงจะกำหนดประเภทของการเปลี่ยนแปลงชั่วคราวที่วงจรจะแสดงออกมา^{[ 6 ]}

สมการเชิงอนุพันธ์มี^สมการลักษณะเฉพาะ [ ^{7 ]}

${\displaystyle s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}=0\,.}$

รากของสมการใน โดเมน sคือ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{1}&=-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}\,}}=-\omega _{0}\left(\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1\,}}\right)={\frac {-\omega _{0}}{\ \zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1\ }}\ }}\ ,\\s_{2}&=-\alpha -{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}\,}}=-\omega _{0}\left(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1\,}}\right)\;.\end{aligned}}}$

ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์คือฟังก์ชันเลขชี้กำลังในรากใดรากหนึ่ง หรือผลรวมเชิงเส้นของทั้งสองราก

${\displaystyle I(t)=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}\;.}$

สัมประสิทธิ์A และA ถูกกำหนดโดยเงื่อนไขขอบเขตของปัญหาเฉพาะที่กำลังวิเคราะห์ นั่นคือ ถูกกำหนดโดยค่าของกระแสและแรงดันในวงจร ณ จุดเริ่มต้นของการเปลี่ยนแปลงชั่วคราว และค่าที่คาดว่าจะคงที่หลังจากเวลาอนันต์^{[ 8 ]}สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับวงจรจะแก้ได้สามวิธีที่แตกต่างกัน ขึ้นอยู่กับค่าของζได้แก่ แบบหน่วงเกิน ( ζ > 1 ), แบบหน่วงน้อย ( ζ < 1 ) และแบบหน่วงวิกฤต ( ζ = 1 )

การตอบสนองที่หน่วงเกิน ( ζ > 1 ) คือ^{[ 9 ]}

${\displaystyle I(t)=A_{1}e^{-\omega _{0}\left(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)t}+A_{2}e^{-\omega _{0}\left(\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)t}\;.}$

การตอบสนองแบบโอเวอร์แดมป์คือการลดลงของกระแสชั่วคราวโดยไม่มีการสั่น^{[ 10 ]}

การตอบสนองแบบหน่วงน้อย ( ζ < 1 ) คือ^{[ 11 ]}

${\displaystyle I(t)=B_{1}e^{-\alpha t}\cos(\omega _{\mathrm {d} }t)+B_{2}e^{-\alpha t}\sin(\omega _{\mathrm {d} }t)\,.}$

โดยการใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ มาตรฐาน ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งสองอาจแสดงเป็นไซน์ซอยด์เดียวที่มีการเลื่อนเฟส^{[ 12 ]}

${\displaystyle I(t)=B_{3}e^{-\alpha t}\sin(\omega _{\mathrm {d} }t+\varphi )\;.}$

แบบหน่วงน้อยคือการสั่นที่ลดลงที่ความถี่ωd การสั่นจะลดลงในอัตราที่กำหนดโดยการลดทอน α เลขชี้กำลังใน α อธิบายซองของการสั่น B1 และ B2 (หรือ B3 การเลื่อน φในรูปแบบที่สอง)เป็นค่าคงที่กำหนดเงื่อนไขขอบเขต ความถี่ωdกำหนดโดย^{[ 11 ]}

${\displaystyle \omega _{\mathrm {d} }={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\alpha ^{2}}}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}\,}}\;.}$

เรียกว่าความถี่เรโซแนนซ์แบบหน่วงหรือความถี่ธรรมชาติแบบหน่วง เป็นความถี่ที่วงจรจะสั่นตามธรรมชาติหากไม่ถูกกระตุ้นจากแหล่งภายนอก ความถี่เรโซแนนซ์ω ซึ่งเป็นความถี่ที่วงจรจะสั่นเมื่อถูกกระตุ้นด้วยการสั่นจากภายนอก มักจะเรียกว่าความถี่เรโซแนนซ์แบบไม่หน่วงเพื่อแยกความแตกต่าง^{[ 13 ]}

การตอบสนองที่หน่วงวิกฤต ( ζ = 1 ) คือ^{[ 14 ]}

${\displaystyle I(t)=D_{1}te^{-\alpha t}+D_{2}e^{-\alpha t}\;.}$

การตอบสนองแบบหน่วงวิกฤตแสดงถึงการตอบสนองของวงจรที่ลดลงในเวลาที่เร็วที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้โดยไม่เกิดการสั่น การพิจารณานี้มีความสำคัญในระบบควบคุมที่ต้องการให้ถึงสถานะที่ต้องการโดยเร็วที่สุดโดยไม่เกิดการโอเวอร์ชูตD และD เป็นค่าคงที่ที่กำหนดโดยเงื่อนไขขอบเขต^{[ 15 ]}

วงจร RLC แบบอนุกรมสามารถวิเคราะห์ได้ทั้งพฤติกรรมชั่วคราวและสถานะ AC คงที่โดยใช้การแปลงลาปลาส^{[ 16 ]}หากแหล่งจ่ายแรงดันข้างต้นสร้างรูปคลื่นที่มีV ( s ) ที่แปลงลาปลาสแล้ว (โดยที่sคือความถี่เชิงซ้อนs = σ + jω ) กฎแรงดันของ Kirchhoff (KVL) สามารถนำมาใช้ในโดเมนลาปลาสได้:

${\displaystyle V(s)=I(s)\left(R+L\,s+{\frac {1}{\,C\,s\,}}\right)\,,}$

โดยที่I ( s )คือกระแสที่แปลงด้วยลาปลาสผ่านส่วนประกอบทั้งหมด การหาค่าI ( s ) :

${\displaystyle I(s)={\frac {1}{\,R+L\,s+{\frac {1}{\,C\,s\,}}\,}}V(s)\;.}$

และเมื่อจัดเรียงใหม่ เราก็จะได้

${\displaystyle I(s)={\frac {s}{\,L\ \left(s^{2}+{\frac {R}{\,L\,}}s+{\frac {1}{\,L\,C\,}}\right)\,}}V(s)\;.}$

แก้หาค่าแอดมิตแตน ซ์ลาปลา ซ Y ( s ) :

${\displaystyle Y(s)={\frac {I(s)}{\,V(s)\,}}={\frac {s}{\,L\ \left(s^{2}+{\frac {R}{\,L\,}}s+{\frac {1}{\,L\,C\,}}\right)\,}}\,.}$

เมื่อลดรูปโดยใช้พารามิเตอร์αและω ที่กำหนดไว้ในส่วนก่อนหน้า เราจะได้ว่า

${\displaystyle Y(s)={\frac {I(s)}{\,V(s)\,}}={\frac {s}{\,L\ \left(s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}\right)\,}}\;.}$

ค่าศูนย์ของY ( s )คือค่าของsที่ทำให้Y ( s ) = 0 :

${\displaystyle s=0\quad {\mbox{and}}\quad |s|\rightarrow \infty \;.}$

ขั้วของY ( s )คือค่าของsที่ทำให้Y ( s ) → ∞โดยใช้สูตรกำลังสองเราจะได้ ว่า

${\displaystyle s=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}\,}}\;.}$

ขั้วของY ( s )เหมือนกับรากs1และพหุนามลักษณะเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ในส่วนด้านบน

สำหรับV ( t ) ใดๆ คำตอบที่ได้จากการแปลงผกผันของI ( s )คือ:

• ในกรณีที่มีการหน่วงน้อยเกินไปω > α :

  ${\displaystyle I(t)={\frac {1}{\,L\,}}\ \int _{0}^{t}V(t-\tau )e^{-\alpha \tau }\left[\cos(\omega _{\mathrm {d} }\tau )-{\frac {\alpha }{\ \omega _{\mathrm {d} }\ }}\sin(\omega _{\mathrm {d} }\tau )\right]\,d\tau \,,}$

• ในกรณีที่มีการหน่วงวิกฤตω = α :

  ${\displaystyle \ I(t)={\frac {1}{\ L\ }}\ \int _{0}^{t}V(t-\tau )e^{-\alpha \tau }\ \left[\ 1-\alpha \tau \ \right]\ \mathrm {d} \tau \ ,}$

• ในกรณีที่มีการหน่วงมากเกินไปω < α :

  ${\displaystyle \ I(t)={\frac {1}{\ L\ }}\ \int _{0}^{t}V(t-\tau )e^{-\alpha \tau }\left[\cosh(\omega _{\mathrm {r} }\tau )-{\frac {\alpha }{\ \omega _{\mathrm {r} }\ }}\sinh(\omega _{\mathrm {r} }\tau )\right]\,d\tau \ ,}$

โดยที่ω = √ α ² − ω ²และcoshกับsinhเป็นฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกทั่วไป

สภาวะสมดุลแบบไซน์แสดงได้โดยการกำหนดให้s = jωโดยที่jคือหน่วยจินตภาพเมื่อนำขนาดของสมการข้างต้นมาแทนค่าดังนี้:

${\displaystyle {\big |}Y(j\omega ){\big |}={\frac {1}{{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L-{\frac {1}{\,\omega C\,}}\right)^{2}}}\,}}\;.}$

และ สามารถหา ค่ากระแสไฟฟ้าที่เป็นฟังก์ชันของω ได้จาก

${\displaystyle {\big |}I(j\omega ){\big |}={\big |}Y(j\omega ){\big |}\cdot {\bigl |}V(j\omega ){\bigr |}\;.}$

มีค่าสูงสุดของ| I ( jω ) |ค่าของωที่จุดสูงสุดนี้ ในกรณีนี้ จะเท่ากับความถี่เรโซแนนซ์ธรรมชาติที่ไม่ลดทอน^{[ 17 ]}ซึ่งหมายความว่าแรงดันไฟฟ้าสูงสุดที่ตกคร่อมตัวต้านทาน และด้วยเหตุนี้ การกระจายความร้อนสูงสุด จึงเกิดขึ้นที่ความถี่ธรรมชาติ

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\,{\sqrt {L\ C\ }}\,}}\;.}$

จากกราฟแสดงการตอบสนองความถี่ของกระแสไฟฟ้า เราสามารถกำหนดกราฟแสดงการตอบสนองความถี่ของแรงดันไฟฟ้าคร่อมองค์ประกอบต่างๆ ในวงจรได้เช่นกัน (ดูรูป) นอกจากนี้ แรงดันไฟฟ้าสูงสุดคร่อมตัวเก็บประจุจะเกิดขึ้นที่ความถี่ค่าหนึ่ง

${\displaystyle \omega _{C}={\frac {\ {\sqrt {{\tfrac {L}{\ C\ }}-{\tfrac {1}{2}}R^{2}}}\ }{L}}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}\;,}$

ในขณะที่แรงดันไฟฟ้าสูงสุดที่ตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำเกิดขึ้นที่

${\displaystyle \omega _{L}={\frac {1}{\ C{\sqrt {{\tfrac {L}{\ C\ }}-{\tfrac {1}{2}}R^{2}\ }}\ }}={\frac {\omega _{0}}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}}\;,}$

สำหรับวงจร RLC แบบอนุกรม ดังแสดงในภาพด้าน บน${\displaystyle \zeta ={\frac {R}{2}}{\sqrt {\frac {C}{L}}}}$

ประกอบด้วย: . ${\displaystyle \omega _{C}<\omega _{0}<\omega _{L}}$

คุณสมบัติของวงจร RLC แบบขนานสามารถหาได้จากความสัมพันธ์แบบทวิภาคของวงจรไฟฟ้า และเมื่อพิจารณาว่า RLC แบบขนานเป็นอิมพีแดนซ์คู่ของ RLC แบบอนุกรม เมื่อพิจารณาเช่นนี้แล้ว จะเห็นได้ชัดว่าสมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายวงจรนี้มีรูปแบบทั่วไปเหมือนกับสมการที่อธิบาย RLC แบบอนุกรม

สำหรับวงจรขนาน ค่าการลดทอนαจะได้รับจาก^{[ 18 ]}

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\,2\,R\,C\,}}}$

และค่าสัมประสิทธิ์การหน่วงจึงเป็นดังนี้

${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{\,2\,R\,}}{\sqrt {{\frac {L}{C}}~}}\,~.}$

ในทำนองเดียวกัน พารามิเตอร์ที่ปรับขนาดอื่นๆ เช่น แบนด์วิดท์เศษส่วนและค่า Qก็เป็นส่วนกลับของกันและกันด้วย หมายความว่า วงจรแบนด์วิดท์กว้างและค่าQ ต่ำ ในโทโพโลยีหนึ่ง จะกลายเป็นวงจรแบนด์วิดท์แคบและ ค่า Q สูง ในอีกโทโพโลยีหนึ่ง เมื่อสร้างจากส่วนประกอบที่มีค่าเท่ากัน แบนด์วิดท์เศษส่วนและค่าQของวงจรขนานกำหนดโดย

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{\mathrm {f} }&={\frac {1}{\,R\,}}{\sqrt {{\frac {L}{C}}~}}\\Q&=R{\sqrt {{\frac {C}{L}}~}}\,~.\end{aligned}}}$

โปรดสังเกตว่าสูตรในที่นี้เป็นส่วนกลับของสูตรสำหรับวงจรอนุกรมที่กล่าวไว้ข้างต้น

ค่าแอดมิตแทนซ์เชิงซ้อนของวงจรนี้หาได้จากการรวมค่าแอดมิตแทนซ์ของส่วนประกอบต่างๆ เข้าด้วยกัน:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\,Z\,}}&={\frac {1}{\,Z_{L}\,}}+{\frac {1}{\,Z_{C}\,}}+{\frac {1}{\,Z_{R}\,}}\\&={\frac {1}{\,j\,\omega \,L\,}}+j\,\omega \,C+{\frac {1}{\,R\,}}\,.\end{aligned}}}$

การเปลี่ยนจากการต่อแบบอนุกรมไปเป็นการต่อแบบขนาน ส่งผลให้วงจรมีค่าความต้านทานสูงสุดที่จุดเรโซแนนซ์ แทนที่จะเป็นค่าต่ำสุด ดังนั้นวงจรนี้จึงเป็นวงจรต้านเรโซเนเตอร์

กราฟด้านตรงข้ามแสดงให้เห็นว่า ความถี่ตอบสนองของกระแสจะมีค่าต่ำสุดที่ความถี่เรโซแนนซ์เมื่อวงจรถูกขับเคลื่อนด้วยแรงดันคงที่ ในทางกลับกัน หากถูกขับเคลื่อนด้วยกระแสคงที่ แรงดันจะมีค่าสูงสุด ซึ่งจะมีลักษณะเส้นโค้งเดียวกันกับกระแสในวงจรอนุกรม ${\displaystyle ~\omega _{0}=1/{\sqrt {\,L\,C~}}~}$

ตัวต้านทานอนุกรมกับตัวเหนี่ยวนำในวงจร LC แบบขนานดังแสดงในรูปที่ 4 เป็นโทโพโลยีที่พบได้ทั่วไปซึ่งจำเป็นต้องคำนึงถึงความต้านทานของขดลวดและค่าความจุในตัวเอง วงจร LC แบบขนานมักใช้สำหรับการกรองแบบแบนด์พาสและค่า Qส่วนใหญ่จะถูกควบคุมโดยความต้านทานนี้ ความถี่เรโซแนนซ์ของวงจรนี้คือ^{[ 19 ]}

${\displaystyle \ \omega _{0}={\sqrt {{\frac {1}{\ LC\ }}-\left({\frac {R}{\ L\ }}\right)^{2}~}}\ .}$

นี่คือความถี่เรโซแนนซ์ของวงจร ซึ่งนิยามว่าคือความถี่ที่ค่าแอดมิตแทนซ์มีส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ ความถี่นี้ปรากฏในรูปแบบทั่วไปของสมการลักษณะเฉพาะ (ซึ่งเหมือนกันสำหรับวงจรนี้เช่นเดียวกับที่กล่าวมาแล้ว)

${\displaystyle \ s^{2}+2\alpha s+{\omega '_{0}}^{2}=0\ }$

ไม่ใช่ความถี่เดียวกัน ในกรณีนี้คือความถี่เรโซแนนซ์ตามธรรมชาติที่ไม่ลดทอน : ^{[ 20 ]}

${\displaystyle \ \omega '_{0}\equiv {\frac {1}{\ {\sqrt {LC~}}\ }}\ .}$

ความถี่ω ที่ค่าอิมพีแดนซ์สูงสุดนั้นกำหนดโดย^{[ 21 ]}

${\displaystyle \ \omega _{\mathrm {max} }=\omega '_{0}\ {\sqrt {-{\frac {1}{\ Q_{L}^{2}\ ~}}+{\sqrt {1+{\frac {2}{\ Q_{L}^{2}\ }}~}}~}}\ ,}$

โดยที่Q ≡ ⁠ω′ L/อาร์⁠คือปัจจัยคุณภาพของขดลวด ซึ่งสามารถประมาณค่าได้ดีโดย ^{[ 21 ]}

${\displaystyle \ \omega _{\mathrm {max} }\approx \omega '_{0}\ {\sqrt {1-{\frac {1}{\ 2Q_{L}^{4}\ }}~}}\ .}$

นอกจากนี้ ขนาดอิมพีแดนซ์สูงสุดที่แน่นอนจะได้รับจาก^{[ 21 ]}

${\displaystyle \ |Z|_{\mathrm {max} }={\frac {RQ_{L}^{2}}{\ {\sqrt {2Q_{L}{\sqrt {Q_{L}^{2}+2\ }}-\left(2Q_{L}^{2}+1\right)~}}\ }}={\frac {RQ_{L}}{\ {\sqrt {2{\sqrt {1+2/Q_{L}^{2}\ }}-\left(2+1/Q_{L}^{2}\right)~}}\ }}\ .}$

ค่าของสิ่งนี้สามารถประมาณได้ดีโดย^{[ 21 ]}${\displaystyle \ Q_{L}\gg 1\ ,}$

${\displaystyle \ |Z|_{\mathrm {max} }\approx RQ_{L}^{2}\ .}$

ในทำนองเดียวกัน ตัวต้านทานที่ต่อขนานกับตัวเก็บประจุในวงจร LC แบบอนุกรมสามารถใช้แทนตัวเก็บประจุที่มีไดอิเล็กทริกที่มีการสูญเสียได้ การกำหนดค่านี้แสดงในรูปที่ 5 ความถี่เรโซแนนซ์ (ความถี่ที่อิมพีแดนซ์มีส่วนจินตนาการเป็นศูนย์) ในกรณีนี้กำหนดโดย^{[ 22 ]}

${\displaystyle \ \omega _{0}={\sqrt {{\frac {1}{\ LC\ }}-{\frac {1}{\ (RC)^{2}\ }}\ }}\ ,}$

ในขณะที่ความถี่ωmที่ค่าอิมพีแดนซ์ต่ำสุดนั้นกำหนด

${\displaystyle \ \omega _{\mathrm {m} }=\omega '_{0}\ {\sqrt {-{\frac {1}{\ Q_{C}^{2}\ }}+{\sqrt {1+{\frac {2}{\ Q_{C}^{2}\ }}\ }}\ }}\ ,}$

โดยที่Q = ω′ RC .

หลักฐานแรกที่แสดงว่าตัวเก็บประจุสามารถสร้างการสั่นของไฟฟ้าได้ถูกค้นพบในปี พ.ศ. 2369 โดยนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสเฟลิกซ์ ซาวารี^{[ 23 ] [ 24 ]}เขาพบว่าเมื่อ ปล่อย ประจุจากขวดไลเดนผ่านลวดที่พันรอบเข็มเหล็ก บางครั้งเข็มจะถูกทำให้เป็นแม่เหล็กในทิศทางหนึ่ง และบางครั้งก็ในทิศทางตรงกันข้าม เขาสรุปได้อย่างถูกต้องว่าสิ่งนี้เกิดจากกระแสการปล่อยประจุแบบสั่นที่ลดทอนลงในลวด ซึ่งทำให้การเป็นแม่เหล็กของเข็มกลับทิศทางไปมาจนกระทั่งมีขนาดเล็กเกินไปที่จะมีผล ทำให้เข็มถูกทำให้เป็นแม่เหล็กในทิศทางสุ่ม

นักฟิสิกส์ชาวอเมริกันโจเซฟ เฮนรีได้ทำการทดลองซ้ำของซาวารีในปี พ.ศ. 2485 และได้ข้อสรุปเดียวกัน ซึ่งเห็นได้ชัด ว่าเป็นการทดลองโดยอิสระ ^{[ 25 ] [ 26 ]}นักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษวิลเลียม ทอมสัน (ลอร์ด เคลวิน) ในปี พ.ศ. 2496 ได้แสดงให้เห็นทางคณิตศาสตร์ว่าการปล่อยประจุของขวดไลเดนผ่านตัวเหนี่ยวนำควรเป็นการสั่น และได้หาความถี่เรโซแนนซ์^{[ 23 ] [ 25 ] [ 26 ]}

โอลิเวอร์ ลอดจ์นักวิจัยวิทยุชาวอังกฤษได้สร้างวงจรปรับความถี่โดยการปล่อยประจุจากขวดเลย์เดนจำนวนมากผ่านลวดเส้นยาว ทำให้เกิดความถี่เรโซแนนซ์ในช่วงความถี่เสียง ซึ่งทำให้เกิดเสียงดนตรีจากประกายไฟเมื่อมีการปล่อยประจุ^{[ 25 ]}ในปี 1857 เบเรนด์ วิลเฮล์ม เฟดเดอร์เซน นักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน ได้ถ่ายภาพประกายไฟที่เกิดจากวงจรขวดเลย์เดนแบบเรโซแนนซ์ในกระจกหมุน ซึ่งเป็นหลักฐานที่มองเห็นได้ของการสั่น^{[ 23 ] [ 25 ] [ 26 ]} ในปี 1868 เจมส์ คลาร์ก แม็กซ์เวลล์นักฟิสิกส์ชาวสกอตแลนด์ได้คำนวณผลของการใช้กระแสสลับกับวงจรที่มีตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุ โดยแสดงให้เห็นว่าการตอบสนองสูงสุดอยู่ที่ความถี่เรโซแนนซ์^{[ 23 ]}

ตัวอย่างแรกของ เส้นโค้ง เรโซแนนซ์ ทางไฟฟ้า ได้รับการตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2430 โดยนักฟิสิกส์ชาวเยอรมันไฮน์ริช เฮิรตซ์ในบทความบุกเบิกเกี่ยวกับการค้นพบคลื่นวิทยุ โดยแสดงความยาวของประกายไฟที่ได้จากตัวตรวจจับเรโซเนเตอร์ LC แบบช่องว่างประกายไฟของเขาเป็นฟังก์ชันของความถี่^{[ 23 ]}

หนึ่งในการสาธิตแรกๆ ของการเกิดเรโซแนนซ์ระหว่างวงจรปรับจูนคือการทดลอง "ขวดซินโทนิก" ของ Lodge ในช่วงประมาณปี 1889 ^{[ 23 ] [ 25 ]}เขาได้วางวงจรเรโซแนนซ์สองวงไว้ข้างๆ กัน โดยแต่ละวงประกอบด้วยขวด Leyden ที่เชื่อมต่อกับขดลวดแบบปรับได้หนึ่งรอบพร้อมช่องว่างประกายไฟ เมื่อใช้แรงดันไฟฟ้าสูงจากขดลวดเหนี่ยวนำกับวงจรปรับจูนวงหนึ่ง ทำให้เกิดประกายไฟและกระแสไฟฟ้าสั่น ประกายไฟจะถูกกระตุ้นในวงจรปรับจูนอีกวงหนึ่งก็ต่อเมื่อตัวเหนี่ยวนำถูกปรับให้เกิดเรโซแนนซ์ Lodge และนักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษบางคนชอบใช้คำว่า " ซินโทนี " สำหรับปรากฏการณ์นี้ แต่ในที่สุดคำว่า " เรโซแนนซ์ " ก็เป็นที่นิยม^{[ 23 ]}

การใช้งานจริงครั้งแรกของวงจร RLC เกิดขึ้นในทศวรรษ 1890 ในเครื่องส่งสัญญาณวิทยุแบบช่องว่างประกายไฟเพื่อให้สามารถปรับจูนเครื่องรับให้ตรงกับเครื่องส่งสัญญาณได้ สิทธิบัตรฉบับแรกสำหรับระบบวิทยุที่อนุญาตให้ปรับจูนได้นั้นยื่นโดย Lodge ในปี 1897 แม้ว่าระบบที่ใช้งานได้จริงระบบแรกจะถูกคิดค้นขึ้นในปี 1900 โดยGuglielmo Marconiผู้ บุกเบิกวิทยุชาวอังกฤษ-อิตาลี ^{[ 23 ]}

วงจรเหล่านี้มีการใช้งานบ่อยมากในวงจรปรับจูนของวิทยุอนาล็อก การปรับจูนมักทำได้โดยใช้ตัวเก็บประจุแบบแผ่นขนานที่ ปรับค่าได้ ซึ่งช่วยให้ สามารถเปลี่ยนค่าC และปรับจูนไปยังสถานีที่มีความถี่ต่างกันได้ สำหรับ วงจร IFในวิทยุที่ปรับจูนมาแล้วจากโรงงาน วิธีแก้ปัญหาที่นิยมใช้มากกว่าคือการใช้แกนปรับได้ในตัวเหนี่ยวนำเพื่อปรับค่าLในการออกแบบนี้ แกน (ทำจาก วัสดุที่มีค่า การซึมผ่าน สูง ซึ่งมีผลในการเพิ่มค่าความเหนี่ยวนำ) จะมีเกลียวเพื่อให้สามารถขันเข้าไปหรือขันออกมาจากขดลวดเหนี่ยวนำได้ตามต้องการ

ในวงจรกรองสัญญาณ ตัวต้านทานจะทำหน้าที่เป็นโหลดที่วงจรกรองทำงาน ค่าของตัวประกอบการหน่วงจะถูกเลือกตามแบนด์วิดท์ที่ต้องการของวงจรกรอง สำหรับแบนด์วิดท์ที่กว้างขึ้น จะต้องใช้ค่าตัวประกอบการหน่วงที่มากขึ้น (และในทางกลับกัน) ส่วนประกอบทั้งสามชิ้นนี้ทำให้ผู้ออกแบบมีอิสระในการปรับแต่งสามระดับ สองระดับแรกจำเป็นสำหรับการกำหนดแบนด์วิดท์และความถี่เรโซแนนซ์ ส่วนอีกหนึ่งระดับที่เหลือสามารถใช้ปรับขนาดR , LและCให้เหมาะสมกับค่าที่ใช้งานได้จริง หรืออีกทาง หนึ่ง Rอาจถูกกำหนดไว้ล่วงหน้าโดยวงจรภายนอก ซึ่งจะใช้อิสระในการปรับแต่งระดับสุดท้ายนี้

วงจร RLC สามารถใช้เป็นตัวกรองความถี่ต่ำได้ การกำหนดค่าวงจรแสดงในรูปที่ 6 ความถี่มุม ซึ่งก็คือความถี่ของจุด 3 dB กำหนดโดย

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,.}$

นี่คือแบนด์วิดท์ของตัวกรองด้วยเช่นกัน ปัจจัยการลดทอนกำหนดโดย^{[ 27 ]}

${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2R_{L}}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}\,.}$

ตัวกรองความถี่สูงแสดงอยู่ในรูปที่ 7 ความถี่มุมจะเท่ากับความถี่มุมของตัวกรองความถี่ต่ำ:

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,.}$

ตัวกรองมีแถบหยุดที่มีความกว้างเท่านี้^{[ 28 ]}

สามารถสร้างตัวกรองแบบผ่านย่านความถี่ได้โดยใช้วงจร RLC โดยการวางวงจร LC แบบอนุกรมต่ออนุกรมกับตัวต้านทานโหลด หรือโดยการวางวงจร LC แบบขนานต่อขนานกับตัวต้านทานโหลด การจัดเรียงเหล่านี้แสดงในรูปที่ 8 และ 9 ตามลำดับ ความถี่ศูนย์กลางกำหนดโดย

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,,}$

และแบนด์วิดท์สำหรับวงจรอนุกรมคือ^{[ 29 ]}

${\displaystyle \Delta \omega ={\frac {R_{L}}{L}}\,.}$

วงจรเวอร์ชันขนานมีจุดประสงค์เพื่อให้ขับเคลื่อนด้วย แหล่งจ่าย ที่มีอิมพีแดนซ์สูงนั่นคือแหล่งจ่ายกระแส คงที่ ภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว แบนด์วิดท์คือ^{[ 29 ]}

${\displaystyle \Delta \omega ={\frac {1}{CR_{L}}}\,.}$

รูปที่ 10 แสดงตัวกรองแบนด์สต็อปที่สร้างขึ้นโดยวงจร LC แบบอนุกรมที่ต่อขนานกับโหลด รูปที่ 11 เป็นตัวกรองแบนด์สต็อปที่สร้างขึ้นโดยวงจร LC แบบขนานที่ต่ออนุกรมกับโหลด กรณีแรกต้องการแหล่งกำเนิดที่มีอิมพีแดนซ์สูงเพื่อให้กระแสถูกเบี่ยงเบนไปยังตัวเรโซเนเตอร์เมื่ออิมพีแดนซ์ต่ำลงที่ความถี่เรโซแนนซ์ กรณีที่สองต้องการแหล่งกำเนิดที่มีอิมพีแดนซ์ต่ำเพื่อให้แรงดันตกคร่อมตัวแอนติเรโซเนเตอร์เมื่ออิมพีแดนซ์สูงลงที่ความถี่เรโซแนนซ์^{[ 30 ]}

สำหรับการใช้งานในวงจรออสซิลเลเตอร์ โดยทั่วไปแล้วเป็นที่พึงปรารถนาที่จะทำให้การลดทอน (หรือเทียบเท่ากับปัจจัยการหน่วง) มีค่าน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ในทางปฏิบัติ เป้าหมายนี้จำเป็นต้องทำให้ความต้านทานR ของวงจร มีค่าน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้สำหรับวงจรอนุกรม หรืออีกทางหนึ่งคือเพิ่มค่าR ให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้สำหรับวงจรขนาน ในทั้งสองกรณี วงจร RLC จะเป็นค่าประมาณที่ดีของ วงจร LCในอุดมคติอย่างไรก็ตาม สำหรับวงจรที่มีการลดทอนต่ำมาก ( ค่า Q สูง ) ปัญหาต่างๆ เช่น การสูญเสียไดอิเล็กตริกของขดลวดและตัวเก็บประจุอาจมีความสำคัญ

ในวงจรออสซิลเลเตอร์

${\displaystyle \alpha \ll \omega _{0}\,,}$

หรือเทียบเท่า

${\displaystyle \zeta \ll 1\,.}$

ด้วยเหตุนี้

${\displaystyle \omega _{\mathrm {d} }\approx \omega _{0}\,.}$

ในวงจร RLC แบบอนุกรมที่เกิดการสั่นพ้อง กระแสไฟฟ้าจะถูกจำกัดโดยความต้านทานของวงจรเท่านั้น

${\displaystyle I={\frac {V}{R}}\,.}$

ถ้าRมีค่าเล็ก เช่น มีค่าเท่ากับความต้านทานของขดลวดเหนี่ยวนำเท่านั้น กระแสไฟฟ้าที่ได้จะมีค่ามาก ซึ่งจะทำให้เกิดแรงดันตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

${\displaystyle V_{L}={\frac {V}{R}}\omega _{0}L\,.}$

นอกจากนี้ ยังจะเห็นแรงดันไฟฟ้าที่มีขนาดเท่ากันตกคร่อมตัวเก็บประจุ แต่มีเฟสตรงข้ามกับตัวเหนี่ยวนำ หาก สามารถลด ค่า Rให้เล็กพอ แรงดันไฟฟ้าเหล่านี้อาจมีค่ามากกว่าแรงดันไฟฟ้าขาเข้าหลายเท่า อัตราส่วนของแรงดันไฟฟ้านี้ก็คือค่า Qของวงจร นั่นเอง

${\displaystyle {\frac {V_{L}}{V}}=Q\,.}$

ปรากฏการณ์ที่คล้ายกันนี้สามารถสังเกตได้กับกระแสในวงจรขนาน แม้ว่าวงจรจะดูเหมือนมีความต้านทานสูงต่อแหล่งจ่ายภายนอก แต่ก็ยังมีกระแสขนาดใหญ่ไหลเวียนอยู่ในวงจรภายในของตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุแบบขนาน

วงจร RLC แบบอนุกรมที่มีการหน่วงมากเกินไปสามารถใช้เป็นวงจรปล่อยประจุแบบพัลส์ได้ บ่อยครั้งที่เป็นประโยชน์ที่จะทราบค่าของส่วนประกอบที่สามารถใช้สร้างรูปคลื่นได้ ซึ่งอธิบายได้ด้วยรูปแบบ

${\displaystyle I(t)=I_{0}\left(\,e^{-\alpha \,t}-e^{-\beta \,t}\right)\,.}$

วงจรดังกล่าวอาจประกอบด้วยตัวเก็บประจุสำหรับเก็บพลังงาน โหลดในรูปของตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และสวิตช์ – ทั้งหมดต่ออนุกรมกัน เงื่อนไขเริ่มต้นคือ ตัวเก็บประจุมีแรงดันV₀และไม่มีกระแสไหลในตัวเหนี่ยวนำ หากทราบค่าตัวเหนี่ยวนำLแล้ว พารามิเตอร์ที่เหลือจะกำหนดโดยค่าต่อไปนี้ – ความจุ

${\displaystyle C={\frac {1}{~L\,\alpha \,\beta \,~}}\,,}$

ความต้านทาน (รวมของวงจรและโหลด):

${\displaystyle R=L\,(\,\alpha +\beta \,)\,,}$

แรงดันไฟฟ้าเริ่มต้นที่ขั้วของตัวเก็บประจุ:

${\displaystyle V_{0}=-I_{0}L\,\alpha \,\beta \,\left({\frac {1}{\beta }}-{\frac {1}{\alpha }}\right)\,.}$

จัดเรียงใหม่ในกรณีที่ทราบค่า R – ค่าความจุ:

${\displaystyle C={\frac {~\alpha +\beta ~}{R\,\alpha \,\beta }}\,,}$

ค่าความเหนี่ยวนำ (รวมของวงจรและโหลด):

${\displaystyle L={\frac {R}{\,\alpha +\beta ~}}\,,}$

แรงดันไฟฟ้าเริ่มต้นที่ขั้วของตัวเก็บประจุ:

${\displaystyle V_{0}={\frac {\,-I_{0}R\,\alpha \,\beta ~}{\alpha +\beta }}\left({\frac {1}{\beta }}-{\frac {1}{\alpha }}\right)\,.}$

• วงจร RC
• วงจร RL
• วงจร LC
• วงจรเชิงเส้น
• สมการของโทรเลข

• อากาวัล, อนันต์; แลง, เจฟฟรีย์ เอช. (2005). พื้นฐานของวงจรอิเล็กทรอนิกส์อนาล็อกและดิจิทัล . มอร์แกน คอฟแมน. ISBN 1-55860-735-8.
• Humar, JL (2002). พลศาสตร์ของโครงสร้าง . Taylor & Francis. ISBN 90-5809-245-3.
• เออร์วิน, เจ. เดวิด (2006). การวิเคราะห์วงจรทางวิศวกรรมพื้นฐาน . ไวลีย์. ISBN 7-302-13021-3.
• ไคเซอร์, เคนเนธ แอล. (2004). คู่มือความเข้ากันได้ทางแม่เหล็กไฟฟ้า . สำนักพิมพ์ซีอาร์ซี. ISBN 0-8493-2087-9.
• นิลส์สัน, เจมส์ วิลเลียม; รีเดล, ซูซาน เอ. (2008). วงจรไฟฟ้า . เพรนติส ฮอลล์. ISBN 978-0-13-198925-2.