ตัวกรองแบบวงรี (หรือที่รู้จักกันในชื่อตัวกรอง Cauerซึ่งตั้งชื่อตามWilhelm Cauerหรือตัวกรอง Zolotarevซึ่งตั้งชื่อตามYegor Zolotarev ) เป็นตัวกรองประมวลผลสัญญาณที่มี พฤติกรรมของ ระลอกคลื่น ที่เท่ากัน (equiripple) ทั้งในย่านความถี่ผ่านและย่านความถี่หยุดปริมาณระลอกคลื่นในแต่ละย่านสามารถปรับได้อย่างอิสระ และไม่มีตัวกรองอื่นใดที่มีลำดับเท่ากันที่จะสามารถเปลี่ยนอัตราขยายระหว่างย่านความถี่ผ่านและย่านความถี่หยุด ได้เร็วกว่านี้ สำหรับค่าระลอกคลื่นที่กำหนด (ไม่ว่าระลอกคลื่นจะถูกปรับให้เท่ากันหรือไม่ก็ตาม) อีกทางเลือกหนึ่งคือ อาจละทิ้งความสามารถในการปรับระลอกคลื่นในย่านความถี่ผ่านและย่านความถี่หยุดอย่างอิสระ และออกแบบตัวกรองที่ไวต่อการเปลี่ยนแปลงของส่วนประกอบน้อยที่สุดแทน

เมื่อค่าความผันผวนในย่านหยุดเข้าใกล้ศูนย์ ตัวกรองจะกลายเป็นตัวกรองเชบิเชฟ ประเภทที่ 1 เมื่อค่าความผันผวนในย่านส่งผ่านเข้าใกล้ศูนย์ ตัวกรองจะกลายเป็นตัวกรองเชบิเชฟ ประเภทที่ 2 และสุดท้าย เมื่อค่าความผันผวนทั้งสองเข้าใกล้ศูนย์ ตัวกรองจะกลายเป็นตัวกรองบัตเตอร์เวิร์ธ

อัตราขยายของ ตัวกรองความถี่ ต่ำแบบวงรี (elliptic filter) เป็นฟังก์ชันของความถี่เชิงมุม ω ดังนี้:

${\displaystyle G_{n}(\omega )={1 \over {\sqrt {1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(\xi ,\omega /\omega _{0})}}}}$

โดยที่ R _nคือฟังก์ชันเชิงตรรกะวงรีลำดับที่n (บางครั้งเรียกว่าฟังก์ชันเชิงตรรกะเชบิเชฟ) และ

${\displaystyle \omega _{0}}$ คือความถี่ตัด

${\displaystyle \epsilon }$คือปัจจัยระลอกคลื่น

${\displaystyle \xi }$คือปัจจัยการคัดเลือก

ค่าของตัวประกอบระลอกคลื่นจะระบุระลอกคลื่นในย่านความถี่ผ่าน ในขณะที่การรวมกันของตัวประกอบระลอกคลื่นและตัวประกอบการเลือกสรรจะระบุระลอกคลื่นในย่านความถี่หยุด

• ในย่านความถี่ผ่าน ฟังก์ชันเชิงตรรกะแบบวงรีจะแปรผันระหว่างศูนย์และหนึ่ง ดังนั้น อัตราขยายของย่านความถี่ผ่านจึงจะแปรผันระหว่าง 1 และ0${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\เอปไซลอน ^{2}}}}$
• ในแถบหยุด (stopband) ฟังก์ชันเชิงตรรกะแบบวงรีจะแปรผันระหว่างค่าอนันต์และปัจจัยการแยกแยะซึ่งกำหนดไว้ดังนี้:${\displaystyle L_{n}}$

${\displaystyle L_{n}=R_{n}(\xi ,\xi )\,}$

ดังนั้น อัตราขยายของแถบหยุดจะแปรผันระหว่าง 0 ถึง.${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}L_{n}^{2}}}}$

• ในขีดจำกัดของฟังก์ชันเชิงตรรกะวงรี จะกลายเป็นพหุนามเชบิเชฟและด้วยเหตุนี้ ตัวกรองจึงกลายเป็นตัวกรองเชบิเชฟประเภทที่ 1โดยมีปัจจัยระลอกคลื่นε${\displaystyle \xi \rightarrow \infty }$
• เนื่องจากตัวกรอง Butterworth เป็นรูปแบบจำกัดของตัวกรอง Chebyshev ดังนั้น ในขีดจำกัดของและตัวกรองจะกลายเป็นตัวกรอง Butterworth${\displaystyle \xi \rightarrow \infty }$${\displaystyle \omega _{0}\rightarrow 0}$${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$${\displaystyle \epsilon \,R_{n}(\xi ,1/\omega _{0})=1}$
• ในกรณีที่และและ ตัวกรองจะกลายเป็น ตัวกรอง แบบเชบิเชฟประเภท IIที่มีอัตราขยาย${\displaystyle \xi \rightarrow \infty }$${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$${\displaystyle \omega _{0}\rightarrow 0}$${\displaystyle \xi \omega _{0}=1}$${\displaystyle \epsilon L_{n}=\alpha }$

${\displaystyle G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\alpha ^{2}T_{n}^{2}(1/\omega )}}}}}}$

จุดศูนย์ของอัตราขยายของตัวกรองวงรีจะตรงกับขั้วของฟังก์ชันตรรกยะวงรี ซึ่งได้มาจากบทความเกี่ยวกับฟังก์ชันตรรกยะวงรี

สามารถหาขั้วของอัตราขยายของตัวกรองแบบวงรีได้ในลักษณะที่คล้ายคลึงกับการหาขั้วของอัตราขยายของตัวกรองเชบิเชฟ แบบที่ 1 เพื่อความง่าย ให้สมมติว่าความถี่ตัดเท่ากับหนึ่ง ขั้วของอัตราขยายของตัวกรองแบบวงรีจะเป็นศูนย์ของตัวส่วนของอัตราขยาย เมื่อใช้ความถี่เชิงซ้อนจะได้ว่า: ${\displaystyle (\omega _{pm})}$${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$

${\displaystyle 1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(-js,\xi )=0\,}$

เมื่อกำหนดcd() เป็นฟังก์ชันโคไซน์เชิงวงรีของ Jacobiและใช้คำนิยามของฟังก์ชันตรรกยะเชิงวงรี จะได้ผลลัพธ์ดังนี้: ${\displaystyle -js=\mathrm {cd} (w,1/\xi )}$

${\displaystyle 1+\epsilon ^{2}\mathrm {cd} ^{2}\left({\frac {nwK_{n}}{K}},{\frac {1}{L_{n}}}\right)=0\,}$

โดยที่และ. แก้หาค่าw${\displaystyle K=K(1/\xi )}$${\displaystyle K_{n}=K(1/L_{n})}$

${\displaystyle w={\frac {K}{nK_{n}}}\mathrm {cd} ^{-1}\left({\frac {\pm j}{\epsilon }},{\frac {1}{L_{n}}}\right)+{\frac {mK}{n}}}$

โดย ที่ค่าหลายค่าของฟังก์ชันผกผัน cd() จะถูกระบุอย่างชัดเจนโดยใช้ดัชนีจำนวนเต็มm

ดังนั้น ขั้วของฟังก์ชันการขยายแบบวงรีจึงเป็นดังนี้:

${\displaystyle s_{pm}=i\,\mathrm {cd} (w,1/\xi )\,}$

เช่นเดียวกับกรณีของพหุนามเชบิเชฟ สิ่งนี้สามารถแสดงออกมาในรูปแบบเชิงซ้อนได้อย่างชัดเจน ( Lutovac & et al. 2001 , § 12.8)

${\displaystyle s_{pm}={\frac {a+jb}{c}}}$

${\displaystyle a=-\zeta _{n}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}}}{\sqrt {1-x_{m}^{2}}}{\sqrt {1-x_{m}^{2}/\xi ^{2}}}}$

${\displaystyle b=x_{m}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}(1-1/\xi ^{2})}}}$

${\displaystyle c=1-\zeta _{n}^{2}+x_{i}^{2}\zeta _{n}^{2}/\xi ^{2}}$

โดยที่เป็นฟังก์ชันของและและเป็นศูนย์ของฟังก์ชันตรรกยะเชิงวงรีสามารถแสดงได้สำหรับทุกnในรูปของฟังก์ชันเชิงวงรีของจาโคบี หรือในรูปพีชคณิตสำหรับบางอันดับ โดยเฉพาะอันดับ 1, 2 และ 3 สำหรับอันดับ 1 และ 2 เรามี ${\displaystyle \zeta _{n}}$${\displaystyle n,\,\epsilon }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle x_{m}}$${\displaystyle \zeta _{n}}$

${\displaystyle \zeta _{1}={\frac {1}{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}}}$

${\displaystyle \zeta _{2}={\frac {2}{(1+t){\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}+{\sqrt {(1-t)^{2}+\epsilon ^{2}(1+t)^{2}}}}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle t={\sqrt {1-1/\xi ^{2}}}}$

นิพจน์พีชคณิตสำหรับนั้นค่อนข้างซับซ้อน (ดูLutovac & et al. (2001 , § 12.8.1)) ${\displaystyle \zeta _{3}}$

คุณสมบัติการซ้อนกันของฟังก์ชันเชิงตรรกะวงรีสามารถนำมาใช้สร้างนิพจน์ลำดับสูงกว่าสำหรับ: ${\displaystyle \zeta _{n}}$

${\displaystyle \zeta _{m\cdot n}(\xi ,\epsilon )=\zeta _{m}\left(\xi ,{\sqrt {{\frac {1}{\zeta _{n}^{2}(L_{m},\epsilon )}}-1}}\right)}$

ที่ไหน. ${\displaystyle L_{m}=R_{m}(\xi ,\xi )}$

ดูLutovac & และคณะ (2001 , § 12.11, 13.14)

โดยทั่วไปแล้วตัวกรองแบบวงรีจะถูกกำหนดโดยการกำหนดค่าเฉพาะสำหรับความผันผวนของแถบส่งผ่าน αp _ความผันผวนของแถบหยุด αs _และความคมชัดของการตัด ซึ่งระบุลำดับขั้นต่ำnสำหรับฟังก์ชันวงรีเชิง ตรรกะ _ที่อธิบายพฤติกรรมของตัวกรอง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้พิจารณาตัวกรองที่ส่งผ่านความถี่ต่ำกว่าωpและหยุดความถี่สูงกว่าωs _และกำหนดฟังก์ชันเสริม_{เพื่อ}จำกัดอัตราขยายของแถบส่งผ่านให้อยู่ในช่วง[1- Gp , 1] และอัตราขยายของแถบหยุดให้อยู่ในช่วง[0, 1- Gs _]ลำดับnต้องเป็นไปตาม^{[ 1 ]}สมการนั้นเกิดขึ้นจากการประมาณ ฟังก์ชัน อินทิกรัลวงรีที่สมบูรณ์ K สูตรที่แน่นอนคือ^{[ 2 ]}โดยที่ข้อพิจารณาในการออกแบบอีกประการหนึ่งคือความไวของฟังก์ชันอัตราขยายต่อค่าของส่วนประกอบอิเล็กทรอนิกส์ที่ใช้ในการสร้างตัวกรอง ความไวนี้เป็นสัดส่วนผกผันกับค่าคุณภาพ ( Q-factor ) ของขั้วของฟังก์ชันถ่ายโอน ตัวกรอง ค่า Q-factor ของขั้วถูกกำหนดดังนี้: $${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-\left({\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}\right)^{2}}}}{1+{\sqrt[{4}]{1-\left({\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}\right)^{2}}}}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&n\geq {\frac {\log {\left(16{\frac {G_{s}}{G_{p}}}\right)}}{-\log(u+2u^{5}+15u^{9}+150u^{13})}}\\&{\text{Where:}}\\&Gs=10^{\alpha _{s/10}}-1\\&Gp=10^{\alpha _{p/10}}-1\\\end{aligned}}}$$$${\displaystyle n\geq {\frac {K\left({\sqrt {1-\tau _{1}^{2}}}\right)K(\tau _{2})}{K(\tau _{1})K\left({\sqrt {1-\tau _{2}^{2}}}\right)}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{1}&={\sqrt {\frac {G_{p}}{G_{s}}}}\\\tau _{2}&={\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle Q=-{\frac {|s_{pm}|}{2\mathrm {Re} (s_{pm})}}=-{\frac {1}{2\cos(\arg(s_{pm}))}}}$

และเป็นตัววัดอิทธิพลของขั้วต่อฟังก์ชันการขยาย สำหรับตัวกรองแบบวงรีนั้น สำหรับลำดับที่กำหนด จะมีความสัมพันธ์ระหว่างปัจจัยระลอกคลื่นและปัจจัยการเลือก ซึ่งจะทำให้ค่า Q ของขั้วทั้งหมดในฟังก์ชันการถ่ายโอนมีค่าน้อยที่สุดพร้อมกัน:

${\displaystyle \epsilon _{Qmin}={\frac {1}{\sqrt {L_{n}(\xi )}}}}$

ผลลัพธ์ที่ได้คือตัวกรองที่มีความไวต่อการเปลี่ยนแปลงของส่วนประกอบน้อยที่สุด แต่ความสามารถในการกำหนดค่าความผันผวนของย่านความถี่ผ่านและย่านความถี่หยุดอย่างอิสระจะหายไป สำหรับตัวกรองดังกล่าว เมื่อลำดับเพิ่มขึ้น ความผันผวนในทั้งสองย่านความถี่จะลดลง และอัตราการตัดจะเพิ่มขึ้น หากตัดสินใจใช้ตัวกรองวงรีแบบค่า Q ต่ำสุดเพื่อให้ได้ความผันผวนต่ำสุดในย่านความถี่ของตัวกรองพร้อมกับอัตราการตัดที่ต้องการ ลำดับที่ต้องการโดยทั่วไปจะมากกว่าลำดับที่ต้องการหากไม่มีข้อจำกัดเรื่องค่า Q ต่ำสุด ภาพของค่าสัมบูรณ์ของอัตราขยายจะดูคล้ายกับภาพในส่วนก่อนหน้ามาก ยกเว้นว่าขั้วจะเรียงตัวเป็นวงกลมแทนที่จะเป็นวงรี พวกมันจะไม่เว้นระยะห่างเท่าๆ กัน และจะมีค่าศูนย์บนแกน ω ซึ่งแตกต่างจากตัวกรอง Butterworthที่ขั้วเรียงตัวเป็นวงกลมที่เว้นระยะห่างเท่าๆ กันโดยไม่มีค่าศูนย์

นี่คือภาพที่แสดงตัวกรองแบบวงรี (elliptic filter) เทียบกับตัวกรองแบบอื่นๆ ที่ใช้กันทั่วไป ซึ่งได้มาจากการใช้จำนวนสัมประสิทธิ์เท่ากัน:

จากภาพจะเห็นได้ชัดว่าฟิลเตอร์แบบวงรีมีความคมชัดกว่าฟิลเตอร์แบบอื่นๆ แต่ก็มีริ้วคลื่นปรากฏให้เห็นตลอดช่วงความถี่

แถบหยุดของตัวกรองวงรีโดยพื้นฐานแล้วคือตัวกรองเชบิเชฟที่มีศูนย์การส่งผ่านโดยที่ศูนย์การส่ง ผ่าน ถูกจัดเรียงในลักษณะที่ทำให้เกิดแถบหยุดแบบ equi-ripple ด้วยเหตุนี้ จึงเป็นไปได้ที่จะแปลงสมการลักษณะเฉพาะของตัวกรองเชบิเชฟซึ่งมีศูนย์การสะท้อนของเชบิเชฟในตัวเศษและไม่มีศูนย์การส่งผ่านในตัวส่วน ไปเป็นตัวกรองวงรีที่มีศูนย์การสะท้อนของวงรีในตัวเศษและศูนย์การส่งผ่านของวงรีในตัวส่วน โดยการสร้างศูนย์การส่งผ่านซ้ำๆ จากค่าผกผันที่ปรับขนาดของศูนย์การสะท้อนของเชบิเชฟ จากนั้นจึงสร้างแถบผ่านของเชบิเชฟแบบ equi-ripple ขึ้นใหม่จากศูนย์การส่งผ่าน และทำซ้ำจนกว่าการวนซ้ำจะไม่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงที่สำคัญอีกต่อไป[ ^{3 ] ปัจจัย} การปรับขนาดที่ใช้คือ อัตราส่วนความถี่ตัดของแถบหยุดต่อแถบผ่าน และยังเป็นที่รู้จักกันในชื่อค่าผกผันของ "ปัจจัยการเลือก" ^{[ 1 ]} เนื่องจากการออกแบบวงรีโดยทั่วไปจะระบุจากข้อกำหนดการลดทอนของแถบหยุดจึงสามารถอนุมานได้จากสมการที่กำหนดลำดับขั้นต่ำ n ข้างต้น ${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle \Omega _{c}}$${\displaystyle \Omega _{c}}$

อัตราส่วนอาจได้มาจากการทำงานลำดับขั้นต่ำnข้างต้นย้อนกลับจากnเพื่อหา^{[ 1 ]}${\displaystyle \omega _{s}/\omega _{p}}$${\displaystyle \Omega _{c}}$${\displaystyle \Omega _{c}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}n&={\text{ number of poles (order of the filter)}}\\\alpha _{p}{\text{ and }}\alpha _{s}&={\text{pass band and stop band attenuation, respectively}}\\\omega _{p}{\text{ and }}\omega _{s}&={\text{pass band and stop band frequencies, respectively}}\\D&={\frac {G_{s}}{G_{p}}}={\frac {10^{\alpha _{s}/10}-1}{10^{\alpha _{p}/10}-1}}\\q&=(16D)^{(-1/n)}\\0&=-q+u+2u^{5}+15u^{9}+150u^{13}\\u&={\text{ real root of above equation}}\\k&={\text{ the selectivity factor }}={\sqrt {1-{\bigg (}{\frac {1-2u}{1+2u}}{\bigg )}^{4}}}\\\Omega _{c}&={\frac {\omega _{s}}{\omega _{p}}}={\frac {1}{k}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\bigg (}{\frac {1-2u}{1+2u}}{\bigg )}^{4}}}}\\\end{aligned}}}$

พหุนามลักษณะเฉพาะที่คำนวณจากข้อกำหนดการลดทอนอาจถูกแปลงเป็นพหุนามฟังก์ชันถ่ายโอนด้วยการแปลงแบบคลาสสิกโดยที่และ คือระลอกคลื่นของแถบส่งผ่าน^{[ 3 ] [ 4 ]}${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle \Omega _{c}}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle G(s)={\sqrt {1/(1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s))}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}}$${\displaystyle \varepsilon ^{2}=10^{Ap/10.}-1.}$${\displaystyle A_{p}}$

ออกแบบตัวกรองแบบวงรี (Elliptic filter) ที่มีค่าความผันผวนในแถบความถี่ผ่าน (pass band ripple) 1 dB ตั้งแต่ 0 ถึง 1 เรเดียน/วินาที และค่าความผันผวนในแถบความถี่หยุด (stop band ripple) 40 dB ตั้งแต่ 1.25 เรเดียน/วินาที ขึ้นไป ${\displaystyle \infty }$

จากการคำนวณข้างต้นเพื่อหาค่า n ก่อนที่จะใช้ ฟังก์ชัน ceil()พบว่า n มีค่าเท่ากับ 4.83721900 ซึ่งปัดขึ้นเป็นจำนวนเต็มถัดไปคือ 5 เมื่อใช้ ฟังก์ชัน ceil() แล้ว นั่นหมายความว่าต้องใช้ตัวกรองแบบวงรี 5 ขั้วเพื่อให้ตรงตามข้อกำหนดการออกแบบที่ระบุไว้ ส่วนการคำนวณข้างต้นเพื่อหาค่าที่จำเป็นในการออกแบบแถบหยุดที่มีการลดทอน 40 dB อย่างแม่นยำพบว่ามีค่าเท่ากับ 1.2186824 ${\displaystyle \Omega _{c}}$${\displaystyle \Omega _{c}}$

ฟังก์ชันการผกผันแบบปรับขนาดพหุนามสามารถทำได้โดยการแปลงรากแต่ละตัวsไปยังซึ่งสามารถทำได้ง่ายๆ โดยการผกผันพหุนามและปรับขนาดด้วยดังที่แสดงไว้ ${\displaystyle \Omega _{c}/s}$${\displaystyle \Omega _{c}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&as^{n}+bs^{n-1}\dots cs^{2}+ds^{1}+es^{0}\Longrightarrow ({\frac {e}{\Omega _{c}^{n}}})s^{n}+({\frac {d}{\Omega _{c}^{n-1}}})s^{n-1}\dots ({\frac {c}{\Omega _{c}^{2}}})s^{2}+({\frac {b}{\Omega _{c}^{1}}})s^{1}+({\frac {a}{\Omega _{c}^{0}}})s^{0}\\\end{aligned}}}$

ขั้นตอนการออกแบบวงรีมีดังต่อไปนี้: ^{[ 3 ]}

1. ออกแบบตัวกรองเชบิเชฟที่มีความผันผวนของแถบความถี่ผ่าน 1 dB
2. กลับค่าศูนย์การสะท้อนทั้งหมดเพื่อสร้างค่าศูนย์การส่งผ่าน${\displaystyle \Omega _{c}}$
3. สร้างแถบความถี่ผ่านแบบ equi-ripple จากจุดศูนย์การส่งผ่านโดยใช้กระบวนการที่อธิบายไว้ในจุดศูนย์การส่งผ่านของเชบิเชฟ
4. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 2 และ 3 จนกว่าทั้งแถบความถี่ผ่านและแถบความถี่หยุดจะไม่เปลี่ยนแปลงอย่างมีนัยสำคัญอีกต่อไป โดยทั่วไป การทำซ้ำ 15 ถึง 25 ครั้งจะทำให้ค่าสัมประสิทธิ์แตกต่างกันในระดับน้อยกว่า 1.e-15

เพื่อแสดงขั้นตอนต่างๆ สมการ K(s) ด้านล่างเริ่มต้นด้วยค่า K(s) มาตรฐานของ Chebyshev จากนั้นจึงวนซ้ำไปตามกระบวนการ ความแตกต่างที่เห็นได้ชัดจะปรากฏในสามรอบแรก เมื่อถึงรอบที่ 18 ความแตกต่างในค่า K(s) จะมีน้อยมากจนแทบไม่มีนัยสำคัญ สามารถหยุดการวนซ้ำได้เมื่อการเปลี่ยนแปลงของสัมประสิทธิ์ K(s) มีขนาดเล็กพอที่จะตรงตามข้อกำหนดด้านความแม่นยำในการออกแบบ การวนซ้ำ K(s) ด้านล่างทั้งหมดได้รับการทำให้เป็นมาตรฐานแล้ว อย่างไรก็ตามขั้นตอนนี้สามารถเลื่อนไปจนถึงรอบสุดท้ายได้หากต้องการ ${\displaystyle |K(j)|=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{iteration 0: }}K(s)&={\frac {16s^{5}+20s^{3}+5s}{1}}\\{\text{iteration 1: }}K(s)&={\frac {9.2965947s^{5}+12.999133s^{3}+4.0025668s}{0.14167325s^{4}+0.84164496s^{2}+1}}\\{\text{iteration 2: }}K(s)&={\frac {8.6496472s^{5}+12.270597s^{3}+3.8746611s}{0.19518773s^{4}+0.94147634s^{2}+1}}\\&\vdots \\{\text{iteration 17: }}K(s)&={\frac {8.550086786383502s^{5}+12.157269873073034s^{3}+3.854163602012615s}{0.2043607336740334s^{4}+0.9573802183509494s^{2}+1}}\\{\text{iteration 18: }}K(s)&={\frac {8.550086786383422s^{5}+12.157269873072942s^{3}+3.854163602012599s}{0.2043607336740334s^{4}+0.9573802183509494s^{2}+1}}\\\end{aligned}}}$

ในการหาฟังก์ชันถ่ายโอน ให้ทำดังต่อไปนี้^{[ 3 ]}${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{2}&=10^{1dB/10.}-1.=.25892541\\G(s)&={\sqrt {G(s)G(-s)}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}={\sqrt {\frac {1}{1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s)}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}={\sqrt {\frac {K(s)_{den}K(-s)_{den}}{K(s)_{den}K(-s)_{den}+\varepsilon ^{2}K(s)_{num}K(-s)_{num}}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}\\&={\frac {0.20436073s^{4}+0.95738022s^{2}+1}{{\sqrt {-18.928479s^{10}-53.78661s^{8}-54.942632s^{6}-22.939175s^{4}-1.931467+1}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}}}\\\end{aligned}}}$

เพื่อให้ได้มาจากระนาบครึ่งซ้าย ให้แยกตัวประกอบของตัวเศษและตัวส่วนเพื่อหารากโดยใช้อัลกอริทึมการหารากทิ้งรากทั้งหมดจากระนาบครึ่งขวาของตัวส่วน หารรากที่ซ้ำกันในตัวเศษด้วยครึ่ง และสร้างใหม่ด้วยรากที่เหลือ^{[ 3 ] [ 4 ]} โดยทั่วไป ให้ปรับให้เป็น 1 ที่ ${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle |G(s)|}$${\displaystyle s=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&G(s)={\frac {0.20436073s^{4}+0.95738022s^{2}+1}{4.3506872s^{5}+4.0174213s^{4}+8.0362343s^{3}+4.9129149s^{2}+3.4288915s+1}}\\\end{aligned}}}$

เพื่อยืนยันว่าตัวอย่างถูกต้อง กราฟแสดงค่าalong แสดงอยู่ด้านล่าง โดยมีค่าความผันผวนในแถบความถี่ผ่าน 1 dB ความถี่ตัด 1 rad/sec และค่าการลดทอนในแถบความถี่หยุด 40 dB เริ่มต้นที่ 1.21868 rad/sec ${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle j\omega }$

ตัวกรอง Elliptic ลำดับคู่ที่ใช้ส่วนประกอบแบบพาสซีฟ ซึ่งโดยทั่วไปคือตัวเหนี่ยวนำ ตัวเก็บประจุ และสายส่ง โดยมีค่าปลายเท่ากันทั้งสองด้าน ไม่สามารถนำไปใช้กับฟังก์ชันถ่ายโอน Elliptic แบบดั้งเดิมได้โดยไม่ต้องใช้ขดลวดคู่ ซึ่งอาจไม่เป็นที่ต้องการหรือไม่สามารถทำได้ เนื่องจากข้อจำกัดทางกายภาพในการรองรับค่าศูนย์ การ สะท้อน Chebyshev ลำดับ คู่ และค่าศูนย์การส่งผ่านที่ส่งผลให้ ค่า เมทริกซ์การกระเจิง S12 เกินค่า S12 ที่และค่า S12 ที่จำกัดที่มีอยู่ที่หากไม่สามารถออกแบบตัวกรองโดยเพิ่มหรือลดค่าปลายด้านใดด้านหนึ่งเพื่อรองรับ S12 ของแถบผ่านได้ ฟังก์ชันถ่ายโอน Elliptic จะต้องได้รับการแก้ไขเพื่อย้ายค่าศูนย์การสะท้อนลำดับคู่ต่ำสุดไปที่และค่าศูนย์การส่งผ่านลำดับคู่สูงสุดไปที่ในขณะที่ยังคงรักษาการตอบสนองแบบ equi-ripple ของแถบผ่านและแถบหยุดไว้^{[ 5 ]}${\displaystyle \omega =0}$${\displaystyle \omega =\infty }$${\displaystyle \omega =0}$${\displaystyle \omega =\infty }$

การปรับเปลี่ยนที่จำเป็นเกี่ยวข้องกับการกำหนดตำแหน่งขั้วและศูนย์แต่ละตัวของฟังก์ชันถ่ายโอนแบบวงรีในลักษณะที่กำหนดให้ศูนย์สะท้อนความถี่ต่ำสุดเป็นศูนย์ ศูนย์ส่งผ่านความถี่สูงสุดเป็นและขั้วและศูนย์ที่เหลือตามความจำเป็นเพื่อรักษาแถบความถี่ผ่านและแถบความถี่หยุดที่มีการกระเพื่อมเท่ากัน ศูนย์สะท้อนความถี่ต่ำสุดสามารถหาได้โดยการแยกตัวประกอบของตัวเศษ และศูนย์ส่งผ่านความถี่สูงสุดสามารถหาได้โดยการแยกตัวประกอบของตัวส่วน ${\displaystyle \infty }$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle K(s)}$

ในการแปลศูนย์สะท้อน สมการต่อไปนี้จะถูกนำไปใช้กับขั้วและศูนย์ทั้งหมดของ[ ^{5 ] ใน} ทางทฤษฎี การดำเนินการแปลอาจทำได้บน หรือก็ได้แต่ศูนย์สะท้อนจะต้องถูกแยกออกจากดังนั้นโดยทั่วไปแล้วการดำเนินการแปลบน จะมีประสิทธิภาพมากกว่า ${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle K(s)}$

${\displaystyle R_{i}'={\sqrt {\frac {R_{i}^{2}+\omega _{LO}^{2}}{1-\omega _{LO}^{2}}}}}$

ที่ไหน:

${\displaystyle R_{i}}$ฟังก์ชันวงรีดั้งเดิมมีศูนย์หรือขั้วหรือไม่

${\displaystyle R_{i}'}$คือค่าศูนย์หรือขั้วที่แมปไว้สำหรับฟังก์ชันถ่ายโอนลำดับคู่ที่แก้ไขแล้ว

${\displaystyle \omega _{LO}}$คือจุดศูนย์การสะท้อนความถี่ต่ำสุดในย่านความถี่ผ่าน

เครื่องหมายของส่วนจินตภาพของจะถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของค่าเดิม ${\displaystyle R_{i}'}$${\displaystyle R_{i}}$

ในการแปลศูนย์การส่งผ่าน สมการต่อไปนี้จะถูกนำไปใช้กับขั้วและศูนย์ทั้งหมดของ[ ^{5 ] ใน} ทางทฤษฎี การดำเนินการแปลอาจทำได้บน หรือก็ได้หากต้องแยกศูนย์การสะท้อนออกจากการดำเนินการแปลบน อาจมีประสิทธิภาพมากกว่า ${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle K(s)}$

${\displaystyle R_{i}'={\sqrt {\frac {(\omega _{HI}^{2}-1)R_{i}^{2}}{\omega _{HI}^{2}+R_{i}^{2}}}}}$

ที่ไหน:

${\displaystyle R_{i}}$ฟังก์ชันวงรีดั้งเดิมมีศูนย์หรือขั้วหรือไม่

${\displaystyle R_{i}'}$คือค่าศูนย์หรือขั้วที่แมปไว้สำหรับฟังก์ชันถ่ายโอนลำดับคู่ที่แก้ไขแล้ว

${\displaystyle \omega _{HI}}$คือจุดศูนย์การส่งสัญญาณความถี่สูงสุดในย่านความถี่ผ่าน

เครื่องหมายของส่วนจินตภาพของจะถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของ เดิมถ้าดำเนินการกับเครื่องหมายของส่วนจริงของจะต้องเป็นลบเพื่อให้สอดคล้องกับข้อกำหนดของระนาบครึ่งซ้าย ${\displaystyle R_{i}'}$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle R_{i}'}$

สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่าแอปพลิเคชันทั้งหมดต้องการทั้งการแปลผ่านและการแปลหยุด ตัวอย่างเช่น ไดเพล็กเซอร์เครือข่ายแบบพาสซีฟต้องการเพียงการแปลแถบหยุดลำดับคู่เท่านั้น และทำงานได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้นด้วยแถบผ่านลำดับคู่ที่ไม่ได้รับการแปล^{[ 5 ]}

เมื่อดำเนินการเสร็จสิ้น จะได้ฟังก์ชันถ่ายโอนแบบ equi-ripple ที่มี ค่า เมทริกซ์การกระเจิงสำหรับ S12 เป็น 1 และ 0 ที่ซึ่งสามารถนำไปใช้กับเครือข่ายแบบพาสซีฟที่มีการต่อปลายเท่ากันได้ ${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle \omega =0}$${\displaystyle \omega =\infty }$

ภาพประกอบด้านล่างแสดงตัวกรองวงรีลำดับที่ 8 ที่ได้รับการดัดแปลงเพื่อรองรับเครือข่ายพาสซีฟที่มีการต่อปลายเท่ากันในลำดับคู่ โดยการย้ายจุดศูนย์การสะท้อนความถี่ต่ำสุดจากความถี่จำกัดไปยัง 0 และจุดศูนย์การส่งผ่านความถี่สูงสุดไปยัง ในขณะที่ยังคงรักษาการ ตอบสนองความถี่ ของแถบส่งผ่านและแถบหยุดที่มีการ กระเพื่อม เท่ากัน${\displaystyle \infty }$

การคำนวณลำดับและค่าในย่อหน้าการสร้างวงรีข้างต้นนั้นใช้สำหรับตัวกรองวงรีที่ไม่ได้ดัดแปลงเท่านั้น แม้ว่าการดัดแปลงลำดับคู่จะไม่มีผลต่อการลดทอนของแถบผ่านหรือแถบหยุด แต่ก็คาดว่าจะเกิดข้อผิดพลาดเล็กน้อยในการคำนวณลำดับและค่า ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องใช้การดัดแปลงลำดับคู่หลังจากเสร็จสิ้นการวนซ้ำทั้งหมดแล้ว หากต้องการรักษาการลดทอนของแถบผ่านและแถบหยุดไว้ หากฟังก์ชันวงรีที่ดัดแปลงลำดับคู่ถูกสร้างขึ้นจากข้อกำหนด ค่าที่ได้จริงจะมากกว่าค่าที่ออกแบบไว้เล็กน้อยในทำนองเดียวกัน การคำนวณลำดับnอาจส่งผลให้ได้ค่าที่น้อยกว่าลำดับที่ต้องการจริง ${\displaystyle \Omega _{c}}$${\displaystyle \Omega _{c}}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle \Omega _{c}}$${\displaystyle \Omega _{c}}$${\displaystyle \Omega _{c}}$

ตัวกรอง Hourglass เป็นตัวกรองกรณีพิเศษที่ศูนย์การสะท้อนเป็นส่วนกลับของศูนย์การส่ง ผ่านรอบความถี่ การลดทอนตัดปกติ 3.01 dB ที่ 1 เรเดียน/วินาที ส่งผลให้ขั้วทั้งหมดของตัวกรองอยู่บนวงกลมหน่วย^[ 6 ^] การใช้งาน Elliptic Hourglass มีข้อได้เปรียบเหนือ ตัวกรอง Inverse Chebyshevตรงที่แถบส่งผ่านแบนราบกว่า และมีข้อได้เปรียบเหนือตัวกรอง Elliptic แบบดั้งเดิมตรงที่ความล่าช้าของกลุ่ม มีจุดสูงสุด ^ที่แหลมน้อยกว่าที่ความถี่ตัด

วิธีที่ตรงไปตรงมาที่สุดในการสังเคราะห์ตัวกรอง Hourglass คือการออกแบบตัวกรอง Elliptic ที่มีการลดทอนของแถบหยุดที่กำหนดไว้As และการลดทอนของแถบส่งผ่านที่คำนวณได้ซึ่งตรงตามข้อกำหนด ของเครือข่ายสองพอร์ตที่ไม่มีการสูญเสียซึ่งมีพารามิเตอร์การกระเจิง [ ^{7 ] เมื่อ} รวมกับการแปลงขนาด dB เป็นเลขคณิตที่รู้จักกันดีการจัดการทางพีชคณิตจะให้ข้อกำหนดการลดทอนของแถบส่งผ่านที่คำนวณได้ดังต่อไปนี้ ${\displaystyle |S_{11}|^{2}+|S_{12}|^{2}=1}$${\displaystyle (S_{ij})_{dB}=20log_{10}(|S_{ij}|_{arith})}$

${\displaystyle A_{p}=-10\log _{10}{(1.-10^{(-A_{s}/10)})}}$

ค่าA _pที่กำหนดไว้ข้างต้นจะสร้างค่าศูนย์การสะท้อนและการส่งผ่านแบบผกผันรอบความถี่ตัดที่ไม่ทราบค่า 3.01 dB ในการออกแบบตัวกรองแบบวงรีที่มีความถี่ผ่าน 1 เรเดียน/วินาที จำเป็นต้องกำหนดความถี่การลดทอน 3.01 dB และใช้ความถี่นั้นในการปรับขนาดพหุนามการออกแบบวงรีแบบผกผัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นพหุนามที่มีการลดทอน 3.01 dB ที่ความถี่ปกติ 1 เรเดียน/วินาที อาจใช้ วิธีของนิวตันหรือการแก้สมการโดยตรงด้วยอัลกอริทึมการหาค่ารากเพื่อกำหนดความถี่การลดทอน 3.01 dB

ถ้าคือฟังก์ชันถ่ายโอน Hourglass เพื่อหาความถี่ 3.01 dB และคือความถี่ 3 dB ที่ต้องการหา สามารถใช้ขั้นตอนด้านล่างนี้เพื่อหาค่าได้${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle \omega _{c}}$${\displaystyle \omega _{c}}$

1. หากยังไม่มีค่า ให้คูณด้วยเพื่อให้ได้ค่า${\displaystyle G(s)G(-s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle G(-s)}$${\displaystyle G(s)G(-s)}$
2. กลับเครื่องหมายทุกพจน์ของเมื่อหารด้วยลงตัวนั่นก็คือ, , , และอื่นๆ ฟังก์ชันที่แก้ไขแล้วจะเรียกว่า และการแก้ไขนี้จะช่วยให้สามารถใช้จำนวนจริงแทนจำนวนเชิงซ้อนในการประเมินพหุนามและอนุพันธ์ของมันได้ ตอนนี้สามารถใช้จำนวนจริงแทนจำนวนเชิงซ้อนได้แล้ว${\displaystyle s^{n}}$${\displaystyle (n+2)}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle s^{2}}$${\displaystyle s^{6}}$${\displaystyle s^{10}}$${\displaystyle G_{2}(s)G_{2}(-s)}$${\displaystyle \omega _{a}}$${\displaystyle j\omega _{a}}$
3. แปลงค่าการลดทอนที่ต้องการในหน่วยเดซิเบล (dB) ให้เป็นค่ากำลังขยายเลขคณิตกำลังสอง (²) โดยใช้สูตร ตัวอย่างเช่น 3.010 dB แปลงเป็น 0.5, 1 dB แปลงเป็น 0.79432823 และอื่นๆ${\displaystyle A_{dB}}$${\displaystyle B_{arith}^{2}}$${\displaystyle B_{arith}^{2}=10^{A_{dB}/10}}$
4. คำนวณค่าที่ปรับเปลี่ยนแล้วในวิธีของนิวตันโดยใช้ค่าจริงให้ใช้ค่าสัมบูรณ์เสมอ${\displaystyle |G_{2}(s)G_{2}(-s)|}$${\displaystyle \omega _{a}}$
5. คำนวณอนุพันธ์ที่ปรับเปลี่ยนแล้วเทียบกับค่าจริงห้ามหาค่าสัมบูรณ์ของอนุพันธ์${\displaystyle G_{2}(\omega _{a})G_{2}(-\omega _{a})}$${\displaystyle \omega _{a}}$

เมื่อขั้นตอนที่ 1) ถึง 4) เสร็จสมบูรณ์แล้ว นิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับวิธีของนิวตันสามารถเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle \omega _{a}=\omega _{a}-([G_{2}(\omega _{a})G_{2}(-\omega _{a})|-B^{2})/(d[G_{2}(\omega _{a})G_{2}(-\omega _{a})]/d\omega _{a})}$

โดยใช้ค่าจริงที่ไม่ต้องใช้การคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน การเคลื่อนที่ของควรถูกจำกัดเพื่อป้องกันไม่ให้ค่าติดลบในช่วงเริ่มต้นของการวนซ้ำ เพื่อเพิ่มความน่าเชื่อถือ เมื่อการลู่เข้าเสร็จสมบูรณ์สามารถใช้สำหรับที่สามารถใช้ปรับขนาดตัวส่วนของฟังก์ชันถ่ายโอนดั้งเดิมได้ ค่าการลดทอนของที่แก้ไขแล้วจะมีค่าใกล้เคียงกับค่าที่ต้องการที่ 1 เรเดียน/วินาที หากดำเนินการอย่างถูกต้อง จะใช้การวนซ้ำเพียงไม่กี่ครั้งในการตั้งค่าการลดทอนในช่วงค่าการลดทอนที่ต้องการที่หลากหลายสำหรับตัวกรองทั้งขนาดเล็กและขนาดใหญ่มาก ${\displaystyle \omega _{a}}$${\displaystyle \omega _{a}}$${\displaystyle \omega _{a}}$${\displaystyle \omega _{c}}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle G(s)}$

เนื่องจากฟังก์ชันถ่ายโอนไม่มีข้อมูลเฟส การแยกตัวประกอบฟังก์ชันถ่ายโอนโดยตรงจึงไม่ได้ผลลัพธ์ที่ใช้งานได้ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันถ่ายโอนอาจถูกปรับเปลี่ยนโดยการคูณด้วยเพื่อกำจัดกำลังคี่ทั้งหมดของซึ่งจะทำให้ เป็นจำนวนจริงที่ทุกความถี่ จากนั้นจึงหาความถี่ที่ได้ผลลัพธ์เป็นกำลังสองของความสนใจที่ต้องการ ${\displaystyle |G(j\omega _{a})|}$${\displaystyle G(-s)}$${\displaystyle G(j\omega a)}$${\displaystyle G(j\omega a)}$

1. หากยังไม่มีค่า ให้คูณด้วยเพื่อให้ได้ค่า${\displaystyle G(s)G(-s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle G(-s)}$${\displaystyle G(s)G(-s)}$
2. แปลงค่าการลดทอนที่ต้องการในหน่วยเดซิเบล (dB) ให้เป็นค่ากำลังขยายเลขคณิตกำลังสอง (²) โดยใช้สูตร ตัวอย่างเช่น 3.010 dB แปลงเป็น 0.5, 1 dB แปลงเป็น 0.79432823 และอื่นๆ${\displaystyle A_{dB}}$${\displaystyle B_{arith}^{2}}$${\displaystyle B_{arith}^{2}=10^{A_{dB}/10}}$
3. หา${\displaystyle P(S)=G_{num}(S)G_{num}(-S)-B_{arith}^{2}G_{den}(S)G_{den}(-S)}$
4. จงหาค่ารากของ P(S) โดยใช้อัลกอริทึมการหาค่าราก
5. จากชุดรากข้างต้น ให้เลือกรากจินตภาพบวกสำหรับตัวกรองทุกอันดับ และรากจริงบวกสำหรับตัวกรองอันดับคู่${\displaystyle \omega _{c}}$

เมื่อกำหนดค่าแล้ว พหุนามฟังก์ชันถ่ายโอน Hourglass สามารถปรับขนาดได้ดังนี้: ${\displaystyle \omega _{c}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G(s)_{\text{orig}}&={\frac {N_{nn}s^{nn}+\dots +N_{2}s^{2}+N_{1}s+N_{0}}{D_{nn}s^{nd}+\dots +D_{2}s^{2}+D_{1}s+D_{0}}}{\text{ (original unscaled transfer function polynomials)}}\\G(s)_{\text{ scaled}}&={\frac {N_{nn}(\omega _{c}s)^{nn}+\dots +N_{2}(\omega _{c}s)^{2}+N_{1}\omega _{c}s+N_{0}}{D_{nn}(\omega _{c}s)^{nd}+\dots +D_{2}(\omega _{c}s)^{2}+D_{1}\omega _{c}s+D_{0}}}{\text{ (}}3.01{\text{ dB at 1 rad/sec scaled transfer function polynomials)}}\\\omega _{c}&=|G(s)|{\text{ 3.01 dB attenuation frequency }}\\nn,nd&={\text{ order of numerator and denominator, respectively}}\\N,D&={\text{ coefficients of numerator and denominator, respectively}}\\\end{aligned}}}$

ตัวกรอง Hourglass ลำดับคู่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับเครือข่ายพาสซีฟที่ต่อปลายอย่างเท่าเทียมกันเช่นเดียวกับตัวกรอง Elliptic อื่นๆ การปรับเปลี่ยนลำดับคู่แบบเดียวกันที่ช่วยแก้ปัญหาของตัวกรอง Elliptic ก็สามารถแก้ปัญหาของตัวกรอง Hourglass ได้เช่นกัน