ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขอัลกอริทึมการหาค่าศูนย์หรือที่เรียกว่า "ราก" ของฟังก์ชันต่อเนื่องค่าศูนย์ของฟังก์ชันfคือจำนวนxที่ทำให้f ( x ) = 0เนื่องจากโดยทั่วไปแล้ว ค่าศูนย์ของฟังก์ชันไม่สามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำหรือแสดงในรูปปิดได้อัลกอริทึมการหาค่าศูนย์จึงให้ค่าประมาณของค่าศูนย์ สำหรับฟังก์ชันจากจำนวนจริงไปยังจำนวนจริงหรือจากจำนวนเชิงซ้อนไปยังจำนวนเชิงซ้อน ค่าเหล่านี้จะแสดงเป็น จำนวน จุดลอยตัวโดยไม่มีขอบเขตความคลาดเคลื่อน หรือเป็นค่าจุดลอยตัวพร้อมกับขอบเขตความคลาดเคลื่อน ค่าประมาณที่มีขอบเขตความคลาดเคลื่อนแบบหลังนี้เทียบเท่ากับช่วง แยกขนาดเล็ก สำหรับรากจริงหรือวงกลมสำหรับรากเชิงซ้อน^{[ 1 ]}

การแก้สมการf ( x ) = g ( x )ก็เหมือนกับการหาค่ารากของฟังก์ชันh ( x ) = f ( x ) – g ( x )ดังนั้นอัลกอริทึมการหาค่ารากจึงสามารถใช้แก้สมการ ใดๆ ของฟังก์ชันต่อเนื่องได้ อย่างไรก็ตาม อัลกอริทึมการหาค่ารากส่วนใหญ่ไม่ได้การันตีว่าจะพบรากทั้งหมดของฟังก์ชัน และหากอัลกอริทึมดังกล่าวไม่พบรากใดๆ ก็ไม่ได้หมายความว่าไม่มีรากอยู่จริงเสมอไป

วิธีการหาค่ารากเชิงตัวเลขส่วนใหญ่เป็นวิธีการวนซ้ำซึ่งจะสร้างลำดับของตัวเลขที่ลู่เข้าสู่ค่ารากในที่สุดวิธี การเหล่านี้ต้องการ ค่าเริ่มต้น ของค่าราก อย่างน้อยหนึ่งค่าจากนั้นการวนซ้ำแต่ละครั้งของอัลกอริทึมจะสร้างค่าประมาณของค่ารากที่แม่นยำขึ้นเรื่อยๆ เนื่องจากต้องหยุดการวนซ้ำในบางจุด วิธีการเหล่านี้จึงให้ค่าประมาณของค่าราก ไม่ใช่คำตอบที่แน่นอน วิธีการหลายวิธีคำนวณค่าถัดไปโดยการประเมินฟังก์ชันเสริมบนค่าก่อนหน้า ดังนั้นลิมิตจึงเป็นจุดคงที่ของฟังก์ชันเสริม ซึ่งถูกเลือกโดยพิจารณาจากค่ารากของสมการดั้งเดิมที่เป็นจุดคงที่ และลู่เข้าสู่จุดคงที่เหล่านั้นอย่างรวดเร็ว

พฤติกรรมของอัลกอริทึมหาค่ารากทั่วไปนั้นได้รับการศึกษาในสาขาการวิเคราะห์เชิงตัวเลขอย่างไรก็ตาม สำหรับพหุนามโดยเฉพาะ การศึกษาอัลกอริทึมหาค่ารากนั้นจัดอยู่ในสาขาพีชคณิตคอมพิวเตอร์เนื่องจากคุณสมบัติทางพีชคณิตของพหุนามเป็นพื้นฐานสำหรับอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสูงสุด ประสิทธิภาพและการใช้งานของอัลกอริทึมอาจขึ้นอยู่กับลักษณะของฟังก์ชันที่กำหนดอย่างมาก ตัวอย่างเช่น อัลกอริทึมหลายตัวใช้ค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันอินพุต ในขณะที่บางตัวทำงานกับฟังก์ชันต่อเนื่อง ทุกฟังก์ชัน โดยทั่วไปแล้ว อัลกอริทึมเชิงตัวเลขไม่รับประกันว่าจะหาค่ารากทั้งหมดของฟังก์ชันได้ ดังนั้นการไม่พบค่ารากไม่ได้พิสูจน์ว่าไม่มีค่าราก อย่างไรก็ตาม สำหรับพหุนามมีอัลกอริทึมเฉพาะที่ใช้คุณสมบัติทางพีชคณิตเพื่อรับรองว่าไม่มีค่ารากใดถูกมองข้าม และเพื่อระบุตำแหน่งของค่ารากในช่วงที่แยกจากกัน (หรือวงกลมสำหรับค่ารากเชิงซ้อน) ซึ่งมีขนาดเล็กพอที่จะรับประกันการลู่เข้าของวิธีการเชิงตัวเลข (โดยทั่วไปคือวิธีของนิวตัน ) ไปยังค่ารากที่ไม่ซ้ำกันภายในแต่ละช่วง (หรือวงกลม)

วิธีการกำหนดช่วง (Bracketing methods) จะกำหนดช่วงที่เล็กลงเรื่อยๆ (วงเล็บ) ที่มีรากอยู่ภายใน เมื่อช่วงนั้นเล็กพอแล้ว ก็จะถือว่าพบรากแล้ว โดยทั่วไปแล้ว วิธีเหล่านี้จะใช้ทฤษฎีบทค่ากลาง (Intermediate Value Theorem ) ซึ่งกล่าวว่า ถ้าฟังก์ชันต่อเนื่องมีค่าที่มีเครื่องหมายตรงข้ามกันที่จุดปลายของช่วง ฟังก์ชันนั้นจะมีรากอย่างน้อยหนึ่งรากในช่วงนั้น ดังนั้น วิธีเหล่านี้จึงต้องเริ่มต้นด้วยช่วงที่ฟังก์ชันมีเครื่องหมายตรงข้ามกันที่จุดปลายของช่วง อย่างไรก็ตาม ในกรณีของพหุนามมีวิธีการอื่นๆ เช่นกฎเครื่องหมายของเดส์การ์ต (Descartes' rule of signs) ทฤษฎีบทของ บูดาน ( Budan's theorem)และทฤษฎีบทของสเติร์ม (Sturm's theorem)สำหรับการกำหนดขอบเขตหรือจำนวนรากในช่วง วิธีเหล่านี้จะนำไปสู่ขั้นตอนวิธีที่มีประสิทธิภาพสำหรับการแยกรากจริงของพหุนาม ซึ่งจะค้นหารากจริงทั้งหมดด้วยความแม่นยำที่รับประกันได้

อัลกอริทึมการหาค่ารากที่ง่ายที่สุดคือวิธีแบ่งครึ่งช่วง (bisection method ) ให้fเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่เรารู้ช่วง[ a , b ]โดยที่ f ( a )และf ( b )มีเครื่องหมายตรงข้ามกัน (วงเล็บ) ให้c = ( a + b )/2เป็นจุดกึ่งกลางของช่วง (จุดกึ่งกลางหรือจุดที่แบ่งครึ่งช่วง) ดังนั้นf ( a )และf ( c )หรือf ( c )และf ( b )จะมีเครื่องหมายตรงข้ามกัน และขนาดของช่วงถูกหารด้วยสอง แม้ว่าวิธีแบ่งครึ่งช่วงจะมีความเสถียร แต่ก็เพิ่มความแม่นยำเพียงหนึ่งบิตในแต่ละรอบการคำนวณ ดังนั้นจำนวนการประเมินฟังก์ชันที่จำเป็นสำหรับการหา ค่ารากโดยประมาณ εคือวิธีอื่น ๆ ภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสม สามารถเพิ่มความแม่นยำได้เร็วกว่า ${\displaystyle \log _{2}{\frac {ba}{\varepsilon }}}$

วิธีตำแหน่งเท็จหรือที่เรียกว่า วิธี regula falsiนั้นคล้ายกับวิธีแบ่งครึ่งช่วง แต่แทนที่จะใช้จุดกึ่งกลางของช่วงในการค้นหาแบบแบ่งครึ่งช่วง วิธีนี้จะใช้จุดตัดแกนxของเส้นตรงที่เชื่อมค่าฟังก์ชันที่พล็อตไว้ที่จุดปลายของช่วง นั่นคือ

${\displaystyle c={\frac {af(b)-bf(a)}{f(b)-f(a)}}.}$

วิธีตำแหน่งเท็จคล้ายกับวิธีตัดแกนยกเว้นว่าแทนที่จะเก็บจุดสองจุดสุดท้าย วิธีนี้จะเก็บจุดหนึ่งจุดไว้ทางด้านใดด้านหนึ่งของราก วิธีตำแหน่งเท็จอาจเร็วกว่าวิธีแบ่งครึ่งและจะไม่ลู่เข้าเหมือนวิธีตัดแกน อย่างไรก็ตาม อาจไม่สามารถลู่เข้าได้ในการใช้งานแบบง่ายๆ บางอย่างเนื่องจากข้อผิดพลาดในการปัดเศษที่อาจทำให้เครื่องหมายของf ( c ) ผิด โดยทั่วไปแล้ว อาจเกิดขึ้นหากอนุพันธ์ของfมีค่ามากในบริเวณใกล้เคียงกับราก

กระบวนการหาค่ารากจำนวนมากใช้วิธีการประมาณค่าในช่วง (interpolation ) ซึ่งประกอบด้วยการใช้ค่าประมาณรากที่คำนวณได้ล่าสุดมาประมาณค่าฟังก์ชันด้วยพหุนามดีกรีต่ำ ซึ่งจะมีค่าเท่ากับค่าประมาณรากเหล่านั้น จากนั้นจึงคำนวณหาค่ารากของพหุนามและนำมาใช้เป็นค่าประมาณรากใหม่ของฟังก์ชัน และทำซ้ำกระบวนการนี้ไปเรื่อยๆ

การประมาณค่าระหว่างสองค่าจะได้เส้นตรง ซึ่งเป็นพหุนามดีกรีหนึ่ง นี่คือพื้นฐานของวิธีซีแคนต์ วิธีเรกูลาฟัลซี (Regula falsi)ก็เป็นวิธีการประมาณค่าระหว่างสองจุดเช่นกัน แต่แตกต่างจากวิธีซีแคนต์ตรงที่ใช้จุดสองจุดที่ไม่ใช่จุดสองจุดสุดท้ายที่คำนวณได้เสมอไป ค่าสามค่าจะกำหนดเส้นโค้งพาราโบลา ซึ่งเป็นฟังก์ชันกำลัง สอง นี่คือพื้นฐานของวิธีของมุลเลอร์ (Muller's method )

แม้ว่า อัลกอริธึมการหาค่ารากทั้งหมดจะดำเนินการโดยการวนซ้ำแต่โดยทั่วไปแล้ววิธีการหาค่ารากแบบวนซ้ำ จะใช้การวนซ้ำแบบเฉพาะเจาะจง ซึ่งประกอบด้วยการกำหนดฟังก์ชันเสริม ที่นำไปใช้กับค่าประมาณของรากที่คำนวณได้ล่าสุดเพื่อหาค่าประมาณใหม่ การวนซ้ำจะหยุดลงเมื่อถึง จุดคงที่ของฟังก์ชันเสริมด้วยความแม่นยำที่ต้องการ กล่าวคือ เมื่อค่าที่คำนวณได้ใหม่ใกล้เคียงกับค่าก่อนหน้ามากพอ

วิธีของนิวตันนั้นตั้งอยู่บนสมมติฐานว่าฟังก์ชันfมีอนุพันธ์ ต่อเนื่อง วิธีของนิวตันอาจไม่ลู่เข้าหากเริ่มต้นจากจุดที่อยู่ห่างจากรากมากเกินไป อย่างไรก็ตาม เมื่อลู่เข้าแล้ว วิธีนี้จะเร็วกว่าวิธีแบ่งครึ่งช่วง โดยลำดับการลู่เข้ามักจะเป็นกำลังสอง ในขณะที่วิธีแบ่งครึ่งช่วงเป็นเชิงเส้น วิธีของนิวตันยังมีความสำคัญเพราะสามารถขยายไปสู่ปัญหาที่มีมิติสูงกว่าได้อย่างง่ายดายวิธีของเฮาส์โฮลเดอร์เป็นกลุ่มของวิธีที่คล้ายกับวิธีของนิวตันที่มีลำดับการลู่เข้าสูงกว่า วิธีแรกหลังจากวิธีของนิวตันคือวิธีของฮัลลีย์ซึ่งมีลำดับการลู่เข้าเป็นกำลังสาม

เมื่อแทนที่อนุพันธ์ในวิธีของนิวตันด้วยผลต่างจำกัดเราจะได้วิธีซีแคนต์วิธีนี้ไม่จำเป็นต้องคำนวณ (หรือแม้แต่การมีอยู่) ของอนุพันธ์ แต่ข้อเสียคือการลู่เข้าที่ช้าลง (ลำดับการลู่เข้าคืออัตราส่วนทองคำประมาณ 1.62 ^{[ 2 ]} ) การวางนัยทั่วไปของวิธีซีแคนต์ในมิติที่สูงกว่าคือวิธีของบรอยเดน

หากเราใช้การปรับพหุนามเพื่อกำจัดส่วนที่เป็นกำลังสองของผลต่างจำกัดที่ใช้ในวิธีซีแคนต์ เพื่อให้ได้ค่าประมาณอนุพันธ์ที่ดีขึ้น เราจะได้วิธีของสเตฟเฟนเซนซึ่งมีการลู่เข้าแบบกำลังสอง และพฤติกรรม (ทั้งข้อดีและข้อเสีย) นั้นโดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับวิธีของนิวตัน แต่ไม่จำเป็นต้องใช้อนุพันธ์

เราสามารถใช้การวนซ้ำจุดตรึงเพื่อหาค่ารากของฟังก์ชันได้ เมื่อกำหนดฟังก์ชันที่เรากำหนดให้เท่ากับศูนย์เพื่อหาค่าราก ( ) เราจะเขียนสมการใหม่ในรูปของเพื่อให้กลายเป็น(หมายเหตุ มักจะมีฟังก์ชันหลายตัวสำหรับแต่ละฟังก์ชัน) จากนั้น เราจะเปลี่ยนชื่อข้างของสมการเป็น เพื่อให้เราสามารถทำการวนซ้ำได้ ต่อไป เราจะเลือกค่าสำหรับและทำการวนซ้ำจนกว่าจะลู่เข้าสู่ค่ารากของฟังก์ชัน ถ้าการวนซ้ำลู่เข้า มันจะลู่เข้าสู่ค่าราก การวนซ้ำจะลู่เข้าก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle x=g(x)}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle x_{n+1}=g(x_{n})}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle |g'(root)|<1}$

ตัวอย่างเช่นหากกำหนดฟังก์ชันเราจะเขียนฟังก์ชันนั้นใหม่ให้อยู่ในรูปสมการใดสมการหนึ่งต่อไปนี้ ${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle x=g(x)}$${\displaystyle f(x)=x^{2}+x-1}$

${\displaystyle x_{n+1}=(1/x_{n})-1}$,

${\displaystyle x_{n+1}=1/(x_{n}+1)}$,

${\displaystyle x_{n+1}=1-x_{n}^{2}}$,

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}^{2}+2x_{n}-1}$, หรือ

${\displaystyle x_{n+1}=\pm {\sqrt {1-x_{n}}}}$.

การปรากฏของค่าเชิงซ้อนในวิธีการประมาณค่าแบบสอดแทรกสามารถหลีกเลี่ยงได้โดยการประมาณค่า แบบสอด แทรกค่าผกผันของfซึ่งส่งผลให้ได้ วิธี การประมาณค่าแบบสอดแทรกกำลังสองผกผันอีกครั้ง การลู่เข้าจะเร็วกว่าวิธีซีแคนต์ในเชิงอะซิมโทติก แต่การประมาณค่าแบบสอดแทรกกำลังสองผกผันมักทำงานได้ไม่ดีเมื่อค่าที่วนซ้ำไม่ใกล้กับราก

วิธีของเบรนท์เป็นการผสมผสานระหว่างวิธีแบ่งครึ่งช่วง วิธีตัดเส้นตรง และการประมาณค่าแบบกำลังสองผกผันในแต่ละรอบการคำนวณ วิธีของเบรนท์จะตัดสินใจว่าวิธีใดในสามวิธีนี้มีแนวโน้มที่จะได้ผลดีที่สุด และดำเนินการตามขั้นตอนที่เลือกไว้ วิธีนี้มีประสิทธิภาพและรวดเร็ว จึงได้รับความนิยมอย่างมาก

วิธีของ Riddersเป็นวิธีแบบผสมผสานที่ใช้ค่าของฟังก์ชัน ณ จุดกึ่งกลางของช่วงเพื่อทำการประมาณค่าแบบเอกซ์โปเนนเชียลไปยังราก วิธีนี้ให้การลู่เข้าที่รวดเร็ว โดยรับประกันการลู่เข้าด้วยจำนวนรอบการทำซ้ำไม่เกินสองเท่าของวิธีแบ่งครึ่งช่วง

วิธีการแบ่งครึ่งได้รับการขยายไปสู่มิติที่สูงขึ้น วิธีการเหล่านี้เรียกว่าวิธีการแบ่งครึ่งแบบทั่วไป [ ^{4 ] [ 5 ] ใน}แต่ละรอบการทำซ้ำ โดเมนจะถูกแบ่งออกเป็นสองส่วน และอัลกอริทึมจะตัดสินใจ - โดยอาศัยการประเมินฟังก์ชันจำนวนเล็กน้อย - ว่าส่วนใดในสองส่วนนี้จะต้องมีราก ในมิติเดียว เกณฑ์ในการตัดสินใจคือฟังก์ชันมีเครื่องหมายตรงข้ามกัน ความท้าทายหลักในการขยายวิธีการไปสู่หลายมิติคือการหาเกณฑ์ที่สามารถคำนวณได้ง่ายและรับประกันการมีอยู่ของราก

ทฤษฎีบทปวงกาเร-มิแรนดาให้เกณฑ์สำหรับการมีอยู่ของรากในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า แต่การตรวจสอบทำได้ยากเนื่องจากต้องประเมินค่าฟังก์ชันบนขอบเขตทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

เกณฑ์อีกประการหนึ่งกำหนดโดยทฤษฎีบทของKronecker [ ^{6 ]}ซึ่งกล่าวว่า หากระดับโทโพโลยี^ของฟังก์ชันfบนสี่เหลี่ยมผืนผ้าไม่เป็นศูนย์ สี่เหลี่ยมผืนผ้านั้นจะต้องมีรากของf อย่างน้อยหนึ่งราก เกณฑ์นี้เป็นพื้นฐานสำหรับวิธีการค้นหารากหลายวิธี เช่น วิธีของ Stenger ^{[ 7 ]} และ Kearfott ^{[ 8 ]}อย่างไรก็ตาม การคำนวณระดับโทโพโลยีอาจใช้เวลานาน

เกณฑ์ที่สามนั้นอิงตามรูปทรงหลายเหลี่ยมลักษณะเฉพาะเกณฑ์นี้ใช้โดยวิธีที่เรียกว่าการแบ่งครึ่งลักษณะเฉพาะ^{[ 4 ] : 19--} ไม่จำเป็นต้องคำนวณระดับโทโพโลยี แต่ต้องคำนวณเครื่องหมายของค่าฟังก์ชันเท่านั้น จำนวนการประเมินที่ต้องการอย่างน้อยที่สุดคือโดยที่Dคือความยาวของขอบที่ยาวที่สุดของรูปทรงหลายเหลี่ยมลักษณะเฉพาะ^{[ 9 ] : 11, Lemma.4.7} โปรดทราบว่า Vrahatis และ Iordanidis ^{[ 9 ]}พิสูจน์ขอบเขตล่างของจำนวนการประเมิน ไม่ใช่ขอบเขตบน ${\displaystyle \log _{2}(D/\epsilon )}$

วิธีที่สี่ใช้ทฤษฎีบทค่ากลางบนซิมเพล็กซ์^{[ 10 ]}อีกครั้ง ไม่มีขอบเขตบนของจำนวนการสอบถาม

• Victor Yakovlevich Pan: "การแก้สมการพหุนาม: ประวัติความเป็นมาและความก้าวหน้าล่าสุด", SIAM Review, Vol.39, No.2, pp.187-220 (มิถุนายน 1997)
• John Michael McNamee: วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการหาค่ารากของพหุนาม - ตอนที่ 1 , Elsevier, ISBN 978-0-444-52729-5 (2007)
• John Michael McNamee และ Victor Yakovlevich Pan: วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับรากของพหุนาม - ตอนที่ 2 , Elsevier, ISBN 978-0-444-52730-1 (2013)