ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขวิธีเซแคนต์เป็นอัลกอริทึมการหาค่ารากที่ใช้รากของเส้นเซแคนต์ ตามลำดับ เพื่อประมาณค่ารากของฟังก์ชันf ได้ดียิ่งขึ้น วิธีเซแคนต์สามารถคิดได้ว่าเป็นการ ประมาณค่า ความแตกต่างจำกัดของวิธีของนิวตันดังนั้นจึงถือว่าเป็นวิธีควาซี-นิวตันในทางประวัติศาสตร์ วิธีนี้เป็นวิวัฒนาการของวิธีตำแหน่งเท็จซึ่งมีมาก่อนวิธีของนิวตันกว่า 3000 ปี^{[ 1 ]}

วิธีซีแคนต์เป็นวิธีเชิงตัวเลขแบบวนซ้ำสำหรับการหาค่าศูนย์ของฟังก์ชันfโดยกำหนดค่าเริ่มต้นสองค่าคือ_{x₀ และ x₁ วิธี}นี้จะดำเนินการตามความสัมพันธ์เวียนเกิด

${\displaystyle x_{n}=x_{n-1}-f(x_{n-1}){\frac {x_{n-1}-x_{n-2}}{f(x_{n-1})-f(x_{n-2})}}={\frac {x_{n-2}f(x_{n-1})-x_{n-1}f(x_{n-2})}{f(x_{n-1})-f(x_{n-2})}}.}$

นี่คือความสัมพันธ์เวียนเกิดอันดับสองแบบไม่เชิงเส้น ซึ่งกำหนดไว้อย่างชัดเจนเมื่อกำหนดค่าfและค่าเริ่มต้นสองค่าคือx ₀และx ₁โดยในอุดมคติแล้ว ควรเลือกค่าเริ่มต้นให้ใกล้เคียงกับค่าศูนย์ที่ต้องการ

เริ่มต้นด้วยค่าเริ่มต้นx ₀และx ₁เราสร้างเส้นตรงผ่านจุด( x ₀ , f ( x ₀ ))และ( x ₁ , f ( x ₁ ))ดังแสดงในภาพด้านบน ในรูปแบบจุดต่อจุด^{[ 2 ]}สมการของเส้นตรงนี้คือ

${\displaystyle y={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{1})+f(x_{1}).}$

รากของฟังก์ชันเชิงเส้น นี้ ซึ่งก็คือค่าของxที่ทำให้y = 0คือ

${\displaystyle x=x_{1}-f(x_{1}){\frac {x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})}}.}$

จากนั้นเราใช้ค่าx ใหม่นี้ เป็นx ₂และทำซ้ำกระบวนการ โดยใช้x ₁และx ₂แทนx ₀และx ₁เราดำเนินการตามกระบวนการนี้ต่อไป เพื่อหาค่าx ₃ , x ₄เป็นต้น จนกว่าเราจะได้ระดับความแม่นยำที่สูงเพียงพอ (ความแตกต่างระหว่างx _nและx _{n −1} มีค่าน้อยเพียงพอ ):

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=x_{1}-f(x_{1}){\frac {x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})}},\\[6pt]x_{3}&=x_{2}-f(x_{2}){\frac {x_{2}-x_{1}}{f(x_{2})-f(x_{1})}},\\[6pt]&\,\,\,\vdots \\[6pt]x_{n}&=x_{n-1}-f(x_{n-1}){\frac {x_{n-1}-x_{n-2}}{f(x_{n-1})-f(x_{n-2})}}.\end{aligned}}}$

การวนซ้ำของวิธีเซแคนต์จะลู่เข้าสู่รากของถ้าค่าเริ่มต้นและอยู่ใกล้กับรากมากพอและมีพฤติกรรมที่ดี เมื่อสามารถหาอนุพันธ์ได้สองครั้งอย่างต่อเนื่องและรากที่กล่าวถึงเป็นรากเดี่ยว กล่าวคือ มีความซ้ำซ้อน 1 ลำดับการลู่เข้าจะเป็นอัตราส่วนทองคำ^{[ 3 ]}การลู่เข้านี้เป็นแบบซูเปอร์ลิเนียร์แต่เป็นแบบซับควาดราติก ${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2\approx 1.618.}$

หากค่าเริ่มต้นอยู่ไม่ใกล้กับรากมากพอ หรือฟังก์ชันมีพฤติกรรมที่ไม่เหมาะสม ก็ไม่มีการรับประกันว่าวิธีการซีแคนต์จะลู่เข้าได้เลย ไม่มีคำจำกัดความทั่วไปของคำว่า "ใกล้พอ" แต่เกณฑ์สำหรับการลู่เข้าเกี่ยวข้องกับความ "คดเคี้ยว" ของฟังก์ชันในช่วงระหว่างค่าเริ่มต้น ตัวอย่างเช่น หากฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้ในช่วงนั้น และมีจุดหนึ่งที่ในช่วงนั้น อัลกอริทึมอาจไม่ลู่เข้า ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f'=0}$

วิธีซีแคนต์ไม่ต้องการหรือรับประกันว่ารากจะยังคงอยู่ในช่วงของการทำซ้ำตามลำดับ เหมือนกับวิธีแบ่งครึ่ง ช่วง และด้วยเหตุนี้จึงไม่ลู่เข้าเสมอไปวิธีตำแหน่งเท็จ (หรือregula falsi ) ใช้สูตรเดียวกันกับวิธีซีแคนต์ อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ไม่ได้ใช้สูตรกับและเหมือนกับวิธีซีแคนต์ แต่ใช้กับและ ในช่วงการทำซ้ำครั้งสุดท้ายเพื่อให้และมีเครื่องหมายต่างกัน ซึ่งหมายความว่าวิธีตำแหน่งเท็จจะลู่เข้าเสมอ แต่เป็นการลู่เข้าในลำดับเชิงเส้นเท่านั้น การครอบคลุมด้วยลำดับการลู่เข้าที่สูงกว่าเชิงเส้นเช่นเดียวกับวิธีซีแคนต์ สามารถทำได้ด้วยการปรับปรุงวิธีตำแหน่งเท็จ (ดูRegula falsi § การปรับปรุงในregula falsi ) เช่นวิธี ITPหรือวิธี Illinois${\displaystyle x_{n-1}}$${\displaystyle x_{n-2}}$${\displaystyle x_{n-1}}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle f(x_{k})}$${\displaystyle f(x_{n-1})}$

สูตรเวียนเกิดของวิธีซีแคนต์สามารถหาได้จากสูตรของวิธีนิวตัน

${\displaystyle x_{n}=x_{n-1}-{\frac {f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}}}$

โดยใช้ การประมาณ ค่าความแตกต่างจำกัดสำหรับค่าเล็กๆ: ${\displaystyle \epsilon =x_{n-1}-x_{n-2}}$

${\displaystyle f'(x_{n-1})=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {f(x_{n-1})-f(x_{n-1}-\epsilon )}{\epsilon }}\approx {\frac {f(x_{n-1})-f(x_{n-2})}{x_{n-1}-x_{n-2}}}}$

วิธีซีแคนต์สามารถตีความได้ว่าเป็นวิธีการที่ใช้การประมาณแทนอนุพันธ์ ดังนั้นจึงเป็นวิธีการแบบกึ่งนิวตัน

หากเราเปรียบเทียบวิธีของนิวตันกับวิธีซีแคนต์ เราจะเห็นว่าวิธีของนิวตันลู่เข้าได้เร็วกว่า (อันดับ 2 เทียบกับอันดับอัตราส่วนทองคำφ  ≈ 1.6) ^{[ 3 ]}อย่างไรก็ตาม วิธีของนิวตันต้องประเมินทั้งและอนุพันธ์ของมันในทุกขั้นตอน ในขณะที่วิธีซีแคนต์ต้องประเมินเพียง เท่านั้นดังนั้น วิธีซีแคนต์อาจเร็วกว่าในทางปฏิบัติในบางครั้ง ตัวอย่างเช่น หากเราสมมติว่าการประเมินใช้เวลาเท่ากับการประเมินอนุพันธ์ของมัน และเราละเลยต้นทุนอื่นๆ ทั้งหมด เราสามารถทำสองขั้นตอนของวิธีซีแคนต์ (ลดลอการิทึมของข้อผิดพลาดด้วยปัจจัยφ ²  ≈ 2.6) ด้วยต้นทุนเท่ากับหนึ่งขั้นตอนของวิธีของนิวตัน (ลดลอการิทึมของข้อผิดพลาดด้วยปัจจัย 2) ดังนั้น วิธีซีแคนต์จึงเร็วกว่า ในมิติที่สูงขึ้น ชุดอนุพันธ์ย่อย ทั้งหมด ที่จำเป็นสำหรับวิธีของนิวตัน นั่นคือเมทริกซ์จาโคเบียนอาจมีค่าใช้จ่ายในการคำนวณสูงกว่าตัวฟังก์ชันเองมาก อย่างไรก็ตาม หากเราพิจารณาการประมวลผลแบบขนานสำหรับการประเมินอนุพันธ์ วิธีของนิวตันอาจเร็วกว่าในแง่ของเวลาการประมวลผล แม้ว่าโดยรวมแล้วจะยังคงต้องใช้การคำนวณมากกว่าก็ตาม ${\displaystyle f}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

ในทางคณิตศาสตร์ วิธีการเซแคนท์สองรูปแบบต่อไปนี้เทียบเท่ากัน: และ $${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\left[{\frac {x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}}\right]}$$$${\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n-1}f(x_{n})-x_{n}f(x_{n-1})}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}}.}$$

เมื่อใช้การคำนวณโดยประมาณ เช่น การคำนวณด้วยปากกาและกระดาษที่คำนวณได้ถึงจำนวนทศนิยมที่กำหนด หรือ การคำนวณเลขฐานสอง แบบจุดลอยตัวที่มีอยู่ในคอมพิวเตอร์ การคำนวณแบบแรกนั้นเหมาะสมกว่าด้วยเหตุผลสองประการ:

• มันอยู่ในรูปแบบสำหรับจำนวนบางจำนวนถึงแม้ว่าจะไม่ถูกต้อง การเปลี่ยนแปลงในการประมาณค่ารากจะน้อยมากเมื่อถึงจุดบรรจบ เพราะก็จะน้อยเช่นกัน${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\Delta }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle f(x_{n})}$
• รูปแบบที่สองมีความเสี่ยงต่อการตัดทอนที่ร้ายแรงเนื่องจากเมื่อเข้าใกล้จุดบรรจบกัน ข้อผิดพลาดในการตัดทอนในตัวส่วนอาจมีขนาดใหญ่ได้${\displaystyle f(x_{n})\to f(x_{n-1})}$

วิธีของบรอยเดนเป็นการขยายวิธีเซแคนต์ไปสู่มิติที่มากกว่าหนึ่งมิติ

กราฟต่อไปนี้แสดงฟังก์ชันfด้วยเส้นสีแดง และเส้นตัดสุดท้ายด้วยเส้นสีน้ำเงินหนา ในกราฟ จุดตัดแกน xของเส้นตัดดูเหมือนจะเป็นค่าประมาณที่ดีของรากของฟังก์ชัน f

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างการใช้งานวิธีเซแคนต์ในภาษาโปรแกรม Python

^{จาก นั้น}จึงนำไปใช้เพื่อหาค่ารากของฟังก์ชันf ( x ) = x² − 612โดยใช้จุดเริ่มต้นและ${\displaystyle x_{0}=10}$${\displaystyle x_{1}=30}$

def secant_method ( f , x0 : int , x1 : int , iterations : int ) -> float : """คืนค่ารากที่คำนวณโดยใช้วิธีซีแคนต์""" for i in range ( iterations ): x2 = x1 - f ( x1 ) * ( x1 - x0 ) / float ( f ( x1 ) - f ( x0 )) x0 , x1 = x1 , x2 # ใช้เกณฑ์การหยุดที่นี่ (ดูด้านล่าง) return x2def f_example ( x ): return x ** 2 - 612root = secant_method ( f_example , 10 , 30 , 5 )print ( f "Root: { root } " ) # Root: 24.738633748750722

การมีเกณฑ์การหยุดที่ดีข้างต้นนั้นสำคัญมาก มิฉะนั้นเนื่องจากความแม่นยำเชิงตัวเลขที่จำกัดของตัวเลขจุดลอยตัว อัลกอริทึมอาจส่งคืนผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องหากทำงานซ้ำมากเกินไป ตัวอย่างเช่น ลูปข้างต้นสามารถหยุดได้เมื่อถึงเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งต่อไปนี้ก่อน: abs(x0 - x1) < tolหรือabs(x0/x1-1) < tolหรือabs(f(x1)) < tol ^{[ 4 ]}

• วิธีการวางตำแหน่งเท็จ

• เอกสารประกอบการ สอนวิธีเซแคนท์ (Secant Method) พร้อมไฟล์ PowerPoint, Mathcad, Maple, Mathematica และ Matlab จากHolistic Numerical Methods Institute
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "วิธีเซแคนต์" . แมธเวิลด์ .