ในคณิตศาสตร์สาขาการวิเคราะห์ความนูนและแคลคูลัสของการแปรผัน ฟังก์ชัน เสมือนนูน (pseudoconvex function)คือฟังก์ชันที่แสดงพฤติกรรมคล้ายฟังก์ชันนูนเมื่อพิจารณาจากการหาค่าต่ำสุดเฉพาะที่แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันนูนจริงๆ โดยทั่วไป ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้จะเรียกว่าฟังก์ชันเสมือนนูน หากฟังก์ชันนั้นเพิ่มขึ้นในทุกทิศทางที่อนุพันธ์ทิศทาง นั้นเป็น บวก คุณสมบัตินี้ต้องเป็นจริงในโดเมนทั้งหมดของฟังก์ชัน ไม่ใช่เฉพาะจุดใกล้เคียงเท่านั้น

พิจารณาฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ซึ่งกำหนดไว้บนเซตเปิดนูน (ที่ไม่ว่าง) ของปริภูมิยุคลิด มิติจำกัด ฟังก์ชันนี้เรียกว่าเป็นฟังก์ชันนูนเทียมหากคุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริง: ^{[ 1 ]}${\displaystyle f:X\subseteq \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

สำหรับทุกคน${\displaystyle x,y\in X:\quad \nabla f(x)\cdot (y-x)\geq 0\Rightarrow f(y)\geq f(x).}$

ในทำนองเดียวกัน:

สำหรับทุกคน${\displaystyle x,y\in X:\quad f(y)<f(x)\Rightarrow \nabla f(x)\cdot (y-x)<0.}$

ต่อไปนี้คือค่าความชันของซึ่งกำหนดโดย:${\displaystyle \nabla f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right).}$

โปรดทราบว่านิยามนี้อาจระบุได้ในรูปของอนุพันธ์ทิศทางของในทิศทางที่กำหนดโดยเวกเตอร์เนื่องจากเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ ดังนั้นอนุพันธ์ทิศทางนี้จึงกำหนดโดย: ${\displaystyle f}$${\displaystyle v=y-x}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial v}}(x)=\nabla f(x)\cdot v=\nabla f(x)\cdot (y-x).}$

ฟังก์ชันนูนทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันนูนเทียม แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันนูนเทียมแต่ไม่ใช่ฟังก์ชันนูน ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันนูนเทียมใดๆ ก็เป็นฟังก์ชันนูนกึ่งเทียมด้วย แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง เนื่องจากฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันนูนกึ่งเทียมแต่ไม่ใช่ฟังก์ชันนูนเทียม สามารถสรุปได้โดยใช้แผนภาพดังนี้: ${\displaystyle f(x)=x+x^{3}}$${\displaystyle f(x)=x^{3}}$

นูน นูนเทียมนูนกึ่ง${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \Rightarrow }$

เพื่อให้เห็นว่าไม่ใช่ฟังก์ชันนูนเทียม ให้พิจารณาอนุพันธ์ของมันที่: . จากนั้น ถ้าเป็นฟังก์ชันนูนเทียม เราควรจะได้: ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle f^{\prime }(0)=0}$${\displaystyle f(x)=x^{3}}$

${\displaystyle f^{\prime }(0)(y-0)=0\geq 0\Rightarrow f(y)\geq f(0),\quad \forall \,y\in \mathbb {R} .}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งควรจะเป็นจริงสำหรับแต่ก็ไม่เป็นเช่นนั้น เพราะ: ${\displaystyle y=-1}$${\displaystyle f(-1)=(-1)^{3}=-1<f(0)=0}$

สำหรับฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ใดๆ เรามี เงื่อนไขที่จำเป็นของการหาค่าเหมาะสมที่สุด ตามทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ซึ่งระบุว่า: ถ้ามีค่าต่ำสุดเฉพาะที่ ณ จุดใน โดเมน เปิดแล้ว จะต้องเป็นจุดนิ่งของ(นั่นคือ: ) ${\displaystyle f}$${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \nabla f(x^{*})=0}$

ความนูนเทียมเป็นที่น่าสนใจอย่างมากในสาขาการหาค่าเหมาะสมที่สุดเนื่องจากข้อความกลับก็เป็นจริงสำหรับฟังก์ชันนูนเทียมใดๆ ด้วย นั่นคือ: ^{[ 2 ]}ถ้าเป็นจุดนิ่งของฟังก์ชันนูนเทียมแล้วจะมีค่าต่ำสุดทั่วโลกที่โปรดทราบด้วยว่าผลลัพธ์นี้รับประกันค่าต่ำสุดทั่วโลก (ไม่ใช่แค่ค่าต่ำสุดเฉพาะที่) ${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x^{*}}$

ผลลัพธ์สุดท้ายนี้เป็นจริงสำหรับฟังก์ชันนูน แต่ไม่เป็นจริงสำหรับฟังก์ชันกึ่งนูน พิจารณาฟังก์ชันกึ่งนูนเป็นตัวอย่าง:

${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{x^{2}+1}}+{\frac {1}{e^{x}}}.}$

ฟังก์ชันนี้ไม่ใช่ฟังก์ชันนูนเทียม (pseudoconvex) แต่เป็นฟังก์ชันนูนกึ่งเทียม (quasiconvex) นอกจากนี้ จุดยังเป็นจุดวิกฤตของเนื่องจากอย่างไรก็ตามไม่มีค่าต่ำสุดทั่วโลกที่(แม้แต่ค่าต่ำสุดเฉพาะที่ก็ไม่มี) ${\displaystyle x=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{\prime }(0)=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x=0}$

สุดท้ายนี้ โปรดทราบว่าฟังก์ชันนูนเทียมอาจไม่มีจุดวิกฤตใดๆ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันนูนเทียม: ซึ่งอนุพันธ์ของมันมีค่าเป็นบวกเสมอ: ${\displaystyle f(x)=x^{3}+x}$${\displaystyle f^{\prime }(x)=3x^{2}+1>0,\,\forall \,x\in \mathbb {R} }$

ตัวอย่างของฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันนูนเทียม (pseudoconvex) แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันนูน (convex) คือ: รูปแสดงฟังก์ชันนี้ในกรณีที่ตัวอย่างนี้สามารถขยายไปสู่ตัวแปรสองตัวได้ดังนี้: ${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}}{x^{2}+k}},\,k>0.}$${\displaystyle k=0.2}$

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}+k}},\,k>0.}$

ตัวอย่างก่อนหน้านี้สามารถปรับเปลี่ยนเพื่อให้ได้ฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันนูน หรือฟังก์ชันนูนเทียม แต่เป็นฟังก์ชันกึ่งนูน:

${\displaystyle f(x)={\frac {|x|^{p}}{|x|^{p}+k}},\,k>0,\,p\in (0,1).}$

รูปแสดงฟังก์ชันนี้สำหรับกรณีที่. ดังที่เห็นได้ ฟังก์ชันนี้ไม่ใช่ฟังก์ชันนูนเนื่องจากมีความเว้า และไม่ใช่ฟังก์ชันนูนเทียมเนื่องจากไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ ${\displaystyle k=0.5,p=0.6}$${\displaystyle x=0}$

แนวคิดเรื่องความนูนเทียมสามารถขยายไปสู่ฟังก์ชันที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ดังต่อไปนี้^{[ 3 ]}เมื่อกำหนดฟังก์ชันใดๆเราสามารถกำหนดอนุพันธ์ Dini บน ของ ได้ดังนี้: ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f^{+}(x,u)=\limsup _{h\to 0^{+}}{\frac {f(x+hu)-f(x)}{h}};}$

โดยที่uคือเวกเตอร์หน่วย ใดๆ ฟังก์ชันจะเรียกว่าเป็นฟังก์ชันนูนเทียม (pseudoconvex) ถ้ามันเพิ่มขึ้นในทิศทางใดๆ ที่อนุพันธ์ดีนีบน (upper Dini derivative) เป็นบวก กล่าวโดยละเอียดกว่านั้น ฟังก์ชันนี้สามารถอธิบายได้ด้วยอนุพันธ์ย่อย (subdifferential) ดังนี้: ${\displaystyle \partial f}$

สำหรับทุก: ถ้าเป็นเช่นนั้นแล้วสำหรับทุก;${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle x^{*}\in \partial f(x)}$${\displaystyle \langle x^{*},y-x\rangle \geq 0}$${\displaystyle f(x)\leq f(z)}$${\displaystyle z\in [x,y]}$

โดยที่หมาย ถึงส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างxและy${\displaystyle [x,y]}$

เอฟังก์ชันเสมือนเว้า (pseudoconcave function)คือฟังก์ชันที่ค่าลบของมันเป็นฟังก์ชันเสมือนนูน (pseudoconvex function)ฟังก์ชันเชิงเส้นเทียมคือฟังก์ชันที่เป็นทั้งนูนเทียมและเว้าเทียม ^{[ 4 ]}ตัวอย่างเช่นโปรแกรมเชิงเส้น-เศษส่วนมีฟังก์ชันวัตถุประสงค์และข้อจำกัดเชิงเส้น-อสมการคุณสมบัติเหล่านี้ทำให้สามารถแก้ปัญหาเชิงเส้นเศษส่วนได้โดยใช้อัลกอริทึมซิมเพล็กซ์(ของGeorge B. Dantzig) ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

เมื่อกำหนดฟังก์ชันเวกเตอร์จะมีแนวคิดทั่วไปของ-pseudoconvexity ^{[ 8 ] [ 9 ]}และ-pseudolinearity ซึ่ง pseudoconvexity และ pseudolinearity แบบคลาสสิกจะเกี่ยวข้องกับกรณีที่ ${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta (x,y)=y-x}$

• ความนูนเทียม
• ฟังก์ชันนูน
• ฟังก์ชันกึ่งนูน
• ฟังก์ชันอินเว็กซ์