ในการหาค่าเหมาะสมที่สุดทางคณิตศาสตร์การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเศษส่วน ( LFP ) เป็นการขยายความของการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น (LP) ในขณะที่ฟังก์ชันเป้าหมายในการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นฟังก์ชันเป้าหมายในการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเศษส่วนจะเป็นอัตราส่วนของฟังก์ชันเชิงเส้นสองฟังก์ชัน การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเศษส่วน โดยที่ตัวส่วนเป็นฟังก์ชันคงที่ 1

ในทางทฤษฎี โปรแกรมเชิงเส้นเศษส่วนถูกนิยามว่าเป็นปัญหาของการเพิ่มค่าสูงสุด (หรือลดค่าต่ำสุด) ของอัตราส่วนของฟังก์ชันเชิงเส้นบนทรง หลายเหลี่ยม

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{maximize}}\quad &{\frac {\mathbf {c} ^{T}\mathbf {x} +\alpha }{\mathbf {d} ^{T}\mathbf {x} +\beta }}\\{\text{subject to}}\quad &A\mathbf {x} \leq \mathbf {b} ,\end{aligned}}}$

โดยที่แทนเวกเตอร์ของตัวแปรที่จะกำหนดและเป็นเวกเตอร์ของสัมประสิทธิ์ (ที่ทราบ) เป็นเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ (ที่ทราบ) และเป็นค่าคงที่ ข้อจำกัดต้องจำกัดขอบเขตที่เป็นไปได้ไว้ที่ นั่นคือ ขอบเขตที่ตัวส่วนเป็นบวก^{[ 1 ] [ 2 ]}หรืออีกทางหนึ่ง ตัวส่วนของฟังก์ชันเป้าหมายจะต้องเป็นลบอย่างเคร่งครัดในขอบเขตที่เป็นไปได้ทั้งหมด ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {c} ,\mathbf {d} \in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$${\displaystyle \{\mathbf {x} |\mathbf {d} ^{T}\mathbf {x} +\beta >0\}}$

ทั้งการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น (Linear Programming) และการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเศษส่วน (Linear-Fractional Programming) ต่างก็เป็นปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดโดยใช้สมการเชิงเส้นและอสมการเชิงเส้นซึ่งสำหรับแต่ละกรณีของปัญหาจะกำหนดเซตที่เป็นไปได้การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเศษส่วนมีชุดฟังก์ชันเป้าหมายที่หลากหลายกว่า โดยทั่วไปแล้ว การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นจะคำนวณนโยบายที่ให้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด เช่น กำไรสูงสุดหรือต้นทุนต่ำสุด ในทางตรงกันข้าม การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเศษส่วนใช้เพื่อให้ได้อัตราส่วนผลลัพธ์ต่อต้นทุนที่สูงที่สุด ซึ่งอัตราส่วนนี้แสดงถึงประสิทธิภาพสูงสุด ตัวอย่างเช่น ในบริบทของการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น เราจะเพิ่มฟังก์ชันเป้าหมายกำไร = รายได้ − ต้นทุนให้สูงสุด และอาจได้กำไรสูงสุด 100 ดอลลาร์ (= รายได้ 1100 ดอลลาร์ − ต้นทุน 1000 ดอลลาร์) ดังนั้น ในการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น เราจะมีประสิทธิภาพ 100/1000 = 0.1 แต่หากใช้การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเศษส่วน เราอาจได้ประสิทธิภาพ 10/50 = 0.2 โดยมีกำไรเพียง 10 ดอลลาร์ แต่ต้องการเงินลงทุนเพียง 50 ดอลลาร์เท่านั้น

^{โปรแกรมเชิงเส้นเศษส่วนใดๆ สามารถแปลงเป็นโปรแกรมเชิงเส้น ได้}โดยสมมติว่าขอบเขตที่เป็นไปได้ไม่ว่างเปล่าและมีขอบเขตจำกัด โดยใช้การแปลง Charnes–Cooper ^{[ 1} ] แนวคิดหลักคือการแนะนำตัวแปรที่ไม่เป็นลบตัวใหม่ให้กับโปรแกรม ซึ่งจะใช้ในการปรับขนาดค่าคงที่ที่เกี่ยวข้องในโปรแกรม ( ) วิธีนี้ทำให้เราสามารถกำหนดให้ตัวส่วนของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ( ) เท่ากับ 1 ได้ (เพื่อให้เข้าใจการแปลง ควรพิจารณากรณีพิเศษที่ง่ายกว่าด้วย) ${\displaystyle t}$${\displaystyle \alpha ,\beta ,\mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {d} ^{T}\mathbf {x} +\beta }$${\displaystyle \alpha =\beta =0}$

ในทางทฤษฎี โปรแกรมเชิงเส้นที่ได้จากการแปลง Charnes–Cooper ใช้ตัวแปรที่แปลงแล้วดังนี้: ${\displaystyle \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{maximize}}\quad &\mathbf {c} ^{T}\mathbf {y} +\alpha t\\{\text{subject to}}\quad &A\mathbf {y} \leq \mathbf {b} t\\&\mathbf {d} ^{T}\mathbf {y} +\beta t=1\\&t\geq 0.\end{aligned}}}$

วิธีแก้ปัญหาของโปรแกรมเชิงเส้นเศษส่วนดั้งเดิมสามารถแปลงเป็นวิธีแก้ปัญหาของโปรแกรมเชิงเส้นที่แปลงแล้วได้โดยใช้สมการ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle \mathbf {y} ={\frac {1}{\mathbf {d} ^{T}\mathbf {x} +\beta }}\cdot \mathbf {x} \quad {\text{and}}\quad t={\frac {1}{\mathbf {d} ^{T}\mathbf {x} +\beta }}.}$

ในทางกลับกัน วิธีแก้ปัญหาสำหรับและของโปรแกรมเชิงเส้นที่แปลงแล้วสามารถแปลเป็นวิธีแก้ปัญหาของโปรแกรมเชิงเส้นเศษส่วนดั้งเดิมได้โดยใช้ ${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle t}$

${\displaystyle \mathbf {x} ={\frac {1}{t}}\mathbf {y} .}$

ให้ตัวแปรคู่ที่เกี่ยวข้องกับข้อจำกัดและแทนด้วยและตามลำดับ จากนั้นคู่ของ LFP ข้างต้นคือ^{[ 3 ] [ 4 ]}${\displaystyle A\mathbf {y} -\mathbf {b} t\leq \mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {d} ^{T}\mathbf {y} +\beta t-1=0}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{minimize}}\quad &\lambda \\{\text{subject to}}\quad &A^{T}\mathbf {u} +\lambda \mathbf {d} =\mathbf {c} \\&-\mathbf {b} ^{T}\mathbf {u} +\lambda \beta \geq \alpha \\&\mathbf {u} \in \mathbb {R} _{+}^{m},\lambda \in \mathbb {R} ,\end{aligned}}}$

ซึ่งเป็น LP และสอดคล้องกับคู่ของโปรแกรมเชิงเส้นที่เทียบเท่ากันซึ่งได้มาจากการแปลง Charnes–Cooper

ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ในปัญหาเชิงเส้นเศษส่วนเป็นทั้งกึ่งเว้าและกึ่งนูน (ดังนั้นจึงเป็นกึ่งเชิงเส้น) พร้อมคุณสมบัติโมโนโทนความนูนเทียมซึ่งเป็นคุณสมบัติที่แข็งแกร่งกว่าความนูนเทียมฟังก์ชันวัตถุประสงค์เชิงเส้นเศษส่วนเป็นทั้งกึ่งนูนและกึ่งเว้า ดังนั้นจึงเป็นกึ่งเชิงเส้นเนื่องจาก LFP สามารถแปลงเป็น LP ได้ จึงสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีการแก้ปัญหา LP ใดๆ เช่นอัลกอริทึมซิมเพล็กซ์ (ของGeorge B. Dantzig ) ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}อั ลกอริ ทึมไขว้^{[ 9 ]}หรือวิธีการจุดภายใน

• Murty, Katta G. (1983). "3.10 การเขียนโปรแกรมเศษส่วน (หน้า 160–164)". การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น . นิวยอร์ก: John Wiley & Sons, Inc. หน้า xix+482. ISBN 978-0-471-09725-9MR 0720547​ ​

• Bajalinov, EB (2003). การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเศษส่วน: ทฤษฎี วิธีการ การประยุกต์ใช้ และซอฟต์แวร์บอสตัน: สำนักพิมพ์ Kluwer Academic Publishers
• Barros, Ana Isabel (1998). เทคนิคการเขียนโปรแกรมแบบไม่ต่อเนื่องและเศษส่วนสำหรับแบบจำลองตำแหน่งการเพิ่มประสิทธิภาพเชิงการจัดเรียง เล่ม 3 ดอร์เดรชท์: สำนักพิมพ์ Kluwer Academic Publishers หน้า xviii+178 ISBN 978-0-7923-5002-6MR 1626973​ ​
• Martos, Béla (1975). การเขียนโปรแกรมเชิงไม่เชิงเส้น: ทฤษฎีและวิธีการ . อัมสเตอร์ดัม-อ็อกซ์ฟอร์ด: สำนักพิมพ์นอร์ทฮอลแลนด์ หน้า 279. ISBN 978-0-7204-2817-9MR 0496692​ ​
• Schaible, S. (1995). "การเขียนโปรแกรมเศษส่วน" ใน Reiner Horst และ Panos M. Pardalos (บรรณาธิการ). คู่มือการหาค่าเหมาะสมที่สุดทั่วโลกการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบไม่นูนและการประยุกต์ใช้ เล่ม 2. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. หน้า  495–608 . ISBN 978-0-7923-3120-9MR  1377091 .​
• Stancu-Minasian, IM (1997). การเขียนโปรแกรมเศษส่วน: ทฤษฎี วิธีการ และการประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์และการประยุกต์ใช้ เล่มที่ 409 แปลโดย Victor Giurgiutiu จากฉบับภาษาโรมาเนียปี 1992 ดอร์เดรชต์: Kluwer Academic Publishers Group หน้า viii+418 ISBN 978-0-7923-4580-0MR 1472981​ ​