ในทางคณิตศาสตร์อสมการเชิงเส้นคืออสมการที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเชิงเส้นอสมการเชิงเส้นประกอบด้วยสัญลักษณ์อสมการอย่างใดอย่างหนึ่ง: ^{[ 1 ]}

• < น้อยกว่า
• มากกว่า > มากกว่า
• ≤ น้อยกว่าหรือเท่ากับ
• ≥ มากกว่าหรือเท่ากับ
• ≠ ไม่เท่ากับ

อสมการเชิงเส้นมีลักษณะเหมือนกับสมการเชิงเส้น ทุกประการ เพียง แต่ เครื่องหมายอสมการจะอยู่แทนที่เครื่องหมายเท่ากับ

อสมการเชิงเส้นสองมิติ คือ นิพจน์ในตัวแปรสองตัวที่มีรูปแบบดังนี้:

${\displaystyle ax+by<c{\text{ และ }}ax+by\geq c,}$

โดยที่อสมการอาจเป็นแบบเข้มงวดหรือไม่ก็ได้ เซตคำตอบของอสมการดังกล่าวสามารถแสดงด้วยกราฟิกโดยใช้ระนาบครึ่ง (จุดทั้งหมดบน "ด้าน" หนึ่งของเส้นตรงคงที่) ใน ระนาบ ยุคลิด^{[ 2 ]}เส้นตรงที่กำหนดระนาบครึ่ง ( ax + by = c ) จะไม่รวมอยู่ในเซตคำตอบเมื่ออสมการเป็นแบบเข้มงวด ขั้นตอนง่ายๆ ในการพิจารณาว่าระนาบครึ่งใดอยู่ในเซตคำตอบคือการคำนวณค่าของax + byที่จุด ( x ₀ , y ₀ ) ซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นตรง และสังเกตว่าอสมการนั้นเป็นจริงหรือไม่

ตัวอย่างเช่น^{[ 3 ]}ในการวาดเซตคำตอบของx + 3 y < 9 ก่อนอื่นให้วาดเส้นตรงที่มีสมการx + 3 y = 9 เป็นเส้นประ เพื่อแสดงว่าเส้นตรงนั้นไม่รวมอยู่ในเซตคำตอบ เนื่องจากอสมการเป็นแบบเข้มงวด จากนั้น เลือกจุดที่สะดวกที่ไม่อยู่บนเส้นตรง เช่น (0,0) เนื่องจาก 0 + 3(0) = 0 < 9 จุดนี้จึงอยู่ในเซตคำตอบ ดังนั้นระนาบครึ่งที่บรรจุจุดนี้ (ระนาบครึ่ง "ด้านล่าง" ของเส้นตรง) จึงเป็นเซตคำตอบของอสมการเชิงเส้นนี้

ในR ⁿอสมการเชิงเส้นคือการแสดงออกที่สามารถเขียนได้ในรูปแบบ

${\displaystyle f({\bar {x}})<b}$หรือ${\displaystyle f({\bar {x}})\leq b,}$

โดยที่fคือรูปแบบเชิงเส้น (หรือเรียกว่าฟังก์ชันเชิงเส้น ) และb คือ จำนวนจริงคง ที่${\displaystyle {\bar {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

กล่าวโดยละเอียด สามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<b}$

หรือ

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leq b.}$

ในที่นี้เรียกว่าตัวแปรที่ไม่ทราบค่า และเรียกว่าสัมประสิทธิ์ ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$

หรืออาจเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle g(x)<0\,}$หรือ${\displaystyle g(x)\leq 0,}$

โดยที่gเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น^{[ 4 ]}

นั่นคือ

${\displaystyle a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<0}$

หรือ

${\displaystyle a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leq 0.}$

โปรดทราบว่า อสมการใดๆ ที่มีเครื่องหมาย "มากกว่า" หรือ "มากกว่าหรือเท่ากับ" สามารถเขียนใหม่ได้โดยใช้เครื่องหมาย "น้อยกว่า" หรือ "น้อยกว่าหรือเท่ากับ" ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องกำหนดนิยามอสมการเชิงเส้นโดยใช้เครื่องหมายเหล่านั้น

ระบบอสมการเชิงเส้น คือ เซตของอสมการเชิงเส้นในตัวแปรเดียวกัน:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}}$

นี่คือตัวแปรที่ไม่ทราบค่าคือสัมประสิทธิ์ของระบบ และคือค่าคงที่ ${\displaystyle x_{1},\ x_{2},...,x_{n}}$${\displaystyle a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn}}$${\displaystyle b_{1},\ b_{2},...,b_{m}}$

สามารถเขียนอย่างกระชับได้เป็นอสมการ เมทริก ซ์

${\displaystyle Ax\leq b,}$

โดยที่Aคือ เมทริกซ์ค่าคงที่ขนาด m × n , xคือเวกเตอร์คอลัมน์ ตัวแปรขนาด n × 1 , bคือ เวกเตอร์คอลัมน์ค่าคงที่ขนาด m × 1 และความสัมพันธ์ของอสมการนั้นเข้าใจได้ทีละแถว

ในระบบข้างต้น สามารถใช้อสมการทั้งแบบเข้มงวดและไม่เข้มงวดได้

• ไม่ใช่ว่าระบบอสมการเชิงเส้นทุกระบบจะมีคำตอบเสมอไป

ตัวแปรสามารถถูกกำจัดออกจากระบบอสมการเชิงเส้นโดยใช้การกำจัดแบบ Fourier– Motzkin ^{[ 5 ]}

เซตของคำตอบของอสมการเชิงเส้นจริงประกอบเป็นครึ่งพื้นที่ของปริภูมิจริงมิติ 'n' ซึ่งเป็นหนึ่งในสองพื้นที่ที่กำหนดโดยสมการเชิงเส้นที่สอดคล้องกัน

เซตของคำตอบของระบบอสมการเชิงเส้นสอดคล้องกับจุดตัดของครึ่งพื้นที่ที่กำหนดโดยอสมการแต่ละตัว เซตนี้เป็นเซตแบบนูนเนื่องจากครึ่งพื้นที่เป็นเซตแบบนูน และจุดตัดของเซตของเซตแบบนูนก็เป็นเซตแบบนูนเช่นกัน ในกรณีที่ไม่เสื่อมสภาพ เซตแบบนูนนี้จะเป็นทรงหลายเหลี่ยมแบบนูน (อาจไม่มีขอบเขต เช่น ครึ่งพื้นที่ แผ่นระนาบระหว่างครึ่งพื้นที่คู่ขนานสองแผ่น หรือกรวยทรงหลายเหลี่ยม ) นอกจาก นี้ ยังอาจเป็นเซตว่างหรือทรงหลายเหลี่ยมแบบนูนที่มีมิติต่ำกว่าซึ่งจำกัดอยู่ในปริภูมิย่อยเชิงเส้นของ ปริภูมิ nมิติR ⁿ

ปัญหา การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นมุ่งหาค่าที่เหมาะสมที่สุด (หาค่าสูงสุดหรือต่ำสุด) ของฟังก์ชัน (เรียกว่าฟังก์ชันเป้าหมาย ) ภายใต้ข้อจำกัดจำนวนหนึ่งเกี่ยวกับตัวแปร ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะเป็นอสมการเชิงเส้น^{[ 6 ]}รายการข้อจำกัดเป็นระบบของอสมการเชิงเส้น

นิยามข้างต้นต้องการการดำเนินการบวกการคูณและการเปรียบเทียบ ที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน ดังนั้น แนวคิดของอสมการเชิงเส้นจึงสามารถขยายไปสู่ริงเรียงลำดับและโดยเฉพาะอย่างยิ่งไปสู่ฟิลด์เรียงลำดับ ได้

• แองเจิล, อัลเลน อาร์.; พอร์เตอร์, สจวร์ต อาร์. (1989), ภาพรวมของคณิตศาสตร์พร้อมการประยุกต์ใช้ (ฉบับที่ 3), แอดดิสัน-เวสลีย์, ISBN 0-201-13696-1
• มิลเลอร์, ชาร์ลส ดี.; Heeren, Vern E. (1986), แนวคิดทางคณิตศาสตร์ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 5), Scott, Foresman, ISBN 0-673-18276-2