ในทางคณิตศาสตร์ คำว่า unimodality หมายถึงการมี โหมดเดียวโดยทั่วไปแล้ว unimodality หมายถึงมีค่าสูงสุดเพียงค่าเดียว ซึ่งกำหนดไว้ในลักษณะใดลักษณะหนึ่งของวัตถุทางคณิตศาสตร์^{[ 1 ]}

ในทางสถิติการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบมีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียวหรือการแจกแจงแบบมีจุดสูงสุด เพียงจุดเดียว คือการแจกแจงความน่าจะเป็นที่มีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียว คำว่า "ฐานนิยม" ในบริบทนี้หมายถึงจุดสูงสุดใดๆ ของการแจกแจง ไม่ใช่เฉพาะความหมายตามนิยามอย่างเคร่งครัดของฐานนิยมที่ใช้กันโดยทั่วไปในทางสถิติ

หากมีโหมดเดียว ฟังก์ชันการกระจายจะเรียกว่า "โหมดเดียว" หากมีโหมดมากกว่าหนึ่งโหมด จะเรียกว่า "โหมดสองโหมด" (2) "โหมดสามโหมด" (3) เป็นต้น หรือโดยทั่วไปเรียกว่า "โหมดหลายโหมด" ^{[ 2 ]}รูปที่ 1 แสดงการกระจายแบบปกติซึ่งเป็นแบบโหมดเดียว ตัวอย่างอื่นๆ ของการกระจายแบบโหมดเดียว ได้แก่การกระจายแบบโคชีการกระจาย แบบ tของนักเรียนการกระจายแบบไคกำลังสองและการกระจายแบบเอกซ์โพเนนเชียลในบรรดาการกระจายแบบไม่ต่อเนื่องการกระจายแบบทวินามและการกระจายแบบปัวซง สามารถมองได้ว่าเป็น แบบโหมดเดียว แม้ว่าสำหรับพารามิเตอร์บางตัว พวกมันอาจมีค่าที่อยู่ติดกันสองค่าที่มีความน่าจะเป็นเท่ากัน

ภาพที่ 2 และภาพที่ 3 แสดงให้เห็นถึงการกระจายแบบสองยอด (bimodal distributions)

นอกจากนี้ยังมีคำจำกัดความอื่นๆ ของภาวะเอกโมดัลในฟังก์ชันการกระจายอีกด้วย

ในการแจกแจงแบบต่อเนื่อง ความเป็นโมดัลเดียวสามารถกำหนดได้จากพฤติกรรมของฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (cdf) ^{[ 3 ]}ถ้า cdf เป็นนูนสำหรับx  <  mและเว้าสำหรับx  >  mการแจกแจงนั้นจะเป็นแบบโมดัลเดียว โดยที่ mเป็นค่าฐานนิยม โปรดทราบว่าภายใต้นิยามนี้การแจกแจงแบบเอกรูปเป็นแบบโมดัลเดียว^{[ 4 ]}เช่นเดียวกับการแจกแจงอื่นๆ ที่ค่าสูงสุดของการแจกแจงเกิดขึ้นในช่วงของค่าต่างๆ เช่น การแจกแจงแบบสี่เหลี่ยมคางหมู โดยปกติแล้วนิยามนี้จะอนุญาตให้มีการไม่ต่อเนื่องที่ค่าฐานนิยม โดยปกติในการแจกแจงแบบต่อเนื่อง ความน่าจะเป็นของค่าใดๆ ก็ตามจะเป็นศูนย์ ในขณะที่นิยามนี้อนุญาตให้มีความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์ หรือ "อะตอมของความน่าจะเป็น" ที่ค่าฐานนิยม

เกณฑ์สำหรับความเป็นโมดัลเดียวสามารถกำหนดได้ผ่านฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของการกระจาย^{[ 3 ]}หรือผ่านการแปลงลาปลาส-สตีลต์เจส^{[ 5 ]}

อีกวิธีหนึ่งในการกำหนดการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องแบบ unimodal คือการเกิดการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายในลำดับของความแตกต่างของความน่าจะเป็น^{[ 6 ]}การแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องที่มีฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น , , เรียกว่า unimodal หากลำดับมีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายเพียงครั้งเดียว (เมื่อไม่นับศูนย์) ${\displaystyle \{p_{n}:n=\dots ,-1,0,1,\dots \}}$${\displaystyle \dots ,p_{-2}-p_{-1},p_{-1}-p_{0},p_{0}-p_{1},p_{1}-p_{2},\dots }$

เหตุผลหนึ่งที่ทำให้การแจกแจงแบบมีจุดสูงสุดเดียวมีความสำคัญก็คือ มันช่วยให้ได้ผลลัพธ์ที่สำคัญหลายประการอสมการ หลายข้อที่แสดงไว้ด้านล่างนั้นใช้ได้เฉพาะกับการแจกแจงแบบมีจุดสูงสุดเดียวเท่านั้น ดังนั้น การประเมินว่าชุดข้อมูลที่กำหนดมาจากการแจกแจงแบบมีจุดสูงสุด เดียว หรือไม่จึงมีความสำคัญ การทดสอบการแจกแจงแบบมีจุดสูงสุดเดียวหลายวิธีได้ระบุไว้ในบทความเกี่ยวกับการแจกแจงแบบมีจุดสูงสุด หลายจุด

ผลลัพธ์สำคัญประการแรกคืออสมการของเกาส์^{[ 7 ]}อสมการของเกาส์ให้ขอบเขตบนของความน่าจะเป็นที่ค่าจะอยู่ห่างจากโหมดมากกว่าระยะทางที่กำหนด อสมการนี้ขึ้นอยู่กับความเป็นโหมดเดียว

อสมการที่สองคืออสมการ Vysochanskij–Petunin [ ^{8 ]}ซึ่งเป็นการปรับปรุงอสมการ Chebyshev อสมการ Chebyshev รับประกันว่าในการแจกแจงความน่าจะเป็นใดๆ ค่าต่างๆ "เกือบทั้งหมด" จะ "ใกล้เคียงกับ" ค่าเฉลี่ย อสมการ ^Vysochanskij –Petunin ปรับปรุงสิ่งนี้ให้ใกล้เคียงกับค่ามากยิ่งขึ้น โดยมีเงื่อนไขว่าฟังก์ชันการแจกแจงจะต้องต่อเนื่องและมีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียว ผลลัพธ์เพิ่มเติมแสดงโดย Sellke และ Sellke ^{[ 9 ]}

เกาส์ยังแสดงให้เห็นในปี พ.ศ. 2466 ว่าสำหรับการกระจายแบบโมดอลเดียว^{[ 10 ]}

${\displaystyle \sigma \leq \omega \leq 2\sigma }$

และ

${\displaystyle |\nu -\mu |\leq {\sqrt {\frac {3}{4}}}\โอเมก้า ,}$

โดยที่ค่ามัธยฐานคือνค่าเฉลี่ยคือμและ ωคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าฐานนิยม

สามารถแสดงให้เห็นได้สำหรับการกระจายแบบโมดอลเดียวว่าค่ามัธยฐานνและค่าเฉลี่ยμอยู่ภายใน (3/5) ^1/2 ≈ 0.7746 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกันและกัน^{[ 11 ]}ในสัญลักษณ์

${\displaystyle {\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {\frac {3}{5}}}}$

โดยที่ | . | คือค่าสัมบูรณ์ .

ในปี 2020 Bernard, Kazzi และ Vanduffel ได้ขยายความไม่เท่าเทียมกันก่อนหน้านี้โดยการหาค่าระยะห่างสูงสุดระหว่างค่าเฉลี่ยควอนไทล์สมมาตรและค่าเฉลี่ย^{[ 12 ]}${\displaystyle {\frac {q_{\alpha }+q_{(1-\alpha )}}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {\left|{\frac {q_{\alpha }+q_{(1-\alpha )}}{2}}-\mu \right|}{\sigma }}\leq \left\{{\begin{array}{cl}{\frac {{\sqrt[{}]{{\frac {4}{9(1-\alpha )}}-1}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{\frac {1-\alpha }{1/3+\alpha }}}}{2}}&{\text{สำหรับ }}\alpha \in \left[{\frac {5}{6}},1\right)\!,\\{\frac {{\sqrt[{}]{\frac {3\alpha }{4-3\alpha }}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{\frac {1-\alpha }{1/3+\alpha }}}}{2}}&{\text{สำหรับ }}\alpha \in \left({\frac {1}{6}},{\frac {5}{6}}\right)\!,\\{\frac {{\sqrt[{}]{\frac {3\alpha }{4-3\alpha }}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{{\frac {4}{9\alpha }}-1}}}{2}}&{\text{สำหรับ }}\alpha \in \left(0,{\frac {1}{6}}\right]\!.\end{array}}\right.}$

ระยะห่างสูงสุดจะลดลงเหลือน้อยที่สุดที่(กล่าวคือ เมื่อค่าเฉลี่ยควอนไทล์สมมาตรเท่ากับ ) ซึ่งเป็นเหตุผลที่ทำให้มักเลือกใช้ค่ามัธยฐานเป็นตัวประมาณค่าเฉลี่ยที่แข็งแกร่ง ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อขอบเขตจะเท่ากับซึ่งเป็นระยะห่างสูงสุดระหว่างค่ามัธยฐานและค่าเฉลี่ยของการแจกแจงแบบมีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียว ${\displaystyle \alpha =0.5}$${\displaystyle q_{0.5}=\nu }$${\displaystyle \alpha =0.5}$${\displaystyle {\sqrt {3/5}}}$

ความสัมพันธ์ที่คล้ายกันนี้ยังคงมีอยู่ระหว่างค่ามัธยฐานและค่าฐานนิยมθ : ค่าทั้งสองอยู่ห่างกันไม่เกิน 3 ^1/2 ≈ 1.732 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน:

${\displaystyle {\frac {|\nu -\theta |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}}.}$

นอกจากนี้ยังสามารถแสดงให้เห็นได้ว่าค่าเฉลี่ยและค่าฐานนิยมอยู่ห่างกันไม่เกิน 3 ^1/2 :

${\displaystyle {\frac {|\mu -\theta |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}}.}$

Rohatgi และ Szekely อ้างว่าความเบี่ยงเบนและความโค้งของการกระจายแบบโมดอลเดียวมีความสัมพันธ์กันโดยความไม่เท่าเทียมกัน: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \gamma ^{2}-\kappa \leq {\frac {6}{5}}=1.2}$

โดยที่κคือค่าความโค้ง และγคือค่าความเบ้ Klaassen, Mokveld และ van Es แสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้ใช้ได้เฉพาะในบางกรณีเท่านั้น เช่น เซตของการแจกแจงแบบโมดัลเดียวที่ค่าฐานนิยมและค่าเฉลี่ยตรงกัน^{[ 14 ]}

พวกเขาได้อนุมานความไม่เท่าเทียมกันที่อ่อนกว่าซึ่งใช้ได้กับการแจกแจงแบบโมดอลเดียวทั้งหมด: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle \gamma ^{2}-\kappa \leq {\frac {186}{125}}=1.488}$

ขอบเขตนี้มีความคมชัด เนื่องจากได้มาจากการผสมแบบถ่วงน้ำหนักเท่ากันของการกระจายแบบเอกรูปบน [0,1] และการกระจายแบบไม่ต่อเนื่องที่ {0}

เนื่องจากคำว่า "modal" ใช้กับชุดข้อมูลและการแจกแจงความน่าจะเป็น ไม่ใช่กับฟังก์ชัน โดยทั่วไป ดังนั้น คำจำกัดความข้างต้นจึงใช้ไม่ได้ ส่วนคำจำกัดความของ "unimodal" นั้นได้ขยายไปใช้กับฟังก์ชันของจำนวนจริงด้วยเช่นกัน

นิยามที่ใช้กันทั่วไปมีดังนี้: ฟังก์ชันf ( x ) เป็นฟังก์ชันแบบมีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียว (unimodal function) ถ้าสำหรับค่าm บางค่า ฟังก์ชัน นี้จะ เพิ่มขึ้น อย่างต่อเนื่องเมื่อx  ≤  mและลดลงอย่างต่อเนื่องเมื่อx  ≥  mในกรณีนั้น ค่า สูงสุดของf ( x ) คือf ( m ) และไม่มีจุดสูงสุดเฉพาะที่อื่นอีก

การพิสูจน์ความเป็นเอกโมดัลมักเป็นเรื่องยาก วิธีหนึ่งคือการใช้คำจำกัดความของคุณสมบัตินั้น แต่ปรากฏว่าเหมาะสำหรับฟังก์ชันง่ายๆ เท่านั้นมี วิธีการทั่วไปที่ใช้ การอนุพันธ์^{[ 15 ]}แต่ก็ไม่ได้ผลกับทุกฟังก์ชันแม้จะมีความเรียบง่ายก็ตาม

ตัวอย่างของฟังก์ชันแบบยอดเดียว ได้แก่ ฟังก์ชัน พหุนามกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์กำลังสองเป็นลบ ฟังก์ชัน แผนที่เต็นท์และอื่นๆ

บางครั้งสิ่งข้างต้นก็เกี่ยวข้องกับดังนี้ความเอกฐานที่แข็งแกร่ง มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าความเป็นเอกฐานที่บ่งบอกนั้นเป็นความเป็นเอกฐานที่แข็งแกร่งฟังก์ชันf(x) เป็นฟังก์ชันเอกฐานที่อ่อนแอถ้ามีค่าmซึ่งทำให้ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นอย่างอ่อนแอสำหรับx ≤ mและลดลงอย่างอ่อนแอสำหรับx ≥ mในกรณีนั้น ค่าสูงสุดf(m) สามารถเข้าถึงได้ในช่วงค่าxตัวอย่างของฟังก์ชันเอกฐานที่อ่อนแอซึ่งไม่ใช่ฟังก์ชันเอกฐานที่แข็งแกร่ง คือ แถวเว้นแถวในสามเหลี่ยมปาสคาล

ขึ้นอยู่กับบริบท ฟังก์ชันแบบ unimodal อาจหมายถึงฟังก์ชันที่มีค่าต่ำสุดเฉพาะที่เพียงค่าเดียว แทนที่จะเป็นค่าสูงสุด^{[ 16 ]}ตัวอย่างเช่นการสุ่มตัวอย่างแบบ unimodal เฉพาะที่ ซึ่งเป็นวิธีการหาค่าเหมาะสมที่สุดเชิงตัวเลข มักจะแสดงให้เห็นด้วยฟังก์ชันดังกล่าว อาจกล่าวได้ว่าฟังก์ชันแบบ unimodal ภายใต้การขยายนี้คือฟังก์ชันที่ มีค่าสุดขีด เฉพาะที่ เพียง ค่าเดียว

คุณสมบัติสำคัญอย่างหนึ่งของฟังก์ชันแบบโมดอลเดียวคือสามารถค้นหาค่าสุดขีดได้โดยใช้อัลกอริธึมการค้นหาเช่นการค้นหาส่วนทองคำการค้นหาแบบไตรภาคหรือ การสอด แทรกพาราโบลาแบบต่อเนื่อง^{[ 17 ]}

ฟังก์ชันf ( x ) เรียกว่า "S-unimodal" (มักเรียกว่า "แผนที่ S-unimodal") หากอนุพันธ์ Schwarzian ของมัน เป็นลบสำหรับทุก x โดยที่ x เป็นจุดวิกฤต^{[ 18 ]}${\displaystyle x\neq c}$${\displaystyle c}$

ในเรขาคณิตเชิงคำนวณหากฟังก์ชันเป็นแบบโมดอลเดียว จะช่วยให้สามารถออกแบบอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการค้นหาค่าสุดขีดของฟังก์ชันได้^{[ 19 ]}

นิยามทั่วไปที่ใช้ได้กับฟังก์ชันf ( X ) ของตัวแปรเวกเตอร์Xคือfเป็นฟังก์ชันเอกโมดอล (unimodal) ถ้ามีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งที่หาอนุพันธ์ได้X = G ( Z ) ซึ่งทำให้f ( G ( Z )) เป็นฟังก์ชันนูน (convex) โดยปกติแล้วเราต้องการให้G ( Z ) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องและมีเมทริกซ์จาโคเบียนที่ไม่เอกฐาน

ฟังก์ชันกึ่งนูนและฟังก์ชันกึ่งเว้าขยายแนวคิดเรื่องความเป็นเอกภาพไปสู่ฟังก์ชันที่มีตัวแปรอยู่ในปริภูมิยุคลิด มิติสูง กว่า

ฟังก์ชันเอกโมดอลที่แมปไปยังจำนวนจริงเรียกว่าลำดับเอกโมดอล พหุนามเอกโมดอลคือพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นลำดับเอกโมดอล^{[ 20 ]}${\displaystyle \{0,1,\dots ,n\}}$

• การกระจายแบบสองยอด
• ข้อสันนิษฐานของรีด