ในวิชาโทโพโลยีและสาขาคณิตศาสตร์ ที่เกี่ยวข้อง ปริภูมิปกติ (normal space ) คือปริภูมิโทโพโลยีที่เซตปิดสองเซตใดๆ ที่ไม่ทับซ้อนกันจะมีบริเวณใกล้เคียงแบบเปิดที่ ไม่ทับซ้อนกัน ปริภูมิเหล่านี้ ไม่จำเป็นต้องเป็น ปริภูมิ เฮาส์ดอร์ฟ ( Hausdorff space ) โดยทั่วไป ปริภูมิเฮาส์ดอร์ _ฟปกติเรียกว่า ปริภูมิ T₄รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับแนวคิดเหล่านี้จะกล่าวถึงในบทความด้านล่าง ซึ่งรวมถึงปริภูมิปกติสมบูรณ์ (completely normal spaces)และปริภูมิปกติสมบูรณ์แบบ (perfectly normal spaces) _และปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบต่างๆ ได้แก่ปริภูมิT₅และปริภูมิT₆เงื่อนไขทั้งหมดเหล่านี้เป็นตัวอย่างของ สัจพจน์การแยก ₍ separation axioms )

ปริภูมิเชิงทอพอโลยีXเป็นปริภูมิปกติถ้ากำหนดให้เซตปิดEและF ใดๆ ที่ไม่มีส่วนร่วมกัน จะมีย่านใกล้เคียงUของEและVของFที่ไม่มีส่วนร่วมกันเช่นกัน กล่าวโดยง่ายกว่านั้น เงื่อนไขนี้บอกว่าEและFสามารถแยกออกจากกันได้ด้วยย่านใกล้เคียง

ปริภูมิT4คือปริภูมิT1 X ที่เป็น ปริภูมิปกติ ซึ่งเทียบเท่ากับการที่_Xเป็น_{ปริภูมิ}ปกติและปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ

พื้นที่ปกติโดยสมบูรณ์หรือปริภูมิปกติโดยกำเนิดคือปริภูมิเชิงทอพอโลยีXที่ทุกปริภูมิย่อยของXเป็นปริภูมิปกติ ปรากฏว่าXเป็นปริภูมิปกติโดยสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อเซตสองเซตที่แยกจากกันสามารถแยกจากกันได้ด้วยบริเวณใกล้เคียง นอกจากนี้Xเป็นปริภูมิปกติโดยสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อเซตเปิดทุกเซตของXเป็นเซตปกติที่มีทอพอโลยีของปริภูมิย่อย

ปริภูมิT ₅หรือปริภูมิT ₄ อย่างสมบูรณ์ คือปริภูมิ T _{1 ปกติอย่างสมบูรณ์} Xซึ่งหมายความว่าX เป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ หรือกล่าวอีก นัยหนึ่งคือ ทุกปริภูมิย่อยของXต้องเป็นปริภูมิ T ₄

ปริภูมิปกติสมบูรณ์คือปริภูมิเชิงทอพอโลยีซึ่งเซตปิดสองเซตที่ไม่ทับซ้อนกันทุกเซต^{และ สามารถแยกออกจากกันได้อย่างแม่นยำด้วยฟังก์ชัน ในแง่ที่ว่ามีฟังก์ชันต่อเนื่องจาก ไปยังช่วง โดยที่ และ [ 1 ]}นี่เป็นคุณสมบัติการแยกที่แข็งแกร่งกว่า^{ความเป็น}ปกติเนื่องจากตามทฤษฎีบทของ Urysohnเซตปิดที่ไม่ทับซ้อนกันในปริภูมิปกติสามารถแยกออกจากกันได้ด้วยฟังก์ชันในแง่ของและแต่ไม่สามารถแยกออกจากกันได้อย่างแม่นยำโดยทั่วไป ปรากฏว่าXเป็นปริภูมิปกติสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อXเป็นปริภูมิปกติและเซตปิดทุกเซตเป็นเซตG _δหรือเทียบเท่าXเป็นปริภูมิปกติสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อเซตปิดทุกเซตเป็นเซตศูนย์ของฟังก์ชันต่อเนื่องความเท่าเทียมกันระหว่างลักษณะเฉพาะทั้งสามนี้เรียกว่าทฤษฎีบทของ Vedenissoff ^{[ 2 ] [ 3 ]}ปริภูมิปกติสมบูรณ์ทุกปริภูมิเป็นปริภูมิปกติโดยสมบูรณ์ เพราะความเป็นปกติสมบูรณ์เป็นคุณสมบัติที่สืบทอดได้^{[ 4 ] [ 5 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle f^{-1}(\{0\})=E}$${\displaystyle f^{-1}(\{1\})=F}$${\displaystyle E\subseteq f^{-1}(\{0\})}$${\displaystyle F\subseteq f^{-1}(\{1\})}$

ปริภูมิT6หรือปริภูมิ_T4ที่สมบูรณ์แบบคือปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟปกติที่สมบูรณ์ _แบบ

โปรดทราบว่าคำว่า "พื้นที่ปกติ" และ "T ₄ " รวมถึงแนวคิดที่เกี่ยวข้อง อาจมีความหมายแตกต่างกันในบางครั้ง (อย่างไรก็ตาม "T ₅ " จะมีความหมายเหมือนกับ "T ₄ อย่างสมบูรณ์ " เสมอ ไม่ว่าความหมายของ T ₄จะเป็นอย่างไรก็ตาม) คำจำกัดความที่ให้ไว้ในที่นี้เป็นคำจำกัดความที่ใช้กันโดยทั่วไปในปัจจุบัน สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับประเด็นนี้ โปรดดูที่ ประวัติของสัจพจน์การแยก

คำศัพท์อย่าง " พื้นที่ปกติ ทั่วไป " และ "พื้นที่เฮาส์ดอร์ฟปกติ" ก็ปรากฏอยู่ในเอกสารเช่นกัน ซึ่งหมายความว่าพื้นที่นั้นเป็นพื้นที่ปกติและตรงตามเงื่อนไขอีกข้อที่กล่าวถึง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พื้นที่เฮาส์ดอร์ฟปกติก็คือพื้นที่ T4 นั่นเอง_{เนื่องจาก}ความสับสนในความหมายของคำศัพท์ในอดีต คำอธิบายด้วยวาจาจึงเป็นประโยชน์ เช่น ใช้คำว่า "เฮาส์ดอร์ฟปกติ" แทน "T4 _"หรือ "เฮาส์ดอร์ฟปกติสมบูรณ์" แทน " _T5 "

พื้นที่ปกติโดยสมบูรณ์และพื้นที่_T4โดยสมบูรณ์นั้นได้กล่าวถึงไว้ในที่อื่นแล้ว ซึ่งเกี่ยวข้องกับพาราคอมแพ็กต์เนส

ปริภูมิปกติเฉพาะที่ (locally normal space)คือปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่ทุกจุดมีบริเวณใกล้เคียงแบบเปิดที่เป็นปกติ ปริภูมิปกติทุกปริภูมิเป็นปริภูมิปกติเฉพาะที่ แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง ตัวอย่างคลาสสิกของปริภูมิปกติเฉพาะที่ที่สมบูรณ์แบบแต่ไม่ใช่ปริภูมิปกติ คือระนาบเนมิตสกี (Nemytskii plane )

พื้นที่ส่วนใหญ่ที่พบในคณิตศาสตร์วิเคราะห์เป็นพื้นที่เฮาส์ดอร์ฟปกติ หรืออย่างน้อยก็เป็นพื้นที่ปกติทั่วไป:

• ปริภูมิเมตริกทั้งหมด(และด้วยเหตุนี้ปริภูมิที่สามารถกำหนดเมตริกได้ ทั้งหมด ) เป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟปกติสมบูรณ์แบบ
• ปริภูมิซูโดเมตริกทั้งหมด(และด้วยเหตุนี้ปริภูมิซูโดเมตริก ทั้งหมด ) ล้วนเป็นปริภูมิปกติสมบูรณ์แบบ แม้ว่าจะไม่ใช่ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟทั่วไปก็ตาม
• พื้นที่ Hausdorff ขนาดกะทัดรัดทั้งหมดเป็นแบบปกติ
• โดยเฉพาะอย่างยิ่งการทำให้กระชับแบบสโตน-เช็กของปริภูมิไทโคนอฟฟ์เป็นแบบเฮาส์ดอร์ฟปกติ
• โดยสรุปจากตัวอย่างข้างต้น ปริภูมิ เฮาส์ดอร์ฟ แบบพาราคอม แพ็กต์ทั้งหมด เป็นปริภูมิปกติ และปริภูมิปกติแบบพาราคอมแพ็กต์ทั้งหมดเป็นปริภูมิปกติ
• แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีแบบพาราคอมแพ็กต์ทั้งหมดเป็นแมนิโฟลด์เฮาส์ดอร์ฟปกติสมบูรณ์แบบ อย่างไรก็ตาม มีแมนิโฟลด์ที่ไม่ใช่พาราคอมแพ็กต์ซึ่งไม่ใช่แมนิโฟลด์ปกติด้วยซ้ำ
• โทโพโลยีลำดับทั้งหมดบนเซตที่มีลำดับสมบูรณ์นั้นเป็นแบบปกติโดยกำเนิดและแบบเฮาส์ดอร์ฟ
• ช่องว่างที่นับวินาทีได้ตามปกติทุก ช่อง นั้นปกติสมบูรณ์ และช่องว่าง Lindelöf ปกติทุกช่อง ก็ปกติเช่นกัน

นอกจากนี้พื้นที่ปกติทุกแห่งล้วนเป็นพื้นที่ปกติ (ถึงแม้จะไม่เป็นระเบียบก็ตาม) พื้นที่ Sierpińskiเป็นตัวอย่างของพื้นที่ปกติที่ไม่เป็นระเบียบ

ตัวอย่างสำคัญของโทโพโลยีที่ไม่ปกติคือโทโพโลยีซาริสกีบนวาไรตีพีชคณิตหรือบนสเปกตรัมของริงซึ่งใช้ในเรขาคณิตพีชคณิต

ปริภูมิที่ไม่ปกติซึ่งมีความเกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์คือปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี ของ ฟังก์ชันทั้งหมดจากเส้นจำนวนจริงRไปยังตัวมันเอง โดยมีทอพอโลยีของการลู่เข้าแบบจุดต่อจุดโดยทั่วไปแล้ว ทฤษฎีบทของอาร์เธอร์ แฮโรลด์ สโตนกล่าวว่าผลคูณของ ปริภูมิเมตริก ที่ไม่กระชับจำนวนนับไม่ถ้วนจะไม่เป็นปริภูมิปกติ

เซตย่อยปิดทุกเซตของปริภูมิปกติเป็นปริภูมิปกติ ภาพที่ต่อเนื่องและปิดของปริภูมิปกติเป็นปริภูมิปกติ^{[ 6 ]}

ความสำคัญหลักของปริภูมิปกติอยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่าปริภูมิเหล่านั้นยอมรับฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่องได้ "มากพอ" ดังที่แสดงโดยทฤษฎีบทต่อไปนี้ซึ่งใช้ได้กับปริภูมิปกติX ใด ๆ

ทฤษฎีบทของ Urysohn : ถ้าAและBเป็น เซตปิดที่ ไม่ทับซ้อนกัน สอง เซตของXแล้วจะมีฟังก์ชันต่อเนื่องfจากXไปยังเส้นจำนวนจริงRซึ่งf ( x ) = 0 สำหรับทุกxในAและf ( x ) = 1 สำหรับทุกxในBอันที่จริง เราสามารถเลือกค่าของfให้อยู่ภายในช่วง [0,1] ได้ทั้งหมด กล่าวโดยละเอียด เซตปิดที่ไม่ทับซ้อนกันนั้นไม่เพียงแต่ถูกแยกออกจากกันด้วยบริเวณใกล้เคียงเท่านั้น แต่ยังถูกแยกออกจากกันด้วยฟังก์ชัน อีก ด้วย

โดยทั่วไปแล้วทฤษฎีบทการขยายของ Tietze กล่าวว่า: ถ้าAเป็นเซตย่อยปิดของXและfเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องจากAไปยังRแล้วจะมีฟังก์ชันต่อเนื่องF : X → Rที่ขยายfในแง่ที่ว่าF ( x ) = f ( x ) สำหรับ ทุกxในA

แผนที่นี้มีคุณสมบัติการยกขึ้นโดยสัมพันธ์กับแผนที่จากพื้นที่โทโพโลยีจำกัดที่มีห้าจุด (สองจุดเปิดและสามจุดปิด) ไปยังพื้นที่ที่มีหนึ่งจุดเปิดและสองจุดปิด^{[ 7 ]}${\displaystyle \emptyset \rightarrow X}$

ถ้าUเป็นเซตเปิดที่ มีการจำกัดเฉพาะที่ ซึ่งครอบคลุมปริภูมิปกติXแล้ว จะมีการแบ่งส่วนของเอกภาพที่ขึ้นอยู่กับU อย่างแม่นยำ นี่แสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์ของปริภูมิปกติกับความกะทัดรัดแบบพาราคอมแพ็กต์

อันที่จริงแล้ว พื้นที่ใดก็ตามที่ตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งในสามข้อนี้ ย่อมถือว่าเป็นพื้นที่ปกติ

ผลคูณของปริภูมิปกติไม่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิปกติ ข้อเท็จจริงนี้ได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกโดยRobert Sorgenfreyตัวอย่างของปรากฏการณ์นี้คือระนาบ Sorgenfreyในความเป็นจริง เนื่องจากมีปริภูมิที่เป็นDowkerผลคูณของปริภูมิปกติและ [0, 1] จึงไม่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิปกติ นอกจากนี้ เซตย่อยของปริภูมิปกติไม่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิปกติ (กล่าวคือ ปริภูมิ Hausdorff ปกติทุกปริภูมิไม่ใช่ปริภูมิ Hausdorff ปกติโดยสมบูรณ์) เนื่องจากปริภูมิ Tychonoff ทุกปริภูมิเป็นเซตย่อยของการทำให้เป็นปริภูมิกระชับ Stone–Čech (ซึ่งเป็นปริภูมิ Hausdorff ปกติ) ตัวอย่างที่ชัดเจนยิ่งขึ้นคือระนาบ Tychonoff ปริภูมิผลคูณของปริภูมิปกติกลุ่มใหญ่เพียงกลุ่มเดียวที่ทราบว่าเป็นปริภูมิปกติคือผลคูณของปริภูมิ Hausdorff กระชับ เนื่องจากทั้งความกระชับ ( ทฤษฎีบทของ Tychonoff ) และสัจพจน์ T ₂ยังคงอยู่ภายใต้ผลคูณใดๆ^{[ 8 ]}

ถ้าปริภูมิปกติเป็นR ₀แล้ว ปริภูมินั้นก็จะเป็นปริภูมิปกติสมบูรณ์ (completely regular ) ดังนั้น ปริภูมิใดๆ ตั้งแต่ "ปกติ R ₀ " ไปจนถึง "ปกติสมบูรณ์" ก็จะเหมือนกับสิ่งที่เรามักเรียกว่าปกติ (normal regular ) เมื่อพิจารณาผลหารของ Kolmogorov เราจะเห็นว่า ปริภูมิปกติT ₁ ทั้งหมด เป็นปริภูมิ Tychonoffซึ่งก็คือสิ่งที่เรามักเรียกว่าปริภูมิ Hausdorff ปกติ

ปริภูมิเชิงทอพอโลยีจะเรียกว่าเป็นปริภูมิเสมือนปกติ (pseudonormal)ถ้าหากมีเซตปิดสองเซตที่ไม่ทับซ้อนกันอยู่ในปริภูมินั้น โดยเซตหนึ่งเป็นเซตที่นับได้ และจะมีเซตเปิดที่ไม่ทับซ้อนกันซึ่งบรรจุเซตปิดและเซตเปิดทั้งสองนั้นไว้ ปริภูมิปกติทุกปริภูมิเป็นปริภูมิเสมือนปกติ แต่ปริภูมิเสมือนปกติไม่ใช่ปริภูมิเสมือนปกติ

ตัวอย่างค้านสำหรับข้อความเหล่านี้บางรูปแบบสามารถพบได้ในรายการด้านบน โดยเฉพาะอย่างยิ่งปริภูมิ Sierpińskiเป็นปริภูมิปกติแต่ไม่ใช่ปริภูมิปกติทั่วไป ในขณะที่ปริภูมิของฟังก์ชันจากRไปยังตัวมันเองเป็นปริภูมิ Tychonoff แต่ไม่ใช่ปริภูมิปกติ

• พื้นที่ปกติแบบคอลเลกชัน  – คุณสมบัติของพื้นที่เชิงทอพอโลยีที่แข็งแกร่งกว่าความเป็นปกติ
• ปริภูมิปกติแบบโมโนโทนิก  – คุณสมบัติของปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่แข็งแกร่งกว่าความเป็นปกติ