ชุดแยก

ในวิชาโทโพโลยีและสาขาคณิตศาสตร์ที่ เกี่ยวข้อง เซตที่แยกจากกันคือคู่ของเซตย่อย ในปริภูมิ โทโพโลยีที่กำหนดซึ่งมีความสัมพันธ์กันในลักษณะใดลักษณะหนึ่ง กล่าวคือ ไม่ทับซ้อนกันและไม่สัมผัสกัน แนวคิดที่ว่าเซตสองเซตแยกจากกันหรือไม่นั้นมีความสำคัญทั้งต่อแนวคิดของปริภูมิที่เชื่อมต่อกัน (และส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกัน) และต่อสัจพจน์การแยกสำหรับปริภูมิโทโพโลยี

ไม่ควรสับสนระหว่างเซตที่แยกออกจากกันกับปริภูมิที่แยกออกจากกัน (ซึ่งจะกล่าวถึงต่อไป) ซึ่งมีความเกี่ยวข้องกันบ้างแต่ก็แตกต่างกัน ปริภูมิที่แยกออกจากกันได้เป็นแนวคิดทางโทโพโลยีที่แตกต่างออกไปโดยสิ้นเชิง

มีหลายวิธีที่สามารถพิจารณาว่า เซตย่อยสองเซต และในปริภูมิเชิงทอพอโลยี แยกออกจากกันได้ วิธีที่พื้นฐานที่สุดในการแยกเซตสองเซตคือ เซตทั้งสองไม่มี ส่วนร่วมกันกล่าวคือ ถ้า ส่วนร่วม ของเซตทั้งสอง เป็นเซตว่างคุณสมบัตินี้ไม่เกี่ยวข้องกับทอพอโลยีโดยตรง แต่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีเซต เท่านั้น คุณสมบัติต่อไปนี้แต่ละข้อมีความเข้มงวดกว่าคุณสมบัติการไม่มีส่วนร่วมกัน โดยรวมเอาข้อมูลเชิงทอพอโลยีบางส่วนไว้ด้วย ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$

คุณสมบัติที่ระบุไว้ด้านล่างนี้เรียงลำดับตามความเฉพาะเจาะจงจากน้อยไปมาก โดยแต่ละข้อแสดงถึงแนวคิดที่แข็งแกร่งกว่าข้อก่อนหน้า

ชุดต่างๆและเป็น${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$แยกออกจากกันหากแต่ละส่วนไม่ทับซ้อนกับส่วนปิด: ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle A\cap {\bar {B}}=\varnothing ={\bar {A}}\cap B.}$$

คุณสมบัตินี้เรียกว่าเงื่อนไขการแยก Hausdorff−Lennes ^{[ 1 ]}เนื่องจากเซตทุกเซตบรรจุอยู่ในส่วนปิดของมัน ดังนั้นเซตที่แยกออกจากกันสองเซตจะต้องไม่ทับซ้อนกันโดยอัตโนมัติ ส่วนปิดเองไม่จำเป็นต้องไม่ทับซ้อนกัน ตัวอย่างเช่นช่วง และแยกออกจากกันบนเส้นจำนวนจริงแม้ว่าจุด 1 จะอยู่ในทั้งสองส่วนปิดก็ตาม ตัวอย่างทั่วไปมากกว่าคือ ในปริภูมิเมตริก ใดๆ ลูกบอลเปิดสองลูกและแยกออกจากกันเมื่อใดก็ตามที่คุณสมบัติของการแยกออกจากกันยังสามารถแสดงได้ในแง่ของเซตอนุพันธ์ (ระบุด้วยสัญลักษณ์ไพรม์): และแยกออกจากกันเมื่อไม่ทับซ้อนกัน และแต่ละเซตไม่ทับซ้อนกับเซตอนุพันธ์ของอีกเซตหนึ่ง นั่นคือ(เช่นเดียวกับในกรณีของคำจำกัดความเวอร์ชันแรก เซตอนุพันธ์และไม่จำเป็นต้องไม่ทับซ้อนกัน) ${\displaystyle [0,1)}$${\displaystyle (1,2]}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X:d(p,x)<r\}}$${\displaystyle B_{s}(q)=\{x\in X:d(q,x)<s\}}$${\displaystyle d(p,q)\geq r+s.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\textstyle A'\cap B=\varnothing =B'\cap A.}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle B'}$

ชุดต่างๆและเป็น${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$เซตจะถูกแยกออกจากกันด้วยย่านใกล้เคียงได้ก็ต่อเมื่อมีย่านใกล้เคียง ของและที่ทำให้และไม่ทับซ้อนกัน (บางครั้งคุณอาจเห็นข้อกำหนดว่าและต้องเป็น ย่านใกล้เคียง แบบเปิดแต่สุดท้ายแล้วก็ไม่มีความแตกต่างกัน) สำหรับตัวอย่างของและคุณอาจใช้และโปรดสังเกตว่าถ้าเซตสองเซตใดๆ ถูกแยกออกจากกันด้วยย่านใกล้เคียงแล้ว แน่นอนว่าเซตทั้งสองนั้นก็ถูกแยกออกจากกันด้วย ถ้าและเป็นย่านใกล้เคียงแบบเปิดและไม่ทับซ้อนกัน เซตทั้งสองนั้นจะต้องถูกแยกออกจากกันด้วยย่านใกล้เคียง เพียงแค่ใช้และด้วยเหตุนี้ การแยกออกจากกันจึงมักใช้กับเซตปิด (เช่นเดียวกับในสัจพจน์การแยกออกจากกันตามปกติ) ${\displaystyle U}$${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle B}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle A=[0,1)}$${\displaystyle B=(1,2],}$${\displaystyle U=(-1,1)}$${\displaystyle V=(1,3).}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle U=A}$${\displaystyle V=B.}$

ชุดต่างๆและเป็น${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$เซตจะถูกแยกออกจากกันด้วยย่านปิดก็ต่อเมื่อมีย่านปิดของและย่านปิดของที่ทำให้และไม่มีส่วนร่วมกัน ตัวอย่างของเราและไม่ได้ถูกแยกออกจากกันด้วยย่านปิด คุณสามารถทำให้หรือ เป็นย่านปิดได้โดยการรวมจุดที่ 1 เข้าไปด้วย แต่คุณไม่สามารถทำให้ทั้งสองเป็นย่านปิดได้ในขณะที่ยังคงไม่มีส่วนร่วมกัน โปรดทราบว่าหากเซตสองเซตใด ๆ ถูกแยกออกจากกันด้วยย่านปิดแล้ว แน่นอนว่าเซตทั้งสองนั้นก็ถูกแยกออกจากกันด้วยย่าน ด้วยกัน ${\displaystyle U}$${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle B}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle [0,1)}$${\displaystyle (1,2],}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

ชุดต่างๆและเป็น${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$แยกออกจากกันด้วยฟังก์ชันต่อเนื่องถ้ามีฟังก์ชันต่อ เนื่องจากปริภูมิไปยังเส้นจำนวนจริงโดยที่และนั่นคือ สมาชิกของแปลงเป็น 0 และสมาชิกของแปลงเป็น 1 (บางครั้งใช้ช่วงหน่วยแทนในคำจำกัดความนี้ แต่ก็ไม่มีความแตกต่างกัน) ในตัวอย่างของเราและไม่ได้แยกออกจากกันด้วยฟังก์ชัน เพราะไม่มีวิธีใดที่จะกำหนด อย่างต่อเนื่องที่จุด 1 ได้ ^{[ 2 ]}ถ้าเซตสองเซตแยกออกจากกันด้วยฟังก์ชันต่อเนื่อง เซตทั้งสองก็จะถูกแยกออกจากกันด้วยย่านใกล้เคียงแบบปิดด้วย ย่านใกล้เคียงเหล่านี้สามารถกำหนดได้ในรูปของภาพผกผันของเป็นและโดยที่เป็นจำนวนจริงบวกที่น้อยกว่า${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle A\subseteq f^{-1}(0)}$${\displaystyle B\subseteq f^{-1}(1)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle [0,1)}$${\displaystyle (1,2]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U=f^{-1}[-c,c]}$${\displaystyle V=f^{-1}[1-c,1+c],}$${\displaystyle c}$${\displaystyle 1/2.}$

ชุดต่างๆและเป็น${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$เซตสองเซต สามารถถูกแยกออกจากกันได้อย่างแม่นยำด้วยฟังก์ชันต่อเนื่องหากมีฟังก์ชันต่อเนื่องอยู่จริงที่ทำให้และ(อีกครั้ง คุณอาจเห็นช่วงหน่วยแทนและก็ไม่มีความแตกต่างกัน) โปรดทราบว่า หากเซตสองเซตใด ๆ ถูกแยกออกจากกันได้อย่างแม่นยำด้วยฟังก์ชัน แสดงว่าเซตทั้งสองนั้นถูกแยกออกจากกันด้วยฟังก์ชันเนื่องจากและเป็นเซตปิดเฉพาะเซตปิดเท่านั้นที่สามารถถูกแยกออกจากกันได้อย่างแม่นยำด้วยฟังก์ชัน แต่เพียงเพราะเซตสองเซตเป็นเซตปิดและถูกแยกออกจากกันด้วยฟังก์ชัน ไม่ได้หมายความว่าเซตทั้งสองนั้นจะถูกแยกออกจากกันได้อย่างแม่นยำด้วยฟังก์ชันโดยอัตโนมัติ (แม้จะเป็นฟังก์ชันที่แตกต่างกันก็ตาม) ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle A=f^{-1}(0)}$${\displaystyle B=f^{-1}(1).}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle \{1\}}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

สัจพจน์การแยกเป็นเงื่อนไขต่างๆ ที่บางครั้งถูกกำหนดให้กับปริภูมิเชิงทอพอโลยี ซึ่งหลายเงื่อนไขสามารถอธิบายได้ในแง่ของเซตที่แยกออกจากกันประเภทต่างๆ ตัวอย่างเช่น เราจะกำหนดสัจพจน์ T₂ _ซึ่งเป็นเงื่อนไขที่กำหนดให้กับปริภูมิที่แยกออกจากกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปริภูมิเชิงทอพอโลยีจะถูกแยกออก จากกันก็ต่อ เมื่อ เมื่อกำหนดจุดสองจุดที่แตกต่างกันxและyแล้ว เซตเอกฐาน { x } และ { y } จะถูกแยกออกจากกันโดยบริเวณใกล้เคียง

พื้นที่ ที่ แยกออกจากกันมักเรียกว่าพื้นที่เฮาส์ดอร์ฟหรือพื้นที่ที₂

เมื่อกำหนดปริภูมิเชิงทอพอโลยีXแล้ว บางครั้งอาจเป็นประโยชน์ที่จะพิจารณาว่าเซตย่อยA สามารถ แยกออกจากส่วนเติมเต็ม ของมันได้หรือไม่ แน่นอนว่าสิ่งนี้เป็นจริงหากAเป็นเซตว่างหรือปริภูมิX ทั้งหมด แต่ก็อาจมีกรณีอื่นๆ อีก ปริภูมิเชิงทอพอโลยีXจะเชื่อมต่อกันก็ต่อเมื่อมีเพียงสองความเป็นไปได้นี้เท่านั้น ในทางกลับกัน หากเซตย่อยA ที่ไม่ว่าง สามารถแยกออกจากส่วนเติมเต็มของมันเองได้ และหากเซตย่อย เดียว ของAที่มีคุณสมบัตินี้คือเซตว่างแล้วAจะเป็นส่วนประกอบแบบเปิดและเชื่อมต่อกันของX (ในกรณีพิเศษที่Xเองเป็นเซตว่าง ผู้เชี่ยวชาญมีความเห็นแตกต่างกันว่า X เชื่อมต่อกันหรือไม่และเป็นส่วนประกอบแบบเปิดและเชื่อมต่อกันของตัวมันเองหรือไม่) ${\displaystyle \emptyset }$${\displaystyle \emptyset }$${\displaystyle \emptyset }$

กำหนดให้ปริภูมิเชิงทอพอโลยีXสองจุดxและyสามารถแยกแยะได้ในเชิงทอพอโลยีหากมีเซตเปิดที่จุดหนึ่งเป็นสมาชิก แต่จุดอีกจุดหนึ่งไม่เป็นสมาชิก ถ้าxและyสามารถแยกแยะได้ในเชิงทอพอโลยี เซตที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียว { x } และ { y } จะต้องไม่ทับซ้อนกัน ในทางกลับกัน ถ้าเซตที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียว { x } และ { y } แยกจากกัน จุดxและyจะต้องสามารถแยกแยะได้ในเชิงทอพอโลยี ดังนั้น สำหรับเซตที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียว การแยกแยะได้ในเชิงทอพอโลยีจึงเป็นเงื่อนไขที่อยู่ระหว่างการไม่ทับซ้อนกันและการแยกจากกัน

• ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ  – ประเภทหนึ่งของปริภูมิเชิงทอพอโลยี
• พื้นที่เฮาส์ดอร์ฟในระดับท้องถิ่น  – พื้นที่ที่ทุกจุดมีย่านใกล้เคียงแบบเฮาส์ดอร์ฟ
• สัจพจน์การแยก  – สัจพจน์ในวิชาโทโพโลยีที่กำหนดแนวคิดเรื่อง "การแยก"