คณิตศาสตร์แบบย่อ (Condensed mathematics)เป็นทฤษฎีที่พัฒนาโดยดัสติน คลอเซนและปีเตอร์ โชลเซซึ่งแทนที่ปริภูมิเชิงทอพอโลยี ด้วย ชีฟของเซตบางชนิดเพื่อแก้ปัญหาทางเทคนิคบางประการในการทำพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีบนกลุ่มเชิงทอพอโลยี

โดยพื้นฐานแล้ว แนวคิดเดียวกันนี้ได้รับการนำเสนอโดย Barwick และ Haine ภายใต้ชื่อ " เซตไพคโนติก" (pyknotic set )

ตามที่บางคนกล่าวไว้ ทฤษฎีนี้มีเป้าหมายเพื่อรวมสาขาย่อยทางคณิตศาสตร์ ต่างๆ เข้าด้วยกัน รวมถึง โทโพโลยีเรขาคณิตเชิงซ้อนและเรขาคณิตเชิงพีชคณิตโดยเฉพาะอย่างยิ่งKiran Kedlayaได้อธิบายคณิตศาสตร์แบบย่อว่าเป็น "เทคโนโลยีสำหรับการทำพีชคณิตเชิงสลับเปลี่ยนบนวงแหวนโทโพโลยี" ^{[ 1 ]}

แนวคิดพื้นฐานในการพัฒนาทฤษฎีนี้มาจากการแทนที่ปริภูมิเชิงทอพอโลยีด้วยเซตควบแน่นซึ่งจะนิยามไว้ด้านล่างหมวดหมู่ของเซตควบแน่น รวมถึงหมวดหมู่ที่เกี่ยวข้อง เช่น หมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียน ควบแน่น มีพฤติกรรมที่ดีกว่าหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอ โล ยีมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียน ควบแน่นเป็นหมวดหมู่อาเบ เลียน ซึ่งแตกต่างจากหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนเชิงทอพอ โลยี ทำให้สามารถใช้เครื่องมือจากพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีในการศึกษาโครงสร้างเหล่านั้นได้

กรอบของคณิตศาสตร์แบบย่อปรากฏว่ามีความทั่วไปมากพอที่เมื่อพิจารณา "พื้นที่" ต่างๆ ที่มีชีฟซึ่งมีค่าในพีชคณิตแบบย่อแล้ว เราอาจคาดหวังว่าจะสามารถรวมเรขาคณิตพีชคณิตเรขาคณิตวิเคราะห์p-adic และเรขาคณิตวิเคราะห์เชิงซ้อนได้^{[ 2 ]}

ในคณิตศาสตร์แบบย่อปริภูมิเวกเตอร์ของเหลวเป็นทางเลือกแทนปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี ที่สมบูรณ์ [ ^{3 ] [ 4 ] ซึ่งหมวดหมู่นี้มีคุณสมบัติเชิงนามธรรมที่ดีกว่า ปริภูมิ}เวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่สมบูรณ์ สิ่งนี้ช่วยให้สามารถเข้าถึงแนวทางเชิงนามธรรมได้มากขึ้นโดยใช้เครื่องมือต่างๆ เช่นหมวดหมู่อาเบล

เซตแบบควบแน่น (condensed set)คือชีฟของเซตบนไซต์ของเซตแบบจำกัด (profinite sets)โดยมีโท โพโลยีแบบโกรเทนดี ค (Grothendieck topology)ที่กำหนดโดยชุดแผนที่แบบจำกัดและกระจายตัวร่วมกัน (jointly surjective) ในทำนองเดียวกันกลุ่มแบบควบแน่น (condensed group) วงแหวนแบบควบแน่น (condensed ring ) เป็นต้น ก็ถูกนิยามว่าเป็นชีฟของกลุ่ม วงแหวน เป็นต้น บนไซต์นี้เช่นกัน

ในปริภูมิเชิงทอพอโลยีใดๆเราสามารถเชื่อมโยงเซตแบบย่อ (condensed set) ซึ่ง โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ ซึ่ง เชื่อมโยงกับเซตจำกัด (profinite set) ใดๆ ก็ได้ โดยจะเชื่อมโยงกับเซตของแผนที่ต่อเนื่องถ้าเป็นกลุ่มหรือวงแหวนเชิงทอพอโลยี แล้ว ก็ เป็นกลุ่มหรือวงแหวนแบบย่อเช่นกัน ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\underline {X}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\underline {X}}}$

ในปี 2013 Bhargav BhattและPeter Scholzeได้นำเสนอแนวคิดทั่วไปของไซต์pro- étaleที่เกี่ยวข้องกับแผนผัง ใดๆ ในปี 2018 Dustin Clausen และ Scholze ได้สรุปว่าไซต์ pro-étale ของจุดเดียว ซึ่งสมมาตรกับไซต์ของเซต profinite ที่กล่าวถึงข้างต้น มีโครงสร้างที่สมบูรณ์เพียงพอที่จะสร้างพื้นที่ทางทอพอโลยีขนาดใหญ่เป็นชีฟบนนั้น การพัฒนาเพิ่มเติมนำไปสู่ทฤษฎีของเซตควบแน่นและกลุ่มอาเบเลียนแข็งซึ่งทำให้สามารถรวมเรขาคณิตที่ไม่ใช่อาร์คิมีเดียนเข้ากับทฤษฎีได้^{[ 5 ]}

ในปี 2020 Scholze ได้ทำการพิสูจน์ผลลัพธ์ของพวกเขาเสร็จสมบูรณ์ ซึ่งจะช่วยให้สามารถรวมการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและเรขาคณิตเชิงซ้อนเข้ากับกรอบคณิตศาสตร์แบบย่อได้ โดยใช้แนวคิดของปริภูมิเวกเตอร์เหลว การโต้แย้งนั้นค่อนข้างซับซ้อน และเพื่อขจัดข้อสงสัยใดๆ เกี่ยวกับความถูกต้องของผลลัพธ์ เขาจึงขอให้นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ จัดทำการพิสูจน์ที่เป็นทางการและได้รับการตรวจสอบ [ ^{6 ] [ 7 ] ใน}ช่วงเวลา 6 เดือน กลุ่มที่นำโดย Johan Commelin ได้ตรวจสอบส่วนสำคัญของการพิสูจน์โดยใช้ตัวช่วยพิสูจน์Lean ^{[ 8 ] [ 7 ]}ณ วันที่ 14 กรกฎาคม 2022 การพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์แล้ว^{[ 9 ]}

บังเอิญในปี 2019 Barwick และ Haine ได้นำเสนอทฤษฎีวัตถุไพคนอติก ที่คล้ายกัน ทฤษฎีนี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับ ^{ทฤษฎี}เซตควบแน่น โดยมีความแตกต่างหลักอยู่ที่ลักษณะทางทฤษฎีเซต: ทฤษฎีไพคนอติกขึ้นอยู่กับการเลือกเอกภพ Grothendieckในขณะที่คณิตศาสตร์ควบแน่นสามารถพัฒนาได้อย่างเคร่งครัดภายในZFC [ ^{10 ]}

• พื้นที่ทั่วไป
• เซตไพคโนติก

• https://mathoverflow.net/questions/441838/condensed-vs-pyknotic-vs-consequential
• https://mathoverflow.net/questions/tagged/condensed-mathematics
• https://math.stackexchange.com/questions/4044728/examples-of-the-difference-between-topological-spaces-and-condensed-sets
• https://www.quantamagazine.org/two-researchers-are-rebuilding-mathematics-from-the-ground-up-20260520/
• Franziska Böhnlein, Benjamin Bruske และ Sven-Ake Wegner. คณิตศาสตร์แบบย่อผ่านปริภูมิเชิงกระชับ. arXiv: 2512.14612.

• Scholze, Peter (2019). "การบรรยายเกี่ยวกับคณิตศาสตร์แบบย่อ" (PDF )
• Scholze, Peter (2020). "การบรรยายเกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะห์" (PDF )
• Clausen, Dustin; Scholze, Peter (2022). "คณิตศาสตร์ย่อและเรขาคณิตเชิงซ้อน" (PDF )
• Pstrągowski, Piotr Tadeusz (9 พฤศจิกายน 2020). "หลักสูตรขั้นสูงด้านคณิตศาสตร์แบบย่อ" . www.math.ku.dk . สืบค้นเมื่อ21 มิถุนายน 2021 .
• "บันทึกย่อเกี่ยวกับคณิตศาสตร์แบบย่อ" (PDF)โครงการ วิจัยคณิตศาสตร์ REU ปี 2023 มหาวิทยาลัยชิคาโก
• "บันทึกย่อเกี่ยวกับคณิตศาสตร์แบบย่อ" . บันทึกย่อเกี่ยวกับคณิตศาสตร์แบบย่อ – คิรัน เอส. เคดลายา .