ในพีชคณิตเชิงเส้นและสาขาคณิตศาสตร์ ที่เกี่ยวข้อง เซตสมดุลเซตวงกลมหรือดิสก์ในปริภูมิเวกเตอร์ (เหนือฟิลด์ ที่มีฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ ) คือเซตที่ สำหรับ สเกลาร์ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle S}$${\displaystyle aS\subseteq S}$${\displaystyle a}$${\displaystyle |a|\leq 1.}$

โครงสร้างสมดุลหรือซองสมดุลของเซตคือเซตสมดุลที่เล็กที่สุดที่บรรจุอยู่ภายใน ส่วน แกนสมดุลของเซตคือเซตสมดุลที่ใหญ่ที่สุดที่บรรจุอยู่ภายใน${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$

เซตสมดุลพบได้ทั่วไปในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันเนื่องจากทุกย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) ทุกแห่งจะมีย่านใกล้เคียงที่สมดุลของจุดกำเนิด และทุกย่านใกล้เคียงแบบนูนของจุดกำเนิดจะมีย่านใกล้เคียงแบบนูนที่สมดุลของจุดกำเนิด (แม้ว่า TVS จะไม่เป็นแบบนูนเฉพาะที่ ก็ตาม ) ย่านใกล้เคียงนี้สามารถเลือกให้เป็นเซตเปิดหรือเซตปิดก็ได้

ให้เป็นปริมาณเวกเตอร์เหนือฟิลด์ของจำนวน จริงหรือจำนวนเชิงซ้อน${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {K} }$

สัญกรณ์

ถ้าเป็นเซตและ เป็นสเกลาร์แล้วให้และและสำหรับใดๆให้ แทนลูกบอลเปิดและลูกบอลปิด ที่มีรัศมีในฟิลด์สเกลาร์ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่โดยที่และ ทุกเซตย่อยที่สมดุลของฟิลด์จะอยู่ในรูปแบบหรือสำหรับบางค่า${\displaystyle S}$${\displaystyle a}$${\displaystyle B\subseteq \mathbb {K} }$${\displaystyle aS=\{as:s\in S\}}$${\displaystyle BS=\{bs:b\in B,s\in S\}}$${\displaystyle 0\leq r\leq \infty ,}$$${\displaystyle B_{r}=\{a\in \mathbb {K} :|a|<r\}\qquad {\text{ และ }}\qquad B_{\leq r}=\{a\in \mathbb {K} :|a|\leq r\}.}$$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle B_{0}=\varnothing ,B_{\leq 0}=\{0\},}$${\displaystyle B_{\infty }=B_{\leq \infty }=\mathbb {K} .}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle B_{\leq r}}$${\displaystyle B_{r}}$${\displaystyle 0\leq r\leq \infty .}$

ชุดสมดุล

เซตย่อยของเรียกว่า${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$ชุดสมดุลหรือสมดุลหากตรงตามเงื่อนไขเทียบเท่าใดๆ ต่อไปนี้:

1. นิยาม : สำหรับทุกค่าและทุกค่าสเกลาร์ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข${\displaystyle as\in S}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle a}$${\displaystyle |a|\leq 1.}$
2. ${\displaystyle aS\subseteq S}$สำหรับค่าสเกลาร์ทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไข${\displaystyle a}$${\displaystyle |a|\leq 1.}$
3. ${\displaystyle B_{\leq 1}S\subseteq S}$(ที่ไหน).${\displaystyle B_{\leq 1}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|\leq 1\}}$
4. ${\displaystyle S=B_{\leq 1}S.}$^{[ 1 ]}
5. สำหรับทุกๆ${\displaystyle s\in S,}$${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s=B_{\leq 1}(S\cap \mathbb {K} s).}$
   • ${\displaystyle \mathbb {K} s=\operatorname {span} \{s\}}$เป็น ปริภูมิย่อยเวกเตอร์มิติ (ถ้า) หรือ(ถ้า) ของ${\displaystyle 0}$${\displaystyle s=0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle s\neq 0}$${\displaystyle X.}$
   • ถ้าเช่นนั้น ความเท่าเทียมกันข้างต้นจะกลายเป็นซึ่งเป็นเงื่อนไขก่อนหน้าสำหรับเซตที่สมดุล ดังนั้นจะเป็นเซตที่สมดุลก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกๆเป็นเซตที่สมดุล (ตามเงื่อนไขใดๆ ที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้)${\displaystyle R:=S\cap \mathbb {K} s}$${\displaystyle R=B_{\leq 1}R,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s\in S,}$${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s}$
6. สำหรับปริภูมิย่อยเวกเตอร์ 1 มิติทุกตัวของจะเป็นเซตสมดุล (ตามเงื่อนไขนิยามอื่นใดนอกเหนือจากเงื่อนไขนี้)${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {span} S,}$${\displaystyle S\cap Y}$
7. สำหรับทุกๆ จะมีบางสิ่ง เช่นนั้นอยู่หรือ${\displaystyle s\in S,}$${\displaystyle 0\leq r\leq \infty }$${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s=B_{r}s}$${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s=B_{\leq r}s.}$
8. ${\displaystyle S}$เป็นเซตย่อยที่สมดุลของ(ตามเงื่อนไขนิยามของ "ความสมดุล" อื่นๆ นอกเหนือจากเงื่อนไขนี้) ${\displaystyle \operatorname {span} S}$
   • ดังนั้น จึงเป็นเซตย่อยที่สมดุลของก็ต่อเมื่อ เป็นเซตย่อยที่สมดุลของปริภูมิเวกเตอร์ทุกปริภูมิ (หรือเทียบเท่ากับบางปริภูมิ) เหนือฟิลด์ที่ประกอบด้วยดังนั้น สมมติว่าฟิลด์นั้นชัดเจนจากบริบท นี่จึงเป็นเหตุผลที่เขียนว่า " สมดุล" โดยไม่ต้องกล่าวถึงปริภูมิเวกเตอร์ใดๆ^{[หมายเหตุ 1 ]}${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle S.}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle S}$

ถ้าเป็นเซตแบบนูนรายการนี้อาจขยายเพิ่มเติมเพื่อรวมถึง: ${\displaystyle S}$

9. ${\displaystyle aS\subseteq S}$สำหรับสเกลาร์ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ^{[ 2 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle |a|=1.}$

ถ้าเช่นนั้น รายชื่อนี้สามารถขยายเพิ่มเติมเพื่อรวมถึง: ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$

10. ${\displaystyle S}$มีความสมมาตร (หมายความว่า) และ${\displaystyle -S=S}$${\displaystyle [0,1)S\subseteq S.}$

$${\displaystyle \operatorname {bal} S~=~\bigcup _{|a|\leq 1}aS=B_{\leq 1}S}$$

เดอะขอบเขตสมดุลของเซตย่อยของซึ่งแสดงด้วยสามารถนิยามได้ด้วยวิธีที่เทียบเท่ากันดังต่อไปนี้: ${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {bal} S,}$

1. นิยาม : คือเซตย่อยสมดุลที่เล็กที่สุด (เมื่อเทียบกับ) ของที่ประกอบด้วย${\displaystyle \operatorname {bal} S}$${\displaystyle \,\subseteq \,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S.}$
2. ${\displaystyle \operatorname {bal} S}$คือจุดตัดของเซตสมดุลทั้งหมดที่มี${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle \operatorname {bal} S=\bigcup _{|a|\leq 1}(aS).}$
4. ${\displaystyle \operatorname {bal} S=B_{\leq 1}S.}$^{[ 1 ]}

$${\displaystyle \operatorname {balcore} S~=~{\begin{cases}\displaystyle \bigcap _{|a|\geq 1}aS&{\text{ if }}0\in S\\\varnothing &{\text{ if }}0\not \in S\\\end{cases}}}$$

เดอะแกนหลักที่สมดุลของเซตย่อยที่แสดงด้วยสัญลักษณ์ถูกกำหนดในรูปแบบที่เทียบเท่ากันดังต่อไปนี้: ${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {balcore} S,}$

1. นิยาม : คือเซตย่อยสมดุลที่ใหญ่ที่สุด (เมื่อเทียบกับ) ของ${\displaystyle \operatorname {balcore} S}$${\displaystyle \,\subseteq \,}$${\displaystyle S.}$
2. ${\displaystyle \operatorname {balcore} S}$คือการรวมกันของเซตย่อยสมดุลทั้งหมดของ${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle \operatorname {balcore} S=\varnothing }$ถ้าในขณะที่ถ้า${\displaystyle 0\not \in S}$${\displaystyle \operatorname {balcore} S=\bigcap _{|a|\geq 1}(aS)}$${\displaystyle 0\in S.}$

เซตว่างเป็นเซตสมดุล เช่นเดียวกับปริภูมิย่อยเวกเตอร์ใดๆ ของปริภูมิเวกเตอร์ ใดๆ (ทั้งจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน) โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นเซตสมดุลเสมอ ${\displaystyle \{0\}}$

เซตที่ไม่ว่างเปล่าใดๆ ที่ไม่ประกอบด้วยจุดกำเนิดจะไม่ถือว่าเป็นเซตสมดุล และยิ่งไปกว่านั้นแกนสมดุลของเซตดังกล่าวจะเท่ากับเซตว่างเปล่า

ปริภูมิเวกเตอร์แบบนอร์มและเชิงทอพอโลยี

ลูกบอลเปิดและปิดที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดในปริภูมิเวกเตอร์แบบนอร์มเป็นเซตสมดุล ถ้าเป็นเซมินอร์ม (หรือนอร์ม ) บนปริภูมิเวกเตอร์แล้ว สำหรับค่าคงที่ใดๆเซตนั้นจะเป็นเซตสมดุล ${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle c>0,}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq c\}}$

ถ้าเป็นเซตย่อยใดๆ และแล้วเป็นเซตสมดุล โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นย่านใกล้เคียง ที่สมดุลใดๆ ของจุดกำเนิดในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี แล้ว${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle B_{1}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|<1\}}$${\displaystyle B_{1}S}$${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}U~\subseteq ~B_{1}U~=~\bigcup _{0<|a|<1}aU~\subseteq ~U.}$$

ชุดที่สมดุลในและ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

ให้เป็นฟิลด์ของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนให้แทนค่าสัมบูรณ์บนและให้แทนปริภูมิเวกเตอร์เหนือดังนั้น ตัวอย่างเช่น ถ้าเป็นฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อน แล้วจะเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนมิติเดียว ในขณะที่ถ้าแล้วจะเป็นปริภูมิเวกเตอร์จริงมิติเดียว ${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle \mathbb {K} ,}$${\displaystyle X:=\mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {K} .}$${\displaystyle \mathbb {K} :=\mathbb {C} }$${\displaystyle X=\mathbb {K} =\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {K} :=\mathbb {R} }$${\displaystyle X=\mathbb {K} =\mathbb {R} }$

เซตย่อยที่สมดุลของมีดังต่อไปนี้: ^{[ 3 ]}${\displaystyle X=\mathbb {K} }$

1. ${\displaystyle \varnothing }$
2. ${\displaystyle X}$
3. ${\displaystyle \{0\}}$
4. ${\displaystyle \{x\in X:|x|<r\}}$สำหรับเรื่องจริงบางอย่าง${\displaystyle r>0}$
5. ${\displaystyle \{x\in X:|x|\leq r\}}$สำหรับเรื่องจริงบางอย่าง${\displaystyle r>0.}$

ด้วยเหตุนี้ ทั้งแกนกลางที่สมดุลและเปลือกที่สมดุลของชุดสเกลาร์ทุกชุดจึงเท่ากับชุดใดชุดหนึ่งที่ระบุไว้ข้างต้น

เซตสมดุลได้แก่ตัวมันเอง เซตว่าง และวงกลมเปิดและปิดที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ศูนย์ ในทางตรงกันข้าม ในปริภูมิยูคลิดสองมิติ มีเซตสมดุลอยู่มากมายกว่านั้น เส้นตรงใดๆ ที่มีจุดกึ่งกลางอยู่ที่จุดกำเนิดก็ใช้ได้ ดังนั้นและจึงแตกต่างกันอย่างสิ้นเชิงในแง่ของ การคูณด้วยสเกลาร์${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

ชุดที่สมดุลใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

ตลอดทั้งบทความนี้ ให้(ดังนั้น จึงเป็นปริมาณเวกเตอร์เหนือ) และให้เป็นทรงกลมหน่วยปิดในที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle B_{\leq 1}}$${\displaystyle X}$

ถ้าไม่เป็นศูนย์ และเซตจะเป็นย่านใกล้เคียงแบบปิด สมมาตร และสมดุลของจุดกำเนิดในโดยทั่วไปแล้ว ถ้าเป็น เซตย่อยแบบปิด ใดๆของเช่นนั้นแล้วจะเป็นย่านใกล้เคียงแบบปิด สมมาตร และสมดุลของจุดกำเนิดในตัวอย่างนี้สามารถขยายไปสู่​​สำหรับจำนวนเต็มใดๆ ได้${\displaystyle x_{0}\in X=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle L:=\mathbb {R} x_{0},}$${\displaystyle R:=B_{\leq 1}\cup L}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (0,1)C\subseteq C,}$${\displaystyle S:=B_{\leq 1}\cup C\cup (-C)}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n\geq 1.}$

ให้เป็นผลรวมของส่วนของเส้นตรงระหว่างจุดและและส่วนของเส้นตรงระหว่างจุดและแล้วจะเป็นเมทริกซ์สมดุลแต่ไม่เป็นเมทริกซ์นูน และ ก็ไม่ใช่เมทริกซ์ดูดซับ (ถึงแม้ว่า จะเป็นปริภูมิเวกเตอร์ทั้งหมดก็ตาม) ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle (-1,0)}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle (0,-1)}$${\displaystyle (0,1).}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \operatorname {span} B=\mathbb {R} ^{2}}$

ให้n เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ และให้ n เป็นส่วนของเส้นตรง (เปิดหรือปิด) ระหว่างจุด n และn แล้วเซต n เป็นเซตสมดุลและเซตดูดซับ แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นเซตแบบนูนเสมอไป ${\displaystyle 0\leq t\leq \pi ,}$${\displaystyle r_{t}}$${\displaystyle B^{t}}$${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle (\cos t,\sin t)}$${\displaystyle -(\cos t,\sin t).}$${\displaystyle B=\bigcup _{0\leq t<\pi }r_{t}B^{t}}$

ขอบเขตสมดุลของเซตปิดไม่จำเป็นต้องเป็นเซตปิดเสมอไป ลองพิจารณากราฟของin เป็นตัวอย่าง${\displaystyle xy=1}$${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}.}$

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่าขอบสมดุลของเซตแบบนูนอาจไม่ใช่แบบนูน (อย่างไรก็ตาม ขอบนูนของเซตแบบสมดุลนั้นสมดุลเสมอ) ยกตัวอย่างเช่น ให้เซตแบบนูนเป็นซึ่งเป็นส่วนของเส้นตรงปิดแนวนอนที่อยู่เหนือแกนในขอบสมดุลเป็นเซตแบบไม่นูนที่มี รูปร่างคล้าย นาฬิกาทราย และเท่ากับผลรวมของ สามเหลี่ยมหน้าจั่วปิดสองรูป คือและโดยที่และเป็นสามเหลี่ยมที่เติมเต็มซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิดและจุดปลายของ(กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นขอบนูนของในขณะที่เป็นขอบนูนของ) ${\displaystyle S:=[-1,1]\times \{1\},}$${\displaystyle x-}$${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}.}$${\displaystyle \operatorname {bal} S}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{2},}$${\displaystyle T_{2}=-T_{1}}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle S\cup \{(0,0)\}}$${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle (-S)\cup \{(0,0)\}}$

เซตจะสมดุลก็ต่อเมื่อมันเท่ากับตัวถังที่สมดุลหรือแกนกลางที่สมดุลซึ่งในกรณีนี้ เซตทั้งสามนี้จะเท่ากันทั้งหมด:${\displaystyle T}$${\displaystyle \operatorname {bal} T}$${\displaystyle \operatorname {balcore} T,}$${\displaystyle T=\operatorname {bal} T=\operatorname {balcore} T.}$

ผลคูณคาร์ทีเซียนของกลุ่มเซตสมดุลจะมีความสมดุลในปริภูมิผลคูณของปริภูมิเวกเตอร์ที่สอดคล้องกัน (เหนือฟิลด์เดียวกัน) ${\displaystyle \mathbb {K} }$

• เปลือกสมดุลของ เซต กระชับ (หรือ เซต ที่มีขอบเขต โดยสมบูรณ์ และ เซต ที่มีขอบเขต ) มีคุณสมบัติเดียวกัน^{[ 4 ]}
• ส่วนนูนของเซตสมดุลจะเป็นเซตแบบนูนและสมดุล (กล่าวคือ เป็นเซตแบบนูนสัมบูรณ์ ) อย่างไรก็ตาม ส่วนนูนของเซตแบบสมดุลอาจจะไม่เป็นเซตแบบนูนเสมอไป (ตัวอย่างค้านได้แสดงไว้ข้างต้นแล้ว)
• การรวมกันโดยพลการของเซตที่สมดุลจะให้เซตที่สมดุล และเช่นเดียวกันกับการตัดกัน โดยพลการ ของเซตที่สมดุล
• ผลคูณเชิงสเกลาร์และผลรวมมินคอฟสกี (จำกัด) ของเซตสมดุลนั้นยังคงสมดุลอยู่
• ภาพและภาพต้นฉบับของเซตสมดุลภายใต้การแปลงเชิงเส้นจะยังคงเป็นเซตสมดุล กล่าวคือ ถ้าเป็นการแปลงเชิงเส้น และและเป็นเซตสมดุลแล้วและ ก็จะเป็นเซตสมดุลเช่น กัน${\displaystyle L:X\to Y}$${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle C\subseteq Y}$${\displaystyle L(B)}$${\displaystyle L^{-1}(C)}$

ในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี ใดๆ การปิดของเซตสมดุลจะสมดุล^{[ 5 ]}การรวมกันของจุดกำเนิดและส่วนภายในเชิงทอพอโลยีของเซตสมดุลจะสมดุล ดังนั้น ส่วนภายในเชิงทอพอโลยีของย่านใกล้เคียง ที่สมดุล ของจุดกำเนิดจึงสมดุล^{[ 5 ] [พิสูจน์ 1 ]}อย่างไรก็ตามเป็นเซตย่อยที่สมดุลของที่มีจุดกำเนิดอยู่แต่ส่วนภายในเชิงทอพอโลยี (ที่ไม่ว่างเปล่า) ของเซตย่อยนี้ไม่ประกอบด้วยจุดกำเนิด และดังนั้นจึงไม่ใช่เซตสมดุล^{[ 6 ]}ในทำนองเดียวกันสำหรับปริภูมิเวกเตอร์จริง ถ้าแทนส่วนนูนของและ( สามเหลี่ยม ที่เติมเต็ม ซึ่งมีจุดยอดเป็นจุดทั้งสามนี้) แล้วเป็นเซตย่อยที่สมดุล ( รูปทรง นาฬิกาทราย ) ของที่มีส่วนภายในเชิงทอพอโลยีที่ไม่ว่างเปล่าซึ่งไม่ประกอบด้วยจุดกำเนิด และดังนั้นจึงไม่ใช่เซตสมดุล (และถึงแม้ว่าเซตที่เกิดจากการเพิ่มจุดกำเนิดจะสมดุล แต่ก็ไม่ใช่ทั้งเซตเปิดหรือย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิด) ${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle \left\{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2}:|z|\leq |w|\right\}}$${\displaystyle X=\mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle (0,0)\in X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (\pm 1,1)}$${\displaystyle B:=T\cup (-T)}$${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \{(0,0)\}\cup \operatorname {Int} _{X}B}$

ทุกย่านใกล้เคียง (หรือย่านใกล้เคียงแบบนูน) ของจุดกำเนิดในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีจะมีย่านใกล้เคียงแบบเปิดที่สมดุล (หรือแบบนูนและสมดุล) ของจุดกำเนิดอยู่ ในความเป็นจริง การสร้างต่อไปนี้จะสร้างเซตที่สมดุลดังกล่าว กำหนดให้เซต สมมาตรจะเป็นแบบนูน (หรือแบบปิด แบบสมดุล แบบ มีขอบเขตย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิด หรือเซตย่อยที่ดูดซับของ) เมื่อใดก็ตามที่สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับจะเป็นเซตที่สมดุลหากมีรูปร่างคล้ายดาวที่จุดกำเนิด^{[หมายเหตุ 2 ]}ซึ่งเป็นจริง ตัวอย่างเช่น เมื่อเป็นแบบนูนและมีโดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากเป็นย่านใกล้เคียงแบบนูนของจุดกำเนิดแล้วจะเป็น ย่านใกล้เคียงแบบนูนที่ สมดุลของจุดกำเนิด และดังนั้นภายในเชิงทอพอโลยี ของมัน จะเป็นย่านใกล้เคียงแบบเปิด แบบนูนที่สมดุล ของจุดกำเนิด^{[ 5 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle W\subseteq X,}$${\displaystyle \bigcap _{|u|=1}uW\subseteq W}$${\displaystyle X}$${\displaystyle W.}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle 0.}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \bigcap _{|u|=1}uW}$

สมมติว่าเป็นเซตย่อยนูนและดูดซับของจากนั้นจะเป็นเซตย่อยดูดซับสมดุลนูน ของ ซึ่งรับประกันว่าฟังก์ชัน Minkowskiของจะเป็นเซมินอร์มบนทำให้เป็นปริภูมิเซมินอร์มที่มี โทโพโลยีแบบเพส ดูโอเมตริกแคนอนิก เซตของผลคูณสเกลาร์เป็นครอบคลุมเหนือ(หรือเหนือเซตสเกลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์อื่นใดที่มีเป็นจุดลิมิต) สร้างฐานใกล้เคียงของดิสก์ ดูดซับ ที่จุดกำเนิดสำหรับ โทโพโลยี แบบนูนเฉพาะที่ นี้ ถ้าเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโลยีและถ้าเซตย่อยดูดซับนูนนี้เป็นเซตย่อยที่มีขอบเขตของแล้วสิ่งเดียวกันนี้จะเป็นจริงสำหรับดิสก์ดูดซับถ้านอกจากนี้ไม่ประกอบด้วยปริภูมิย่อยเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ แล้วจะเป็นนอร์มและจะสร้างสิ่งที่เรียกว่าปริภูมินอร์มเสริม^{[ 7 ]} ถ้าปริภูมินอร์มนี้เป็นปริภูมิ Banachแล้วเรียกว่าดิสก์ Banach${\displaystyle W}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle D:=\bigcap _{|u|=1}uW}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle p_{D}:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle D}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$${\displaystyle rD}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle W}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle D:={\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uW;}$${\displaystyle D}$${\displaystyle p_{D}}$${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$${\displaystyle D}$

คุณสมบัติของเซตที่สมดุล

เซตสมดุลจะไม่ว่างเปล่าก็ต่อเมื่อมันมีจุดกำเนิดอยู่ภายใน ตามคำนิยาม เซตจะเป็นเซตเว้าสัมบูรณ์ก็ต่อเมื่อมันเป็นเซตเว้าและสมดุล เซตสมดุลทุกเซตเป็นรูปดาว (ที่จุด 0) และเป็นเซตสมมาตรถ้าเป็นเซตย่อยสมดุลของแล้ว: ${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$

• สำหรับสเกลาร์ใดๆและถ้าเช่นนั้นและดังนั้น ถ้าและเป็นสเกลาร์ใดๆ แล้ว${\displaystyle c}$${\displaystyle d,}$${\displaystyle |c|\leq |d|}$${\displaystyle cB\subseteq dB}$${\displaystyle cB=|c|B.}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$${\displaystyle (cB)\cap (dB)=\min _{}\{|c|,|d|\}B.}$
• ${\displaystyle B}$ดูดซับได้ก็ต่อเมื่อมีอยู่จริง สำหรับทุกสิ่ง โดยที่^{[ 2 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle x\in rB.}$
• สำหรับปริภูมิย่อยเวกเตอร์ 1 มิติใดๆของเซตจะเป็นเซตแบบนูนและสมดุล ถ้าไม่ว่างเปล่า และถ้าเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ 1 มิติของแล้วจะเป็นหรือ มิฉะนั้นจะเป็นเซตแบบดูดซับใน${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle B\cap Y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {span} B}$${\displaystyle B\cap Y}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle Y.}$
• สำหรับเซต ใดๆ ที่มีจุดมากกว่าหนึ่งจุด เซตนั้นจะเป็นย่านใกล้เคียงแบบนูนและสมดุลของในปริภูมิเวกเตอร์ 1 มิติเมื่อปริภูมิเวกเตอร์นี้มีโทโพโลยีแบบฮอส ดอร์ฟยูคลิด และเซตนั้นเป็นเซตย่อยแบบนูนและสมดุลของปริภูมิเวกเตอร์จริงที่ประกอบด้วยจุดกำเนิด${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle B\cap \operatorname {span} x}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \operatorname {span} x}$${\displaystyle B\cap \mathbb {R} x}$${\displaystyle \mathbb {R} x}$

คุณสมบัติของตัวเรือที่สมดุลและแกนกลางที่สมดุล

สำหรับกลุ่มย่อยใดๆ ของ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle X,}$$${\displaystyle \operatorname {bal} \left(\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}S\right)=\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}\operatorname {bal} S\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {balcore} \left(\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}S\right)=\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}\operatorname {balcore} S.}$$

ในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีใดๆ ขอบเขตสมดุลของย่านเปิดใดๆ ของจุดกำเนิดก็ยังคงเปิดอยู่ ถ้าเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบเฮาส์ดอร์ฟและถ้าเป็นเซตย่อยกระชับของแล้วขอบเขตสมดุลของก็จะกระชับ^{[ 8 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle K}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K}$

ถ้าเซตใดเป็นเซตปิด (หรือเป็นเซตแบบนูน เซตแบบดูดซับหรือเป็นบริเวณใกล้เคียงกับจุดกำเนิด) แล้วแกนสมดุลของเซตนั้นก็จะเป็นเช่นเดียวกัน

สำหรับเซตย่อยใดๆและค่าสเกลาร์ใดๆ${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle c,}$${\displaystyle \operatorname {bal} (c\,S)=c\operatorname {bal} S=|c|\operatorname {bal} S.}$

สำหรับค่าสเกลาร์ใดๆความเท่าเทียมกันนี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อดังนั้นถ้าหรือแล้วสำหรับค่าสเกลาร์ทุกค่า${\displaystyle c\neq 0,}$${\displaystyle \operatorname {balcore} (c\,S)=c\operatorname {balcore} S=|c|\operatorname {balcore} S.}$${\displaystyle c=0}$${\displaystyle S\subseteq \{0\}.}$${\displaystyle 0\in S}$${\displaystyle S=\varnothing }$$${\displaystyle \operatorname {balcore} (c\,S)=c\operatorname {balcore} S=|c|\operatorname {balcore} S}$$${\displaystyle c.}$

ฟังก์ชันบนปริภูมิเวกเตอร์จริงหรือเชิงซ้อนเรียกว่า ฟังก์ชันบนปริภูมิเวกเตอร์จริงหรือเชิงซ้อน${\displaystyle p:X\to [0,\infty )}$ฟังก์ชันสมดุลหากตรงตามเงื่อนไขเทียบเท่าต่อไปนี้: ^{[ 9 ]}

1. ${\displaystyle p(ax)\leq p(x)}$เมื่อใดก็ตามที่ค่าสเกลาร์นั้นตรงตามเงื่อนไขและ${\displaystyle a}$${\displaystyle |a|\leq 1}$${\displaystyle x\in X.}$
2. ${\displaystyle p(ax)\leq p(bx)}$เมื่อใดก็ตามที่และเป็นสเกลาร์ที่สอดคล้องกับ และ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle |a|\leq |b|}$${\displaystyle x\in X.}$
3. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq t\}}$เป็นชุดที่สมดุลสำหรับค่าจริงที่ไม่เป็นลบทุกค่า${\displaystyle t\geq 0.}$

ถ้าเป็นฟังก์ชันสมดุลแล้วสำหรับสเกลาร์และเวกเตอร์ ทุกตัว โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับสเกลาร์ที่มีความยาวหน่วยทุกตัว (ที่สอดคล้องกับ) และทุก^{[ 9 ]} การใช้แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันสมดุลทุกตัวเป็นฟังก์ชัน สมมาตร${\displaystyle p}$${\displaystyle p(ax)=p(|a|x)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x\in X;}$${\displaystyle p(ux)=p(x)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle |u|=1}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle u:=-1}$

ฟังก์ชันค่าจริงจะเป็นเซมิ-นอร์มก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชันซับลิเนียร์ แบบสมดุล เท่านั้น ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

• เซตแบบนูนโดยสมบูรณ์  – เซตแบบนูนและสมดุล
• ชุดดูดซับ  – ชุดที่สามารถ "พองตัว" เพื่อให้เข้าถึงจุดใดก็ได้
• เซตที่มีขอบเขต (ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี)  – การวางนัยทั่วไปของแนวคิดเรื่องขอบเขต
• เซตแบบนูน  – ในทางเรขาคณิต หมายถึง เซตที่จุดตัดกับเส้นตรงทุกเส้นมีส่วนของเส้นตรงเพียงเส้นเดียว
• โดเมนรูปดาว  – คุณสมบัติของเซตจุดในปริภูมิยุคลิด
• เซตสมมาตร  – คุณสมบัติของเซตย่อยของกลุ่ม (คณิตศาสตร์)
• ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี  – ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีแนวคิดเรื่องความใกล้เคียง