ในคณิตศาสตร์เชิงฟังก์ชันและสาขาที่เกี่ยวข้องเซตในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโล ยี เรียกว่าเซตที่มีขอบเขตหรือมีขอบเขตแบบฟอน นอยมันน์ถ้าทุกย่านใกล้เคียงของเวกเตอร์ศูนย์สามารถขยายให้ครอบคลุมเซตนั้นได้ เซตที่ไม่มีขอบเขตเรียกว่าเซตที่ ไม่มีขอบเขต

เซตที่มีขอบเขตเป็นวิธีที่เป็นธรรมชาติในการกำหนดโทโพโลยีเชิงขั้วแบบนูนเฉพาะที่ บนปริภูมิเวกเตอร์ในคู่คู่เนื่องจากเซตเชิงขั้วของเซตที่มีขอบเขตเป็นเซต แบบ นูนสัมบูรณ์และ ดูดซับ แนวคิดนี้ได้รับการนำเสนอครั้งแรกโดยจอห์น ฟอน นอยมันน์และอันเดรย์ โคลโมโกโรฟในปี 1935

สมมติว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) บนฟิลด์เชิงทอพอโลยี${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {K} .}$

เซตย่อยของเรียกว่ามีขอบเขตแบบฟอน นอยมันน์หรือเรียกสั้น ๆ ว่ามีขอบเขตในถ้าเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันต่อไปนี้ข้อใดข้อหนึ่งเป็นจริง: ${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

1. นิยาม : สำหรับทุกย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดจะมีจำนวนจริงอยู่จำนวนหนึ่งซึ่ง^{[หมายเหตุ 1 ]}สำหรับสเกลาร์ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ^{[ 1 ]}${\displaystyle V}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle B\subseteq sV}$${\displaystyle s}$${\displaystyle |s|\geq r.}$
   • นี่คือคำจำกัดความที่จอห์น ฟอน นอยมันน์ นำเสนอ ในปี พ.ศ. 2478 ^{[ 1 ]}
2. ${\displaystyle B}$ถูกดูดซับโดยทุกย่านใกล้เคียงของแหล่งกำเนิด^{[ 2 ]}
3. สำหรับทุกย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิด จะมีค่าสเกลาร์อยู่ค่าหนึ่งซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขที่ว่า${\displaystyle V}$${\displaystyle s}$${\displaystyle B\subseteq sV.}$
4. สำหรับทุกย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดจะมีค่าจริงอยู่ค่าหนึ่งซึ่งสำหรับค่าสเกลาร์ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ^{[ 1 ]}${\displaystyle V}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle sB\subseteq V}$${\displaystyle s}$${\displaystyle |s|\leq r.}$
5. สำหรับทุกย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดจะมีจำนวนจริงอยู่จำนวนหนึ่งซึ่งสำหรับจำนวนจริงทั้งหมด^{[ 3 ]}${\displaystyle V}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle tB\subseteq V}$${\displaystyle 0<t\leq r.}$
6. ข้อความใดข้อความหนึ่งในข้อความ (1) ถึง (5) ข้างต้น แต่ให้แทนที่คำว่า "ย่าน" ด้วยคำใดคำหนึ่งต่อไปนี้: " ย่าน ที่สมดุล " "ย่านที่สมดุลแบบเปิด" "ย่านที่สมดุลแบบปิด" "ย่านแบบเปิด" "ย่านแบบปิด"
   • เช่น ข้อความ (2) อาจกลายเป็น: มีขอบเขตก็ต่อเมื่อถูกดูดซับโดย ย่านใกล้เคียง ที่สมดุล ทุกแห่ง ของจุดกำเนิด^{[ 1 ]}${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$
   • ถ้าเป็นพื้นผิวที่มีลักษณะนูนเฉพาะที่ ก็สามารถเพิ่มคำคุณศัพท์ "นูน" เข้าไปในตัวเลือกทั้ง 5 ตัวนี้ได้เช่นกัน${\displaystyle X}$
7. สำหรับลำดับของสเกลาร์ทุกตัวที่ลู่เข้าสู่และลำดับทุกตัวในลำดับที่ลู่เข้าสู่ใน^{[ 1 ]}${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},\ldots }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots }$${\displaystyle B,}$${\displaystyle s_{1}b_{1},s_{2}b_{2},s_{3}b_{3},\ldots }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X.}$
   • นี่คือคำจำกัดความของ "จำกัด" ที่Andrey Kolmogorovใช้ในปี พ.ศ. 2477 ซึ่งเหมือนกับคำจำกัดความที่Stanisław MazurและWładysław Orlicz นำเสนอ ในปี พ.ศ. 2476 สำหรับ TVS ที่สามารถวัดได้ Kolmogorov ใช้คำจำกัดความนี้เพื่อพิสูจน์ว่า TVS เป็นแบบกึ่งนอร์มได้ก็ต่อเมื่อมีบริเวณใกล้เคียงนูนที่จำกัดของจุดกำเนิด^{[ 1 ]}
8. สำหรับทุกลำดับในลำดับจะลู่เข้าสู่ใน^{[ 4 ]}${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots }$${\displaystyle B,}$${\textstyle \left({\tfrac {1}{i}}b_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X.}$
9. เซตย่อย ที่นับได้ทุกเซตของ นั้นมีขอบเขต (ตามเงื่อนไขที่กำหนดอื่นใดนอกเหนือจากเงื่อนไขนี้) ^{[ 1 ]}${\displaystyle B}$

หากพิจารณาจากพื้นที่ใกล้เคียงเป็น เกณฑ์ ณ จุดเริ่มต้น รายการนี้อาจขยายเพิ่มเติมเพื่อรวมถึง: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$

10. ข้อความใดข้อความหนึ่งในข้อ (1) ถึง (5) ข้างต้น แต่จำกัดเฉพาะละแวกบ้านที่เป็นของ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
    • เช่น ข้อความ (3) อาจกลายเป็น: สำหรับทุกๆจะมีสเกลาร์อยู่ตัวหนึ่งซึ่ง${\displaystyle V\in {\คณิตศาสตร์ {B}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle B\subseteq sV.}$

ถ้าเป็น ปริภูมิ เว้าเฉพาะที่ซึ่งมีโทโพโลยีที่กำหนดโดยตระกูลของเซมิ-นอร์ม ต่อเนื่อง รายการนี้อาจขยายให้รวมถึง: ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

11. ${\displaystyle p(B)}$มีขอบเขตสำหรับทั้งหมด^{[ 1 ]}${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}.}$
12. มีลำดับของสเกลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์อยู่ซึ่งสำหรับลำดับทุกลำดับในลำดับนั้นจะมีขอบเขตใน(ตามเงื่อนไขที่กำหนดอื่นใดนอกเหนือจากเงื่อนไขนี้) ^{[ 1 ]}${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},\ldots }$${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots }$${\displaystyle B,}$${\displaystyle b_{1}s_{1},b_{2}s_{2},b_{3}s_{3},\ldots }$${\displaystyle X}$
13. สำหรับทุกค่าล้วนมีขอบเขต (ตามเงื่อนไขกำหนดใดๆ นอกเหนือจากเงื่อนไขนี้) ในปริภูมิกึ่งบรรทัดฐาน${\displaystyle p\in {\mathcal {P}},}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (X,p).}$
14. B มีขอบเขตอย่างอ่อน กล่าวคือ ฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องทุกตัวมีขอบเขตบน B ^{[ 5 ]}

ถ้าเป็นปริภูมิบรรทัดฐานที่มีบรรทัดฐาน (หรือโดยทั่วไปแล้ว ถ้าเป็นปริภูมิกึ่งบรรทัดฐานและเป็นเพียงกึ่งบรรทัดฐาน ) ^{[หมายเหตุ 2 ]}รายการนี้อาจขยายออกไปเพื่อรวมถึง: ${\displaystyle X}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \|\cdot \|}$

14. ${\displaystyle B}$เป็น เซตย่อย ที่มีขอบเขตตาม บรรทัดฐาน ของตามคำจำกัดความ หมายความว่ามีจำนวนจริงอยู่จำนวนหนึ่งซึ่งสำหรับทุก^{[ 1 ]}${\displaystyle (X,\|\cdot \|).}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle \|b\|\leq r}$${\displaystyle b\in B.}$
15. ${\displaystyle \sup _{b\in B}\|b\|<\infty .}$
    • ดังนั้น ถ้าเป็นแผนที่เชิงเส้นระหว่างปริภูมิที่มีบรรทัดฐาน (หรือกึ่งบรรทัดฐาน) สองปริภูมิ และถ้าเป็นลูกบอลหน่วยปิด (หรือเปิด) ในที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด แล้วเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขต (ซึ่งหมายความว่าบรรทัดฐานของตัวดำเนินการ นั้น มีค่าจำกัด) ก็ต่อเมื่อภาพของลูกบอลนี้ภายใต้เป็นเซตย่อยที่มีขอบเขตตามบรรทัดฐานของ${\displaystyle L:(X,\|\cdot \|)\to (Y,\|\cdot \|)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \|L\|:=\sup _{b\in B}\|L(b)\|<\infty }$${\displaystyle L(B)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle (Y,\|\cdot \|).}$
16. ${\displaystyle B}$เป็นเซตย่อยของลูกบอล (เปิดหรือปิด) บางลูก^{[หมายเหตุ 3 ]}
    • ลูกบอลนี้ไม่จำเป็นต้องอยู่ตรงกลางที่จุดกำเนิด แต่รัศมีของมันต้องเป็นค่าบวกและมีค่าจำกัด (ตามปกติ)

ถ้าเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของ TVS แล้ว รายการนี้อาจขยายเพิ่มเติมเพื่อรวมถึง: ${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$

17. ${\displaystyle B}$บรรจุอยู่ในการปิดของ^{[ 1 ]}${\displaystyle \{0\}.}$
    • กล่าวอีกนัยหนึ่ง ปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของจะมีขอบเขตก็ต่อเมื่อมันเป็นเซตย่อยของ (ปริภูมิเวกเตอร์)${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$
    • โปรดจำไว้ว่าจะเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟก็ต่อเมื่อปิดในดังนั้น ปริภูมิย่อยเวกเตอร์ที่มีขอบเขตเพียงแห่งเดียวของปริภูมิเวกเตอร์เฮาส์ดอร์ฟคือ${\displaystyle X}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \{0\}.}$

เซตย่อยที่ไม่ถูกจำกัดขอบเขต เรียกว่าเซต ไร้ขอบเขต

กลุ่มของเซตที่มีขอบเขตทั้งหมดบนปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีเรียกว่าบอร์นโลยีของฟอน นอยมันน์หรือบอร์นโลยี ( แบบแคนอนิก ) ของ${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

ระบบพื้นฐานหรือระบบหลักของเซตที่มีขอบเขตของคือเซตของเซตย่อยที่มีขอบเขตของโดยที่เซตย่อยที่มีขอบเขตทุกเซตของเป็นเซตย่อยของบางเซต^{[ 1 ]} เซตของเซตย่อยที่มีขอบเขตทั้งหมดของก่อให้เกิดระบบพื้นฐานของเซตที่มีขอบเขตของ อย่างชัดเจน${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

ใน TVS นูนเฉพาะที่ ใดๆ เซตของดิสก์ ปิดและมีขอบเขต จะเป็นฐานของเซตที่มีขอบเขต^{[ 1 ]}

หากไม่ได้ระบุไว้เป็นอย่างอื่นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) ไม่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟหรือปริภูมิเว้าเฉพาะที่

• เซตจำกัดมีขอบเขต^{[ 1 ]}
• เซตย่อย ที่มีขอบเขตทั้งหมดทุกเซตของ TVS จะมีขอบเขต^{[ 1 ]}
• เซตกระชับสัมพัทธ์ ทุก เซตในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี ล้วนมีขอบเขต หากปริภูมินั้นมีทอพอโลยีแบบอ่อน ข้อความกลับกันก็จะเป็นจริงเช่นกัน
• เซตของจุดในลำดับโคชีมีขอบเขตจำกัด แต่เซตของจุดในโครงข่ายโคชี ไม่จำเป็นต้องมีขอบเขตจำกัด
• การปิดของจุดกำเนิด (หมายถึงการปิดของเซต) จะเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ปิดที่มีขอบเขตเสมอ เซตนี้เป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ที่มีขอบเขตที่ใหญ่ที่สุดเพียงหนึ่งเดียว (เมื่อพิจารณาจากการรวมเซต) ของโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นเซตย่อยที่มีขอบเขตของแล้ว ก็เป็นเซตย่อยที่มีขอบเขตของ เช่นกัน${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$${\displaystyle \,\subseteq \,}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B+\operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$

เซตที่ไม่มีขอบเขต

เซตที่ไม่ถูกจำกัดขอบเขต เรียกว่า เซตไร้ ขอบเขต

ปริภูมิย่อยเวกเตอร์ใดๆ ของ TVS ที่ไม่ได้บรรจุอยู่ในส่วนปิดของ นั้นจะไม่มีขอบเขต ${\displaystyle \{0\}}$

มีปริภูมิ Fréchet ที่มีเซตย่อยที่มีขอบเขตและปริภูมิย่อยเวกเตอร์หนาแน่นซึ่งไม่ บรรจุ อยู่ในการปิด (ใน) ของเซตย่อยที่มีขอบเขตใดๆ ของ^{[ 6 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle B}$${\displaystyle M}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M.}$

• ใน TVS ใดๆยูเนียน จำกัด ผลรวมมินคอฟสกีจำกัดตัวคูณสเกลาร์ การแปล เซตย่อยการปิดภายในและเปลือกสมดุลของเซตที่มีขอบเขตจะถูกจำกัดอีกครั้ง^{[ 1 ]}
• ในTVS ที่เป็นนูนเฉพาะที่ ใดๆ เปลือกนูน (เรียกอีกอย่างว่าซองนูน ) ของเซตที่มีขอบเขตก็จะมีขอบเขตเช่นกัน^{[ 7 ]} อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้อาจเป็นเท็จหากปริภูมิไม่เป็นนูนเฉพาะที่ เนื่องจาก ปริภูมิ Lp (ที่ไม่เป็นนูนเฉพาะที่) ไม่มีเซตย่อยนูนเปิดที่ไม่เป็นศูนย์^{[ 7 ]}${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle 0<p<1}$
• ภาพของเซตที่มีขอบเขตภายใต้แผนที่เชิงเส้นต่อเนื่องคือเซตย่อยที่มีขอบเขตของโคโดเมน^{[ 1 ]}
• เซตย่อยของผลคูณ (คาร์ทีเซียน) ใดๆของ TVS จะมีขอบเขตก็ต่อเมื่อภาพของเซตย่อยนั้นภายใต้การฉายภาพพิกัดทุกแบบมีขอบเขต
• ถ้าและเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์เชิงโทโพโลยีของแล้วจะมีขอบเขตในก็ต่อเมื่อมีขอบเขตใน^{[ 1 ]}${\displaystyle S\subseteq X\subseteq Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle Y.}$
  • กล่าวอีกนัยหนึ่ง เซตย่อยจะมีขอบเขตในก็ต่อเมื่อมีขอบเขตในทุก (หรือเทียบเท่า ในบางส่วน) ซูเปอร์สเปซเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีของ${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะที่จะมีบริเวณใกล้เคียงศูนย์ที่มีขอบเขตจำกัดก็ต่อเมื่อทอพอโลยีของปริภูมินั้นสามารถกำหนดได้ด้วยเซมิ-นอร์มเพียง ตัวเดียว

โพลาร์ของเซตที่มีขอบเขตคือเซตที่นูนอย่างสมบูรณ์และ ดูดซับ ได้

โดยใช้คำจำกัดความของเซตที่มีขอบเขตสม่ำเสมอที่ระบุไว้ด้านล่างเงื่อนไขการนับได้ของ Mackeyสามารถกล่าวใหม่ได้ดังนี้: ถ้าเป็นเซตย่อยที่มีขอบเขตในปริภูมิเมตริกซ์แบบนูนเฉพาะที่แล้ว จะมีลำดับของจำนวนจริงบวกอยู่ ซึ่งทำให้ เป็นเซตที่มีขอบเขตสม่ำเสมอกล่าวคือ เมื่อกำหนดตระกูลของเซตที่มีขอบเขตที่นับได้ในปริภูมิเมตริกซ์แบบนูนเฉพาะที่แล้ว เป็นไปได้ที่จะปรับขนาดแต่ละเซตด้วยจำนวนจริงบวกของตัวเองเพื่อให้เซตเหล่านั้นมีขอบเขตสม่ำเสมอ ${\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\ldots }$${\displaystyle t_{1},t_{2},t_{3},\ldots }$${\displaystyle t_{1}B_{1},\,t_{2}B_{2},\,t_{3}B_{3},\ldots }$

กลุ่มของเซต ย่อยในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีเรียกว่า${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle Y}$มีขอบเขตสม่ำเสมอใน ก็ต่อเมื่อมีเซตย่อยที่มีขอบเขตของอยู่ ซึ่งเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อผล รวมของเซตย่อยนั้นมีขอบเขตใน ในกรณีของที่มีบรรทัดฐาน(หรือกึ่งบรรทัดฐาน) กลุ่มของเซตจะมีขอบเขตสม่ำเสมอ ก็ต่อเมื่อผลรวมของกลุ่มนั้นมีขอบเขตตามบรรทัดฐานหมายความว่ามีจำนวนจริง อยู่บางค่า ซึ่งสำหรับทุกหรือเทียบเท่า ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle Y,}$${\displaystyle D}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle B\subseteq D\quad {\text{ สำหรับทุก }}B\in {\mathcal {B}},}$$$${\displaystyle \cup {\mathcal {B}}~:=~\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B}$$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \cup {\mathcal {B}}}$${\displaystyle M\geq 0}$${\textstyle \|b\|\leq M}$${\displaystyle b\in \cup {\mathcal {B}},}$${\textstyle \sup _{\stackrel {b\in B}{B\in {\mathcal {B}}}}\|b\|<\infty .}$

กล่าวกันว่าชุดแผนที่จากถึง คือ${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$มีขอบเขตสม่ำเสมอในเซตที่กำหนด หากตระกูลนั้นมีขอบเขตสม่ำเสมอซึ่งตามคำนิยามหมายความว่ามีเซตย่อยที่มีขอบเขตของเช่นนั้นหรือเทียบเท่ากับ ก็ต่อเมื่อเป็นเซตย่อยที่มีขอบเขตของ เซตของแผนที่เชิงเส้นระหว่างปริภูมิที่มีบรรทัดฐาน (หรือกึ่งบรรทัดฐาน) สองปริภูมิและมีขอบเขตสม่ำเสมอในลูกบอลเปิดบางลูก (หรือเทียบเท่ากับทุกลูก) (และ/หรือลูกบอลปิดที่ไม่เสื่อมสภาพ) ในก็ต่อเมื่อบรรทัดฐานของตัวดำเนินการมีขอบเขตสม่ำเสมอ นั่นคือ ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle C\subseteq X}$${\displaystyle H(C):=\{h(C):h\in H\}}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle D}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle h(C)\subseteq D{\text{ สำหรับทุก }}h\in H,}$${\textstyle \cup H(C):=\bigcup _{h\in H}h(C)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\textstyle \sup _{h\in H}\|h\|<\infty .}$

เนื่องจากเซตย่อยที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียวของเป็นเซตย่อยที่มีขอบเขตด้วย ดังนั้น ถ้าเป็นเซตของตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่องระหว่างปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี สองปริภูมิ และ(ไม่จำเป็นต้องเป็น ปริภูมิ เฮาส์ดอร์ฟหรือปริภูมิเว้าเฉพาะที่) แล้ววงโคจรของทุกตัว ดำเนินการเชิงเส้น ต่อ เนื่อง จะเป็นเซตย่อยที่มีขอบเขตของ${\displaystyle X}$${\displaystyle H\subseteq L(X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\textstyle H(x):=\{h(x):h\in H\}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle Y.}$

นิยามของเซตที่มีขอบเขตสามารถขยายไปสู่โมดูลเชิงทอพอโลยีได้ เซตย่อยของโมดูลเชิงทอพอโลยีเหนือวงแหวนเชิงทอพอโลยีจะมีขอบเขตก็ต่อเมื่อสำหรับย่านใกล้เคียงใดๆของจะมีย่านใกล้เคียงของอยู่เช่นนั้น${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle N}$${\displaystyle 0_{M}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle 0_{R}}$${\displaystyle wA\subseteq B.}$

• ปริภูมิบอร์โนโลจิคัล  – ปริภูมิที่ตัวดำเนินการที่มีขอบเขตเป็นแบบต่อเนื่อง
• เซตที่ดูดซับเซตย่อยที่มีขอบเขต  ใดๆ ก็ได้ – เซตที่สามารถดูดซับเซตย่อยที่มีขอบเขตใดๆ ก็ได้
• ฟังก์ชันที่มีขอบเขต  – ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่มีเซตของค่าจำกัด
• ตัวดำเนินการแบบมีขอบเขต  – การแปลงเชิงเส้นชนิดหนึ่ง
• จุดล้อมรอบ  – แนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับเซตย่อยของปริภูมิเวกเตอร์
• พื้นที่ขนาดกะทัดรัด  – ประเภทของพื้นที่ทางคณิตศาสตร์
• เกณฑ์ความมีบรรทัดฐานของ Kolmogorov  – การกำหนดลักษณะของพื้นที่ที่มีบรรทัดฐาน
• ขอบเขตท้องถิ่น
• พื้นที่ที่มีขอบเขตอย่างสมบูรณ์  – การขยายแนวคิดเรื่องความกะทัดรัด

• Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี: ทฤษฎีที่ไม่มีเงื่อนไขความนูน . บันทึกการบรรยายทางคณิตศาสตร์. เล่มที่ 639. เบอร์ลิน นิวยอร์ก: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003 .
• เบอร์เบเรียน, สเตอร์ลิง เค. (1974). บรรยายเรื่องการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและทฤษฎีตัวดำเนินการ . ตำราระดับบัณฑิตศึกษาทางคณิตศาสตร์. เล่มที่ 15. นิวยอร์ก: สปริงเกอร์. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401 .
• บูร์บากิ, นิโคลัส (1987) [1981]. ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี: บทที่ 1–5 องค์ประกอบทางคณิตศาสตร์ . แปลโดย Eggleston, HG; มาดาน เบอร์ลิน นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-แวร์แลกไอเอสบีเอ็น 3-540-13627-4. OCLC  17499190 .
• คอนเวย์, จอห์น บี. (1990). หลักสูตรการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน . ตำราเรียนคณิตศาสตร์ระดับบัณฑิตศึกษา . เล่มที่ 96 (ฉบับที่ 2). นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-เวอร์แลก . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908 .
• เอ็ดเวิร์ดส์, โรเบิร์ต อี. (1995). การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน: ทฤษฎีและการประยุกต์ใช้ . นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์โดเวอร์. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138 .
• Grothendieck, Alexander (1973). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี แปลโดย Chaljub, Orlando. นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098 .
• จาร์โชว, ฮันส์ (1981) ช่องว่างนูนเฉพาะที่ สตุ๊ตการ์ท : บีจี ทอยบเนอร์ไอเอสบีเอ็น 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .
• เคอเท, กอตต์ฟรีด (1983) [1969] ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี I กรุนเดิลเริน เดอร์ มาเทมาติเชน วิสเซนชาฟเทิน ฉบับที่ 159. แปลโดย Garling, DJH New York: Springer Science & Business Media ไอเอสบีเอ็น 978-3-642-64988-2. MR  0248498 . OCLC  840293704 .
• นาริซี, ลอว์เรนซ์; เบคเกนสไตน์, เอ็ดเวิร์ด (2011). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). โบคา ราตัน, ฟลอริดา: สำนักพิมพ์ CRC. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Robertson, AP; WJ Robertson (1964). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . Cambridge Tracts in Mathematics. เล่มที่ 53. สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . หน้า  44–46 .
• รูดิน, วอลเตอร์ (1991). การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน . ชุดนานาชาติในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ เล่มที่ 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: แมคกรอว์-ฮิลล์ วิทยาศาสตร์/วิศวกรรม/คณิตศาสตร์ . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . Cambridge Tracts in Mathematics . เล่มที่ 53. เคมบริดจ์ ประเทศอังกฤษ: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250 .
• Schaefer, HH (1970). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . GTM . เล่ม 3. Springer-Verlag . หน้า  25–26 . ISBN 0-387-05380-8.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โล ยีGTMเล่ม 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Springer New York. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• วิลานสกี, อัลเบิร์ต (2013). วิธีการสมัยใหม่ในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . ไมเนโอลา, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์โดเวอร์ อิงค์. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .