ในกลศาสตร์ควอนตัมกลุ่มกึ่งมาร์คอฟควอนตัมอธิบายพลวัตในระบบควอนตัมแบบเปิดมาร์คอ ฟ คำจำกัดความเชิงสัจพจน์ของต้นแบบของกลุ่มกึ่งมาร์คอฟควอนตัมได้รับการแนะนำครั้งแรกโดยAM Kossakowski ^{[ 1 ]}ในปี 1972 และต่อมาได้รับการพัฒนาโดย V. Gorini, AM Kossakowski , ECG Sudarshan ^{[ 2 ]}และGöran Lindblad ^{[ 3 ]}ในปี 1976 ^{[ 4 ]}

ระบบควอนตัมในอุดมคติไม่สมจริง เพราะมันควรจะแยกตัวออกจากสิ่งแวดล้อมโดยสิ้นเชิง ในขณะที่ในทางปฏิบัติ มันได้รับอิทธิพลจากการเชื่อมต่อกับสิ่งแวดล้อม ซึ่งโดยทั่วไปจะมีจำนวนองศาอิสระจำนวนมาก (ตัวอย่างเช่นอะตอมที่ทำปฏิกิริยากับสนามรังสีโดยรอบ) คำอธิบายระดับจุลภาคที่สมบูรณ์ขององศาอิสระของสิ่งแวดล้อมนั้นซับซ้อนเกินไป ดังนั้นจึงต้องมองหาคำอธิบายที่ง่ายกว่าของพลวัตของระบบเปิด ในหลักการแล้ว ควรศึกษา พลวัตแบบ เอกภาพของระบบทั้งหมด กล่าวคือ ระบบและสิ่งแวดล้อม เพื่อให้ได้ข้อมูลเกี่ยวกับระบบที่ลดขนาดลงโดยการหาค่าเฉลี่ยของตัวแปรที่เหมาะสมเหนือองศาอิสระของสิ่งแวดล้อม ในการจำลองผลกระทบของการสูญเสียพลังงานเนื่องจากการปฏิสัมพันธ์กับสิ่งแวดล้อม สมการชโรดิงเกอร์จะถูกแทนที่ด้วยสมการหลัก ที่เหมาะสม เช่นสมการลินด์แบลดหรือสมการชโรดิงเกอร์เชิงสุ่ม ซึ่งองศาอิสระอนันต์ของสิ่งแวดล้อมจะถูก "สังเคราะห์" เป็นสัญญาณรบกวนควอนตัมเพียง ไม่กี่ตัว ในทางคณิตศาสตร์ วิวัฒนาการของเวลาในระบบควอนตัมแบบเปิดมาร์คอฟจะไม่สามารถอธิบายได้ด้วย กลุ่ม แผนที่เอกภาพแบบพารามิเตอร์เดียว อีกต่อไป แต่จำเป็นต้องแนะนำ เซมิกรุปมาร์คอฟควอนตัม เข้า มา

โดยทั่วไปแล้ว เซมิกรุปพลวัตควอนตัมสามารถกำหนดได้บนพีชคณิตฟอนนอยมันน์ดังนั้นมิติของระบบจึงอาจเป็นอนันต์ ให้เป็นพีชคณิตฟอนนอยมันน์ที่กระทำบนปริภูมิฮิลเบิร์ต เซมิกรุปพลวัตควอนตัมบนคือชุดของตัวดำเนินการที่มีขอบเขตบนซึ่งแสดงด้วยโดยมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ^{[ 5 ]}${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}:=\left({\mathcal {T}}_{t}\right)_{t\geq 0}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{0}\left(a\right)=a}$, ,${\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}}}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t+s}\left(a\right)={\mathcal {T}}_{t}\left({\mathcal {T}}_{s}\left(a\right)\right)}$, , ,${\displaystyle \forall s,t\geq 0}$${\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}}}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}}$เป็นผลดีอย่างยิ่งสำหรับทุกคน${\displaystyle t\geq 0}$
4. ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}}$เป็นตัวดำเนินการต่อเนื่องแบบอ่อนในสำหรับทุก${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle t\geq 0}$
5. สำหรับทุกค่าแผนที่นี้มีความต่อเนื่องเมื่อเทียบกับโทโพโลยีแบบอ่อนบน${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle t\mapsto {\mathcal {T}}_{t}\left(a\right)}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

ภายใต้เงื่อนไขของความเป็นบวกอย่างสมบูรณ์ ตัวดำเนินการจะมีความต่อเนื่องแบบอ่อนก็ต่อเมื่อเป็นแบบปกติ^{[ 5 ]}โปรดจำไว้ว่า เมื่อให้แทนกรวยนูนขององค์ประกอบบวกในตัวดำเนินการบวกจะเรียกว่าเป็นแบบปกติ ถ้าสำหรับเน็ต ที่เพิ่มขึ้นทุกตัว ในที่มีขอบเขตบนน้อยที่สุดในจะมี ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle T:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha }}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}}$

${\displaystyle \lim _{\alpha }\langle u,(Tx_{\alpha })u\rangle =\sup _{\alpha }\langle u,(Tx_{\alpha })u\rangle =\langle u,(Tx)u\rangle }$

สำหรับแต่ละในซับแมนิโฟลด์เชิงเส้น ที่มีความหนาแน่น ของ บรรทัดฐานของ${\displaystyle u}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

กล่าวได้ว่า เซมิกรุปพลวัตควอนตัม เป็นแบบรักษาเอกลักษณ์ (หรือแบบอนุรักษ์ หรือแบบมาร์โคเวียน) ถ้า${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}\left({\boldsymbol {1}}\right)={\boldsymbol {1}},\quad \forall t\geq 0,}$

1

โดยที่องค์ประกอบเอกลักษณ์คือ เพื่อความเรียบง่ายเรียกว่าเซมิกรุปมาร์คอฟควอนตัม สังเกตว่า คุณสมบัติการรักษาเอกลักษณ์และความเป็นบวก^ของบ่งบอกว่าสำหรับทุกและจากนั้นเป็นเซมิกรุปการหดตัว [ ^{6 ]}${\displaystyle {\boldsymbol {1}}\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}}$${\displaystyle \left\|{\mathcal {T}}_{t}\right\|=1}$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

เงื่อนไข ( 1 ) มีบทบาทสำคัญไม่เพียงแต่ในการพิสูจน์ความเป็นเอกลักษณ์และความเป็นเอกภาพของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มควอนตัม ของ ฮัดสัน - ปาร์ทาซาราธี เท่านั้น แต่ยังรวมถึงการอนุมานเงื่อนไขความสม่ำเสมอสำหรับเส้นทางของกระบวนการมาร์คอฟแบบคลาสสิกในมุมมองของทฤษฎีตัวดำเนินการด้วย^{[ 7 ]}

ตัวสร้างอนันต์ของเซมิกรุปพลวัตควอนตัมคือตัวดำเนินการที่มีโดเมนโดยที่ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \operatorname {Dom} ({\mathcal {L}})}$

${\displaystyle \operatorname {Dom} \left({\mathcal {L}}\right):=\left\{a\in {\mathcal {A}}~\left\vert ~\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {{\mathcal {T}}_{t}(a)-a}{t}}=b{\text{ in }}\sigma {\text{-weak topology}}\right.\right\}}$

และ. ${\displaystyle {\mathcal {L}}(a):=b}$

ถ้าเซมิกรุปมาร์คอฟควอนตัมมีความต่อเนื่องสม่ำเสมอในการบวก ซึ่งหมายความว่า แล้ว ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0^{+}}\left\|{\mathcal {T}}_{t}-{\mathcal {T}}_{0}\right\|=0}$

• ตัวสร้างอนันต์จะเป็นตัวดำเนินการที่มีขอบเขตบนพีชคณิตฟอนนอยมันน์^ที่มีโดเมน[ ^{8 ]}${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \mathrm {Dom} ({\mathcal {L}})={\mathcal {A}}}$
• แผนที่จะต่อเนื่องโดยอัตโนมัติสำหรับทุกๆ^{[ 8 ]}${\displaystyle t\mapsto {\mathcal {T}}_{t}a}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$
• ตัวสร้างอนันต์เล็กจะมีความต่อเนื่องแบบอ่อน ด้วย ^{[ 9 ]}${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \sigma }$

ภายใต้สมมติฐานดังกล่าว ตัวสร้างอนันต์มีลักษณะเฉพาะ^{[ 3 ]}${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(a\right)=i\left[H,a\right]+\sum _{j}\left(V_{j}^{\dagger }aV_{j}-{\frac {1}{2}}\left\{V_{j}^{\dagger }V_{j},a\right\}\right)}$

โดยที่, , , และเป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองยิ่งไปกว่านั้น ข้างต้นหมายถึงตัวสลับตำแหน่งและ หมายถึง ตัวผกผันตำแหน่ง ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle V_{j}\in {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \sum _{j}V_{j}^{\dagger }V_{j}\in {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$${\displaystyle H\in {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \left[\cdot ,\cdot \right]}$${\displaystyle \left\{\cdot ,\cdot \right\}}$

• โทโพโลยีของตัวดำเนินการ  – โทโพโลยีบนตัวดำเนินการในปริภูมิฮิลเบิร์ต
• พีชคณิตฟอนนอยมันน์  – พีชคณิต * ของตัวดำเนินการที่มีขอบเขตบนปริภูมิฮิลเบิร์ต
• เซมิกรุป C0  – การขยายความทั่วไปของฟังก์ชันเลขชี้กำลังPages displaying short descriptions of redirect targets
• เซมิกรุปการหดตัว  – การขยายความทั่วไปของฟังก์ชันเลขชี้กำลังPages displaying short descriptions of redirect targets
• สมการควอนตัมมาสเตอร์แบบลิ นด์เบลเดียน  -มาร์โคเวียนสำหรับเมทริกซ์ความหนาแน่น (สถานะผสม)
• ห่วงโซ่มาร์คอฟ  – กระบวนการสุ่มที่ไม่ขึ้นอยู่กับประวัติในอดีต
• กลศาสตร์ควอนตัม  – การอธิบายคุณสมบัติทางกายภาพในระดับอะตอมและอนุอะตอม
• ระบบควอนตัมแบบเปิด  – ระบบกลศาสตร์ควอนตัมที่ปฏิสัมพันธ์กับสภาพแวดล้อมทางกลศาสตร์ควอนตัม