ใน สาขา คณิตศาสตร์ของ การ วิเคราะห์ เชิงฟังก์ชันมีโทโพโลยี มาตรฐานหลายแบบ ที่กำหนดให้กับพีชคณิตB( X )ของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตบนปริภูมิบานาคX

ให้เป็นลำดับของตัวดำเนินการเชิงเส้นบนปริภูมิบานาคพิจารณาข้อความที่ว่าลู่เข้าสู่ตัวดำเนินการบางตัวบน ข้อความนี้อาจมีความหมายได้หลายอย่าง: ${\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$

• ถ้าค่าบรรทัดฐานของตัวดำเนินการของ(ค่าสูงสุดของโดยที่ครอบคลุมทั่วลูกบอลหน่วยใน) ลู่เข้าสู่เราจะกล่าวว่าในโทโพโลยีตัวดำเนินการเอกรูป${\displaystyle \|T_{n}-T\|\to 0}$${\displaystyle T_{n}-T}$${\displaystyle \|T_{n}x-Tx\|_{X}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle T_{n}\to T}$
• ถ้าสำหรับทั้งหมดเราจะกล่าวว่าในโทโพโลยีตัวดำเนินการที่แข็งแกร่ง${\displaystyle T_{n}x\to Tx}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle T_{n}\to T}$
• สุดท้ายนี้ สมมติว่าสำหรับทุก ๆเรามีในโทโพโลยีแบบอ่อนของซึ่งหมายความว่าสำหรับฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องทั้งหมดบนในกรณีนี้เรากล่าวว่าใน โทโพโล ยีตัวดำเนินการแบบอ่อน${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle T_{n}x\to Tx}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F(T_{n}x)\to F(Tx)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T_{n}\to T}$

นอกจากโทโพโลยีที่ใช้ข้างต้นแล้ว ยังมีโทโพโลยีอีกมากมายที่สามารถกำหนดได้บนB( X ) โดยส่วนใหญ่ในตอนแรกจะกำหนดได้เฉพาะเมื่อ X = Hเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต แม้ว่าในหลายกรณีจะมีรูปแบบทั่วไปที่เหมาะสมก็ตาม โทโพโลยีที่ระบุไว้ด้านล่างทั้งหมดเป็นแบบนูนเฉพาะที่ ซึ่งหมายความว่าโทโพโลยีเหล่านั้นถูกกำหนดโดยตระกูลของเซมิ-นอร์ม

ในทางวิเคราะห์ โทโพโลยีจะเรียกว่าแข็งแกร่งถ้ามีเซตเปิดจำนวนมาก และจะเรียกว่าอ่อนแอถ้ามีเซตเปิดจำนวนน้อย ดังนั้นโหมดการลู่เข้าที่สอดคล้องกันจึงเป็นแบบแข็งแกร่งและแบบอ่อนแอตามลำดับ (ในทางโทโพโลยีที่แท้จริง คำเหล่านี้อาจสื่อความหมายตรงกันข้ามได้ ดังนั้นคำว่าแข็งแกร่งและอ่อนแอจึงถูกแทนที่ด้วยคำว่าละเอียดและหยาบตามลำดับ) แผนภาพทางด้านขวาสรุปความสัมพันธ์เหล่านี้ โดยมีลูกศรชี้จากแบบแข็งแกร่งไปยังแบบอ่อนแอ

ถ้าHเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต ปริภูมิเชิงเส้นของตัวดำเนินการปริภูมิฮิลเบิร์ตB( X ) จะมี พรีดวล (ที่ไม่ซ้ำกัน) ซึ่งประกอบด้วยตัวดำเนินการคลาสร่องรอย โดยที่คู่ของมันคือB ( X )เซมินอร์มp _w ( x )สำหรับwที่เป็นบวกในพรีดวลจะถูกกำหนดให้เป็น B( w , x ^* x ) ^1/2${\displaystyle B(H)_{*}}$

ถ้าBเป็นปริมาณเวกเตอร์ของแผนที่เชิงเส้นบนปริมาณเวกเตอร์Aแล้วσ( A , B )จะถูกนิยามให้เป็นโทโพโลยีที่อ่อนที่สุดบนAโดยที่สมาชิกทั้งหมดของBมีความต่อเนื่อง

• โทโพโลยีบรรทัดฐานหรือโทโพโลยีเอกรูปหรือโทโพโลยีตัวดำเนินการเอกรูปถูกกำหนดโดยบรรทัดฐานปกติ || x || บนB( H )ซึ่งมีความแข็งแกร่งกว่าโทโพโลยีอื่นๆ ทั้งหมดด้านล่าง
• โทโพโลยีแบบอ่อน (ของปริภูมิบานาค)คือσ(B( H ), B( H ) ^* )กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ โทโพโลยีที่อ่อนที่สุดที่ทำให้สมาชิกทั้งหมดของปริภูมิคู่B( H ) ^*มีความต่อเนื่อง มันคือโทโพโลยีแบบอ่อนบนปริภูมิบานาคB( H )มันแข็งแกร่งกว่าโทโพโลยีแบบอ่อนมากและโทโพโลยีตัวดำเนินการแบบอ่อน (คำเตือน: โทโพโลยีแบบอ่อนของปริภูมิบานาค โทโพโลยีตัวดำเนินการแบบอ่อน และโทโพโลยีแบบอ่อนมาก บางครั้งถูกเรียกว่าโทโพโลยีแบบอ่อน แต่จริงๆ แล้วมันแตกต่างกัน)
• โทโพโลยี Mackeyหรือโทโพโลยี Arens-Mackeyเป็นโทโพโลยีแบบนูนเฉพาะที่ที่แข็งแกร่งที่สุดบนB( H )โดยที่คู่ของโทโพโลยีคือB( H ) _*และยังเป็นโทโพโลยีการลู่เข้าแบบเอกรูปบนBσ(B( H ) _* , เซตย่อยนูน B( H ) -compact ของB( H ) _*ด้วย มันแข็งแกร่งกว่าโทโพโลยีทั้งหมดด้านล่าง
• โทโพโลยี σ -strong- ^*หรือโทโพโลยีultrastrong- ^*คือโทโพโลยีที่อ่อนที่สุดแต่แข็งแกร่งกว่าโทโพโลยี ultrastrong โดยที่แผนที่ผกผันยังคงต่อเนื่อง โทโพโลยีนี้ถูกกำหนดโดยตระกูลของเซมิ-นอร์มp _w ( x )และp _w ( x ^* )สำหรับองค์ประกอบบวกwของB( H ) _*มันแข็งแกร่งกว่าโทโพโลยีทั้งหมดด้านล่าง
• โทโพโลยี σ-strongหรือโทโพโลยีอัลตร้าสตรองหรือโทโพโลยีที่แข็งแกร่งที่สุดหรือ โทโพ โลยีตัวดำเนินการที่แข็งแกร่งที่สุดถูกกำหนดโดยตระกูลของเซมิ-นอร์มp _w ( x )สำหรับองค์ประกอบบวกwของB( H ) _*มันแข็งแกร่งกว่าโทโพโลยีทั้งหมดด้านล่าง ยกเว้นโทโพโลยี strong ^*คำเตือน: แม้จะมีชื่อว่า "โทโพโลยีที่แข็งแกร่งที่สุด" แต่มันก็อ่อนแอกว่าโทโพโลยีนอร์ม)
• โทโพโลยีแบบ σ-อ่อนหรือโทโพโลยีแบบอ่อนมาก^หรือโทโพโลยีตัวดำเนินการแบบอ่อน -*หรือ โทโพโลยีแบบอ่อน-* หรือโทโพโลยีแบบอ่อนหรือ โทโพโลยี σ(B( H ), B( H ) _* )ถูกกำหนดโดยตระกูลของเซมิ-นอร์ม |( w , x )| สำหรับองค์ประกอบwของB( H ) _*มันแข็งแกร่งกว่าโทโพโลยีตัวดำเนินการแบบอ่อน (คำเตือน: โทโพโลยีของปริภูมิบานาคแบบอ่อน โทโพโลยีตัวดำเนินการแบบอ่อน และโทโพโลยีแบบอ่อนมาก บางครั้งถูกเรียกว่าโทโพโลยีแบบอ่อน แต่พวกมันแตกต่างกัน)
• โทโพโลยีตัวดำเนินการที่แข็งแกร่ง^*หรือโทโพโลยีที่แข็งแกร่ง^*ถูกกำหนดโดยเซมินอร์ม || x ( h )|| และ || x ^* ( h )|| สำหรับh ∈ Hมันแข็งแกร่งกว่าโทโพโลยีตัวดำเนินการที่แข็งแกร่งและอ่อนแอ
• โทโพโลยีตัวดำเนินการที่แข็งแกร่ง (SOT) หรือโทโพโลยีที่แข็งแกร่งถูกกำหนดโดยเซมิ-นอร์ม || x ( h )|| สำหรับh ∈ Hซึ่งแข็งแกร่งกว่าโทโพโลยีตัวดำเนินการที่อ่อนแอ
• โทโพโลยีตัวดำเนินการอ่อน (WOT) หรือโทโพโลยีอ่อนถูกกำหนดโดยเซมินอร์ม |( x ( h ₁ ), h ₂ )| สำหรับh ₁ , h ₂ ∈ H (คำเตือน: โทโพโลยีของปริภูมิบานาคอ่อน โทโพโลยีตัวดำเนินการอ่อน และโทโพโลยีอ่อนมาก บางครั้งถูกเรียกว่าโทโพโลยีอ่อน แต่จริงๆ แล้วแตกต่างกัน)

ฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องบนB( H )สำหรับโทโพโลยีแบบอ่อน แบบแข็ง และแบบแข็ง^* (ตัวดำเนินการ) นั้นเหมือนกัน และเป็นผลรวมเชิงเส้นจำกัดของฟังก์ชันเชิงเส้น (x h ₁ , h ₂ ) สำหรับh ₁ , h ₂ ∈ Hฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องบนB( H )สำหรับโทโพโลยีแบบอ่อนมาก แบบแข็งมาก แบบแข็งมาก^*และแบบ Arens-Mackey นั้นเหมือนกัน และเป็นองค์ประกอบของพรีดวลB ( H ) _*

ตามนิยามแล้ว ฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องในโทโพโลยีของบรรทัดฐานจะเหมือนกับฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องในโทโพโลยีของปริภูมิบานาคแบบอ่อน ปริภูมิคู่ขนานนี้เป็นปริภูมิขนาดใหญ่ที่มีองค์ประกอบที่ผิดปกติอยู่มากมาย

บนเซตที่มีขอบเขตตามบรรทัดฐานของB( H )โทโพโลยีแบบอ่อน (ตัวดำเนินการ) และแบบอ่อนมากเป็นพิเศษจะตรงกัน สามารถเห็นได้จากทฤษฎีบท Banach–Alaogluเป็นต้น ด้วยเหตุผลเดียวกัน โทโพโลยีแบบแข็งแกร่งมากเป็นพิเศษจึงเหมือนกับโทโพโลยีแบบแข็งแกร่งบนเซตย่อยที่มีขอบเขตตามบรรทัดฐานใดๆ ของB( H )เช่นเดียวกันกับโทโพโลยี Arens-Mackey โทโพโลยีแบบแข็งแกร่งมากเป็นพิเศษ^*และโทโพโลยี แบบแข็งแกร่ง ^*

ในปริภูมิเว้าเฉพาะที่ การปิดของเซตเว้าสามารถกำหนดลักษณะได้ด้วยฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่อง ดังนั้น สำหรับเซตย่อยเว้าKของB( H )เงื่อนไขที่Kปิดในโทโพโลยีแบบอัลต ร้าสตรอง ^*อัลตร้าสตรอง และอัลตร้าวีค ล้วนเทียบเท่ากัน และยังเทียบเท่ากับเงื่อนไขที่สำหรับทุกr > 0เซตKมีส่วนตัดปิดกับลูกบอลปิดรัศมีrในโทโพโลยีแบบสตรอง^*สตรอง หรือ อ่อน (ตัวดำเนินการ) ด้วย

โทโพโลยีแบบนอร์มสามารถกำหนดเมตริกได้ ส่วนโทโพโลยีอื่นๆ ไม่สามารถกำหนดเมตริกได้ อันที่จริงแล้วโทโพโลยีเหล่านั้นไม่สามารถเป็นเซตที่นับได้เป็นอันดับแรกอย่างไรก็ตาม เมื่อHเป็นเซตที่แยกได้ โทโพโลยีทั้งหมดข้างต้นจะสามารถกำหนดเมตริกได้เมื่อจำกัดอยู่ภายในทรงกลมหน่วย (หรือเซตย่อยใดๆ ที่มีขอบเขตตามนอร์ม)

โทโพโลยีที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุดคือ โทโพโลยีตัวดำเนินการแบบนอร์ม แบบเข้มแข็ง และแบบอ่อน โทโพโลยีตัวดำเนินการแบบอ่อนมีประโยชน์สำหรับการพิสูจน์ความกะทัดรัด เนื่องจากทรงกลมหน่วยมีความกะทัดรัดตามทฤษฎีบท Banach–Alaogluโทโพโลยีแบบนอร์มเป็นพื้นฐานเพราะทำให้B( H )เป็นปริภูมิ Banach แต่ก็เข้มแข็งเกินไปสำหรับหลายวัตถุประสงค์ ตัวอย่างเช่นB( H )ไม่สามารถแยกได้ในโทโพโลยีนี้ โทโพโลยีตัวดำเนินการแบบเข้มแข็งอาจเป็นโทโพโลยีที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุด

โทโพโลยีแบบอัลตราวีคและอัลตราสตรองนั้นมีพฤติกรรมที่ดีกว่าโทโพโลยีแบบตัวดำเนินการแบบอ่อนและแบบแข็ง แต่คำนิยามของมันซับซ้อนกว่า ดังนั้นโดยทั่วไปจึงไม่ค่อยได้ใช้เว้นแต่ว่าจำเป็นต้องใช้คุณสมบัติที่ดีกว่าจริงๆ ตัวอย่างเช่น ปริภูมิคู่ของB( H )ในโทโพโลยีแบบตัวดำเนินการแบบอ่อนหรือแบบแข็งนั้นเล็กเกินไปที่จะมีเนื้อหาเชิงวิเคราะห์มากนัก

แผนที่ผกผัน (adjoint map) ไม่ต่อเนื่องในโทโพโลยีตัวดำเนินการที่แข็งแกร่ง (strong operator) และโทโพโลยีที่แข็งแกร่งมากเป็นพิเศษ (ultrastrong topologies) ในขณะที่โทโพโลยีที่แข็งแกร่ง* (strong*) และโทโพโลยีที่แข็งแกร่งมากเป็นพิเศษ* (ultrastrong*) เป็นการดัดแปลงเพื่อให้แผนที่ผกผันมีความต่อเนื่อง โทโพโลยีเหล่านี้ไม่ค่อยได้ใช้บ่อยนัก

โทโพโลยี Arens–Mackey และโทโพโลยีของปริภูมิ Banach แบบอ่อนนั้นไม่ค่อยได้ถูกนำมาใช้บ่อยนัก

โดยสรุปแล้ว โทโพโลยีที่สำคัญสามแบบบนB( H )คือ โทโพโลยีแบบนอร์ม โทโพโลยีแบบอัลตร้าสตรอง และโทโพโลยีแบบอัลตร้าวีค โทโพโลยีแบบตัวดำเนินการอ่อนและแบบตัวดำเนินการแข็งนั้นถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในฐานะการประมาณค่าที่สะดวกสำหรับโทโพโลยีแบบอัลตร้าวีคและแบบอัลตร้าสตรอง ส่วนโทโพโลยีอื่นๆ นั้นค่อนข้างไม่เป็นที่รู้จัก

• ตัวดำเนินการแบบมีขอบเขต  – การแปลงเชิงเส้นชนิดหนึ่ง
• ตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่อง  – ฟังก์ชันระหว่างปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโลยี
• ปริภูมิฮิลเบิร์ต  – ประเภทหนึ่งของปริภูมิเวกเตอร์ในทางคณิตศาสตร์
• รายชื่อโทโพโลยี  – รายชื่อโทโพโลยีที่เป็นรูปธรรมและปริภูมิโทโพโลยี
• ลักษณะการลู่เข้า  – คุณสมบัติของลำดับหรืออนุกรม
• นอร์ม (คณิตศาสตร์)  – ความยาวในปริภูมิเวกเตอร์
• โทโพโลยีบนปริภูมิของแผนที่เชิงเส้น
• โทโพโลยีที่ไม่ชัดเจน
• การลู่เข้าแบบอ่อน (ปริภูมิฮิลเบิร์ต)  – ประเภทของการลู่เข้าในปริภูมิฮิลเบิร์ต