ในทางคณิตศาสตร์แผนที่บวก (positive map)คือแผนที่ระหว่างพีชคณิต C*ที่ส่งสมาชิกบวกไปยังสมาชิกบวก ส่วนแผนที่บวกสมบูรณ์ (completely positive map) คือแผนที่ที่ตรงตามเงื่อนไขที่แข็งแกร่งและมั่นคงกว่า

ให้และเป็นพีชคณิต C*แผนที่เชิงเส้นเรียกว่าแผนที่บวกถ้าแผนที่นั้นแปลงสมาชิกบวกเป็นสมาชิกบวก: ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \phi :A\to B}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle a\geq 0\นัย \phi (a)\geq 0}$

แผนที่เชิงเส้นใดๆ ก็ตามจะก่อให้เกิดแผนที่เชิงเส้นอื่น ${\displaystyle \phi :A\to B}$

${\displaystyle {\textrm {id}}\otimes \phi :\mathbb {C} ^{k\times k}\otimes A\to \mathbb {C} ^{k\times k}\otimes B}$

ในลักษณะที่เป็นธรรมชาติ หากระบุด้วยพีชคณิต C* ของเมทริกซ์ที่มีสมาชิกอยู่ในแล้วจะทำหน้าที่เป็น ${\displaystyle \mathbb {C} ^{k\times k}\otimes A}$${\displaystyle A^{k\times k}}$${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\textrm {id}}\otimes \phi }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1k}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{k1}&\cdots &a_{kk}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}\phi (a_{11})&\cdots &\phi (a_{1k})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\phi (a_{k1})&\cdots &\phi (a_{kk})\end{pmatrix}}.}$

จากนั้นเราจะกล่าวว่าเป็นk-positiveถ้าเป็นแผนที่บวก และ กล่าว ว่า เป็น completely positiveถ้าเป็น k-positive สำหรับทุกค่า k ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\textrm {id}}_{\mathbb {C} ^{k\times k}}\otimes \phi }$${\displaystyle \phi }$

• แผนที่เชิงบวกเป็นแบบโมโนโทน กล่าวคือ สำหรับ องค์ประกอบสมมาตรในตัวเองทั้งหมด${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\implies \phi (a_{1})\leq \phi (a_{2})}$${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A_{sa}}$
• เนื่องจาก สำหรับ องค์ประกอบสมมาตรในตัวเองทั้งหมดแผนที่บวกทุกแผนที่จะมีความต่อเนื่องโดยอัตโนมัติเมื่อเทียบกับนอร์ม C*และนอร์มตัวดำเนินการ ของมัน เท่ากับข้อความที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับหน่วยโดยประมาณสำหรับพีชคณิตที่ไม่มีเอกลักษณ์${\displaystyle -\|a\|_{A}1_{A}\leq a\leq \|a\|_{A}1_{A}}$${\displaystyle a\in A_{sa}}$${\displaystyle \|\phi (1_{A})\|_{B}}$
• เซตของฟังก์ชันบวกคือกรวยคู่ของกรวยขององค์ประกอบบวกของ${\displaystyle \to \mathbb {C} }$${\displaystyle A}$

• โฮโมมอร์ฟิซึม * ทุกตัวเป็นบวกอย่างสมบูรณ์^{[ 1 ]}
• สำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้นทุกตัวระหว่างปริภูมิฮิลเบิร์ต แผนที่จะเป็นบวกอย่างสมบูรณ์^{[ 2 ]}ทฤษฎีบทของสไตน์สปริงกล่าวว่า แผนที่บวกอย่างสมบูรณ์ทั้งหมดเป็นการประกอบกันของ *-โฮโมมอร์ฟิซึมและแผนที่พิเศษเหล่านี้${\displaystyle V:H_{1}\ถึง H_{2}}$${\displaystyle L(H_{1})\to L(H_{2}),\ A\mapsto VAV^{\ast }}$
• ฟังก์ชันเชิงบวกทุกฟังก์ชัน(โดยเฉพาะสถานะทุกสถานะ ) จะเป็นบวกโดยสมบูรณ์โดยอัตโนมัติ${\displaystyle \phi :A\to \mathbb {C} }$
• เมื่อกำหนดพีชคณิตและฟังก์ชันต่อเนื่องค่าเชิงซ้อนบนปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับแล้วแผนที่บวกทุกแผนที่จะเป็นบวกโดยสมบูรณ์${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle C(Y)}$${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle C(X)\to C(Y)}$
• การสลับตำแหน่งของเมทริกซ์เป็นตัวอย่างมาตรฐานของฟังก์ชันบวกที่ไม่เป็น 2-บวก ให้Tแทนฟังก์ชันนี้บนต่อไปนี้เป็นเมทริกซ์บวกใน: ภาพของเมทริกซ์นี้ภายใต้คือซึ่งเห็นได้ชัดว่าไม่ใช่เมทริกซ์บวก เนื่องจากมีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ -1 ยิ่งไปกว่านั้นค่าไอเกนของเมทริกซ์นี้คือ 1, 1, 1 และ -1 (ที่จริงแล้ว เมทริกซ์นี้คือเมทริกซ์ ChoiของT )${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2\times 2}\otimes \mathbb {C} ^{2\times 2}}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}&{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}&{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&1\\\end{bmatrix}}.}$$${\displaystyle I_{2}\otimes T}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}^{T}&{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}^{T}\\{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}^{T}&{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}^{T}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}},}$$
  อนึ่ง แผนที่ Φ จะถูกเรียกว่าเป็นแผนที่ร่วมบวก (co-positive)ถ้าองค์ประกอบ Φ Tเป็นบวก แผนที่การสลับตำแหน่งเองก็เป็นแผนที่ร่วมบวกเช่นกัน${\displaystyle \circ }$

• ทฤษฎีบทของชอยเกี่ยวกับแผนที่บวกสมบูรณ์