ในทางฟิสิกส์ซูเปอร์โอเปอเรเตอร์คือตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำบนปริภูมิเวกเตอร์ของ ตัวดำเนิน การเชิงเส้น^{[ 1 ]}

บางครั้งคำนี้หมายถึงแผนที่ที่เป็นบวกอย่างสมบูรณ์ซึ่งรักษาหรือไม่ได้เพิ่มร่องรอยของอาร์กิวเมนต์ความหมายเฉพาะนี้ถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางในสาขาการคำนวณควอนตัมโดยเฉพาะอย่างยิ่งการเขียนโปรแกรมควอนตัม เนื่องจากเป็นการอธิบายลักษณะการแม ป ปิ้งระหว่างเมทริกซ์ความหนาแน่น

การใช้ คำนำหน้า "ซูเปอร์"ในที่นี้ไม่มีความเกี่ยวข้องกับการใช้ในฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์แต่อย่างใด กล่าวคือ ซูเปอร์โอเปอเรเตอร์ไม่มีความเกี่ยวข้องกับซูเปอร์สมมาตรและซูเปอร์แอลจีบราซึ่งเป็นการขยายแนวคิดทางคณิตศาสตร์ทั่วไปที่กำหนดโดยการขยายวงแหวนของจำนวนให้รวมถึงจำนวนกราสส์มันน์ เนื่องจากซูเปอร์โอเปอเรเตอร์เป็นตัวดำเนินการเอง การใช้ คำนำหน้า "ซูเปอร์" จึงใช้เพื่อแยกแยะ ซูเปอร์โอเปอเรเตอร์ออกจากตัวดำเนินการที่ซูเปอร์โอเปอเรเตอร์กระทำต่อ

กำหนดฐานที่เลือกสำหรับปริภูมิฮิลเบิร์ตพื้นฐาน ${\displaystyle \{|i\rangle \}_{i}}$

เมื่อกำหนดตัวดำเนินการคูณทางซ้ายและขวาด้วยและตามลำดับ เราสามารถแสดงตัวสลับตำแหน่งได้ดังนี้ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(A)[\rho ]=A\rho }$${\displaystyle {\mathcal {R}}(A)[\rho ]=\rho A}$

${\displaystyle [A,\rho ]={\mathcal {L}}(A)[\rho ]-{\mathcal {R}}(A)[\rho ].}$

ต่อไปเราจะ แปลง เมทริกซ์ซึ่งเป็นการแมปให้ เป็นเวกเตอร์${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho =\sum _{i,j}\rho _{ij}|i\rangle \langle j|\mapsto |\rho \rangle \!\rangle =\sum _{i,j}\rho _{ij}|i\rangle \otimes |j\rangle ,}$

โดยที่ หมายถึงเวกเตอร์ในปริภูมิฟ็อค-ลิอูวิลล์ จาก นั้นจึงคำนวณ เมทริกซ์แทน โดยใช้การแมปแบบเดียวกัน${\displaystyle |\cdot \rangle \!\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {L}}(A)}$

${\displaystyle A\rho =\sum _{i,j}\rho _{ij}A|i\rangle \langle j|\mapsto \sum _{i,j}\rho _{ij}(A|i\rangle )\otimes |j\rangle =\sum _{i,j}\rho _{ij}(A\otimes I)(|i\rangle \otimes |j\rangle )=(A\otimes I)|\rho \rangle \!\rangle ={\mathcal {L}}(A)[\rho ],}$

ซึ่งแสดงให้เห็นว่าในทำนองเดียวกัน เราสามารถแสดงได้ว่าการแสดงแทนเหล่านี้ทำให้เราสามารถคำนวณสิ่งต่างๆ เช่น ค่าลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับซูเปอร์โอเปอเรเตอร์ได้ ค่าลักษณะเฉพาะเหล่านี้มีประโยชน์อย่างยิ่งในสาขาระบบควอนตัมแบบเปิด ซึ่งส่วนจริงของค่าลักษณะเฉพาะของซูเปอร์โอเปอเรเตอร์ลินด์แบลดจะบ่งชี้ว่าระบบควอนตัมจะผ่อนคลายหรือไม่ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(A)=A\otimes I}$${\displaystyle {\mathcal {R}}(A)=(I\otimes A^{T})}$

ในกลศาสตร์ควอนตัม สม การชโรดิงเกอร์

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi }$,

แสดงถึงวิวัฒนาการตามเวลาของเวกเตอร์สถานะโดยการกระทำของแฮมิลโทเนียนซึ่งเป็นตัวดำเนินการที่แปลงเวกเตอร์สถานะหนึ่งไปเป็นเวกเตอร์สถานะอีกเวกเตอร์หนึ่ง ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\hat {H}}}$

ในการกำหนดรูปแบบทั่วไปของจอห์น ฟอน นอยมันน์ สถานะทางสถิติและกลุ่มต่างๆ จะถูกแสดงโดยตัวดำเนินการความหนาแน่นแทนที่จะเป็นเวกเตอร์สถานะ ในบริบทนี้ วิวัฒนาการตามเวลาของตัวดำเนินการความหนาแน่นจะถูกแสดงผ่านสมการของฟอน นอยมันน์ซึ่งตัวดำเนินการความหนาแน่นถูกกระทำโดย ตัวดำเนินการพิเศษ ที่แมปตัวดำเนินการไปยังตัวดำเนินการอื่นๆ โดยนิยามจากการหาตัวสลับตำแหน่งเทียบกับตัวดำเนินการแฮมิลโท เนียน :${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\rho ={\mathcal {H}}[\rho ]}$

ที่ไหน

${\displaystyle {\mathcal {H}}[\rho ]=[{\hat {H}},\rho ]\equiv {\hat {H}}\rho -\rho {\hat {H}}}$

เนื่องจากวงเล็บคอมมิวเทเตอร์ถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในกลศาสตร์ควอนตัม การนำเสนอแอคชั่นของแฮมิลโทเนียนในรูปแบบซูเปอร์โอเปอเรเตอร์อย่างชัดเจนจึงมักถูกละเว้น

เมื่อพิจารณาฟังก์ชันที่มีค่าเป็นตัวดำเนินการเช่น เมื่อเรากำหนดแฮมิลโทเนียนทางกลศาสตร์ควอนตัมของอนุภาคเป็นฟังก์ชันของตัวดำเนินการตำแหน่งและโมเมนตัม เราอาจ (ไม่ว่าจะด้วยเหตุผลใดก็ตาม) กำหนด "อนุพันธ์ของตัวดำเนินการ" เป็นซูเปอร์โอเปอเรเตอร์ที่แมปตัวดำเนินการหนึ่งไปยังอีกตัวดำเนินการหนึ่ง ${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}({\hat {P}})}$${\displaystyle {\frac {\Delta {\hat {H}}}{\Delta {\hat {P}}}}}$

ตัวอย่างเช่น ถ้าอนุพันธ์ตัวดำเนินการของมันคือซูเปอร์โอเปอเรเตอร์ที่กำหนดโดย: ${\displaystyle H(P)=P^{3}=PPP}$

${\displaystyle {\frac {\Delta H}{\Delta P}}[X]=XP^{2}+PXP+P^{2}X}$

“อนุพันธ์ของตัวดำเนินการ” นี้ก็คือเมทริกซ์จาโคเบียนของฟังก์ชัน (ของตัวดำเนินการ) โดยที่เราถือว่าอินพุตและเอาต์พุตของตัวดำเนินการเป็นเวกเตอร์ และขยายพื้นที่ของตัวดำเนินการในฐานบางอย่าง เมทริกซ์จาโคเบียนจึงเป็นตัวดำเนินการ (ในระดับนามธรรมที่สูงขึ้น) ที่กระทำบนพื้นที่เวกเตอร์ (ของตัวดำเนินการ) นั้น