ในกลศาสตร์ควอนตัมสมการมาสเตอร์ Franke–Gorini–Kossakowski–Sudarshan–Lindblad (FGKSL) (ตั้งชื่อตามValentin Franke , Vittorio Gorini , Andrzej Kossakowski , George SudarshanและGöran Lindblad ) สมการมาสเตอร์Gorini–Kossakowski–Sudarshan–Lindblad ( GKSL ) สมการมาสเตอร์ในรูปแบบ Lindbladควอนตัม LiouvillianหรือLindbladianเป็นหนึ่งในรูปแบบทั่วไปของสมการมาสเตอร์แบบMarkovian ที่อธิบายระบบควอนตัมแบบเปิดมันขยายสมการ Schrödingerไปสู่ระบบควอนตัมแบบเปิด นั่นคือ ระบบที่สัมผัสกับสิ่งแวดล้อม พลวัตที่ได้จะไม่เป็นแบบเอกภาพอีกต่อไป แต่ยังคงเป็นไปตามคุณสมบัติของการรักษาร่องรอยและเป็นบวกอย่างสมบูรณ์สำหรับเงื่อนไขเริ่มต้น ใด ๆ^{[ 1 ]}

สมการชโรดิงเกอร์หรือที่จริงแล้วคือสมการฟอน นอยมันน์ เป็นกรณีพิเศษของสมการ GKSL ซึ่งนำไปสู่การคาดการณ์ว่ากลศาสตร์ควอนตัมอาจขยายและพัฒนาได้อย่างมีประสิทธิภาพผ่านการประยุกต์ใช้และการวิเคราะห์สมการลินด์แบลดเพิ่มเติม^{[ 2 ]} สมการชโรดิงเกอร์เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์สถานะซึ่งสามารถอธิบายได้เฉพาะสถานะควอนตัมบริสุทธิ์ เท่านั้น ดังนั้นจึงมีความทั่วไปน้อยกว่าเมทริกซ์ความหนาแน่นซึ่งสามารถอธิบายสถานะผสมได้เช่นกัน

การทำความเข้าใจปฏิสัมพันธ์ของระบบควอนตัมกับสิ่งแวดล้อมเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการทำความเข้าใจปรากฏการณ์ที่พบเห็นได้ทั่วไปหลายอย่าง เช่น การปล่อยแสงโดยธรรมชาติจากอะตอมที่ถูกกระตุ้น หรือการทำงานของอุปกรณ์เทคโนโลยีควอนตัมหลายชนิดเช่น เลเซอร์

ในการกำหนดรูปแบบมาตรฐานของกลศาสตร์ควอนตัม วิวัฒนาการของระบบตามเวลาถูกควบคุมโดยพลศาสตร์เอกภาพ ซึ่งหมายความว่าไม่มีการเสื่อมสลายและความสอดคล้องของเฟสจะคงอยู่ตลอดกระบวนการ นี่เป็นผลมาจากการพิจารณาตัวแปรอิสระทั้งหมดที่เกี่ยวข้อง อย่างไรก็ตาม ระบบทางกายภาพจริงใด ๆ จะมีการปฏิสัมพันธ์กับสิ่งแวดล้อม เนื่องจากไม่สามารถแยกตัวได้อย่างสมบูรณ์ การปฏิสัมพันธ์กับตัวแปรอิสระภายนอกส่งผลให้พลังงานกระจายไปสู่สิ่งแวดล้อม ซึ่งก่อให้เกิดการเสื่อมสลายและการสุ่มของเฟส

มีการนำเทคนิคทางคณิตศาสตร์บางอย่างมาใช้เพื่ออธิบายปฏิสัมพันธ์ของระบบควอนตัมกับสิ่งแวดล้อม หนึ่งในนั้นคือการใช้เมทริกซ์ความหนาแน่นและสมการหลักที่เกี่ยวข้อง แม้ว่าวิธีการแก้ปัญหาพลศาสตร์ควอนตัม นี้ จะเทียบเท่ากับภาพของชโรดิงเกอร์หรือภาพของไฮเซนเบิร์ก ในหลักการ แต่ก็ช่วยให้เราสามารถอธิบายกระบวนการที่ไม่สอดคล้องกันซึ่งแสดงถึงปฏิสัมพันธ์กับสิ่งแวดล้อมได้ ตัวดำเนินการความหนาแน่นมีคุณสมบัติที่สามารถแสดงถึงส่วนผสมแบบคลาสสิกของสถานะควอนตัมได้ ดังนั้นจึงมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการอธิบายพลศาสตร์ของระบบควอนตัมแบบเปิดได้อย่างแม่นยำ

สมการหลักของ Lindblad สำหรับเมทริกซ์ความหนาแน่นของระบบρสามารถเขียนได้ดังนี้^{[ 1 ] [ 3 ]}

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{i}^{}\gamma _{i}\left(L_{i}\rho L_{i}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{L_{i}^{\dagger }L_{i},\rho \right\}\right)}$

สมการ 2.1

ตัว ผกผัน การสลับตำแหน่งอยู่ที่ไหน${\displaystyle \{a,b\}=ab+ba}$

${\displaystyle H}$คือแฮมิลโทเนียนของระบบซึ่งอธิบายถึงลักษณะเอกภาพของพลวัต

${\displaystyle \{L_{i}\}_{i}}$คือชุดของตัวดำเนินการกระโดดซึ่งอธิบายส่วนของการสูญเสียพลังงานในพลวัต รูปทรงของตัวดำเนินการกระโดดอธิบายว่าสิ่งแวดล้อมกระทำต่อระบบอย่างไร และต้องกำหนดจากแบบจำลองระดับจุลภาคของพลวัตของระบบ-สิ่งแวดล้อม หรือสร้างแบบจำลองเชิงปรากฏการณ์

${\displaystyle \gamma _{i}\geq 0}$เป็นชุดของสัมประสิทธิ์จริงที่ไม่เป็นลบ เรียกว่าอัตราการหน่วงหากพิจารณาทั้งหมดนี้ จะได้สมการของฟอน นอยมันน์ ซึ่งอธิบายพลวัตแบบเอกภาพ ซึ่งเป็นสมการควอนตัมที่เทียบได้กับสมการลิอู วิ ลล์แบบคลาสสิก${\displaystyle \gamma _{i}=0}$${\displaystyle {\dot {\rho }}=-(i/\hbar )[H,\rho ]}$

สมการทั้งหมดสามารถเขียนในรูปแบบซูเปอร์โอเปอเรเตอร์ ได้

$${\displaystyle {\dot {\rho }}={\mathcal {L}}(\rho )}$$

สมการ 2.2

ซึ่งคล้ายกับสมการ Liouville แบบคลาสสิก ด้วยเหตุนี้ ตัวดำเนินการขั้นสูงจึงเรียกว่าตัวดำเนินการขั้นสูง Lindbladianหรือตัวดำเนินการขั้นสูง Liouvillian ^{[ 3 ]}${\displaystyle {\dot {\rho }}=\{H,\rho \}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

โดยทั่วไปแล้ว สมการ GKSL มีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{n,m}h_{nm}\left(A_{n}\rho A_{m}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{A_{m}^{\dagger }A_{n},\rho \right\}\right)}$

สมการ 2.3

โดยที่เป็นตัวดำเนินการใดๆ และhเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนดเงื่อนไขหลังนี้เป็นข้อกำหนดที่เข้มงวดเพื่อให้แน่ใจว่าไดนามิกส์รักษาร่องรอยและเป็นบวกอย่างสมบูรณ์ จำนวนตัวดำเนินการเป็นไปโดยพลการ และไม่จำเป็นต้องมีคุณสมบัติพิเศษใดๆ แต่ถ้าหากระบบมีมิติ n ก็สามารถแสดงได้^{[ 1 ]}ว่าสมการหลักสามารถอธิบายได้อย่างสมบูรณ์โดยชุดของตัวดำเนินการ โดยมีเงื่อนไขว่าตัวดำเนินการเหล่านั้นเป็นฐานสำหรับพื้นที่ของตัวดำเนินการ ${\displaystyle \{A_{m}\}}$${\displaystyle A_{m}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N^{2}-1}$

รูปแบบทั่วไปนั้นไม่ได้ทั่วไปไปกว่ารูปแบบทั่วไปจริง ๆ และสามารถลดรูปให้เหลือรูปแบบเฉพาะได้ เนื่องจากเมทริกซ์hเป็นเมทริกซ์บวกกึ่งกำหนด จึงสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ด้วยการแปลงแบบเอกภาพu :

${\displaystyle u^{\dagger }hu={\begin{bmatrix}\gamma _{1}&0&\cdots &0\\0&\gamma _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\gamma _{N^{2}-1}\end{bmatrix}}}$

สมการ 2.4

โดยที่ค่าลักษณะเฉพาะγ _iไม่เป็นลบ ถ้าเรากำหนดฐานตัวดำเนินการเชิงตั้งฉากปกติอีกฐานหนึ่ง

${\displaystyle L_{i}=\sum _{j}u_{ji}A_{j}}$

สมการ 2.5

ซึ่งจะทำให้สมการหลักกลับมาอยู่ในรูปแบบเดิม:

$${\displaystyle {\dot {\rho }}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{i}^{}\gamma _{i}\left(L_{i}\rho L_{i}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{L_{i}^{\dagger }L_{i},\rho \right\}\right).}$$

สมการ 2.6

แผนที่ที่สร้างขึ้นโดยลินด์เบลเดียนสำหรับช่วงเวลาต่างๆ นั้นเรียกรวมกันว่าเซมิกรุปพลวัตควอนตัม ซึ่งเป็นตระกูลของแผนที่พลวัตควอนตัม บนปริภูมิของเมทริกซ์ความหนาแน่นที่จัดทำดัชนีโดยพารามิเตอร์เวลาเดียวซึ่งเป็นไปตามคุณสมบัติของ เซมิกรุป${\displaystyle \phi _{t}}$${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle \phi _{s}(\phi _{t}(\rho ))=\phi _{t+s}(\rho ),\qquad t,s\geq 0.}$

สมการ 2.7

สมการของลินด์แบลดสามารถหาได้โดย

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\rho )=\mathrm {lim} _{\Delta t\to 0}{\frac {\phi _{\Delta t}(\rho )-\phi _{0}(\rho )}{\Delta t}}}$

สมการ 2.8

ซึ่งด้วยคุณสมบัติเชิงเส้นของ เป็นตัวดำเนินการซูเปอร์เชิงเส้น เซมิกรุปสามารถกู้คืนได้ดังนี้ ${\displaystyle \phi _{t}}$

${\displaystyle \phi _{t+s}(\rho )=e^{{\mathcal {L}}s}\phi _{t}(\rho ).}$

สมการ 2.9

สมการลินด์แบลดไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเอกภาพv ใดๆ ของตัวดำเนินการและค่าคงที่ลินด์แบลด

${\displaystyle {\sqrt {\gamma _{i}}}L_{i}\to {\sqrt {\gamma _{i}'}}L_{i}'=\sum _{j}v_{ij}{\sqrt {\gamma _{j}}}L_{j},}$

สมการ 2.10

และยังอยู่ภายใต้การแปลงที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันด้วย

${\displaystyle L_{i}\to L_{i}'=L_{i}+a_{i}I,}$

สมการ 2.11

${\displaystyle H\to H'=H+{\frac {1}{2i}}\sum _{j}\gamma _{j}\left(a_{j}^{*}L_{j}-a_{j}L_{j}^{\dagger }\right)+bI,}$

สมการ 2.12

โดยที่a _iเป็นจำนวนเชิงซ้อน และbเป็นจำนวนจริง อย่างไรก็ตาม การแปลงครั้งแรกจะทำลายความเป็นออร์โทนอร์มอลของตัวดำเนินการL _i (เว้นแต่ว่าγ _i ทั้งหมด จะเท่ากัน) และการแปลงครั้งที่สองจะทำลายความเป็นไร้ร่องรอย ดังนั้น จนถึงความเสื่อมในหมู่γ _iแล้วL _iของรูปแบบแนวทแยงของสมการลินด์แบลดจะถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยพลวัต ตราบใดที่เราต้องการให้พวกมันเป็นออร์โทนอร์มอลและไร้ร่องรอย

วิวัฒนาการของเมทริกซ์ความหนาแน่นแบบ Lindblad ในภาพ Schrödingerสามารถอธิบายได้อย่างเทียบเท่าในภาพ Heisenberg โดยใช้สมการการเคลื่อนที่ (แบบทแยงมุม) ต่อไปนี้^{[ 4 ]}สำหรับค่าสังเกตควอนตัมX แต่ละตัว :

${\displaystyle {\dot {X}}={\frac {i}{\hbar }}[H,X]+\sum _{i}\gamma _{i}\left(L_{i}^{\dagger }XL_{i}-{\frac {1}{2}}\left\{L_{i}^{\dagger }L_{i},X\right\}\right).}$

สมการ 2.13

สมการที่คล้ายกันนี้อธิบายถึงวิวัฒนาการตามเวลาของค่าคาดหวังของตัวแปรที่สังเกตได้ ซึ่งกำหนดโดยทฤษฎีบทเอห์เรนเฟสต์สอดคล้องกับคุณสมบัติการรักษาร่องรอยของสมการลินด์แบลดในภาพชโรดิงเกอร์ สมการในภาพไฮเซนเบิร์กจึงเป็นสมการ เอกลักษณ์ กล่าว คือ มันรักษาตัวดำเนินการเอกลักษณ์ไว้

สมการหลักของ Lindblad อธิบายวิวัฒนาการของระบบควอนตัมแบบเปิดประเภทต่างๆ เช่น ระบบที่เชื่อมต่อกับอ่างเก็บ Markovian อย่างอ่อน^{[ 1 ]} โปรดทราบว่าHที่ปรากฏในสมการไม่จำเป็นต้องเท่ากับแฮมิลโทเนียนของระบบเปล่าๆ แต่ยังอาจรวมถึงไดนามิกแบบเอกภาพที่มีประสิทธิภาพซึ่งเกิดขึ้นจากปฏิสัมพันธ์ระหว่างระบบกับสิ่งแวดล้อมด้วย

การพิสูจน์เชิงฮิวริสติกเช่นในบันทึกของJohn Preskill ^{[ 5 ]}เริ่มต้นด้วยรูปแบบทั่วไปของระบบควอนตัมแบบเปิดและแปลงเป็นรูปแบบ Lindblad โดยการใช้สมมติฐาน Markovian และขยายในช่วงเวลาสั้นๆ การวิเคราะห์มาตรฐานที่มีแรงจูงใจทางกายภาพมากขึ้น^{[ 6 ] [ 7 ]}ครอบคลุมการพิสูจน์ Lindbladian สามประเภททั่วไป โดยเริ่มต้นจากแฮมิลโทเนียนที่กระทำต่อทั้งระบบและสิ่งแวดล้อม: ขีดจำกัดการเชื่อมต่อแบบอ่อน (อธิบายรายละเอียดด้านล่าง) การประมาณความหนาแน่นต่ำ และขีดจำกัดการเชื่อมต่อแบบเอกฐาน แต่ละวิธีเหล่านี้อาศัยสมมติฐานทางกายภาพเฉพาะเกี่ยวกับ เช่น ฟังก์ชันสหสัมพันธ์ของสิ่งแวดล้อม ตัวอย่างเช่น ในการพิสูจน์ขีดจำกัดการเชื่อมต่อแบบอ่อน โดยทั่วไปจะถือว่า (ก) สหสัมพันธ์ของระบบกับสิ่งแวดล้อมพัฒนาอย่างช้าๆ (ข) การกระตุ้นของสิ่งแวดล้อมที่เกิดจากการสลายตัวของระบบอย่างรวดเร็ว และ (ค) เทอมที่มีการแกว่งอย่างรวดเร็วเมื่อเทียบกับช่วงเวลาของระบบที่สนใจสามารถละเลยได้ การประมาณค่าทั้งสามนี้เรียกว่า Born, Markov และคลื่นหมุน ตามลำดับ^{[ 8 ]}

การหาค่าขีดจำกัดของการเชื่อมต่อแบบอ่อนนั้น สมมติว่าระบบควอนตัมมีจำนวนองศาอิสระจำกัดที่เชื่อมต่อกับอ่างที่มีจำนวนองศาอิสระอนันต์ ระบบและอ่างแต่ละระบบมีแฮมิลโทเนียนที่เขียนในรูปของตัวดำเนินการที่กระทำเฉพาะบนส่วนย่อยของปริภูมิฮิลเบิร์ต ทั้งหมดเท่านั้น แฮมิลโทเนียนเหล่านี้ควบคุมพลวัตภายในของระบบและอ่างที่ไม่ได้เชื่อมต่อกัน นอกจากนี้ยังมีแฮมิลโทเนียนที่สามซึ่งประกอบด้วยผลคูณของตัวดำเนินการของระบบและอ่าง จึงทำให้ระบบและอ่างเชื่อมต่อกัน รูปแบบทั่วไปที่สุดของแฮมิลโทเนียนนี้คือ

${\displaystyle H=H_{S}+H_{B}+H_{BS}\,}$

สมการ 3.1

พลวัตของระบบทั้งหมดสามารถอธิบายได้ด้วยสมการการเคลื่อนที่ของ Liouville สมการนี้ซึ่งมีจำนวนองศาอิสระอนันต์นั้น เป็นไปไม่ได้ที่จะหาคำตอบเชิงวิเคราะห์ได้ ยกเว้นในกรณีพิเศษมาก ๆ ยิ่งไปกว่านั้น ภายใต้การประมาณบางอย่าง ไม่จำเป็นต้องพิจารณาองศาอิสระของอ่าง และสามารถหาสมการหลักที่มีประสิทธิภาพได้ในรูปของเมทริกซ์ความหนาแน่นของระบบปัญหาดังกล่าวสามารถวิเคราะห์ได้ง่ายขึ้นโดยการเปลี่ยนไปใช้ภาพปฏิสัมพันธ์ ซึ่งกำหนดโดยการแปลงเอกภาพโดยที่เป็นตัวดำเนินการใด ๆ และนอกจากนี้ โปรดทราบว่าเป็นตัวดำเนินการเอกภาพทั้งหมดของระบบทั้งหมด เป็นการง่ายที่จะยืนยันว่าสมการ Liouville กลายเป็น ${\displaystyle {\dot {\chi }}=-i[H,\chi ]}$${\displaystyle \rho =\operatorname {tr} _{B}\chi }$${\displaystyle {\tilde {M}}=U_{0}MU_{0}^{\dagger }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle U_{0}=e^{i(H_{S}+H_{B})t}}$${\displaystyle U(t,t_{0})}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\chi }}}=-i[{\tilde {H}}_{BS},{\tilde {\chi }}]\,}$

สมการ 3.2

โดยที่แฮมิลโทเนียนขึ้นอยู่กับเวลาอย่างชัดเจน นอกจากนี้ ตามภาพปฏิสัมพันธ์โดยที่สมการนี้สามารถอินทิเกรตได้โดยตรงเพื่อให้ได้ ${\displaystyle {\tilde {H}}_{BS}=e^{i(H_{S}+H_{B})t}H_{BS}e^{-i(H_{S}+H_{B})t}}$${\displaystyle {\tilde {\chi }}=U_{BS}(t,t_{0})\chi U_{BS}^{\dagger }(t,t_{0})}$${\displaystyle U_{BS}=U_{0}^{\dagger }U(t,t_{0})}$

${\displaystyle {\tilde {\chi }}(t)={\tilde {\chi }}(0)-i\int _{0}^{t}dt'[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\chi }}(t')]}$

สมการ 3.3

สมการโดยนัยนี้สามารถนำไปแทนกลับในสมการของ Liouville เพื่อให้ได้สมการเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์ที่แม่นยำ ${\displaystyle {\tilde {\chi }}}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\chi }}}=-i[{\tilde {H}}_{BS}(t),{\tilde {\chi }}(0)]-\int _{0}^{t}dt'[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\chi }}(t')]]}$

สมการ 3.4

เราดำเนินการหาอนุพันธ์โดยสมมติว่าการปฏิสัมพันธ์เริ่มต้นที่และในเวลานั้นไม่มีความสัมพันธ์ใดๆ ระหว่างระบบและอ่างความร้อน ซึ่งหมายความว่าเงื่อนไขเริ่มต้นสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น โดยที่คือตัวดำเนินการความหนาแน่นของอ่างความร้อนในตอนเริ่มต้น ${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \chi (0)=\rho (0)R_{0}}$${\displaystyle R_{0}}$

เมื่อติดตามค่าระดับความเป็นอิสระของอ่างอาบน้ำของสมการเชิงอนุพันธ์-ปริพันธ์ที่กล่าวถึงข้างต้น จะได้ ${\displaystyle \operatorname {tr} _{R}{\tilde {\chi }}={\tilde {\rho }}}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\chi }}(t')]]\}}$

สมการ 3.5

สมการนี้ถูกต้องแม่นยำสำหรับพลวัตเวลาของเมทริกซ์ความหนาแน่นของระบบ แต่ต้องอาศัยความรู้ที่สมบูรณ์เกี่ยวกับพลวัตของระดับความเป็นอิสระของอ่างความร้อน สมมติฐานที่ทำให้ง่ายขึ้นที่เรียกว่าการประมาณของบอร์นนั้นอาศัยความใหญ่ของอ่างความร้อนและความอ่อนแอสัมพัทธ์ของการเชื่อมต่อ กล่าวคือ การเชื่อมต่อของระบบกับอ่างความร้อนไม่ควรเปลี่ยนแปลงสถานะเฉพาะของอ่างความร้อนอย่างมีนัยสำคัญ ในกรณีนี้ เมทริกซ์ความหนาแน่นทั้งหมดสามารถแยกตัวประกอบได้สำหรับทุกเวลาเป็นสมการหลักจึงกลายเป็น ${\displaystyle {\tilde {\chi }}(t)={\tilde {\rho }}(t)R_{0}}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\rho }}(t')R_{0}]]\}}$

สมการ 3.6

สมการนั้นชัดเจนแล้วในแง่ของระดับความเป็นอิสระของระบบ แต่ยากมากที่จะแก้ ข้อสมมติฐานสุดท้ายคือการประมาณแบบบอร์น-มาร์คอฟที่ว่าอนุพันธ์เทียบกับเวลาของเมทริกซ์ความหนาแน่นขึ้นอยู่กับสถานะปัจจุบันเท่านั้น ไม่ขึ้นอยู่กับสถานะในอดีต ข้อสมมติฐานนี้ใช้ได้ภายใต้พลวัตของอ่างความร้อนที่รวดเร็ว ซึ่งความสัมพันธ์ภายในอ่างความร้อนจะหายไปอย่างรวดเร็วมาก และเทียบเท่ากับการแทนที่ทางด้านขวามือของสมการ ${\displaystyle \rho (t')\rightarrow \rho (t)}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\rho }}(t)R_{0}]]\}}$

สมการ 3.7

หากสมมติว่าแฮมิลโทเนียนปฏิสัมพันธ์มีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle H_{BS}=\sum _{i}\alpha _{i}\Gamma _{i}}$

สมการ 3.8

สำหรับผู้ควบคุมระบบและผู้ควบคุมอ่างอาบน้ำแล้วสมการหลักจึงกลายเป็น ${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle \Gamma _{i}}$${\displaystyle {\tilde {H}}_{BS}=\sum _{i}{\tilde {\alpha }}_{i}{\tilde {\Gamma }}_{i}}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\sum _{i,j}\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {\alpha }}_{i}(t){\tilde {\Gamma }}_{i}(t),[{\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\Gamma }}_{j}(t'),{\tilde {\rho }}(t)R_{0}]]\}}$

สมการ 3.9

ซึ่งสามารถขยายได้ดังนี้

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\sum _{i,j}\int _{0}^{t}dt'\left[\left({\tilde {\alpha }}_{i}(t){\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\rho }}(t)-{\tilde {\alpha }}_{i}(t){\tilde {\rho }}(t){\tilde {\alpha }}_{j}(t')\right)\langle {\tilde {\Gamma }}_{i}(t){\tilde {\Gamma }}_{j}(t')\rangle +\left({\tilde {\rho }}(t){\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\alpha }}_{i}(t)-{\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\rho }}(t){\tilde {\alpha }}_{i}(t)\right)\langle {\tilde {\Gamma }}_{j}(t'){\tilde {\Gamma }}_{i}(t)\rangle \right]}$

สมการ 3.10

ค่าคาดหวังนั้นเกี่ยวข้องกับระดับความเป็นอิสระของระบบควบคุมอุณหภูมิ โดยการสมมติว่าความสัมพันธ์เหล่านี้ลดลงอย่างรวดเร็ว (ในอุดมคติ) จะได้รูปแบบของตัวดำเนินการซูเปอร์โอเปอเรเตอร์ L ของลินด์แบลดในรูปแบบข้างต้น ${\displaystyle \langle \Gamma _{i}\Gamma _{j}\rangle =\operatorname {tr} \{\Gamma _{i}\Gamma _{j}R_{0}\}}$${\displaystyle \langle \Gamma _{i}(t)\Gamma _{j}(t')\rangle \propto \delta (t-t')}$

ในกรณีที่ง่ายที่สุด จะมีตัวดำเนินการกระโดดเพียงตัวเดียวและไม่มีวิวัฒนาการแบบเอกภาพ ในกรณีนี้ สมการของลินด์แบลดคือ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\rho )={F\rho F^{\dagger }}-{\frac {1}{2}}\left(F^{\dagger }F\rho +\rho F^{\dagger }F\right)}$

สมการ 4.1

กรณีนี้มักถูกนำมาใช้ในทัศนศาสตร์ควอนตัมเพื่อจำลองการดูดกลืนหรือการปล่อยโฟตอนจากแหล่งกักเก็บ

ในการจำลองทั้งการดูดกลืนและการปล่อย จำเป็นต้องมีตัวดำเนินการกระโดดสำหรับแต่ละอย่าง ซึ่งนำไปสู่สมการลินด์แบลดที่พบได้บ่อยที่สุด ซึ่งอธิบายการลดทอนของตัวสั่นฮาร์มอนิกควอนตัม (เช่น แทนโพรงฟาบรี-เปโรต์ ) ที่เชื่อมต่อกับอ่างความร้อนโดยมีตัวดำเนินการกระโดดดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}&=a,&\gamma _{1}&={\tfrac {\gamma }{2}}\left({\overline {n}}+1\right),\\F_{2}&=a^{\dagger },&\gamma _{2}&={\tfrac {\gamma }{2}}{\overline {n}}.\end{aligned}}}$

นี่คือจำนวนเฉลี่ยของการกระตุ้นในอ่างเก็บน้ำที่ลดทอนการสั่น และγคืออัตราการลดลง ${\displaystyle {\overline {n}}}$

ในการจำลองแฮมิลโทเนียนของตัวสั่นฮาร์มอนิกควอนตัมด้วยความถี่ของโฟตอน เราสามารถเพิ่มวิวัฒนาการแบบเอกภาพเพิ่มเติมได้: ${\displaystyle \omega _{c}}$

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-i[\omega _{c}a^{\dagger }a,\rho ]+\gamma _{1}{\mathcal {D}}[F_{1}](\rho )+\gamma _{2}{\mathcal {D}}[F_{2}](\rho ).}$

สมการ 4.2

สามารถเพิ่มตัวดำเนินการ Lindblad เพิ่มเติมเพื่อจำลองรูปแบบต่างๆ ของการลดเฟสและการผ่อนคลายการสั่นสะเทือน วิธีการเหล่านี้ได้ถูกรวมเข้ากับวิธีการแพร่กระจาย เมทริกซ์ความหนาแน่น แบบกริดแล้ว

• สมการหลักควอนตัม
• สมการเรดฟิลด์
• ระบบควอนตัมแบบเปิด
• วิธีการกระโดดควอนตัม
• ทฤษฎีบท Sokhotski–Plemelj § ฟังก์ชัน Heitler

• ชุดเครื่องมือควอนตัมออปติกส์สำหรับ Matlab
• mcsolve ถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 30 กันยายน 2023 ที่Wayback Machineโปรแกรมแก้ปัญหาการกระโดดควอนตัม (มอนเตคาร์โล) จาก QuTiP
• QuantumOptics.jl คือชุดเครื่องมือทางด้านควอนตัมออปติกส์ในภาษา Julia
• สมการหลักของลินด์แบลด