ทฤษฎีบทEhrenfest ซึ่งตั้งชื่อตาม Paul Ehrenfestนักฟิสิกส์ทฤษฎีชาวออสเตรีย เชื่อมโยง อนุพันธ์เวลาของค่าคาดหวัง ของตัว ดำเนิน การตำแหน่งและโมเมนตัมxและpกับค่าคาดหวังของแรงบนอนุภาคมวลที่เคลื่อนที่ในศักยภาพสเกลาร์^{[ 1 ]}${\displaystyle F=-V'(x)}$${\displaystyle V(x)}$

ทฤษฎีบท Ehrenfest เป็นกรณีพิเศษของความสัมพันธ์ทั่วไประหว่างความคาดหวังของตัวดำเนินการกลศาสตร์ควอนตัม ใดๆ และความคาดหวังของ ตัวสลับของตัวดำเนินการนั้นกับแฮมิลโทเนียนของระบบ^{[ 2 ] [ 3 ]}

โดยที่Aคือตัวดำเนินการทางกลศาสตร์ควอนตัม และ⟨ A ⟩คือค่าคาดหวัง ของตัวดำเนิน การ นั้น

สิ่งนี้เห็นได้ชัดเจนที่สุดในภาพกลศาสตร์ควอนตัมของไฮเซนเบิร์ก ซึ่งก็คือค่าเฉลี่ยของสมการการเคลื่อนที่ของไฮเซนเบิร์กนั่นเอง มันให้การสนับสนุนทางคณิตศาสตร์แก่หลักการ ความสอดคล้อง

เหตุผลก็คือ ทฤษฎีบทของ Ehrenfest มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับทฤษฎีบทของ Liouvilleในกลศาสตร์แฮมิลตันซึ่งเกี่ยวข้องกับวงเล็บปัวซงแทนที่จะเป็นตัว สลับ กฎทั่วไปของ Diracชี้ให้เห็นว่า ข้อความในกลศาสตร์ควอนตัมที่มีตัวสลับนั้น สอดคล้องกับข้อความในกลศาสตร์คลาสสิกที่ตัวสลับถูกแทนที่ด้วยวงเล็บปัวซงคูณด้วยiħซึ่งทำให้ค่าคาดหวังของตัวดำเนินการเป็นไปตามสมการการเคลื่อนที่แบบคลาสสิกที่สอดคล้องกัน โดยมีเงื่อนไขว่าแฮมิลตันนั้นเป็นกำลังสองอย่างมากที่สุดเมื่อเทียบกับพิกัดและโมเมนตัม มิฉะนั้น สมการวิวัฒนาการอาจยังคงใช้ได้โดยประมาณ ตราบใดที่ความผันผวนมีขนาดเล็ก

แม้ว่าเมื่อมองแวบแรก อาจดูเหมือนว่าทฤษฎีบทของ Ehrenfest กล่าวว่าค่าคาดหวังทางกลศาสตร์ควอนตัมเป็นไปตามสมการการเคลื่อนที่แบบคลาสสิกของนิวตัน แต่ในความเป็นจริงแล้วไม่ใช่เช่นนั้น^{[ 4 ]}หากคู่ดังกล่าวเป็นไปตามกฎข้อที่สองของนิวตัน ด้านขวาของสมการที่สองจะต้องเป็น ซึ่งโดยทั่วไปจะไม่เหมือนกับ ถ้าตัวอย่างเช่น ศักยภาพเป็นกำลังสาม (เช่น เป็นสัดส่วนกับ) แล้วจะเป็นกำลังสอง (เป็นสัดส่วนกับ) ซึ่งหมายความว่าในกรณีของกฎข้อที่สองของนิวตัน ด้านขวาจะอยู่ในรูปแบบของในขณะที่ในทฤษฎีบทของ Ehrenfest จะอยู่ในรูปแบบของความแตกต่างระหว่างปริมาณทั้งสองนี้คือกำลังสองของความไม่แน่นอนในและดังนั้นจึงไม่เป็นศูนย์ ${\displaystyle (\langle x\rangle ,\langle p\rangle )}$$${\displaystyle -V'\left(\left\langle x\right\rangle \right),}$$$${\displaystyle -\left\langle V'(x)\right\rangle .}$$${\displaystyle V(x)}$${\displaystyle x^{3}}$${\displaystyle V'}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle \langle x\rangle ^{2}}$${\displaystyle \langle x^{2}\rangle }$${\displaystyle x}$

ข้อยกเว้นเกิดขึ้นในกรณีที่สมการการเคลื่อนที่แบบคลาสสิกเป็นเชิงเส้น นั่นคือเมื่อเป็นสมการกำลังสองและเป็นเชิงเส้น ในกรณีพิเศษนั้นและจะสอดคล้องกัน ดังนั้น สำหรับกรณีของตัวสั่นฮาร์มอนิกควอนตัม ตำแหน่งที่คาดหวังและโมเมนตัมที่คาดหวังจึงเป็นไปตามวิถีการเคลื่อนที่แบบคลาสสิกอย่างแม่นยำ ${\displaystyle V}$${\displaystyle V'}$${\displaystyle V'\left(\left\langle x\right\rangle \right)}$${\displaystyle \left\langle V'(x)\right\rangle }$

สำหรับระบบทั่วไป หากฟังก์ชันคลื่นมีความเข้มข้นสูงรอบจุดหนึ่งและจะเกือบเหมือนกัน เนื่องจากทั้งสองจะมีค่าประมาณเท่ากับในกรณีนั้น ตำแหน่งที่คาดหวังและโมเมนตัมที่คาดหวังจะ ติดตามวิถีคลาสสิก โดยประมาณอย่างน้อยที่สุดตราบใดที่ฟังก์ชันคลื่นยังคงอยู่ที่ตำแหน่ง^{[ 5 ]}${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle V'\left(\left\langle x\right\rangle \right)}$${\displaystyle \left\langle V'(x)\right\rangle }$${\displaystyle V'(x_{0})}$

สมมติว่าระบบบางระบบอยู่ในสถานะควอนตัมΦ ในปัจจุบัน หากเราต้องการทราบอนุพันธ์เทียบกับเวลาทันทีของค่าเฉลี่ยของAซึ่งก็คือ ตามคำนิยาม โดยที่เราทำการอินทิเกรตเหนือปริภูมิทั้งหมด หากเราใช้สมการชโรดิงเกอร์เราจะพบว่า $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle A\rangle &={\frac {d}{dt}}\int \Phi ^{*}A\Phi \,d^{3}x\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi \,d^{3}x+\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)\Phi \,d^{3}x+\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)\,d^{3}x\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi d³x + ∫₁₋₁(∫₁₋₁A/∫₁t) d³x$$$${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}H\Phi }$$

โดยการหาคอนจูเกตเชิงซ้อน เราพบว่า^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H^{*}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H.}$$

หมายเหตุH = H ^∗เนื่องจากแฮมิลโทเนียนเป็นเฮอร์มิเชียนเมื่อแทนค่านี้ลงในสมการข้างต้น เราจะได้

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\int \Phi ^{*}(AH-HA)\Phi ~d^{3}x+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle .}$$

บ่อยครั้ง (แต่ไม่เสมอไป) ที่ตัวดำเนินการAจะไม่ขึ้นกับเวลา ดังนั้นอนุพันธ์ของมันจะเป็นศูนย์ และเราสามารถละเลยพจน์สุดท้ายได้

ในภาพไฮเซนเบิร์กการพิสูจน์นั้นตรงไปตรงมา ภาพไฮเซนเบิร์กเปลี่ยนการพึ่งพาเวลาของระบบไปที่ตัวดำเนินการแทนที่จะเป็นเวกเตอร์สถานะ เริ่มจากสมการการเคลื่อนที่ของไฮเซนเบิร์ก ทฤษฎีบทของเอห์เรนเฟสต์ก็เป็นไปตามนั้นอย่างง่ายดายโดยการฉายสมการไฮเซนเบิร์กจากด้านขวาและด้านซ้าย หรือการหาค่าเฉลี่ย ดังนั้น $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {\partial A(t)}{\partial t}}+{\frac {1}{i\hbar }}[A(t),H],}$$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle \langle \Psi |}$$${\displaystyle \left\langle \Psi \left|{\frac {d}{dt}}A(t)\right|\Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \left|{\frac {\partial A(t)}{\partial t}}\right|\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi \left|{\frac {1}{i\hbar }}[A(t),H]\right|\Psi \right\rangle ,}$$

อาจดึง⁠ง/ดีทีจากพจน์แรก เนื่องจากเวกเตอร์สถานะไม่ขึ้นอยู่กับเวลาอีกต่อไปในภาพไฮเซนเบิร์ก ดังนั้น $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A(t)\rangle =\left\langle {\frac {\partial A(t)}{\partial t}}\right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle [A(t),H]\right\rangle .}$$

สำหรับตัวอย่างทั่วไปของอนุภาค ที่มีมวล เคลื่อนที่ในศักย์แฮมิลโทเนียนก็คือ โดย ที่xคือตำแหน่งของอนุภาค $${\displaystyle H(x,p,t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)}$$

สมมติว่าเราต้องการทราบการเปลี่ยนแปลงทันทีของค่าเฉลี่ยของโมเมนตัมpโดยใช้ทฤษฎีบทของ Ehrenfest เราจะได้ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial p}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,V(x,t)]\rangle ,}$$

เนื่องจากตัวดำเนินการpสลับตำแหน่งกับตัวเองและไม่มีการพึ่งพาเวลา^{[ 7 ]}โดยการขยายด้านขวามือ แทนที่pด้วย − iħ ∇เราจะได้ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}(V(x,t)\Phi )~dx~.}$$

หลังจากใช้กฎผลคูณกับพจน์ที่สองแล้ว เราจะได้ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle &=\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right)\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx\\&=-\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right)\Phi ~dx\\&=\left\langle -{\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right\rangle =\langle F\rangle .\end{aligned}}}$$

ดังที่ได้อธิบายไว้ในบทนำ ผลลัพธ์นี้ไม่ได้บอกว่าคู่ดังกล่าวสอดคล้องกับกฎข้อที่สองของนิวตันเพราะด้านขวามือของสูตรคือแทนที่จะเป็นอย่างไรก็ตาม ดังที่ได้อธิบายไว้ในบทนำ สำหรับสถานะที่จำกัดอยู่ในพื้นที่อย่างมาก ตำแหน่งและโมเมนตัมที่คาดหวังจะ ติดตามวิถีโคจรแบบคลาสสิก โดยประมาณซึ่งอาจเข้าใจได้ว่าเป็นตัวอย่างหนึ่งของหลักการสอดคล้องกัน ${\displaystyle (\langle X\rangle ,\langle P\rangle )}$${\displaystyle \langle F(x,t)\rangle ,}$${\displaystyle F(\langle X\rangle ,t)}$

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถหาการเปลี่ยนแปลงทันทีของค่าคาดหวังตำแหน่งได้ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle &={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial x}{\partial t}}\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[x,{\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)\right]\right\rangle +0\\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[x,{\frac {p^{2}}{2m}}\right]\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar 2m}}\left\langle [x,p]{\frac {d}{dp}}p^{2}\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar 2m}}\langle i\hbar 2p\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{m}}\langle p\rangle \end{aligned}}}$$

ผลลัพธ์นี้สอดคล้องกับสมการคลาสสิกอย่างแม่นยำ

ได้มีการกำหนดไว้ข้างต้นแล้วว่าทฤษฎีบทของ Ehrenfest เป็นผลสืบเนื่องมาจากสมการ Schrödingerอย่างไรก็ตาม ในทางกลับกันก็เป็นจริงเช่นกัน กล่าวคือ สมการ Schrödinger สามารถอนุมานได้จากทฤษฎีบทของ Ehrenfest ^{[ 8 ]}เราเริ่มต้นจาก $${\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {d}{dt}}\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {x}}\left|\Psi (t)\right\rangle &=\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {p}}\left|\Psi (t)\right\rangle ,\\[5pt]{\frac {d}{dt}}\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {p}}\left|\Psi (t)\right\rangle &=\left\langle \Psi (t)\right|-V'({\hat {x}})\left|\Psi (t)\right\rangle .\end{aligned}}}$$

การประยุกต์ใช้กฎผลคูณนำไปสู่ ​​ในที่นี้ ให้ใช้ทฤษฎีบทของสโตนโดยใช้Ĥแทนตัวสร้างควอนตัมของการแปลเวลา ขั้นตอนต่อไปคือการแสดงว่าสิ่งนี้เหมือนกับตัวดำเนินการแฮมิลโทเนียนที่ใช้ในกลศาสตร์ควอนตัม ทฤษฎีบทของสโตนบ่งชี้ว่า โดยที่ħถูกนำมาใช้เป็นค่าคงที่การทำให้เป็นมาตรฐานสำหรับมิติสมดุล เนื่องจากเอกลักษณ์เหล่านี้ต้องใช้ได้กับสถานะเริ่มต้นใดๆ การหาค่าเฉลี่ยจึงสามารถละทิ้งได้ และระบบสมการคอมมิวเทเตอร์สำหรับĤจึงได้มา: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {\frac {d\Psi }{dt}}{\Big |}{\hat {x}}{\Big |}\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi {\Big |}{\hat {x}}{\Big |}{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle &=\left\langle \Psi {\Big |}{\frac {\hat {p}}{m}}{\Big |}\Psi \right\rangle ,\\[5pt]\left\langle {\frac {d\Psi }{dt}}{\Big |}{\hat {p}}{\Big |}\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi {\Big |}{\hat {p}}{\Big |}{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle &=\langle \Psi |-V'({\hat {x}})|\Psi \rangle ,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle i\hbar \left|{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle ={\hat {H}}|\Psi (t)\rangle ~,}$$$${\displaystyle im[{\hat {H}},{\hat {x}}]=\hbar {\hat {p}},\qquad i[{\hat {H}},{\hat {p}}]=-\hbar V'({\hat {x}}).}$$

สมมติว่าค่าสังเกตของพิกัดและโมเมนตัมเป็นไปตามความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งแบบแคนอนิก[ x̂ , p̂ ] = iħเมื่อกำหนด สมการคอมมิวเทเตอร์สามารถแปลงเป็นสมการเชิงอนุพันธ์^{[ 8 ] [ 9 ]} ซึ่งคำตอบคือแฮมิลโทเนียนควอนตัม ที่คุ้นเคย${\displaystyle {\hat {H}}=H({\hat {x}},{\hat {p}})}$$${\displaystyle m{\frac {\partial H(x,p)}{\partial p}}=p,\qquad {\frac {\partial H(x,p)}{\partial x}}=V'(x),}$$$${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V({\hat {x}}).}$$

ดังนั้นสมการชโรดิงเกอร์จึงได้มาจากทฤษฎีบทของเอห์เรนเฟสต์โดยสมมติความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งแบบแคนอนิกส์ระหว่างพิกัดและโมเมนตัม หากสมมติว่าพิกัดและโมเมนตัมสลับตำแหน่งกันได้ วิธีการคำนวณแบบเดียวกันจะนำไปสู่กลศาสตร์คลาสสิกของคูปมันน์-ฟอน นอยมันน์ซึ่งเป็นการ กำหนดสูตรของ กลศาสตร์คลาสสิกในปริภูมิฮิลเบิร์ต^{[ 8 ]}ดังนั้น การได้มานี้ เช่นเดียวกับการได้มาของกลศาสตร์คูปมันน์-ฟอน นอยมันน์แสดง ให้เห็นว่าความแตกต่างที่สำคัญระหว่างกลศาสตร์ควอนตัมและกลศาสตร์คลาสสิกลดลงเหลือเพียงค่าของตัวสลับตำแหน่ง[ x̂ , p̂ ]

บทความเรื่อง "Ehrenfest time and chaos"ใน Scholarpedia ได้กล่าวถึงนัยสำคัญของทฤษฎีบท Ehrenfest สำหรับระบบที่มีพลวัตแบบอลวนคลาสสิกเนื่องจากความไม่เสถียรแบบเอกซ์โปเนนเชียลของวิถีคลาสสิก เวลา Ehrenfest ซึ่งมีความสอดคล้องกันอย่างสมบูรณ์ระหว่างวิวัฒนาการควอนตัมและคลาสสิกนั้น แสดงให้เห็นว่าสั้นในเชิงลอการิทึม โดยเป็นสัดส่วนกับลอการิทึมของเลขควอนตัมทั่วไป สำหรับกรณีของพลวัตที่สามารถหาปริพันธ์ได้ ช่วงเวลานี้จะใหญ่กว่ามาก โดยเป็นสัดส่วนกับกำลังของเลขควอนตัมค่าหนึ่ง