ในทางฟิสิกส์การควอนตัมแบบแคนอนิกเป็นกระบวนการในการควอนตัมทฤษฎีคลาสสิกโดยพยายามรักษารูปแบบโครงสร้าง เช่นสมมาตรของทฤษฎีคลาสสิกให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้

ในทางประวัติศาสตร์ วิธีนี้ไม่ได้เป็น เส้นทางที่ Werner Heisenbergใช้ในการสร้างกลศาสตร์ควอนตัม โดยตรง แต่Paul Diracได้นำเสนอวิธีการนี้ในวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเขาในปี 1926 ซึ่งเป็น "วิธีการเปรียบเทียบแบบคลาสสิก" สำหรับการควอนตัม^{[ 1 ]}และได้อธิบายรายละเอียดไว้ในตำราคลาสสิกของเขา เรื่อง Principles of Quantum Mechanics ^{[ 2 ]}คำว่าcanonicalมาจาก แนวทางของ แฮมิลตันในกลศาสตร์คลาสสิก ซึ่งพลวัตของระบบถูกสร้างขึ้นผ่านวงเล็บปัวซง แบบ canonical ซึ่งเป็นโครงสร้างที่ได้รับการรักษาไว้เพียงบางส่วนในการควอนตัมแบบ canonical

พอล ดิแรก ได้นำวิธีการนี้ไปใช้เพิ่มเติมในบริบทของทฤษฎีสนามควอนตัมในการสร้างควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ในบริบทของทฤษฎีสนาม วิธีการนี้ยังถูกเรียกว่าการควอนตัมแบบที่สองของสนาม ซึ่งตรงข้ามกับการควอนตัมแบบแรกกึ่ง คลาสสิก ของอนุภาคเดี่ยว

เมื่อได้รับการพัฒนาครั้งแรกฟิสิกส์ควอนตัมจัดการเฉพาะกับการควอนตัมของการเคลื่อนที่ของอนุภาคเท่านั้น โดยปล่อยให้สนามแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นแบบคลาสสิกดังนั้นจึงเรียกว่ากลศาสตร์ควอนตัม^{[ 3 ]}

ต่อมาสนามแม่เหล็กไฟฟ้าก็ถูกควอนตัมเช่นกัน และแม้แต่อนุภาคเองก็ถูกแทนด้วยสนามควอนตัม ส่งผลให้เกิดการพัฒนาควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ (QED) และทฤษฎีสนามควอนตัมโดยทั่วไป^{[ 4 ]}ดังนั้น ตามธรรมเนียม รูปแบบดั้งเดิมของกลศาสตร์ควอนตัมของอนุภาคจึงเรียกว่าการควอนตัมแบบแรกในขณะที่ทฤษฎีสนามควอนตัมถูกกำหนดขึ้นในภาษาของ การควอนตั ม แบบที่สอง

คำอธิบายต่อไปนี้อ้างอิงจากตำรากลศาสตร์ควอนตัมของ Dirac ^{[ 2 ]} ในกลศาสตร์คลาสสิกของอนุภาค มีตัวแปรไดนามิกที่เรียกว่าพิกัด ( x ) และโมเมนตัม ( p ) ซึ่งระบุสถานะของระบบคลาสสิกโครงสร้างแคนอนิก (หรือที่รู้จักกันในชื่อ โครงสร้าง ซิมเพล็กติก ) ของกลศาสตร์คลาสสิกประกอบด้วยวงเล็บปัวซงที่ล้อมรอบตัวแปรเหล่านี้ เช่น{ x , p } = 1การแปลงตัวแปรทั้งหมดที่รักษาวงเล็บเหล่านี้ไว้ถือเป็นการแปลงแคนอนิกในกลศาสตร์คลาสสิก การเคลื่อนที่เองก็เป็นการแปลงแคนอนิกเช่นกัน

ในทางตรงกันข้าม ในกลศาสตร์ควอนตัมคุณสมบัติที่สำคัญทั้งหมดของอนุภาคจะถูกบรรจุอยู่ในสถานะ หนึ่ง ซึ่งเรียกว่าสถานะควอนตัม ปริมาณที่สังเกตได้จะถูกแทนด้วยตัวดำเนินการที่กระทำบนปริภูมิฮิลเบิร์ตของสถานะควอนตัม ดัง กล่าว ${\displaystyle |\psi \rangle }$

ค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการที่กระทำกับสถานะลักษณะเฉพาะหนึ่งๆ ของมัน แสดงถึงค่าของการวัดบนอนุภาคที่แสดงโดยตัวดำเนินการนั้น ตัวอย่างเช่นพลังงานจะถูกอ่านโดยตัวดำเนินการแฮมิลโทเนียนที่กระทำกับสถานะหนึ่งโดยให้ผลลัพธ์เป็น โดยที่E _nคือพลังงานลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับสถานะลักษณะเฉพาะนี้ ${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$$${\displaystyle {\hat {H}}|\psi _{n}\rangle =E_{n}|\psi _{n}\rangle ,}$$${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$

สถานะใดๆ ก็สามารถแสดงได้ในรูปของการรวมเชิงเส้นของสถานะเฉพาะของพลังงาน ตัวอย่างเช่น โดยที่a และ_nเป็นสัมประสิทธิ์คงที่ $${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}|\psi _{n}\rangle ,}$$

เช่นเดียวกับในกลศาสตร์คลาสสิก ตัวดำเนินการพลวัตทั้งหมดสามารถแทนด้วยฟังก์ชันของตัวดำเนินการตำแหน่งและโมเมนตัม ซึ่ง ก็คือ และ ตามลำดับ ความเชื่อมโยงระหว่างการแสดงแทนนี้กับการแสดงแทนด้วยฟังก์ชัน คลื่นที่ใช้กันทั่วไปนั้นกำหนดโดยสถานะเฉพาะของตัวดำเนินการตำแหน่งที่แทนอนุภาคที่ตำแหน่งซึ่งแสดงด้วยองค์ประกอบ ในปริภูมิฮิลเบิร์ ต และซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขดังนั้น${\displaystyle {\hat {X}}}$${\displaystyle {\hat {P}}}$${\displaystyle {\hat {X}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle |x\rangle }$${\displaystyle {\hat {X}}|x\rangle =x|x\rangle }$${\displaystyle \psi (x)=\langle x|\psi \rangle }$

ในทำนองเดียวกัน สถานะเฉพาะของตัวดำเนินการโมเมนตัมจะระบุการแสดงโมเมนตัม : . ${\displaystyle |p\rangle }$${\displaystyle {\hat {P}}}$${\displaystyle \psi (p)=\langle p|\psi \rangle }$

ความสัมพันธ์หลักระหว่างตัวดำเนินการเหล่านี้คืออนาล็อกเชิงควอนตัมของวงเล็บปัวซง ข้างต้น ในกลศาสตร์คลาสสิก ซึ่งก็คือความ สัมพันธ์การสลับตำแหน่งแบบแคนอนิก$${\displaystyle [{\hat {X}},{\hat {P}}]={\hat {X}}{\hat {P}}-{\hat {P}}{\hat {X}}=i\hbar .}$$

ความสัมพันธ์นี้เข้ารหัส (และนำไปสู่ในเชิงรูปแบบ) หลักการความไม่แน่นอนในรูปแบบΔ x Δ p ≥ ħ /2โครงสร้างพีชคณิตนี้จึงอาจถือได้ว่าเป็นอนาล็อกควอนตัมของโครงสร้างแคนอนิกของกลศาสตร์คลาสสิก

เมื่อพิจารณาระบบที่มีอนุภาคจำนวนมาก กล่าวคือ ระบบที่มีอนุภาคที่เหมือนกันN ตัว (อนุภาคที่มีเลขควอนตัม เดียวกัน เช่นมวลประจุและสปิน ) จำเป็นต้องขยายฟังก์ชันสถานะของอนุภาคเดี่ยวไปเป็นฟังก์ชันสถานะของอนุภาคN ตัว ความแตกต่างพื้นฐานระหว่างกลศาสตร์คลาสสิกและกลศาสตร์ควอนตัมเกี่ยวข้องกับแนวคิดเรื่องความไม่สามารถแยกแยะอนุภาคที่เหมือนกันได้ ดังนั้นในฟิสิกส์ควอนตัมจึงมีอนุภาคเพียงสองชนิดเท่านั้น คือโบซอนและเฟอร์มิออนซึ่งแต่ละชนิดมีกฎดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N})}$

• สำหรับโบซอน:$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{N})=+\psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{N}),}$$
• สำหรับเฟอร์มิออน:$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{N})=-\psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{N}),}$$

โดยที่เราได้สลับพิกัดสองพิกัดของฟังก์ชันสถานะ ฟังก์ชันคลื่นปกติได้มาจากการใช้ดีเทอร์มิแนนต์ของสเลเตอร์และ ทฤษฎี อนุภาคที่เหมือนกันโดยใช้พื้นฐานนี้ เราสามารถแก้ปัญหาอนุภาคหลายตัวได้หลากหลายวิธี ${\displaystyle (\mathbf {r} _{j},\mathbf {r} _{k})}$

หนังสือของ Dirac ^{[ 2 ]}อธิบายรายละเอียดกฎยอดนิยมของเขาในการแทนที่วงเล็บ Poisson ด้วยตัวสลับ :

อาจตีความข้อเสนอนี้ได้ว่า เราควรแสวงหา "แผนที่ควอนตัม" ที่แมปฟังก์ชันบนปริภูมิเฟสแบบคลาสสิกไปยังตัวดำเนินการบนปริภูมิฮิลเบิร์ตควอนตัม โดยที่ ปัจจุบันเป็นที่ทราบกันดีว่าไม่มีแผนที่ควอนตัมที่เหมาะสมใดๆ ที่สอดคล้องกับเอกลักษณ์ข้างต้นอย่างแม่นยำสำหรับทุกฟังก์ชันและ${\displaystyle Q}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Q_{f}}$$${\displaystyle Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมของการอ้างว่าเป็นไปไม่ได้ข้างต้นคือทฤษฎีบทของโกรเนโวลด์ (ตั้งชื่อตามฮิลแบรนด์ เจ. โกรเนโวลด์ นักฟิสิกส์ทฤษฎีชาวดัตช์ ) ซึ่งเราจะอธิบายสำหรับระบบที่มีหนึ่งองศาอิสระเพื่อความง่าย ให้เรายอมรับ "กฎพื้นฐาน" ต่อไปนี้สำหรับแผนที่ประการแรกควรส่งฟังก์ชันคงที่ 1 ไปยังตัวดำเนินการเอกลักษณ์ ประการที่สองควรส่งและไปยังตัวดำเนินการตำแหน่งและโมเมนตัมตามปกติและประการที่สามควรส่งพหุนามในและไปยัง "พหุนาม" ในและนั่นคือ การรวมเชิงเส้นจำกัดของผลคูณของและ ซึ่งอาจเลือกได้ในลำดับใดก็ได้ตามต้องการ ในรูป แบบ ที่ง่ายที่สุด ทฤษฎีบทของโกรเนโวลด์กล่าวว่าไม่มีแผนที่ใดที่สอดคล้องกับกฎพื้นฐานข้างต้นและเงื่อนไขวงเล็บ สำหรับพหุนามทั้งหมดและ${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$$${\displaystyle Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

อันที่จริง การไม่มีอยู่ของแผนที่ดังกล่าวเกิดขึ้นแล้วเมื่อเราถึงพหุนามดีกรีสี่ โปรดทราบว่าวงเล็บปัวซงของพหุนามสองตัวที่มีดีกรีสี่มีดีกรีหก ดังนั้นจึงไม่สมเหตุสมผลที่จะกำหนดให้แผนที่บนพหุนามดีกรีสี่ต้องเคารพเงื่อนไขวงเล็บ อย่างไรก็ตาม เราสามารถกำหนดให้เงื่อนไขวงเล็บเป็นจริงเมื่อและมีดีกรีสาม ทฤษฎีบทของ Groenewold ^{[ 5 ]}สามารถกล่าวได้ดังนี้: ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

สามารถสรุปการพิสูจน์ได้ดังนี้^{[ 6 ] [ 7 ]}สมมติว่าเราพยายามหาแผนที่ควอนไทเซชันบนพหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่าหรือเท่ากับสามที่สอดคล้องกับเงื่อนไขวงเล็บเมื่อใดก็ตามที่มีดีกรีน้อยกว่าหรือเท่ากับสองและมีดีกรีน้อยกว่าหรือเท่ากับสอง จากนั้นจะมีแผนที่ดังกล่าวเพียงหนึ่งเดียว และนั่นคือการควอนไทเซชันของ Weylผลลัพธ์ที่เป็นไปไม่ได้ในขณะนี้ได้มาจากการเขียนพหุนามที่มีดีกรีสี่เดียวกันเป็นวงเล็บปัวซงของพหุนามที่มีดีกรีสามในสองวิธีที่แตกต่างกันโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เรามี ในทางกลับกัน เราได้เห็นแล้วว่าหากจะมีแผนที่ควอนไทเซชันบนพหุนามที่มีดีกรีสาม มันจะต้องเป็นการควอนไทเซชันของ Weyl นั่นคือ เราได้กำหนดการควอนไทเซชันที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวของพหุนามลูกบาศก์ทั้งหมดข้างต้นแล้ว ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$$${\displaystyle x^{2}p^{2}={\frac {1}{9}}\{x^{3},p^{3}\}={\frac {1}{3}}\{x^{2}p,xp^{2}\}}$$

การโต้แย้งสิ้นสุดลงด้วยการคำนวณโดยใช้กำลังอย่างไม่สมเหตุสมผล ซึ่ง ไม่สอดคล้องกับ ดังนั้น เราจึงมีข้อกำหนดสองข้อที่ไม่สอดคล้องกันสำหรับค่าของ $${\displaystyle {\frac {1}{9}}[Q(x^{3}),Q(p^{3})]}$$$${\displaystyle {\frac {1}{3}}[Q(x^{2}p),Q(xp^{2})].}$$${\displaystyle Q(x^{2}p^{2})}$

ถ้าQแทนแผนที่ควอนตัมที่กระทำกับฟังก์ชันfในปริภูมิเฟสแบบคลาสสิก คุณสมบัติต่อไปนี้มักจะถือว่าพึงประสงค์: ^{[ 8 ]}

1. ${\displaystyle Q_{x}\psi =x\psi }$และ   (ตัวดำเนินการตำแหน่ง/โมเมนตัมพื้นฐาน)${\displaystyle Q_{p}\psi =-i\hbar \partial _{x}\psi ~~}$
2. ${\displaystyle f\longmapsto Q_{f}~~}$   เป็นแผนที่เชิงเส้น
3. ${\displaystyle [Q_{f},Q_{g}]=i\hbar Q_{\{f,g\}}~~}$   (วงเล็บปัวซง)
4. ${\displaystyle Q_{g\circ f}=g(Q_{f})~~}$   (กฎของฟอน นอยมันน์)

อย่างไรก็ตาม ไม่เพียงแต่คุณสมบัติทั้งสี่นี้จะไม่สอดคล้องกันเท่านั้น แต่ คุณสมบัติ สามข้อใดๆก็ยังไม่สอดคล้องกันอีกด้วย! ^{[ 9 ]}ปรากฏว่าคู่ของคุณสมบัติเหล่านี้ที่นำไปสู่โซลูชันที่สอดคล้องกันและไม่ธรรมดามีเพียง 2 และ 3 และอาจจะเป็น 1 และ 3 หรือ 1 และ 4 การยอมรับคุณสมบัติ 1 และ 2 พร้อมกับเงื่อนไขที่อ่อนกว่าที่ว่า 3 เป็นจริงเฉพาะในเชิงอะซิมโทติกในขีดจำกัดħ →0 (ดูวงเล็บ Moyal ) จะนำไปสู่การควอนตัมแบบการเปลี่ยนรูปและต้องมีการให้ข้อมูลเพิ่มเติมบางอย่าง เช่นเดียวกับทฤษฎีมาตรฐานที่ใช้ในฟิสิกส์ส่วนใหญ่ การยอมรับคุณสมบัติ 1, 2 และ 3 แต่จำกัดพื้นที่ของตัวสังเกตที่สามารถควอนตัมได้เพื่อไม่รวมเทอมต่างๆ เช่น เทอมลูกบาศก์ในตัวอย่างข้างต้น เทียบเท่ากับการควอนตัมเชิงเรขาคณิต

กลศาสตร์ควอนตัมประสบความสำเร็จในการอธิบายระบบที่ไม่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพซึ่งมีจำนวนอนุภาคคงที่ แต่จำเป็นต้องมีกรอบแนวคิดใหม่เพื่ออธิบายระบบที่อนุภาคสามารถถูกสร้างขึ้นหรือถูกทำลายได้ เช่น สนามแม่เหล็กไฟฟ้า ซึ่งถือว่าเป็นกลุ่มของโฟตอน ในที่สุดก็ตระหนักว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษไม่สอดคล้องกับกลศาสตร์ควอนตัมแบบอนุภาคเดี่ยว ดังนั้นในปัจจุบันอนุภาคทั้งหมดจึงถูกอธิบายในเชิงสัมพัทธภาพด้วยสนามควอนตัม

เมื่อใช้วิธีการควอนตัมแบบมาตรฐานกับสนาม เช่น สนามแม่เหล็กไฟฟ้า ตัวแปร สนาม แบบคลาสสิก จะกลายเป็น ตัวดำเนินการ ควอนตัมดังนั้น โหมดปกติที่ประกอบกันเป็นแอมพลิจูดของสนามจึงเป็นออสซิลเลเตอร์อย่างง่าย ซึ่งแต่ละตัวจะถูกควอนตัมในการควอนตัมแบบมาตรฐานขั้นแรก ดังที่กล่าวมาข้างต้น โดยไม่มีความกำกวม ควอนตัมที่ได้จะถูกระบุว่าเป็นอนุภาคหรือการกระตุ้นแต่ละตัว ตัวอย่างเช่น ควอนตัมของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าถูกระบุว่าเป็นโฟตอน แตกต่างจากการควอนตัมแบบขั้นแรก การควอนตัมแบบขั้นที่สองแบบดั้งเดิมนั้นไม่มีความกำกวมโดยสมบูรณ์ ในทางปฏิบัติแล้วมันคือฟังก์ชันเนื่องจากเซตของออสซิลเลเตอร์ที่ประกอบกันนั้นถูกควอนตัมโดยไม่มีความกำกวม

ในอดีต การหาค่าควอนตัมของทฤษฎีคลาสสิกของอนุภาคเดี่ยวทำให้เกิดฟังก์ชันคลื่น สมการการเคลื่อนที่แบบคลาสสิกของสนามมักจะมีรูปแบบเหมือนกับสมการ (ควอนตัม) สำหรับฟังก์ชันคลื่นของควอนตัมตัวใดตัวหนึ่งตัวอย่างเช่นสมการไคลน์-กอร์ดอนเป็นสมการการเคลื่อนที่แบบคลาสสิกสำหรับสนามสเกลาร์อิสระ แต่ก็เป็นสมการควอนตัมสำหรับฟังก์ชันคลื่นของอนุภาคสเกลาร์ด้วยเช่นกัน ซึ่งหมายความว่าการหาค่าควอนตัมของสนามดูเหมือนจะคล้ายกับการหาค่าควอนตัมของทฤษฎีที่ถูกหาค่าควอนตัมไปแล้ว ทำให้เกิดคำศัพท์ที่ดูแปลกตาอย่าง " การหา ค่าควอนตัมครั้งที่สอง"ในเอกสารยุคแรก ซึ่งยังคงใช้เพื่ออธิบายการหาค่าควอนตัมของสนามอยู่ แม้ว่าการตีความสมัยใหม่จะแตกต่างออกไปก็ตาม

ข้อเสียประการหนึ่งของการควอนตัมแบบแคนอนิกสำหรับสนามสัมพัทธภาพคือ การอาศัยแฮมิลโทเนียนในการกำหนดการพึ่งพาเวลา ทำให้ ความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้สัมพัทธภาพไม่ปรากฏชัด ดังนั้นจึงจำเป็นต้องตรวจสอบว่าความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้สัม พัทธภาพ นั้นไม่สูญหายไป หรืออีกทาง เลือกหนึ่ง วิธีการอินทิกรัลของไฟน์แมนสามารถใช้ในการควอนตัมสนามสัมพัทธภาพได้ และมีความไม่แปรเปลี่ยนอย่างชัดเจน สำหรับทฤษฎีสนามที่ไม่ใช่สัมพัทธภาพ เช่น ทฤษฎีที่ใช้ในฟิสิกส์สสารควบแน่นความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้ลอเรนซ์ไม่ใช่ปัญหา

ในกลศาสตร์ควอนตัม ตัวแปรของสนาม (เช่น แอมพลิจูดของสนาม ณ จุดใดจุดหนึ่ง) จะถูกแทนด้วยตัวดำเนินการบน ปริภูมิ ฮิลเบิร์ตโดยทั่วไปแล้ว ปริมาณที่สังเกตได้ทั้งหมดจะถูกสร้างขึ้นเป็นตัวดำเนินการบนปริภูมิฮิลเบิร์ต และวิวัฒนาการตามเวลาของตัวดำเนินการจะถูกควบคุมโดยแฮมิลโทเนียนซึ่งต้องเป็นตัวดำเนินการ บวก สถานะที่ถูกทำลายโดยแฮมิลโทเนียนจะต้องถูกระบุว่าเป็นสถานะสุญญากาศซึ่งเป็นพื้นฐานสำหรับการสร้างสถานะอื่นๆ ทั้งหมด ในทฤษฎีสนามที่ไม่เกิดปฏิสัมพันธ์ (สนามอิสระ) สุญญากาศมักจะถูกระบุว่าเป็นสถานะที่มีอนุภาคเป็นศูนย์ ในทฤษฎีที่มีอนุภาคที่เกิดปฏิสัมพันธ์ การระบุสุญญากาศนั้นซับซ้อนกว่า เนื่องจากโพลาไรเซชันของสุญญากาศซึ่งหมายความว่าสุญญากาศทางกายภาพในทฤษฎีสนามควอนตัมไม่เคยว่างเปล่าอย่างแท้จริง สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูบทความเกี่ยวกับสุญญากาศในกลศาสตร์ควอนตัมและสุญญากาศของควอนตัมโครโมไดนามิกส์ รายละเอียดของการควอนตัมแบบแคนอนิกนั้นขึ้นอยู่กับสนามที่ถูกควอนตัม และขึ้นอยู่กับว่าสนามนั้นเป็นสนามอิสระหรือสนามที่มีปฏิสัมพันธ์ ${\displaystyle |0\rangle }$

ทฤษฎีสนามสเกลาร์เป็นตัวอย่างที่ดีของกระบวนการควอนตัมแบบแคนอนิก^{[ 10 ]}ในทางคลาสสิก สนามสเกลาร์คือชุดของโหมดปกติ ของ ออสซิลเลเตอร์ จำนวนอนันต์ การพิจารณาปริภูมิ-เวลา 1+1 มิติซึ่งทิศทางเชิงพื้นที่ถูกบีบอัดให้เป็นวงกลมที่มีเส้นรอบวง 2π ก็ เพียงพอแล้ว ทำให้โมเมนตัมเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง ${\displaystyle \mathbb {R} \times S_{1},}$

ความหนาแน่นของ ลากรางจ์แบบคลาสสิกอธิบายถึงออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกที่เชื่อมโยงกันเป็น อนันต์ ซึ่งกำกับด้วยxซึ่งในที่นี้เป็นป้ายกำกับ (และไม่ใช่ตัวแปรพลวัตการกระจัดที่จะถูกควอนตัม) โดยใช้สนามคลาสสิกφแทน โดยที่V ( φ )คือเทอมศักย์ ซึ่งมักจะถือว่าเป็นพหุนามหรือเอกนามดีกรี 3 หรือสูงกว่า ฟังก์ชันการกระทำคือ โมเมนตัมเชิงแคนอนิกที่ได้จากการแปลงเลอจองเดอร์โดยใช้การกระทำLคือและแฮมิลโทเนียน แบบคลาสสิก พบว่าคือ $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )={\tfrac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\partial _{x}\phi )^{2}-{\tfrac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-V(\phi ),}$$$${\displaystyle S(\phi )=\int {\mathcal {L}}(\phi )dxdt=\int L(\phi ,\partial _{t}\phi )dt\,.}$$${\displaystyle \pi =\partial _{t}\phi }$$${\displaystyle H(\phi ,\pi )=\int dx\left[{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}+{\tfrac {1}{2}}(\partial _{x}\phi )^{2}+{\tfrac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+V(\phi )\right].}$$

การควอนตัมแบบแคนอนิกถือว่าตัวแปรφและπเป็นตัวดำเนินการที่มีความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งแบบแคนอนิกณ เวลาt = 0 ซึ่งกำหนดโดย ตัวดำเนินการที่สร้างจากφและπสามารถกำหนดได้อย่างเป็นทางการ ณ เวลาอื่น ๆ ผ่านวิวัฒนาการตามเวลาที่สร้างขึ้นโดยแฮมิลโทเนียน $${\displaystyle [\phi (x),\phi (y)]=0,\ \ [\pi (x),\pi (y)]=0,\ \ [\phi (x),\pi (y)]=i\hbar \delta (x-y).}$$$${\displaystyle {\mathcal {O}}(t)=e^{itH}{\mathcal {O}}e^{-itH}.}$$

อย่างไรก็ตาม เนื่องจากφและπไม่สลับที่กันอีกต่อไป นิพจน์นี้จึงกำกวมในระดับควอนตัม ปัญหาคือการสร้างการแสดงแทนของตัวดำเนินการที่เกี่ยวข้องบนปริภูมิฮิลเบิร์ตและสร้างตัวดำเนินการบวกHเป็นตัวดำเนินการควอนตัมบนปริภูมิฮิลเบิร์ตนี้ในลักษณะที่ให้วิวัฒนาการของตัวดำเนินการตามที่กำหนดโดยสมการก่อนหน้า และแสดงให้เห็นว่ามีสถานะสุญญากาศซึ่งHมีค่าไอเกนเป็นศูนย์ ในทางปฏิบัติ การสร้างนี้เป็นปัญหาที่ยากสำหรับทฤษฎีสนามที่มีปฏิสัมพันธ์ และได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์ในกรณีง่ายๆ เพียงไม่กี่กรณีผ่านวิธีการของทฤษฎีสนามควอนตัมเชิงสร้างสรรค์ปัญหาเหล่านี้หลายอย่างสามารถหลีกเลี่ยงได้โดยใช้ปริพันธ์ของไฟน์แมนดังที่อธิบายไว้สำหรับV ( φ ) เฉพาะ ในบทความเกี่ยวกับทฤษฎีสนามสเกลาร์ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle |0\rangle }$

ในกรณีของสนามอิสระที่มีV ( φ ) = 0 กระบวนการควอนตัมค่อนข้างตรงไปตรงมา การแปลงฟูริเยร์ ของสนามนั้น สะดวกดังนั้น ความเป็นจริงของสนามบ่งชี้ว่า แฮมิลโทเนียนแบบคลาสสิกสามารถขยายในโหมดฟูริเยร์ได้ดังนี้ โดย ที่$${\displaystyle \phi _{k}=\int \phi (x)e^{-ikx}dx,\ \ \pi _{k}=\int \pi (x)e^{-ikx}dx.}$$$${\displaystyle \phi _{-k}=\phi _{k}^{\dagger },~~~\pi _{-k}=\pi _{k}^{\dagger }.}$$$${\displaystyle H={\frac {1}{2}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\pi _{k}\pi _{k}^{\dagger }+\omega _{k}^{2}\phi _{k}\phi _{k}^{\dagger }\right],}$$${\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {k^{2}+m^{2}}}}$

ดังนั้น แฮมิลโทเนียนนี้จึงสามารถระบุได้ว่าเป็นผลรวมอนันต์ของการกระตุ้นออสซิลเลเตอร์โหมดปกติ แบบคลาสสิก φ _kซึ่งแต่ละอันถูกควอนตัมใน ลักษณะ มาตรฐานดังนั้นแฮมิลโทเนียนควอนตัมอิสระจึงดูเหมือนกันφ _k เหล่านี้ ได้กลายเป็นตัวดำเนินการที่ปฏิบัติตามความสัมพันธ์การสลับมาตรฐาน[ φ _k , π _k ^† ] = [ φ _k ^† , π _k ] = iħโดยที่ตัวดำเนินการอื่นๆ ทั้งหมดเป็นศูนย์ ดังนั้น ปริภูมิฮิลเบิร์ตรวมของออสซิลเลเตอร์ทั้งหมดเหล่านี้จึงถูกสร้างขึ้นโดยใช้ตัวดำเนินการสร้างและทำลายที่สร้างขึ้นจากโหมดเหล่านี้ ซึ่ง[ a _k , a _k ^† ] = 1สำหรับทุกkโดยที่ตัวดำเนินการสลับอื่นๆ ทั้งหมดเป็นศูนย์ $${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega _{k}}}}\left(\omega _{k}\phi _{k}+i\pi _{k}\right),\ \ a_{k}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega _{k}}}}\left(\omega _{k}\phi _{k}^{\dagger }-i\pi _{k}^{\dagger }\right),}$$

ถือว่า สุญญากาศถูกทำลายโดยตัวดำเนินการสร้างa _k ทั้งหมด และเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตที่สร้างขึ้นโดยการใช้ตัวดำเนินการสร้างa _k ^† ที่เป็นอนันต์ใดๆ ก็ได้ กับ ปริภูมิ ฮิลเบิร์ตนี้เรียกว่าปริภูมิฟ็อคสำหรับแต่ละkการสร้างนี้จะเหมือนกับตัวสั่นฮาร์มอนิกควอน ตัม สนามควอนตัมเป็นอาร์เรย์อนันต์ของตัวสั่นควอนตั ม จากนั้นแฮมิลโทเนียนควอนตัมจะมีค่าเท่ากับ โดยที่N _kอาจตีความได้ว่าเป็นตัวดำเนินการจำนวนที่ให้จำนวนอนุภาคในสถานะที่มีโมเมนตัมk${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle |0\rangle }$$${\displaystyle H=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\hbar \omega _{k}a_{k}^{\dagger }a_{k}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\hbar \omega _{k}N_{k},}$$

แฮมิลโทเนียนนี้แตกต่างจากนิพจน์ก่อนหน้าโดยการลบพลังงานจุดศูนย์ħω _k /2ของตัวสั่นฮาร์มอนิกแต่ละตัวออกไป ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขที่ว่าHจะต้องทำลายสุญญากาศ โดยไม่ส่งผลกระทบต่อวิวัฒนาการของตัวดำเนินการตามเวลาผ่านการดำเนินการยกกำลังข้างต้น การลบพลังงานจุดศูนย์ นี้ อาจถือได้ว่าเป็นการแก้ปัญหาความกำกวมของการเรียงลำดับตัวดำเนินการควอนตัม เนื่องจากเทียบเท่ากับการกำหนดให้ตัวดำเนินการสร้างทั้งหมดปรากฏอยู่ทางซ้ายของตัวดำเนินการทำลายในการขยายแฮมิลโทเนียน กระบวนการนี้เรียกว่าการเรียงลำดับแบบวิกหรือ การเรียงลำดับ แบบ ปกติ

ฟิลด์อื่นๆ ทั้งหมดสามารถหาปริมาณได้โดยใช้กระบวนการทั่วไปนี้ ฟิลด์เวกเตอร์หรือเทนเซอร์จะมีส่วนประกอบมากกว่า และต้องมีการแนะนำตัวดำเนินการสร้างและทำลายที่เป็นอิสระสำหรับแต่ละส่วนประกอบที่เป็นอิสระ หากฟิลด์มีสมมาตรภายใน ใดๆ ก็ต้องมีการแนะนำตัวดำเนินการสร้างและทำลายสำหรับแต่ละส่วนประกอบของฟิลด์ที่เกี่ยวข้องกับสมมาตรนั้นด้วย หากมีสมมาตรเกจจำนวนส่วนประกอบที่เป็นอิสระของฟิลด์จะต้องได้รับการวิเคราะห์อย่างรอบคอบเพื่อหลีกเลี่ยงการนับซ้ำการกำหนดค่าที่เทียบเท่ากัน และอาจใช้ การตรึงเกจ หากจำเป็น

ปรากฏว่าความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งนั้นมีประโยชน์เฉพาะสำหรับการควอนตัมโบซอน เท่านั้น ซึ่งจำนวนการครอบครองของสถานะใดๆ นั้นไม่จำกัด สำหรับการควอนตัมเฟอร์มิออนซึ่ง สอดคล้องกับหลักการกีดกันของเปาลีจำเป็นต้องใช้แอนติคอมมิวเทเตอร์ ซึ่งกำหนดโดย{ A , B } = AB + BA

เมื่อทำการควอนตัมเฟอร์มิออน ฟิลด์จะถูกขยายออกเป็นตัวดำเนินการสร้างและทำลายθ _k ^† , θ _kซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข $${\displaystyle \{\theta _{k},\theta _{l}^{\dagger }\}=\delta _{kl},\ \ \{\theta _{k},\theta _{l}\}=0,\ \ \{\theta _{k}^{\dagger },\theta _{l}^{\dagger }\}=0.}$$

สถานะต่างๆ ถูกสร้างขึ้นบนสุญญากาศที่ถูกทำลายโดยθ _kและปริภูมิฟ็อคถูกสร้างขึ้นโดยการประยุกต์ใช้ผลคูณทั้งหมดของตัวดำเนินการสร้างθ _k ^†กับ|0⟩หลักการกีดกันของเปาลีเป็นไปตามเงื่อนไข เนื่องจากความสัมพันธ์แบบผกผันการสลับตำแหน่ง ${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle (\theta _{k}^{\dagger })^{2}|0\rangle =0}$

การสร้างสถานะสนามสเกลาร์ข้างต้นนั้นถือว่าศักยภาพมีค่าต่ำสุดที่φ = 0 ดังนั้นสุญญากาศที่ทำให้แฮมิลโทเนียนมีค่าต่ำสุดจึงสอดคล้องกับ⟨ φ ⟩ = 0ซึ่งบ่งชี้ว่าค่าคาดหวังสุญญากาศ (VEV) ของสนามเป็นศูนย์ ในกรณีที่เกี่ยวข้องกับการแตกสมมาตรโดยธรรมชาติอาจมีค่า VEV ที่ไม่เป็นศูนย์ได้ เนื่องจากศักยภาพมีค่าต่ำสุดสำหรับค่าφ = vตัวอย่างเช่น หากV ( φ ) = gφ ⁴ − 2 m ² φ ²โดยที่g > 0และm ² > 0ซึ่งพลังงานต่ำสุดจะพบได้ที่v = ± m / √ gค่าของv ในสุญญากาศเหล่านี้อาจถือได้ว่าเป็นคอนเดนเซตของสนามφจากนั้นจึงสามารถดำเนินการควอนตัมแบบแคนอนิกสำหรับฟิลด์ที่เลื่อนไปφ ( x , t ) − vและสถานะของอนุภาคที่สัมพันธ์กับสุญญากาศที่เลื่อนไปจะถูกกำหนดโดยการควอนตัมฟิลด์ที่เลื่อนไป โครงสร้างนี้ถูกนำไปใช้ในกลไกฮิกส์ในแบบจำลองมาตรฐานของฟิสิกส์ อนุภาค

ทฤษฎีคลาสสิกอธิบายโดยใช้ การแบ่ง ส่วนแบบสเปซไลค์ของปริภูมิเวลาโดยสถานะในแต่ละส่วนจะถูกอธิบายโดยองค์ประกอบของ แมนิ โฟลด์เชิงซิมเพล็กติกโดยวิวัฒนาการของเวลาจะกำหนดโดยซิมเพล็กโตมอร์ฟิซึมที่สร้างขึ้นโดย ฟังก์ชัน แฮมิลโทเนียน บนแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็ กติก พีชคณิตควอนตัมของ "ตัวดำเนินการ" คือ การแปลงรูป ħ ของพีชคณิตของฟังก์ชัน เรียบเหนือปริภูมิเชิงซิ มเพล็กติก โดยที่พจน์นำในการขยายอนุกรมเทย์เลอร์เหนือħของคอมมิวเทเตอร์[ A , B ]ที่แสดงในรูปแบบปริภูมิเฟสคือiħ { A , B } (ในที่นี้ วงเล็บปีกกาหมายถึงวงเล็บปัวซงส่วนพจน์ย่อยทั้งหมดถูกเข้ารหัสไว้ในวงเล็บโมยาลซึ่งเป็นการแปลงรูปควอนตัมที่เหมาะสมของวงเล็บปัวซง) โดยทั่วไป สำหรับปริมาณ (สิ่งที่สังเกตได้) ที่เกี่ยวข้อง และเมื่อให้ค่าอาร์กิวเมนต์ของวงเล็บดังกล่าว การแปลงรูป ħ นั้น ไม่เป็นเอกลักษณ์อย่างมาก—การหาปริมาณเป็น "ศิลปะ" และถูกกำหนดโดยบริบททางกายภาพ (ระบบควอนตัมสอง ระบบ ที่แตกต่างกันอาจแสดงถึงการแปลงรูปที่แตกต่างกันสองแบบที่ไม่เท่ากันของขีดจำกัดคลาสสิก เดียวกัน ħ → 0 )

ทีนี้ เราจะมองหาการแสดงแทนแบบเอกภาพของพีชคณิตควอนตัมนี้ โดยอ้างอิงจากการแสดงแทนแบบเอกภาพดังกล่าว ซิมเพล็กโตมอร์ฟิซึมในทฤษฎีคลาสสิกจะเปลี่ยนรูปไปเป็นการแปลงแบบ เอกภาพ (เมตาเพล็กติก) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ซิมเพล็กโตมอร์ฟิซึมวิวัฒนาการเวลาที่สร้างขึ้นโดยแฮมิลโทเนียนคลาสสิกจะเปลี่ยนรูปไปเป็นการแปลงแบบเอกภาพที่สร้างขึ้นโดยแฮมิลโทเนียนควอนตัมที่สอดคล้องกัน

การขยายความทั่วไปเพิ่มเติมคือการพิจารณาแมนิโฟลด์ปัวซงแทนที่จะเป็นปริภูมิซิมเพล็กติกสำหรับทฤษฎีคลาสสิก และทำการ แปลง ħของพีชคณิตปัวซง ที่สอดคล้องกัน หรือแม้แต่ซูเปอร์แมนิโฟลด์ปัวซง

ตรงกันข้ามกับทฤษฎีการควอนตัมแบบการเปลี่ยนรูปที่อธิบายไว้ข้างต้น การควอนตัมเชิงเรขาคณิตพยายามสร้างปริภูมิฮิลเบิร์ตจริงและตัวดำเนินการบนปริภูมินั้น โดยเริ่มต้นจากแมนิโฟลด์เชิงซิมเพล็กติก เราจะสร้างปริภูมิฮิลเบิร์ตก่อนควอนตัมก่อน ซึ่งประกอบด้วยปริภูมิของส่วนตัดที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ของกลุ่มเส้นตรงที่เหมาะสมเหนือบนปริภูมินี้ เราสามารถแมปค่า สังเกตแบบคลาสสิก ทั้งหมด ไปยังตัวดำเนินการบนปริภูมิฮิลเบิร์ตก่อนควอนตัมได้ โดยที่ตัวสลับตำแหน่งจะสอดคล้องกับวงเล็บปัวซงอย่างแม่นยำ อย่างไรก็ตาม ปริภูมิฮิลเบิร์ตก่อนควอนตั ม นั้นใหญ่เกินไปที่จะอธิบายการควอนตัมของ ได้อย่างชัดเจน${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

จากนั้นจึงเลือกโพลาไรเซชัน ซึ่งก็คือ (โดยประมาณ) การเลือกตัวแปรบนปริภูมิเฟสแบบ n มิติ ปริภูมิฮิลเบิร์ ตค วอนตัม จึงเป็นปริภูมิของส่วนต่างๆ ที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรที่เลือกเท่านั้น ในแง่ที่ว่าตัวแปรเหล่านั้นมีค่าคงที่แบบโคแวเรียนต์ในทิศทางอื่นๆ หากตัวแปรที่เลือกเป็นจำนวนจริง เราจะได้ปริภูมิที่คล้ายกับปริภูมิฮิลเบิร์ตของชโรดิงเกอร์แบบดั้งเดิม หากตัวแปรที่เลือกเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราจะได้ปริภูมิที่คล้ายกับปริภูมิเซกัล-บาร์กมันน์ ${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

• หลักการความสอดคล้อง
• ตัวดำเนินการสร้างและทำลาย
• วงเล็บ Dirac
• วงเล็บโมยาล
• การกำหนดปริภูมิเฟส (ของกลศาสตร์ควอนตัม)
• การหาปริมาณเชิงเรขาคณิต

• สื่อการสอนเกี่ยวกับทฤษฎีสนามควอนตัมคลิกที่ลิงก์บทที่ 1 และ 2 ในเว็บไซต์นี้เพื่อดูบทนำแบบย่อและครอบคลุมเกี่ยวกับการควอนตัมแบบที่สอง ดูหัวข้อ 1.5.2 ในบทที่ 1 ดูหัวข้อ 2.7 และบทสรุปของบทที่ 2