วงเล็บDiracเป็นการวางนัยทั่วไปของวงเล็บ Poissonที่พัฒนาโดยPaul Dirac ^{[ 1 ]}เพื่อจัดการกับระบบคลาสสิกที่มีข้อจำกัดชั้นสองในกลศาสตร์แฮมิลโทเนียนและด้วยเหตุนี้จึงอนุญาตให้ระบบเหล่านั้นสามารถเกิดการควอนตัมแบบแคนอนิกได้เป็นส่วนสำคัญของการพัฒนากลศาสตร์แฮมิลโทเนียน ของ Dirac ในการจัดการกับ Lagrangianทั่วไปได้อย่างสง่างามโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อมีข้อจำกัดอยู่ ทำให้จำนวนตัวแปรที่ปรากฏมีมากกว่าตัวแปรไดนามิก^{[ 2 ]}ในเชิงนามธรรมมากขึ้น รูปแบบสองมิติที่ได้จากวงเล็บ Dirac คือการจำกัดรูปแบบซิมเพล็กติกไว้ที่พื้นผิวข้อจำกัดในปริภูมิเฟส^{[ 3 ]}

บทความนี้สันนิษฐานว่าผู้อ่านมีความคุ้นเคยกับรูปแบบมาตรฐานของลากรางจ์และแฮมิลตันและความเชื่อมโยงกับควอนตัมแบบแคนอนิก รายละเอียดของรูปแบบแฮมิลตันที่ดัดแปลงโดยดิแรกก็ได้รับการสรุปไว้ด้วย เพื่อให้เห็นบริบทของวงเล็บดิแรก

การพัฒนามาตรฐานของกลศาสตร์แฮมิลตันนั้นไม่เพียงพอในสถานการณ์เฉพาะหลายประการ:

1. เมื่อลากรางเจียนเป็นเชิงเส้นอย่างมากในความเร็วของพิกัดอย่างน้อยหนึ่งพิกัด ในกรณีนี้ นิยามของโมเมนตัมเชิงแคนอนิกจะนำไปสู่ข้อจำกัดนี่คือเหตุผลที่พบบ่อยที่สุดในการใช้ตัววงเล็บของดิแรก ตัวอย่างเช่น ลากรางเจียน (ความหนาแน่น) สำหรับเฟอร์มิออน ใดๆ ก็ มีรูปแบบนี้
2. เมื่อมีตัวแปรเชิงเกจ (หรือตัวแปรที่ไม่เป็นรูปธรรมอื่นๆ) ที่จำเป็นต้องกำหนดค่าให้คงที่
3. เมื่อมีข้อจำกัดอื่นใดที่ต้องการกำหนดในปริภูมิเฟส

ตัวอย่างในกลศาสตร์คลาสสิกคืออนุภาคที่มีประจุqและมวลmที่ถูกจำกัดอยู่ใน ระนาบ x - y โดยมีสนามแม่เหล็กตั้งฉากคงที่และสม่ำเสมอที่แรง ^มากดังนั้นจึงชี้ไปใน ทิศทาง zด้วยความแรงB [ ^{4 ]}

ลากรางเจียนสำหรับระบบนี้ เมื่อเลือกพารามิเตอร์อย่างเหมาะสม คือ

$${\displaystyle L={\tfrac {1}{2}}m\mathbf {v} ^{2}+{\frac {q}{c}}\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} -V(\mathbf {r} ),}$$

โดยที่Aคือศักย์เวกเตอร์สำหรับสนามแม่เหล็กB ; cคือความเร็วแสงในสุญญากาศ; และV ( r )คือศักย์สเกลาร์ ภายนอกใดๆ ; เราสามารถกำหนดให้เป็นกำลังสองของxและy ได้อย่างง่ายดาย โดยไม่เสียความเป็นทั่วไปเราใช้

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {B}{2}}\left(x{\hat {\mathbf {y} }}-y{\hat {\mathbf {x} }}\right)}$$

ในฐานะศักยภาพเวกเตอร์ของเรา สิ่งนี้สอดคล้องกับสนามแม่เหล็ก Bที่สม่ำเสมอและคงที่ใน ทิศทาง zในที่นี้ เครื่องหมายหมวกแสดงถึงเวกเตอร์หน่วย อย่างไรก็ตาม ในส่วนต่อไปของบทความ เครื่องหมายหมวกจะถูกใช้เพื่อแยกแยะตัวดำเนินการทางกลศาสตร์ควอนตัมออกจากตัวดำเนินการที่คล้ายคลึงกันในทางคลาสสิก การใช้งานควรจะชัดเจนจากบริบท

กล่าวโดยตรงแล้วลากรางเจียนมีค่าเท่ากับเพียงแค่

$${\displaystyle L={\frac {m}{2}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)+{\frac {qB}{2c}}\left(x{\dot {y}}-y{\dot {x}}\right)-V(x,y)~,}$$

ซึ่งนำไปสู่สมการการเคลื่อนที่

$${\displaystyle {\begin{aligned}m{\ddot {x}}&=-{\frac {\partial V}{\partial x}}+{\frac {qB}{c}}{\dot {y}},\\[1ex]m{\ddot {y}}&=-{\frac {\partial V}{\partial y}}-{\frac {qB}{c}}{\dot {x}}.\end{aligned}}}$$

สำหรับศักยภาพฮาร์มอนิก เกรเดียนต์ของV จะมีค่าเท่ากับพิกัด−( x , y ) เท่านั้น

ในกรณีที่สนามแม่เหล็กมีขนาดใหญ่มากqB / mc ≫ 1เราอาจตัดพจน์พลังงานจลน์ออกเพื่อให้ได้ลากรางเจียนโดยประมาณที่เรียบง่ายได้

$${\displaystyle L={\frac {qB}{2c}}\left(x{\dot {y}}-y{\dot {x}}\right)-V(x,y)\,,}$$

ด้วยสมการการเคลื่อนที่อันดับแรก

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=-{\frac {c}{qB}}{\frac {\partial V}{\partial y}}\,,\\[1ex]{\dot {y}}&={\hphantom {-}}{\frac {c}{qB}}{\frac {\partial V}{\partial x}}.\end{aligned}}}$$

โปรดสังเกตว่าลากรางเจียนโดยประมาณนี้เป็นเชิงเส้นในความเร็วซึ่งเป็นหนึ่งในเงื่อนไขที่ทำให้กระบวนการแฮมิลโทเนียนมาตรฐานล้มเหลว แม้ว่าตัวอย่างนี้จะถูกยกมาเป็นตัวอย่างโดยประมาณ แต่ลากรางเจียนที่กำลังพิจารณาอยู่นั้นถูกต้องตามหลักการและนำไปสู่สมการการเคลื่อนที่ที่สอดคล้องกันในรูปแบบลากรางเจียน

อย่างไรก็ตาม เมื่อปฏิบัติตามขั้นตอนของแฮมิลโทเนียน โมเมนตัมเชิงแคนอนิกที่เกี่ยวข้องกับพิกัดจะเป็นดังนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}&={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=-{\frac {qB}{2c}}y\,,\\[1ex]p_{y}&={\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}={\hphantom {-}}{\frac {qB}{2c}}x\,,\end{aligned}}}$$

ซึ่งมีความผิดปกติตรงที่มันไม่สามารถผกผันกับความเร็วได้ แต่กลับถูกจำกัดให้เป็นฟังก์ชันของพิกัดแทน กล่าวคือ ตัวแปรในปริภูมิเฟสทั้งสี่มีความสัมพันธ์เชิงเส้น ดังนั้นฐานตัวแปรจึงเกินจำนวนที่กำหนด

จากนั้น การแปลงเลอจองเดอร์จะสร้างแฮมิลโทเนียนขึ้นมา

$${\displaystyle H(x,y,p_{x},p_{y})={\dot {x}}p_{x}+{\dot {y}}p_{y}-L=V(x,y)}$$

โปรดทราบว่าแฮมิลโทเนียนแบบ "พื้นฐาน" นี้ไม่มีความขึ้นอยู่กับโมเมนตัมซึ่งหมายความว่าสมการการเคลื่อนที่ (สมการของแฮมิลตัน) นั้นไม่สอดคล้องกัน

กระบวนการแฮมิลโทเนียนล้มเหลวแล้ว เราอาจลองแก้ไขปัญหาโดยการตัดส่วนประกอบสองส่วนของ ปริภูมิเฟส 4มิติออกไป เช่นyและp _yเหลือเพียงปริภูมิเฟสลดรูป2มิติ ซึ่งบางครั้งแสดงพิกัดเป็นโมเมนตัมและบางครั้งเป็นพิกัด อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่ทั้งวิธีแก้ปัญหาทั่วไปหรือวิธีที่ถูกต้องแม่นยำ นี่คือหัวใจสำคัญของปัญหา: นิยามของโมเมนตัมเชิงแคนอนิกบ่งบอกถึงข้อจำกัดในปริภูมิเฟส (ระหว่างโมเมนตัมและพิกัด) ซึ่งไม่เคยถูกนำมาพิจารณาเลย

ในกลศาสตร์ลากรางจ์ หากระบบมีข้อจำกัดแบบโฮโลโนมิกโดยทั่วไปแล้วจะต้องเพิ่มตัวคูณลากรางจ์เข้าไปในลากรางจ์เพื่อพิจารณาข้อจำกัดเหล่านั้น พจน์เพิ่มเติมจะหายไปเมื่อข้อจำกัดเป็นไปตามเงื่อนไข ซึ่งจะบังคับให้เส้นทางของการกระทำที่อยู่กับที่อยู่บนพื้นผิวข้อจำกัด ในกรณีนี้ การเปลี่ยนไปใช้รูปแบบแฮมิลโทเนียนจะนำมาซึ่งข้อจำกัดเกี่ยวกับปริภูมิเฟสในกลศาสตร์แฮมิลโทเนียน แต่คำตอบก็คล้ายคลึงกัน

ก่อนที่จะดำเนินการต่อไป เราควรทำความเข้าใจแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมแบบอ่อนและความเท่าเทียมแบบแข็งเสียก่อน ฟังก์ชันสองฟังก์ชันบนปริภูมิเฟสfและgจะเท่ากันแบบอ่อนก็ต่อเมื่อฟังก์ชันทั้งสองเท่ากันเมื่อเงื่อนไขข้อจำกัดเป็นไปตามที่กำหนด แต่ไม่เท่ากันตลอดทั้งปริภูมิเฟสโดยเขียนแทนด้วยf ≈ gหากfและgเท่ากันโดยไม่ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขข้อจำกัด ฟังก์ชันทั้งสองจะเรียกว่าเท่ากันแบบแข็ง โดยเขียนแทนด้วยf = gสิ่งสำคัญที่ควรทราบคือ เพื่อให้ได้คำตอบที่ถูกต้องห้ามใช้สมการแบบอ่อนใดๆ ก่อนที่จะประเมินอนุพันธ์หรือวงเล็บปัวซง

ขั้นตอนใหม่นี้ทำงานดังนี้ เริ่มต้นด้วยลากรางเจียนและกำหนดโมเมนตัมเชิงแคนอนิกในแบบปกติ นิยามบางอย่างอาจไม่สามารถผกผันได้ และจะให้ข้อจำกัดในปริภูมิเฟสแทน (ดังที่กล่าวมาข้างต้น) ข้อจำกัดที่ได้มาในลักษณะนี้หรือที่กำหนดตั้งแต่เริ่มต้นของปัญหาเรียกว่าข้อจำกัดหลักข้อจำกัดเหล่านี้ซึ่งมีป้ายกำกับว่าφ _jจะต้องมีค่าเป็นศูนย์อย่างอ่อนφ _j ( p , q ) ≈ 0

ถัดไป เราจะหา แฮมิล โทเนียนแบบง่ายHด้วยวิธีปกติโดยใช้การแปลงเลอจองเดอร์ เหมือนกับตัวอย่างข้างต้นทุกประการ โปรดสังเกตว่าแฮมิลโทเนียนสามารถเขียนได้ในรูปฟังก์ชันของq s และp s เท่านั้นเสมอ แม้ว่าความเร็วจะไม่สามารถแปลงกลับเป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมได้ก็ตาม

ดิแรกแย้งว่าเราควรขยายแฮมิลโทเนียน (ในลักษณะที่คล้ายคลึงกับวิธีตัวคูณลากรางจ์) ไปสู่

$${\displaystyle H^{*}=H+\sum _{j}c_{j}\phi _{j}\approx H,}$$

โดยที่c _jไม่ใช่ค่าคงที่ แต่เป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัม เนื่องจากแฮมิลโทเนียนใหม่นี้เป็นฟังก์ชันทั่วไปที่สุดของพิกัดและโมเมนตัมที่เท่ากับแฮมิลโทเนียนแบบดั้งเดิมอย่างอ่อนH ^*จึงเป็นการขยายแฮมิลโทเนียนที่กว้างที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ดังนั้นδH * ≈ δHเมื่อδϕ _j ≈ 0

เพื่อให้เข้าใจc _j ได้ดียิ่งขึ้น ลองพิจารณาดูว่าเราจะได้สมการการเคลื่อนที่จากแฮมิลโทเนียนแบบง่ายๆ ในขั้นตอนมาตรฐานได้อย่างไร เราจะขยายความแปรผันของแฮมิลโทเนียนออกไปในสองวิธี แล้วกำหนดให้เท่ากัน (โดยใช้สัญลักษณ์ย่อๆ ที่ละเว้นดัชนีและผลรวม):

$${\displaystyle \delta H={\frac {\partial H}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial H}{\partial p}}\delta p\approx {\dot {q}}\delta p-{\dot {p}}\delta q~,}$$

โดยที่ความเท่าเทียมกันข้อที่สองเป็นจริงหลังจากลดรูปด้วยสมการการเคลื่อนที่ของออยเลอร์-ลากรองจ์และนิยามของโมเมนตัมเชิงแคนอน จากความเท่าเทียมกันนี้ เราสามารถอนุมานสมการการเคลื่อนที่ในรูปแบบแฮมิลโทเนียนได้จาก

$${\displaystyle \left({\frac {\partial H}{\partial q}}+{\dot {p}}\right)\delta q+\left({\frac {\partial H}{\partial p}}-{\dot {q}}\right)\delta p=0~,}$$

โดยที่สัญลักษณ์ความเท่าเทียมแบบอ่อนจะไม่แสดงอย่างชัดเจนอีกต่อไป เนื่องจากตามนิยามแล้วสมการการเคลื่อนที่นั้นเป็นจริงแบบอ่อนเท่านั้น ในบริบทปัจจุบัน เราไม่สามารถกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ของδqและδpให้เป็นศูนย์แยกกันได้ เนื่องจากความแปรผันนั้นถูกจำกัดไว้บ้างโดยข้อจำกัด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความแปรผันจะต้องสัมผัสกับพื้นผิวข้อจำกัด

สามารถพิสูจน์ได้ว่าวิธีแก้ปัญหา

$${\displaystyle \sum _{n}A_{n}\delta q_{n}+\sum _{n}B_{n}\delta p_{n}=0,}$$

สำหรับการเปลี่ยนแปลงδq _nและδp _nที่ถูกจำกัดโดยข้อจำกัดΦ _j ≈ 0 (โดยสมมติว่าข้อจำกัดเป็นไปตามเงื่อนไขความสม่ำเสมอ บางประการ ) โดยทั่วไปคือ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&=\sum _{m}u_{m}{\frac {\partial \phi _{m}}{\partial q_{n}}},\\[1ex]B_{n}&=\sum _{m}u_{m}{\frac {\partial \phi _{m}}{\partial p_{n}}},\end{aligned}}}$$

โดยที่u และ _mเป็นฟังก์ชันใดๆ ก็ได้

เมื่อใช้ผลลัพธ์นี้ สมการการเคลื่อนที่จึงเป็นดังนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {p}}_{j}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}}-\sum _{k}u_{k}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial q_{j}}},\\[1ex]&{\dot {q}}_{j}={\hphantom {-}}{\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}+\sum _{k}u_{k}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial p_{j}}}\\[1ex]&\phi _{j}(q,p)=0,\end{aligned}}}$$

โดยที่u และ _kเป็นฟังก์ชันของพิกัดและความเร็ว ซึ่งสามารถกำหนดได้ในทางทฤษฎีจากสมการการเคลื่อนที่ข้อที่สองข้างต้น

การแปลงเลอจองเดอร์ระหว่างรูปแบบลากรางจ์และรูปแบบแฮมิลตันถูกรักษาไว้ได้โดยแลกกับการเพิ่มตัวแปรใหม่

สมการการเคลื่อนที่จะกระชับยิ่งขึ้นเมื่อใช้ตัวดำเนินการปัวซง เนื่องจากถ้าfเป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัมแล้ว

$${\displaystyle {\dot {f}}\approx \{f,H^{*}\}_{PB}\approx \{f,H\}_{PB}+\sum _{k}u_{k}\{f,\phi _{k}\}_{PB},}$$

หากเราสมมติว่าวงเล็บปัวซงที่มีu _k (ฟังก์ชันของความเร็ว) มีอยู่จริง สิ่งนี้จะไม่ก่อให้เกิดปัญหาใดๆ เนื่องจากส่วนประกอบนั้นมีค่าเป็นศูนย์อย่างอ่อน อย่างไรก็ตาม มีเงื่อนไขความสอดคล้องบางประการที่ต้องได้รับการตอบสนองเพื่อให้รูปแบบนี้มีความหมาย หากเงื่อนไขข้อจำกัดจะได้รับการตอบสนอง สมการการเคลื่อนที่ของพวกมันจะต้องมีค่าเป็นศูนย์อย่างอ่อน นั่นคือ เราต้องการ

$${\displaystyle {\dot {\phi _{j}}}\approx \{\phi _{j},H\}_{PB}+\sum _{k}u_{k}\{\phi _{j},\phi _{k}\}_{PB}\approx 0.}$$

มีอาการผิดปกติสี่ประเภทที่แตกต่างกันซึ่งอาจเป็นผลมาจากสาเหตุข้างต้น:

1. สมการที่ผิดโดยเนื้อแท้ เช่น1= 0
2. สมการที่เป็นจริงโดยสมบูรณ์ อาจหลังจากใช้ข้อจำกัดหลักข้อใดข้อหนึ่งของเราแล้ว
3. สมการที่กำหนดข้อจำกัดใหม่ให้กับพิกัดและโมเมนตัมของเรา แต่ไม่ขึ้นอยู่กับu _k
4. สมการที่ใช้ระบุค่าu _k

กรณีแรกแสดงให้เห็นว่าลากรางเจียนเริ่มต้นให้สมการการเคลื่อนที่ที่ไม่สอดคล้องกัน เช่นL = qส่วนกรณีที่สองไม่ได้ให้ข้อมูลใหม่ใดๆ

กรณีที่สามให้ข้อจำกัดใหม่ในปริภูมิเฟส ข้อจำกัดที่ได้มาในลักษณะนี้เรียกว่าข้อจำกัดรองเมื่อพบข้อจำกัดรองแล้ว ควรเพิ่มข้อจำกัดนั้นลงในแฮมิลโทเนียนที่ขยายแล้ว และตรวจสอบเงื่อนไขความสอดคล้องใหม่ ซึ่งอาจส่งผลให้เกิดข้อจำกัดเพิ่มเติม ทำซ้ำกระบวนการนี้จนกว่าจะไม่มีข้อจำกัดเพิ่มเติม ความแตกต่างระหว่างข้อจำกัดหลักและข้อจำกัดรองนั้นส่วนใหญ่เป็นเพียงความแตกต่างที่สร้างขึ้น (เช่น ข้อจำกัดสำหรับระบบเดียวกันอาจเป็นข้อจำกัดหลักหรือข้อจำกัดรองก็ได้ ขึ้นอยู่กับลากรางเจียน) ดังนั้นบทความนี้จึงไม่แยกความแตกต่างระหว่างข้อจำกัดทั้งสองนี้อีกต่อไป สมมติว่าเงื่อนไขความสอดคล้องได้รับการทำซ้ำจนกว่าจะพบข้อจำกัดทั้งหมดแล้วϕ _jจะเป็นตัวกำหนดดัชนีของข้อจำกัดทั้งหมดเหล่านั้น โปรดทราบว่าบทความนี้ใช้คำว่าข้อจำกัดรองเพื่อหมายถึงข้อจำกัดใดๆ ที่ไม่ได้อยู่ในปัญหาตั้งแต่แรก หรือไม่ได้มาจากคำจำกัดความของโมเมนตัมเชิงแคนอนิก ผู้เขียนบางคนแยกความแตกต่างระหว่างข้อจำกัดรอง ข้อจำกัดตติยภูมิ เป็นต้น

สุดท้าย กรณีสุดท้ายจะช่วยแก้ไขค่าu _kได้ หากในตอนท้ายของกระบวนการนี้ ค่าu _kยังไม่ถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์ นั่นหมายความว่ามี ระดับความเป็นอิสระ ที่ไม่เป็นไปตามหลักฟิสิกส์ (เกจ) ในระบบ เมื่อเพิ่มข้อจำกัดทั้งหมด (หลักและรอง) ลงในแฮมิลโทเนียนแบบง่าย และนำคำตอบของเงื่อนไขความสอดคล้องสำหรับu _kมาใส่ ผลลัพธ์ที่ได้เรียกว่า แฮมิลโท เนียน ทั้งหมด

ตัวแปรu _kต้องแก้ชุดสมการเชิงเส้นไม่เอกพันธุ์ในรูปแบบต่อไปนี้

$${\displaystyle \{\phi _{j},H\}_{PB}+\sum _{k}u_{k}\{\phi _{j},\phi _{k}\}_{PB}\approx 0.}$$

สมการข้างต้นต้องมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งคำตอบ มิฉะนั้นลากรางเจียนเริ่มต้นจะไม่สอดคล้องกัน อย่างไรก็ตาม ในระบบที่มีระดับความเป็นอิสระของเกจ คำตอบจะไม่เป็นเอกลักษณ์ คำตอบทั่วไปที่สุดมีรูปแบบดังนี้

$${\displaystyle u_{k}=U_{k}+V_{k},}$$

โดยที่U _kคือคำตอบเฉพาะ และV _kคือคำตอบทั่วไปที่สุดของสมการเอกพันธุ์

$${\displaystyle \sum _{k}V_{k}\{\phi _{j},\phi _{k}\}_{PB}\approx 0.}$$

วิธีแก้ปัญหาทั่วไปที่สุดจะเป็นการรวมเชิงเส้นของคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นของสมการเอกพันธุ์ข้างต้น จำนวนคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นเท่ากับจำนวนu _k (ซึ่งเท่ากับจำนวนข้อจำกัด) ลบด้วยจำนวนเงื่อนไขความสอดคล้องประเภทที่สี่ (ในหัวข้อก่อนหน้า) นี่คือจำนวนองศาอิสระที่ไม่สมจริงในระบบ เมื่อกำหนดให้คำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นV _k ^aโดยที่ดัชนีaมีค่าตั้งแต่1ถึงจำนวนองศาอิสระที่ไม่สมจริง คำตอบทั่วไปของเงื่อนไขความสอดคล้องจะมีรูปแบบดังนี้

$${\displaystyle u_{k}\approx U_{k}+\sum _{a}v_{a}V_{k}^{a},}$$

โดยที่ฟังก์ชันเวลาเป็นฟังก์ชันที่กำหนดขึ้นเองโดยสมบูรณ์ การเลือกที่แตกต่างกันของจะสอดคล้องกับการแปลงเกจ และควรจะทำให้สถานะทางกายภาพของระบบไม่เปลี่ยนแปลง^{[ 6 ]}${\displaystyle v_{a}}$${\displaystyle v_{a}}$

ณ จุดนี้ เป็นเรื่องปกติที่จะนำเสนอแฮมิลโทเนียนทั้งหมด

$${\displaystyle H_{T}=H+\sum _{k}U_{k}\phi _{k}+\sum _{a,k}v_{a}V_{k}^{a}\phi _{k}}$$

และสิ่งที่ถูกระบุไว้ $${\displaystyle H'=H+\sum _{k}U_{k}\phi _{k}.}$$

การเปลี่ยนแปลงตามเวลาของฟังก์ชันบนปริภูมิเฟสfนั้นถูกควบคุมโดย

$${\displaystyle {\dot {f}}\approx \{f,H_{T}\}_{PB}.}$$

ต่อมาได้มีการนำเสนอแฮมิลโทเนียนแบบขยาย สำหรับปริมาณที่ไม่ขึ้นกับเกจ (ปริมาณที่วัดได้ทางกายภาพ) แฮมิลโทเนียนทั้งหมดควรให้วิวัฒนาการตามเวลาที่เหมือนกัน เนื่องจากพวกมันสมมูลกันอย่างอ่อนทั้งหมด ความแตกต่างนี้จะมีความสำคัญก็ต่อเมื่อเป็นปริมาณที่ไม่ขึ้นกับเกจเท่านั้น

ข้างต้นคือทุกสิ่งที่จำเป็นในการค้นหาสมการการเคลื่อนที่ในกระบวนการแฮมิลโทเนียนที่ปรับปรุงแล้วของดิแรก อย่างไรก็ตาม การมีสมการการเคลื่อนที่นั้นไม่ใช่จุดสิ้นสุดของการพิจารณาทางทฤษฎี หากต้องการหาค่าควอนตัมแบบแคนอนิกของระบบทั่วไป ก็จำเป็นต้องใช้ตัววงเล็บดิแรก ก่อนที่จะกำหนดตัววงเล็บดิแรกจำเป็นต้องแนะนำข้อจำกัด ระดับแรกและระดับที่สองเสีย ก่อน

เราเรียกฟังก์ชันf ( q , p )ของพิกัดและโมเมนตัมว่าเป็นฟังก์ชันชั้นหนึ่ง ถ้าวงเล็บปัวซงของฟังก์ชันนี้ที่มีข้อจำกัดทั้งหมดเป็นศูนย์อย่างอ่อน นั่นคือ

$${\displaystyle \{f,\phi _{j}\}_{PB}\approx 0,}$$

สำหรับทุกjโปรดทราบว่าปริมาณเดียวที่หายไปอย่างอ่อนคือข้อจำกัดϕ _jและดังนั้นสิ่งใดก็ตามที่หายไปอย่างอ่อนจะต้องเท่ากับผลรวมเชิงเส้นของข้อจำกัดอย่างเข้มงวด สามารถพิสูจน์ได้ว่าวงเล็บปัวซงของปริมาณชั้นแรกสองปริมาณจะต้องเป็นชั้นแรกเช่นกัน ข้อจำกัดชั้นแรกมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับระดับความเป็นอิสระที่ไม่เป็นไปตามหลักฟิสิกส์ที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ กล่าวคือ จำนวนข้อจำกัดชั้นแรกที่เป็นอิสระเท่ากับจำนวนระดับความเป็นอิสระที่ไม่เป็นไปตามหลักฟิสิกส์ และยิ่งไปกว่านั้น ข้อจำกัดชั้นแรกหลักสร้างการแปลงเกจ Dirac ยังตั้งสมมติฐานเพิ่มเติมว่าข้อจำกัดชั้นแรกทุติยภูมิทั้งหมดเป็นตัวสร้างการแปลงเกจ ซึ่งปรากฏว่าไม่เป็นความจริง อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้วจะดำเนินการภายใต้สมมติฐานว่าข้อจำกัดชั้นแรกทั้งหมดสร้างการแปลงเกจเมื่อใช้วิธีการนี้^{[ 7 ]}

เมื่อเพิ่มข้อจำกัดรองชั้นแรกเข้าไปในแฮมิลโทเนียนที่มีค่าv _a ใดๆ ก็ตาม เหมือนกับการเพิ่มข้อจำกัดหลักชั้นแรกเพื่อให้ได้แฮมิลโทเนียนทั้งหมดแล้ว จะได้แฮมิลโทเนียนแบบขยาย แฮมิลโทเนียนแบบขยายนี้ให้วิวัฒนาการของเวลาที่เป็นไปได้มากที่สุดสำหรับปริมาณใดๆ ที่ขึ้นอยู่กับเกจ และอาจเป็นการขยายสมการการเคลื่อนที่จากรูปแบบของลากรางจ์ได้อีกด้วย

เพื่อจุดประสงค์ในการแนะนำวงเล็บ Dirac สิ่งที่น่าสนใจในทันทีมากกว่าคือข้อจำกัดชั้นที่สองข้อจำกัดชั้นที่สองคือข้อจำกัดที่มีวงเล็บ Poisson ที่ไม่เป็นศูนย์ร่วมกับข้อจำกัดอื่นอย่างน้อยหนึ่งข้อ

ตัวอย่างเช่น พิจารณาข้อจำกัดชั้นที่สองϕ 1 _และ ϕ 2 _ซึ่งวงเล็บปัวซงเป็นเพียงค่าคงที่c

$${\displaystyle \{\phi _{1},\phi _{2}\}_{PB}=c~.}$$

ทีนี้ สมมติว่าเราต้องการใช้การควอนตัมแบบแคนอนิก พิกัดในปริภูมิเฟสจะกลายเป็นตัวดำเนินการที่มีตัวสลับกลายเป็นiħคูณกับวงเล็บปัวซงแบบคลาสสิก โดยสมมติว่าไม่มีปัญหาเรื่องลำดับที่ก่อให้เกิดการแก้ไขควอนตัมใหม่ นั่นหมายความว่า

$${\displaystyle [{\hat {\phi }}_{1},{\hat {\phi }}_{2}]=i\hbar c,}$$

โดยที่หมวกเหล่านั้นเน้นย้ำข้อเท็จจริงที่ว่าข้อจำกัดนั้นอยู่ที่ตัวดำเนินการ

ในด้านหนึ่ง การควอนตัมแบบแคนอนิกให้ความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งข้างต้น แต่ในอีกด้านหนึ่งϕ ₁และϕ ₂เป็นข้อจำกัดที่ต้องเป็นศูนย์ในสถานะทางกายภาพ ในขณะที่ด้านขวามือไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นถึงความจำเป็นในการวางนัยทั่วไปของวงเล็บปัวซงซึ่งเคารพข้อจำกัดของระบบ และนำไปสู่กระบวนการควอนตัมที่สอดคล้องกัน วงเล็บใหม่นี้ควรเป็นแบบทวิเชิงเส้น สมมาตรผกผัน สอดคล้องกับเอกลักษณ์ของจาโคบีเช่นเดียวกับวงเล็บปัวซง ลดรูปเป็นวงเล็บปัวซงสำหรับระบบที่ไม่มีข้อจำกัด และนอกจากนี้วงเล็บของข้อจำกัดชั้นสองใดๆ กับปริมาณอื่นๆ ต้องเป็นศูนย์

ในขั้นตอนนี้ ข้อจำกัดของคลาสที่สองจะถูกกำหนดป้ายกำกับ กำหนดเมทริกซ์ที่มีรายการต่างๆ ${\displaystyle {\tilde {\phi }}_{a}}$$${\displaystyle M_{ab}=\{{\tilde {\phi }}_{a},{\tilde {\phi }}_{b}\}_{PB}.}$$

ในกรณีนี้ วงเล็บ Dirac ของฟังก์ชันสองฟังก์ชันบนปริภูมิเฟสfและgถูกกำหนดดังนี้

โดยที่M ⁻¹ _abหมายถึง ค่า abในเมทริกซ์ผกผันของM ดิแรกพิสูจน์แล้วว่า M จะหาเมทริกซ์ผกผันได้เสมอ

เป็นการง่ายที่จะตรวจสอบว่านิยามของวงเล็บ Dirac ข้างต้นนั้นตรงตามคุณสมบัติที่ต้องการทั้งหมด โดยเฉพาะอย่างยิ่งคุณสมบัติสุดท้าย คือ การหายไปสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นข้อจำกัดระดับสอง

เมื่อใช้การควอนตัมแบบแคนอนิกกับระบบแฮมิลโทเนียนที่มีข้อจำกัด ตัวสลับของตัวดำเนินการจะถูกแทนที่ด้วยiħ คูณกับ วงเล็บ Diracแบบคลาสสิกเนื่องจากวงเล็บ Dirac เคารพข้อจำกัด จึงไม่จำเป็นต้องระมัดระวังในการประเมินวงเล็บทั้งหมดก่อนที่จะใช้สมการอ่อนใดๆ ดังเช่นในกรณีของวงเล็บ Poisson

โปรดทราบว่า ในขณะที่วงเล็บปัวซงของตัวแปรโบซอนิก (กราสส์มันน์คู่) กับตัวมันเองจะต้องเป็นศูนย์ แต่วงเล็บปัวซงของเฟอร์มิออนที่แสดงเป็นตัวแปรกราสส์มันน์กับตัวมันเองนั้นไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าในกรณีของเฟอร์มิออนนั้นเป็นไปได้ที่จะมีข้อจำกัดชั้นที่สองเป็นจำนวนคี่

กลับมาที่ตัวอย่างข้างต้น แฮมิลโทเนียนแบบง่ายๆ และข้อจำกัดหลักสองประการคือ

$${\displaystyle H=V(x,y)}$$$${\displaystyle \phi _{1}=p_{x}+{\tfrac {qB}{2c}}y,\quad \phi _{2}=p_{y}-{\tfrac {qB}{2c}}x.}$$

ดังนั้น แฮมิลโทเนียนแบบขยายสามารถเขียนได้ดังนี้

$${\displaystyle H^{*}=V(x,y)+u_{1}\left(p_{x}+{\tfrac {qB}{2c}}y\right)+u_{2}\left(p_{y}-{\tfrac {qB}{2c}}x\right).}$$

ขั้นตอนต่อไปคือการใช้เงื่อนไขความสอดคล้อง{ Φ _j , H ^* } _PB ≈ 0ซึ่งในกรณีนี้จะกลายเป็น

$${\displaystyle {\begin{aligned}\{\phi _{1},H\}_{PB}+\sum _{j}u_{j}\{\phi _{1},\phi _{j}\}_{PB}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}+u_{2}{\frac {qB}{c}}\approx 0\\[1ex]\{\phi _{2},H\}_{PB}+\sum _{j}u_{j}\{\phi _{2},\phi _{j}\}_{PB}=-{\frac {\partial V}{\partial y}}-u_{1}{\frac {qB}{c}}\approx 0.\end{aligned}}}$$

สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่ข้อจำกัดรอง แต่เป็นเงื่อนไขที่กำหนดค่าu ₁และu ₂ดังนั้นจึงไม่มีข้อจำกัดรอง และสัมประสิทธิ์ที่กำหนดขึ้นเองนั้นถูกกำหนดไว้อย่างสมบูรณ์ ซึ่งบ่งชี้ว่าไม่มีระดับความเป็นอิสระที่ไม่สมจริง

ถ้าแทนค่าu ₁และu ₂ ลงไป จะเห็นได้ว่าสมการการเคลื่อนที่คือ

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=\{x,H\}_{PB}+u_{1}\{x,\phi _{1}\}_{PB}+u_{2}\{x,\phi _{2}\}\\[2pt]&=-{\frac {c}{qB}}{\frac {\partial V}{\partial y}},\\[1.2ex]{\dot {y}}&={\frac {c}{qB}}{\frac {\partial V}{\partial x}},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {p}}_{x}&=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial V}{\partial x}},&{\dot {p}}_{y}&=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial V}{\partial y}},\end{aligned}}}$$

ซึ่งมีความสอดคล้องในตัวเองและตรงกับสมการการเคลื่อนที่แบบลากรางจ์

การคำนวณอย่างง่ายยืนยันว่าϕ ₁และϕ ₂เป็นข้อจำกัดระดับที่สอง เนื่องจาก

$${\displaystyle \{\phi _{1},\phi _{2}\}_{PB}=-\{\phi _{2},\phi _{1}\}_{PB}={\frac {qB}{c}},}$$

ดังนั้นเมทริกซ์จึงมีลักษณะดังนี้

$${\displaystyle M={\frac {qB}{c}}\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}\right),}$$

ซึ่งสามารถพลิกลับได้ง่ายๆ เป็น

$${\displaystyle M^{-1}={\frac {c}{qB}}\left({\begin{matrix}0&-1\\1&0\end{matrix}}\right)\quad \Rightarrow \quad M_{ab}^{-1}=-{\frac {c}{qB_{0}}}\varepsilon _{ab},}$$

โดยที่ε _abคือสัญลักษณ์ Levi-Civitaดังนั้น วงเล็บ Dirac จึงถูกกำหนดให้เป็น

$${\displaystyle \{f,g\}_{DB}=\{f,g\}_{PB}+{\frac {c\varepsilon _{ab}}{qB}}\{f,\phi _{a}\}_{PB}\{\phi _{b},g\}_{PB}.}$$

หากใช้ตัวดำเนินการ Dirac bracket แทนตัวดำเนินการ Poisson bracket เสมอ ก็จะไม่มีปัญหาเรื่องลำดับการใช้ข้อจำกัดและการประเมินนิพจน์ เนื่องจาก Dirac bracket ของสิ่งใดก็ตามที่เป็นศูนย์แบบอ่อน จะมีค่าเท่ากับศูนย์แบบเข้ม นั่นหมายความว่าเราสามารถใช้ Hamiltonian แบบง่ายๆ ร่วมกับ Dirac bracket แทนได้ เพื่อให้ได้สมการการเคลื่อนที่ที่ถูกต้อง ซึ่งสามารถตรวจสอบได้ง่ายๆ จากสมการข้างต้น

ในการหาค่าควอนตัมของระบบ จำเป็นต้องใช้ตัวดำเนินการ Dirac ระหว่างตัวแปรทั้งหมดในปริภูมิเฟส ตัวดำเนินการ Dirac ที่ไม่เป็นศูนย์สำหรับระบบนี้คือ

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\{x,y\}_{DB}=-{\frac {c}{qB}}\\[4pt]&\{x,p_{x}\}_{DB}=\{y,p_{y}\}_{DB}={\tfrac {1}{2}}\end{aligned}}}$$

ในขณะที่พจน์ไขว้หายไป และ

$${\displaystyle \{p_{x},p_{y}\}_{DB}=-{\frac {qB}{4c}}.}$$

ดังนั้น การนำการควอนตัมแบบแคนอนิกไปใช้ อย่างถูกต้อง จึงกำหนดความสัมพันธ์การสลับตำแหน่ง

$${\displaystyle {\begin{aligned}&[{\hat {x}},{\hat {y}}]=-i{\frac {\hbar c}{qB}}\\&[{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=[{\hat {y}},{\hat {p}}_{y}]=i{\frac {\hbar }{2}}\end{aligned}}}$$

โดยที่พจน์ไขว้หายไป และ

$${\displaystyle [{\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{y}]=-i{\frac {\hbar qB}{4c}}~.}$$

ตัวอย่างนี้มีคอมมิวเทเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ระหว่างx̂และŷซึ่งหมายความว่าโครงสร้างนี้ระบุถึงเรขาคณิตที่ไม่สลับที่กันได้ (เนื่องจากพิกัดทั้งสองไม่สลับที่กันได้ จึงจะมีหลักการความไม่แน่นอนสำหรับ ตำแหน่ง xและy )

ในทำนองเดียวกัน สำหรับการเคลื่อนที่อิสระบนไฮเปอร์สเฟียร์S ⁿพิกัดn + 1จะถูกจำกัดx _i x ⁱ = 1จากลากรางเจียนจลน์ธรรมดา เห็นได้ชัดว่าโมเมนตัมของพวกมันตั้งฉากกับพวกมันx _i p ⁱ = 0ดังนั้นวงเล็บ Dirac ที่สอดคล้องกันจึงง่ายต่อการคำนวณเช่นกัน^{[ 8 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\{x_{i},x_{j}\}_{DB}&=0,\\\{x_{i},p_{j}\}_{DB}&=\delta _{ij}-x_{i}x_{j},\\\{p_{i},p_{j}\}_{DB}&=x_{j}p_{i}-x_{i}p_{j}~.\end{aligned}}}$$

ตัวแปรปริภูมิเฟสแบบมีข้อจำกัด( 2n + 1) ตัว ( xi _, pi )เป็นไปตามวงเล็บ Dirac ที่เรียบง่าย_กว่าตัวแปร แบบไม่มีข้อจำกัด 2n ตัว มาก หากเรากำจัด xตัวใดตัวหนึ่งและp ตัวใดตัวหนึ่งออกไป โดยใช้ข้อจำกัดสองข้อตั้งแต่เริ่มต้น ซึ่งจะเป็นไปตามวงเล็บ Poisson ธรรมดา วงเล็บ Dirac เพิ่มความเรียบง่ายและความสง่างาม แต่ต้องแลกมาด้วยตัวแปรปริภูมิเฟส (แบบมีข้อจำกัด) ที่มากเกินไป

ตัวอย่างเช่น สำหรับการเคลื่อนที่อย่างอิสระบนวงกลมn = 1สำหรับx ₁ ≡ zและการกำจัดx ₂ ออก จากข้อจำกัดของวงกลมจะได้ผลลัพธ์ที่ไม่มีข้อจำกัด

$${\displaystyle L={\frac {1}{2}}{\frac {{\dot {z}}^{2}}{1-z^{2}}}\,,}$$

ด้วยสมการการเคลื่อนที่

$${\displaystyle {\ddot {z}}=-z{\frac {{\dot {z}}^{2}}{1-z^{2}}}=-z2E~,}$$

การแกว่ง; ในขณะที่ระบบที่มีข้อจำกัดเทียบเท่าที่มีH = p ² /2 = Eให้ผลลัพธ์ ดังนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}^{i}&=\{x^{i},H\}_{DB}=p^{i},\\[4pt]{\dot {p}}^{i}&=\{p^{i},H\}_{DB}=-x^{i}~p^{2},\end{aligned}}}$$

จากนั้นโดยทันที แทบจะสังเกตได้จากการแกว่งตัวของตัวแปรทั้งสอง

$${\displaystyle {\ddot {x}}^{i}=-x^{i}2E\,.}$$

• การหาปริมาณเชิงแคนอน
• กลศาสตร์แฮมิลตัน
• วงเล็บปัวซง
• วงเล็บโมยาล
• ข้อจำกัดชั้นแรก
• ข้อจำกัดชั้นสอง
• ลากรางเจียน
• โครงสร้างซิมเพล็กติก
• ความสมบูรณ์แบบมากเกินไป