ปริภูมิ ฟ็อค (Fock space)เป็น โครงสร้าง พีชคณิตที่ใช้ในกลศาสตร์ควอนตัมเพื่อสร้าง ปริภูมิ สถานะควอนตัม ของ อนุภาคที่เหมือนกันจำนวนแปรผันหรือไม่ทราบจำนวน จากปริภูมิ ฮิลเบิร์ตของ อนุภาคเดี่ยวHโดยตั้งชื่อตามVA Fockผู้ซึ่งแนะนำปริภูมินี้เป็นครั้งแรกในบทความปี 1932 ของเขาเรื่อง "Konfigurationsraum und zweite Quantelung" (" ปริภูมิการกำหนดค่าและการหาปริมาณควอนตัมลำดับที่สอง ") ^{[ 1 ] [ 2 ]}

โดยทั่วไปแล้ว ปริภูมิฟ็อค (Fock space) คือผลรวมของเซตของปริภูมิฮิลเบิร์ต (Hilbert space) ที่แสดงถึงสถานะอนุภาคศูนย์ สถานะอนุภาคหนึ่ง สถานะอนุภาคสองตัว และอื่นๆ หากอนุภาคที่เหมือนกันเป็นโบซอน สถานะ อนุภาคnตัวจะเป็นเวกเตอร์ในผลคูณเทนเซอร์แบบสมมาตร ของปริภูมิฮิลเบิร์ตอนุภาคเดี่ยวn ​​ปริภูมิ Hหากอนุภาคที่เหมือนกันเป็นเฟอร์มิออ น สถานะ อนุภาคnตัวจะเป็นเวกเตอร์ใน ผลคูณเทนเซอร์แบบ ไม่สมมาตรของปริภูมิฮิลเบิร์ตอนุภาคเดี่ยวn ​​ปริภูมิ H (ดูพีชคณิตสมมาตรและพีชคณิตภายนอกตามลำดับ) สถานะทั่วไปในปริภูมิฟ็อคคือการรวมเชิงเส้นของ สถานะอนุภาค n ตัว โดยแต่ละสถานะแทน nหนึ่งตัว

ในทางเทคนิคแล้ว ปริภูมิฟ็อค ( ซึ่ง เป็นการเติมเต็ม ปริภูมิฮิลเบิร์ต ของ) คือ ผลรวมโดยตรงของเทนเซอร์สมมาตรหรือแอนติสมมาตรใน กำลังเท น เซอร์ของปริภูมิฮิลเบิร์ตอนุภาคเดี่ยวH$${\displaystyle F_{\nu }(H)={\overline {\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{\nu }H^{\otimes n}}}~.}$$

นี่คือตัวดำเนินการที่ทำให้เทนเซอร์สมมาตรหรือปฏิสมมาตร ขึ้นอยู่กับว่าปริภูมิฮิลเบิร์ตอธิบายอนุภาคที่ปฏิบัติตาม สถิติแบบ โบซอนิกหรือเฟอร์มิออนิกและเส้นขีดบนแสดงถึงการเติมเต็มของปริภูมิ ปริภูมิฟ็อคแบบโบซอนิก (หรือเฟอร์มิออนิก) สามารถสร้างขึ้นได้อีกทางหนึ่งเป็น (การเติมเต็มปริภูมิฮิลเบิร์ตของ) เทนเซอร์สมมาตร (หรือเทนเซอร์สลับ ) สำหรับทุกฐานของHจะมีฐานตามธรรมชาติของปริภูมิฟ็อค นั่นคือสถานะฟ็อค ${\displaystyle S_{\nu }}$${\displaystyle (\nu =+)}$${\displaystyle (\nu =-)}$${\displaystyle F_{+}(H)={\overline {S^{*}H}}}$${\textstyle F_{-}(H)={\overline {{\bigwedge }^{*}H}}}$

ปริภูมิฟ็อค (Fock space) คือผลรวมโดยตรง (ฮิลเบิร์ต) ของผลคูณเทนเซอร์ของสำเนาของปริภูมิฮิลเบิร์ตอนุภาคเดี่ยว${\displaystyle H}$

$${\displaystyle F_{\nu }(H)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{\nu }H^{\otimes n}=\mathbb {C} \oplus H\oplus \left(S_{\nu }\left(H\otimes H\right)\right)\oplus \left(S_{\nu }\left(H\otimes H\otimes H\right)\right)\oplus \cdots }$$

ในที่นี้สเกลาร์เชิงซ้อนประกอบด้วยสถานะที่ไม่สอดคล้องกับอนุภาคสถานะของอนุภาคหนึ่งตัวสถานะของอนุภาคที่เหมือนกันสองตัว เป็นต้น ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle H}$${\displaystyle S_{\nu }(H\otimes H)}$

สถานะทั่วไปในนั้นกำหนดโดย ${\displaystyle F_{\nu }(H)}$

$${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\Psi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \cdots =a|0\rangle \oplus \sum _{i}a_{i}|\psi _{i}\rangle \oplus \sum _{ij}a_{ij}|\psi _{i},\psi _{j}\rangle _{\nu }\oplus \cdots }$$ ที่ไหน

• ${\displaystyle |0\rangle }$เป็นเวกเตอร์ที่มีความยาว 1 เรียกว่าสถานะสุญญากาศ และเป็นสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$
• ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle \in H}$เป็นสถานะในปริภูมิฮิลเบิร์ตของอนุภาคเดี่ยว และเป็นสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {C} }$
• ${\textstyle |\psi _{i},\psi _{j}\rangle _{\nu }=a_{ij}|\psi _{i}\rangle \otimes |\psi _{j}\rangle +a_{ji}|\psi _{j}\rangle \otimes |\psi _{i}\rangle \in S_{\nu }(H\otimes H)}$และเป็นสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน เป็นต้น${\displaystyle a_{ij}=\nu a_{ji}\in \mathbb {C} }$

การลู่เข้าของผลรวมอนันต์นี้มีความสำคัญหากต้องการให้เป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต ในทางเทคนิค เราต้องการให้เป็นการเติมเต็มปริภูมิฮิลเบิร์ตของผลรวมโดยตรงเชิงพีชคณิต ซึ่งประกอบด้วยทู เปิลอนันต์ทั้งหมด โดยที่นอร์มซึ่งกำหนดโดยผลคูณภายใน มีค่าจำกัด โดยที่นอร์มของอนุภาคถูกกำหนดโดย นั่นคือ การจำกัดของนอร์มบนผลคูณเทนเซอร์${\displaystyle F_{\nu }(H)}$${\displaystyle F_{\nu }(H)}$${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=(|\Psi _{0}\rangle _{\nu },|\Psi _{1}\rangle _{\nu },|\Psi _{2}\rangle _{\nu },\ldots )}$$${\displaystyle \||\Psi \rangle _{\nu }\|_{\nu }^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\langle \Psi _{n}|\Psi _{n}\rangle _{\nu }<\infty }$$${\displaystyle n}$$${\displaystyle \langle \Psi _{n}|\Psi _{n}\rangle _{\nu }=\sum _{i_{1},\ldots i_{n}}\sum _{j_{1},\ldots j_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}^{*}a_{j_{1},\ldots ,j_{n}}\langle \psi _{i_{1}}|\psi _{j_{1}}\rangle \cdots \langle \psi _{i_{n}}|\psi _{j_{n}}\rangle }$$${\displaystyle H^{\otimes n}}$

สำหรับสถานะทั่วไปสองสถานะ และ ผลคูณภายในบนจะถูกกำหนดเป็น โดย ที่เราใช้ผลคูณภายในบนปริภูมิฮิลเบิร์ตของอนุภาคแต่ละตัวโปรดทราบว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งปริภูมิย่อยของอนุภาคจะตั้งฉากกันสำหรับค่า ที่แตกต่างกัน $${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\Psi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \cdots =a|0\rangle \oplus \sum _{i}a_{i}|\psi _{i}\rangle \oplus \sum _{ij}a_{ij}|\psi _{i},\psi _{j}\rangle _{\nu }\oplus \cdots ,}$$$${\displaystyle |\Phi \rangle _{\nu }=|\Phi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Phi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Phi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \cdots =b|0\rangle \oplus \sum _{i}b_{i}|\phi _{i}\rangle \oplus \sum _{ij}b_{ij}|\phi _{i},\phi _{j}\rangle _{\nu }\oplus \cdots }$$${\displaystyle F_{\nu }(H)}$$${\displaystyle \langle \Psi |\Phi \rangle _{\nu }:=\sum _{n}\langle \Psi _{n}|\Phi _{n}\rangle _{\nu }=a^{*}b+\sum _{ij}a_{i}^{*}b_{j}\langle \psi _{i}|\phi _{j}\rangle +\sum _{ijkl}a_{ij}^{*}b_{kl}\langle \psi _{i}|\phi _{k}\rangle \langle \psi _{j}|\phi _{l}\rangle _{\nu }+\cdots }$$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

สถานะผลคูณของปริภูมิฟ็อคคือสถานะของรูปแบบ

$${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }=|\phi _{1}\rangle \otimes |\phi _{2}\rangle \otimes \cdots \otimes |\phi _{n}\rangle }$$

ซึ่งอธิบายถึงกลุ่มของอนุภาค โดยที่อนุภาคหนึ่งมีสถานะควอนตัม อีกอนุภาค หนึ่ง มีสถานะควอนตัม และต่อไปเรื่อยๆ จนถึงอนุภาคที่ i โดยที่แต่ละ อนุภาค มี สถานะ ใดๆ ก็ได้จากปริภูมิฮิลเบิร์ตของอนุภาคเดี่ยวในที่นี้ การวางเรียงกัน (การเขียนเวกเตอร์ของอนุภาคเดี่ยวเคียงข้างกัน โดยไม่มีเครื่องหมาย) คือการคูณแบบสมมาตร (หรือแบบไม่สมมาตร) ในพีชคณิตเทนเซอร์ แบบสมมาตร (แบบไม่สมมาตร) สถานะทั่วไปในปริภูมิฟ็อคคือการรวมเชิงเส้นของสถานะผลคูณ สถานะที่ไม่สามารถเขียนเป็นผลรวมนูนของสถานะผลคูณได้เรียกว่า สถานะ พัน กัน${\displaystyle n}$${\displaystyle \phi _{1}}$${\displaystyle \phi _{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \phi _{i}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \otimes }$

เมื่อเราพูดถึงอนุภาคหนึ่งในสถานะหนึ่ง${\displaystyle \phi _{i}}$เราต้องจำไว้ว่าในกลศาสตร์ควอนตัม อนุภาคที่เหมือนกันนั้นไม่สามารถแยกแยะได้ในปริภูมิฟ็อคเดียวกัน อนุภาคทั้งหมดจะเหมือนกัน (ในการอธิบายอนุภาคหลายชนิด เราจะใช้ผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิฟ็อคที่แตกต่างกันจำนวนเท่ากับจำนวนชนิดของอนุภาคที่กำลังพิจารณา) หนึ่งในคุณสมบัติที่ทรงพลังที่สุดของรูปแบบนี้คือ สถานะต่างๆ จะถูกทำให้สมมาตรอย่างเหมาะสมโดยปริยาย ตัวอย่างเช่น ถ้าสถานะข้างต้นเป็นเฟอร์มิออน มันจะเป็น 0 ถ้าสอง (หรือมากกว่า) ของเท่ากัน เพราะผลคูณ แบบไม่สมมาตร (ภายนอก)นี่คือการกำหนดทางคณิตศาสตร์ของหลักการกีดกันของเปาลีที่ว่าไม่มีเฟอร์มิออนสองตัว (หรือมากกว่า) ที่สามารถอยู่ในสถานะควอนตัมเดียวกันได้ ในความเป็นจริง เมื่อใดก็ตามที่เทอมในผลคูณอย่างเป็นทางการขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ผลคูณจะเป็นศูนย์สำหรับเทนเซอร์แบบไม่สมมาตร นอกจากนี้ ผลคูณของสถานะตั้งฉากปกติก็จะเป็นสถานะตั้งฉากปกติโดยแท้จริงตามโครงสร้าง (ถึงแม้ว่าอาจจะเป็น 0 ในกรณีเฟอร์มิเมื่อสองสถานะเท่ากันก็ตาม) ${\displaystyle |\Psi \rangle _{-}}$${\displaystyle \phi _{i}}$${\displaystyle |\phi _{i}\rangle |\phi _{i}\rangle =0}$

ฐานที่มีประโยชน์และสะดวกสำหรับปริภูมิฟ็อคคือฐานจำนวนการครอบครองเมื่อกำหนดฐานของเราสามารถแสดงสถานะที่มี อนุภาคในสถานะอนุภาค ในสถานะ..., อนุภาคในสถานะและไม่มีอนุภาคในสถานะที่เหลือ โดยการกำหนด ${\displaystyle \{|\psi _{i}\rangle \}_{i=0,1,2,\dots }}$${\displaystyle H}$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle |\psi _{0}\rangle }$${\displaystyle n_{1}}$${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$${\displaystyle n_{k}}$${\displaystyle |\psi _{k}\rangle }$

$${\displaystyle |n_{0},n_{1},\ldots ,n_{k}\rangle _{\nu }=|\psi _{0}\rangle ^{n_{0}}|\psi _{1}\rangle ^{n_{1}}\cdots |\psi _{k}\rangle ^{n_{k}},}$$

โดยแต่ละค่าจะเป็น 0 หรือ 1 สำหรับอนุภาคเฟอร์มิออนิก และ 0, 1, 2, ... สำหรับอนุภาคโบซอนิก โปรดสังเกตว่าค่าศูนย์ที่อยู่ท้ายสุดอาจถูกตัดทิ้งได้โดยไม่ทำให้สถานะเปลี่ยนแปลง สถานะดังกล่าวเรียกว่าสถานะฟ็อค (Fock state ) เมื่อเข้าใจว่าเป็นสถานะคงที่ของสนามอิสระ สถานะฟ็อคจะอธิบายถึงกลุ่มของอนุภาคที่ไม่ปฏิสัมพันธ์กันในจำนวนที่แน่นอน สถานะฟ็อคที่ทั่วไปที่สุดคือการซ้อนทับเชิงเส้นของสถานะบริสุทธิ์ ${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$

ตัวดำเนินการสองตัวที่มีความสำคัญอย่างยิ่งคือ ตัวดำเนินการสร้างและตัวดำเนินการทำลายซึ่งเมื่อกระทำกับสถานะฟ็อค จะเพิ่มหรือลบอนุภาคในสถานะควอนตัมที่กำหนดตามลำดับ โดยใช้สัญลักษณ์แทนการสร้าง และแทนการทำลาย ตามลำดับ ในการสร้าง ("เพิ่ม") อนุภาค สถานะควอนตัมจะถูกคูณแบบสมมาตรหรือแบบภายนอกด้วยและในการทำลาย ("ลบ") อนุภาคจะทำการคูณแบบภายใน (คู่หรือคี่) กับ ซึ่งเป็นตัวผกผันของมักจะสะดวกที่จะทำงานกับสถานะของฐานของ เพื่อให้ตัวดำเนินการเหล่านี้ลบและเพิ่มอนุภาคเพียงหนึ่งอนุภาคในสถานะฐานที่กำหนด ตัวดำเนินการเหล่านี้ยังทำหน้าที่เป็นตัวสร้างสำหรับตัว ดำเนิน การทั่วไปที่กระทำบนปริภูมิฟ็อค ตัวอย่างเช่นตัวดำเนินการจำนวนที่ให้จำนวนอนุภาคในสถานะเฉพาะคือ${\displaystyle a^{\dagger }(\phi )\,}$${\displaystyle a(\phi )}$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle \langle \phi |}$${\displaystyle a^{\dagger }(\phi )}$${\displaystyle H}$${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$${\displaystyle a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})}$

โดยทั่วไปแล้ว พื้นที่อนุภาคเดี่ยวจะถูกกำหนดให้เป็น ซึ่งเป็นพื้นที่ของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้บนพื้นที่ที่มีการวัด (กล่าวอย่างเคร่งครัดคือชั้นสมมูลของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้ โดยที่ฟังก์ชันจะสมมูลกันก็ต่อเมื่อฟังก์ชันทั้งสองแตกต่างกันบนเซตที่มีการวัดเป็นศูนย์ ) ตัวอย่างทั่วไปคืออนุภาคอิสระที่มีพื้นที่ของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้บนพื้นที่สามมิติ จากนั้น พื้นที่ฟ็อคจะมีการตีความตามธรรมชาติว่าเป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้แบบสมมาตรหรือแบบปฏิสมมาตรดังต่อไปนี้ ${\displaystyle H}$${\displaystyle L_{2}(X,\mu )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle H=L_{2}(\mathbb {R} ^{3},d^{3}x)}$

ให้และ, , , เป็นต้น พิจารณาปริภูมิของคู่จุดซึ่งเป็นการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกัน${\displaystyle X^{0}=\{*\}}$${\displaystyle X^{1}=X}$${\displaystyle X^{2}=X\times X}$${\displaystyle X^{3}=X\times X\times X}$

$${\displaystyle X^{*}=X^{0}\amalg X^{1}\amalg X^{2}\amalg X^{3}\amalg \cdots .}$$

มันมีมาตรวัดตามธรรมชาติเช่นนั้นและการจำกัดของไปยังคือปริภูมิฟ็อคคู่สามารถระบุได้ว่าเป็นปริภูมิของฟังก์ชันสมมาตรในในขณะที่ปริภูมิฟ็อคคี่สามารถระบุได้ว่าเป็นปริภูมิของฟังก์ชันปฏิสมมาตร การระบุนี้เป็นผลโดยตรงจากการแมปแบบ ไอโซเมตริก ${\displaystyle \mu ^{*}}$${\displaystyle \mu ^{*}(X^{0})=1}$${\displaystyle \mu ^{*}}$${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle \mu ^{n}}$${\displaystyle F_{+}(L_{2}(X,\mu ))}$${\displaystyle L_{2}(X^{*},\mu ^{*})}$${\displaystyle F_{-}(L_{2}(X,\mu ))}$$${\displaystyle L_{2}(X,\mu )^{\otimes n}\to L_{2}(X^{n},\mu ^{n})}$$$${\displaystyle \psi _{1}(x)\otimes \cdots \otimes \psi _{n}(x)\mapsto \psi _{1}(x_{1})\cdots \psi _{n}(x_{n})}$$

เมื่อกำหนดฟังก์ชันคลื่นแล้วดีเทอร์มิแนนต์ของสเลเตอร์${\displaystyle \psi _{1}=\psi _{1}(x),\ldots ,\psi _{n}=\psi _{n}(x)}$

$${\displaystyle \Psi (x_{1},\ldots x_{n})={\frac {1}{\sqrt {n!}}}{\begin{vmatrix}\psi _{1}(x_{1})&\cdots &\psi _{n}(x_{1})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\psi _{1}(x_{n})&\cdots &\psi _{n}(x_{n})\\\end{vmatrix}}}$$ เป็นฟังก์ชันแอนติสมมาตรบนดังนั้นจึงสามารถตีความได้อย่างเป็นธรรมชาติว่าเป็นองค์ประกอบของภาคอนุภาค - ของปริภูมิฟ็อคคี่ การทำให้เป็นมาตรฐานถูกเลือกเพื่อให้ถ้าฟังก์ชันเป็นออร์โทนอร์มอล มี "สเลเตอร์เพอร์มาเนนต์" ที่คล้ายกันโดยที่ตัวกำหนดถูกแทนที่ด้วยเพอร์มาเนนต์ซึ่งให้องค์ประกอบของภาค - ของปริภูมิฟ็อคคู่ ${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \|\Psi \|=1}$${\displaystyle \psi _{1},\ldots ,\psi _{n}}$${\displaystyle n}$

ในทฤษฎีการแทนค่าพื้นที่ฟ็อคสามารถอธิบายได้ว่าเป็นโมดูลแบบวัฏจักรที่สร้างขึ้นโดยเวกเตอร์ที่โดดเด่น ซึ่งก็คือสุญญากาศตัวดำเนินการทำลายล้างจะฆ่าสุญญากาศ ในขณะที่การประยุกต์ใช้ตัวดำเนินการสร้างซ้ำๆ จะสร้างเวกเตอร์ฐานที่เหลืออยู่ ดังนั้น พื้นที่ฟ็อคจึงอาจถูกมองว่าเป็นพื้นที่แทนค่าสำหรับพีชคณิตที่สร้างขึ้นโดยตัวดำเนินการสร้างและทำลายล้าง สำหรับโบซอน พื้นที่ฟ็อคสมมาตรจะให้การแทนค่าฟ็อคมาตรฐานของความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งแบบแคนอนิกหรือเทียบเท่ากับพีชคณิตเวล์สำหรับเฟอร์มิออน พื้นที่ฟ็อคไม่สมมาตรจะให้การแทนค่าที่สอดคล้องกันของความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งแบบ แคนอนิก หรือ เทียบเท่ากับพีชคณิตคลิฟฟอร์ด [ ^{3 ] เวก} เตอร์สุญญากาศเป็นแบบวัฏจักรในทั้งสองกรณี

ในกรณีของโบซอนิก สำหรับปริภูมิอนุภาคเดี่ยวที่มีมิติจำกัด ความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งแบบแคนอนิกจะกำหนดพีชคณิตไฮเซนเบิร์กที่สร้างขึ้นโดยตัวดำเนินการสร้างและทำลายพร้อมกับองค์ประกอบกลาง ซึ่งทำหน้าที่เป็นเอกลักษณ์ในการแสดงแทนฟ็อคตามปกติ พีชคณิตเวล์ที่สอดคล้องกันคือผลหารของพีชคณิตห่อหุ้มสากลของพีชคณิตไฮเซนเบิร์กนี้โดยความสัมพันธ์ที่องค์ประกอบกลางทำหน้าที่เป็นนิพจน์กำลังสองในตัวดำเนินการสร้างและทำลายจะปิดภายใต้ตัวสลับตำแหน่งและให้การแสดงแทนของพีชคณิตลีซิมเพ ล็กติก ที่ระดับกลุ่ม นี่คือออสซิลเลเตอร์หรือการแสดงแทนเมตาเพล็กติก^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n)}$

ปริภูมิ Fock แบบโบซอนิกไม่สามารถลดทอนได้เหมือนกับการแสดงมาตรฐานของพีชคณิตไฮเซนเบิร์กหรือเวล์ แต่สามารถแยกออกเป็นส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้ทั้งแบบคู่และแบบคี่ภายใต้การกระทำกำลังสองของโดยใช้แบบแผนน้ำหนักสูงสุดตามปกติสำหรับส่วนประกอบทั้งสองนี้จะมีน้ำหนักสูงสุดและโดยที่คือน้ำหนักพื้นฐานของระบบราก ประเภท ในพิกัดมาตรฐานบนพีชคณิตย่อยคาร์ตันน้ำหนักพื้นฐานเหล่านี้คือหรือเทียบเท่ากัน ในแบบจำลอง Fock แบบโฮโลมอร์ฟิก ส่วนประกอบทั้งสองอาจถูกมองว่าขึ้นอยู่กับการเลือกรากบวก ว่าเป็นโมดูลที่สร้างขึ้นโดยภาคสุญญากาศแบบคู่และแบบคี่^{[ 7 ] [ 6 ]}${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n)}$${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n)}$${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\omega _{n}}$${\displaystyle \omega _{n-1}-{\frac {3}{2}}\omega _{n}}$${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle \varepsilon _{i}}$${\displaystyle \omega _{k}=\varepsilon _{1}+\cdots +\varepsilon _{k}}$

ในกรณีเฟอร์มิออนิก ความสัมพันธ์กับการแสดงแทนสปินจะได้รับโดยการเลือกโพลาไรเซชันของปริภูมิกำลังสอง ถ้าเป็นปริภูมิอนุภาคเดี่ยวที่มีมิติจำกัด จะสร้างปริภูมิกำลังสองโดยมีรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรที่กำหนดโดยการจับคู่ตามธรรมชาติระหว่างและส่วนประกอบทั้งสองเป็นปริภูมิย่อยไอโซโทรปิกสูงสุดที่เสริมกัน ปริภูมิฟ็อคเฟอร์มิออนิกจึงเป็นโมดูลสปินเนอร์ที่เกี่ยวข้องกับโพลาไรเซชันนี้: องค์ประกอบของกระทำโดยการคูณภายนอก ในขณะที่องค์ประกอบของ กระทำโดยการหดตัว การดำเนินการเหล่านี้เป็นไปตามความสัมพันธ์การสลับ ^{ตำแหน่ง}แบบแคนอนิก และด้วยเหตุนี้จึงให้การกระทำมาตรฐานของพีชคณิตคลิฟฟอร์ดบน[ ^{8 ]}${\displaystyle U}$${\displaystyle U\oplus U^{\ast }}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U^{\ast }}$${\displaystyle \Lambda ^{\ast }U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U^{\ast }}$${\displaystyle \mathrm {Cl} (U\oplus U^{\ast })}$${\displaystyle \Lambda ^{\ast }U}$

นิพจน์กำลังสองในตัวดำเนินการสร้างและทำลายเฟอร์มิออนิกสร้างการกระทำของพีชคณิตลีเชิง ตั้งฉาก สำหรับโดยที่ส่วนคู่และส่วนคี่และให้การแสดงแทนครึ่งสปินสองแบบ ด้วยตัวสร้างคลิฟฟอร์ดเพิ่มเติมอีกหนึ่งตัว พื้นที่ทั้งหมดจะให้การแสดงแทนสปินของ^{[ 9 ]}${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n)}$${\displaystyle 2n=\dim(U\oplus U^{\ast })}$${\displaystyle \Lambda ^{\mathrm {even} }U}$${\displaystyle \Lambda ^{\mathrm {odd} }U}$${\displaystyle \Lambda ^{\ast }U}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n+1)}$

การสร้างพื้นที่ Fock ยังเกิดขึ้นสำหรับพีชคณิตมิติอนันต์ พื้นที่ Fock เฟอร์มิออนิกสามารถรับรู้ได้ว่าเป็นพีชคณิตภายนอกกึ่งอนันต์และใช้ในการสร้างการแสดงแทนของพีชคณิตเมทริกซ์อันดับอนันต์และพีชคณิต Lie เชิงเส้นตรงพื้นที่ Fock โบซอนก็ปรากฏในลักษณะเดียวกันในฐานะโมดูลสำหรับพีชคณิตไฮเซนเบิร์กและในการสร้างพีชคณิตจุดยอด การสอดคล้องกันระหว่าง โบซอนและเฟอร์มิออนระบุการแสดงแทน Fock โบซอนและเฟอร์มิออนิกบางอย่างและเป็นตัวอย่างสำคัญของบทบาทของพื้นที่ Fock ในทฤษฎีการแสดงแทน^{[ 10 ] [ 11 ]}

กำหนดพื้นที่ Segal–Bargmann ^{[ 12 ]}ของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก เชิงซ้อน ที่สามารถอินทิเกรตกำลังสองได้โดยสัมพันธ์กับการวัดแบบเกาส์เซียน : ${\displaystyle B_{N}}$

$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}\left(\mathbb {C} ^{N}\right)=\left\{f\colon \mathbb {C} ^{N}\to \mathbb {C} \mid \Vert f\Vert _{{\mathcal {F}}^{2}(\mathbb {C} ^{N})}<\infty \right\},}$$ จาก นั้นกำหนดพื้นที่เป็นผลรวมซ้อนกันของพื้นที่เหนือจำนวนเต็มSegal ^{[ 13 ]}และ Bargmann แสดงให้เห็น^{[ 14 ] [ 15 ]}ว่ามีความสมมาตรกับพื้นที่ Fock แบบโบซอนิก เอกนาม สอดคล้องกับสถานะ Fock $${\displaystyle \Vert f\Vert _{{\mathcal {F}}^{2}(\mathbb {C} ^{N})}:=\int _{\mathbb {C} ^{N}}\vert f(\mathbf {z} )\vert ^{2}e^{-\pi \vert \mathbf {z} \vert ^{2}}\,d\mathbf {z} .}$$${\displaystyle B_{\infty }}$${\displaystyle B_{N}}$${\displaystyle N\geq 0}$${\displaystyle B_{\infty }}$$${\displaystyle x_{1}^{n_{1}}...x_{k}^{n_{k}}}$$$${\displaystyle |n_{0},n_{1},\ldots ,n_{k}\rangle _{\nu }=|\psi _{0}\rangle ^{n_{0}}|\psi _{1}\rangle ^{n_{1}}\cdots |\psi _{k}\rangle ^{n_{k}}.}$$

• แผนภาพ Feynman และผลคูณ Wick ที่เกี่ยวข้องกับปริภูมิ q-Fock - การวิเคราะห์แบบไม่สลับที่ Edward G. Effros และ Mihai Popa ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย ลอสแอนเจลิส
• R. Geroch, ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยชิคาโก, บทที่ 21