ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์เชิงทฤษฎีซูเปอร์อัลเจบราคืออัลเจบราแบบมีระดับ [ ^{1 ] กล่าว}คือ เป็นอัลเจบราเหนือวงแหวนหรือฟิลด์สลับเปลี่ยนที่มีการแยกส่วนเป็นชิ้นส่วน "คู่" และ "คี่" และตัวดำเนินการคูณที่เคารพระดับ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

คำนำหน้าsuper-มาจากทฤษฎีสมมาตรยิ่งยวด (supersymmetry)ในฟิสิกส์เชิงทฤษฎี พีชคณิตยิ่งยวด (superalgebras) และตัวแทนของมันที่เรียก ว่า โมดูลยิ่งยวด ( supermodules ) เป็นกรอบพีชคณิตสำหรับการกำหนดสมมาตรยิ่งยวด การศึกษาวัตถุเหล่านี้บางครั้งเรียกว่าพีชคณิตเชิงเส้นยิ่งยวด (superlinear algebra ) พีชคณิตยิ่งยวดยังมีบทบาทสำคัญในสาขาที่เกี่ยวข้องอย่างเรขาคณิตยิ่งยวด (supergeometry ) ซึ่งมันเข้ามาเกี่ยวข้องในคำจำกัดความของแมนิโฟลด์แบบแบ่งระดับ (graded manifolds ) แมนิโฟลด์ยิ่งยวด ( supermanifolds)และ โครงร่างยิ่งยวด (superschemes )

ให้เป็นวงแหวนสลับที่ในการใช้งานส่วนใหญ่เป็นฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็น 0 เช่นหรือ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

ซูเปอร์อัลเจบราเหนือคือ - โมดูลที่มีการแยกส่วน ผลรวมโดยตรง${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=A_{0}\oplus A_{1}}$

พร้อมกับการคูณเชิงเส้น คู่ เช่นนั้น ${\displaystyle A\times A\to A}$

${\displaystyle A_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}}$

โดยที่ตัวห้อยจะอ่านแบบโมดูลัส 2 กล่าวคือ ถือว่าเป็นองค์ประกอบของ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

ซูเปอร์ริงหรือริงแบบมีระดับคือซูเปอร์แอลจีบราเหนือริงของ จำนวนเต็ม${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

กล่าวกันว่าสมาชิกของแต่ละเซตนั้น เป็น เอกพันธุ์ค่าพาริตีของสมาชิกเอกพันธุ์ซึ่งแทนด้วย จะเป็น 0 หรือ 1 ขึ้นอยู่กับว่าสมาชิกนั้นอยู่ในเซตหรือสมาชิกที่มีค่าพาริตี 0 เรียกว่าสมาชิกคู่และสมาชิกที่มีค่าพาริตี 1 เรียกว่าสมาชิกคี่ถ้าและเป็นเอกพันธุ์ทั้งคู่ ผลคูณของและ ก็เป็นเอกพันธุ์เช่น กัน ${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle |x|}$${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle |xy|=|x|+|y|}$

ซูเปอร์อัลเจบราแบบสมาคมคือ ซูเปอร์อัลเจบราที่มีการคูณแบบสมาคมและซูเปอร์อัลเจบราแบบเอกลักษณ์ คือ ซูเปอร์อัลเจบราที่มีเอกลักษณ์การคูณ เอกลักษณ์ในซูเปอร์อัลเจบราแบบเอกลักษณ์จะต้องเป็นจำนวนคู่ เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น ซูเปอร์อัลเจบราทั้งหมดในบทความนี้ถือว่าเป็นแบบสมาคมและแบบเอกลักษณ์

ซูเปอร์แอลเจบราเชิงสลับเปลี่ยน (หรือซูเปอร์แอลเจบราเชิงสลับเปลี่ยน) คือ แอลเจบราที่สอดคล้องกับคุณสมบัติการสลับเปลี่ยน แบบมีระดับ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แอล เจ บราเชิงสลับเปลี่ยนจะเป็นแบบสลับเปลี่ยนได้ก็ต่อเมื่อ... ${\displaystyle A}$

${\displaystyle yx=(-1)^{|x||y|}xy\,}$

สำหรับองค์ประกอบเอกพันธุ์ทั้งหมดและของมีซูเปอร์อัลเจบราที่สลับเปลี่ยนได้ในความหมายทั่วไป แต่ไม่ใช่ในความหมายของซูเปอร์อัลเจบรา ด้วยเหตุนี้ ซูเปอร์อัลเจบราที่สลับเปลี่ยนได้จึงมักเรียกว่าซูเปอร์คอมมิวทีฟเพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน^{[ 2 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle A}$

เมื่อการให้คะแนนเกิดขึ้นเป็น "การรวม" ของพีชคณิต - หรือ- ที่มีการจัดระดับ เป็นส่วนประกอบคู่และคี่ จะสามารถพบข้อกำหนดเครื่องหมายที่แตกต่างกันสองแบบ (แต่โดยพื้นฐานแล้วเทียบเท่ากัน) ในเอกสาร^{[ 3 ]}สิ่งเหล่านี้สามารถเรียกว่า "ข้อกำหนดเครื่องหมายโคฮอโมโลจิก" และ "ข้อกำหนดเครื่องหมายซูเปอร์" พวกมันแตกต่างกันในวิธีการที่แอนติโพด (การแลกเปลี่ยนองค์ประกอบสองตัว) ทำงาน ในกรณีแรก จะมีแผนที่การแลกเปลี่ยน ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle xy\mapsto (-1)^{mn+pq}yx}$

โดยที่ระดับ ( หรือการจัดลำดับ) ของและค่าพาริตีคือเท่าใด ในทำนองเดียวกันคือระดับของและมีค่าพาริตี ธรรมเนียมนี้พบเห็นได้ทั่วไปในบริบททางคณิตศาสตร์ทั่วไป เช่น เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และโทโพโลยีเชิงอนุพันธ์ ธรรมเนียมอีกอย่างหนึ่งคือการใช้ ${\displaystyle m=\deg x}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n=\deg y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle q.}$

${\displaystyle xy\mapsto (-1)^{pq}yx}$

โดยกำหนดพาริตีเป็นและพาริตี สิ่งนี้มักพบเห็นได้ในตำราฟิสิกส์ และต้องใช้ฟังก์ชันพาริตีอย่างรอบคอบเพื่อติดตามไอโซมอร์ฟิซึม ข้อโต้แย้งโดยละเอียดมีให้โดยPierre Deligne ^{[ 3 ]}${\displaystyle p=m{\bmod {2}}}$${\displaystyle q=n{\bmod {2}}}$

• พีชคณิตใดๆ บนริงสลับที่ได้อาจถือได้ว่าเป็นซูเปอร์พีชคณิตคู่บริสุทธิ์บน; กล่าวคือ โดยการกำหนดให้ เป็นพีชคณิตที่ไม่สำคัญ (พีชคณิตที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียว)${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A_{1}}$
• พีชคณิตแบบใดๆ ก็ตาม ไม่ ว่าจะเป็นแบบ มีระดับหรือแบบ มีระดับ ก็สามารถถือได้ว่าเป็นซูเปอร์พีชคณิตได้ โดยพิจารณาระดับแบบโมดูล 2 ซึ่งรวมถึงตัวอย่างเช่นพีชคณิตเทนเซอร์และวงแหวนพหุนามเหนือ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle K}$
• โดยเฉพาะอย่างยิ่งพีชคณิตภายนอก ใดๆ บน ถือ เป็นซูเปอร์พีชคณิต พีชคณิตภายนอกเป็นตัวอย่างมาตรฐานของซูเปอร์คอมมิวเททีฟพีชคณิต${\displaystyle K}$
• พหุนามสมมาตรและพหุนามสลับกันรวมกันเป็นซูเปอร์แอลจีบรา โดยเป็นส่วนคู่และส่วนคี่ตามลำดับ โปรดทราบว่าสิ่งนี้ไม่ได้มาจากการ "รวม" ของแอลจีบราแบบแบ่งระดับของพหุนาม ซึ่งการแบ่งระดับนั้นขึ้นอยู่กับดีกรี${\displaystyle \mathbb {N} }$
• พีชคณิตคลิฟฟอร์ดเป็นซูเปอร์พีชคณิต พีชคณิตคลิฟฟอร์ดสำหรับปริภูมิเชิงตั้งฉากมิติต่ำ เช่นพีชคณิตเชิงเรขาคณิตแบบโปรเจคทีฟ ให้ความเข้าใจเชิงภาพบางประการเกี่ยวกับซูเปอร์พีชคณิต: สมาชิกคี่สอดคล้องกับไอโซเมตรีที่กลับทิศทางของปริภูมิ เช่น การสะท้อนแบบโรเตอร์ สมาชิกคู่สอดคล้องกับไอโซเมตรีที่รักษาทิศทาง เช่น การหมุนและการเคลื่อนที่แบบเกลียว
• เซตของเอนโดมอร์ฟิซึม ทั้งหมด (ซึ่งแทนด้วย โดยที่ตัวหนา หมายถึงเอนโดมอร์ฟิซึมภายในซึ่งประกอบด้วย แผนที่เชิงเส้น ทั้งหมด ) ของปริภูมิเวกเตอร์ซูเปอร์ก่อให้เกิดซูเปอร์แอลจีบราภายใต้การประกอบ${\displaystyle \mathbf {End} (V)\equiv \mathbf {Hom} (V,V)}$${\displaystyle \mathrm {หอม} }$${\displaystyle \mathrm {หอม} }$
• เซตของซูเปอร์เมทริก ซ์จัตุรัสทั้งหมด ที่มีสมาชิกอยู่ในก่อให้เกิดซูเปอร์อัลเจบราซึ่งแทนด้วยอัลเจบรานี้สามารถระบุได้ว่าเป็นอัลเจบราของเอนโดมอร์ฟิซึมของซูเปอร์โมดูลอิสระเหนือ ที่มีอันดับและเป็นโฮมภายในของ ข้างต้นสำหรับปริภูมินี้${\displaystyle K}$${\displaystyle M_{p|q}(K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle p|q}$
• พีชคณิตลีซูเปอร์แอลเจบราเป็นอนาล็อกแบบมีลำดับชั้นของพีชคณิตลีพีชคณิตลีซูเปอร์แอลเจบราไม่มีเอกลักษณ์และไม่มีคุณสมบัติการสลับที่ อย่างไรก็ตาม เราสามารถสร้างอนาล็อกของพีชคณิตห่อหุ้มสากลของพีชคณิตลีซูเปอร์แอลเจบรา ซึ่งเป็นพีชคณิตซูเปอร์แอลเจบราที่มีเอกลักษณ์และมีคุณสมบัติการสลับที่ได้

ให้ เป็น ซูเปอร์อัลเจบราเหนือริงสลับที่ โมดูลย่อยซึ่งประกอบด้วยสมาชิกคู่ทั้งหมด ปิดภายใต้การคูณ และมีเอกลักษณ์ของและดังนั้นจึงเป็นซับอัลเจบราของซึ่งเรียกตามธรรมชาติว่าซับอัลเจบราคู่มันเป็น อั ล เจบรา ธรรมดา เหนือ${\displaystyle A}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle K}$

เซตของสมาชิกคี่ทั้งหมดเป็น- ไบโมดูลซึ่งการคูณด้วยสเกลาร์ก็คือการคูณในผล คูณใน ทำให้มีรูปแบบทวิเชิงเส้น${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{1}}$

${\displaystyle \mu :A_{1}\otimes _{A_{0}}A_{1}\to A_{0}}$

โดยที่

${\displaystyle \mu (x\otimes y)\cdot z=x\cdot \mu (y\otimes z)}$

สำหรับทุก, , และในสิ่งนี้เป็นผลมาจากคุณสมบัติการสลับที่ของผลคูณใน ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A}$

มีออโตมอร์ฟิซึมผกผัน แบบแคนอนิก บนซูเปอร์แอลจีบราใดๆ ที่เรียกว่าการผกผันระดับ (grade involution ) ซึ่งกำหนดบนองค์ประกอบเอกพันธุ์โดย

${\displaystyle {\hat {x}}=(-1)^{|x|}x}$

และบนองค์ประกอบที่กำหนดโดยพลการ

${\displaystyle {\hat {x}}=x_{0}-x_{1}}$

ส่วนที่เป็นเนื้อเดียวกันของ อยู่ที่ไหนถ้าไม่มี2-ทอร์ชั่น (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า 2 สามารถผกผันได้) แล้วการผกผันระดับสามารถใช้เพื่อแยกแยะส่วนที่เป็นคู่และส่วนที่เป็นคี่ของได้ ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A_{i}=\{x\in A:{\hat {x}}=(-1)^{i}x\}.}$

ตัวดำเนินการซูเปอร์คอมมิวเทเตอร์บนคือตัวดำเนินการไบนารีที่กำหนดโดย ${\displaystyle A}$

${\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx}$

บนองค์ประกอบเอกพันธุ์ ขยายไปสู่ทั้งหมดโดยความเป็นเชิงเส้น องค์ประกอบและของกล่าวได้ว่าสลับที่กันได้ หาก${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle [x,y]=0}$

ซูเปอร์เซ็นเตอร์ของคือเซตของสมาชิกทั้งหมดของซึ่งสลับตำแหน่งได้กับสมาชิกทั้งหมดของ: ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \mathrm {Z} (A)=\{a\in A:[a,x]=0{\text{ สำหรับทุก }}x\in A\}.}$

โดยทั่วไปแล้วซูเปอร์เซ็นเตอร์ของ จะแตกต่างจาก ศูนย์กลางของในฐานะพีชคณิตที่ไม่มีระดับ ซูเปอร์พีชคณิตแบบสลับที่ได้ คือ ซูเปอร์พีชคณิตที่มีซูเปอร์เซ็นเตอร์เป็นทั้งหมดของ ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

ผลคูณเทนเซอร์แบบไล่ระดับของซูเปอร์อัลเจบราสองตัวอาจถือได้ว่าเป็นซูเปอร์อัลเจบราที่มีกฎการคูณกำหนดโดย: ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\otimes B}$

${\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=(-1)^{|b_{1}||a_{2}|}(a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}).}$

ถ้าตัวใดตัวหนึ่งหรือทั้งสองตัวเป็นจำนวนคู่บริสุทธิ์ ผลลัพธ์นี้จะเทียบเท่ากับผลคูณเทนเซอร์แบบธรรมดาที่ไม่มีการจัดระดับ (ยกเว้นว่าผลลัพธ์จะมีการจัดระดับ) อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว ผลคูณเทนเซอร์ขั้นสูงจะแตกต่างจากผลคูณเทนเซอร์ของและซึ่งถือว่าเป็นพีชคณิตแบบธรรมดาที่ไม่มีการจัดระดับ ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

เราสามารถขยายความหมายของซูเปอร์อัลเจบราให้ครอบคลุมถึงซูเปอร์อัลเจบราบนซูเปอร์ริงแบบสลับที่ได้ง่ายๆ ดังนั้น นิยามที่กล่าวมาข้างต้นจึงเป็นการปรับใช้เฉพาะกรณีที่ริงฐานเป็นจำนวนคู่ล้วนๆ

ให้เป็นซูเปอร์ริงแบบสลับที่ได้ซูเปอร์อัลเจบราเหนือคือ - ซูเปอร์โมดูลที่มีการคูณแบบ -ไบลิเนียร์ที่เคารพการจัดระดับ ความเป็นไบลิเนียร์ในที่นี้หมายความว่า ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A\times A\to A}$

${\displaystyle r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=(-1)^{|r||x|}x(r\cdot y)}$

สำหรับองค์ประกอบที่เป็นเนื้อเดียวกันทั้งหมดและ. ${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle x,y\in A}$

ในทำนองเดียวกัน เราอาจนิยามซูเปอร์แอลเจบราเหนือ ว่าเป็นซูเปอร์ริงพร้อมกับโฮโมมอร์ฟิซึมซูเปอร์ริงซึ่งภาพของโฮโมมอร์ฟิซึมนั้นอยู่ในซูเปอร์เซ็นเตอร์ของ ${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R\to A}$${\displaystyle A}$

นอกจากนี้ ยังสามารถกำหนดนิยามของซูเปอร์อัลเจบรา ในเชิงหมวด หมู่ได้ อีกด้วย หมวดหมู่ของซูเปอร์โมดูลทั้งหมดจะก่อให้เกิดหมวดหมู่โมโนอิดัลภายใต้ผลคูณเทนเซอร์ซูเปอร์ โดยมีทำหน้าที่เป็นวัตถุเอกลักษณ์ ซูเปอร์อัลเจบราแบบสมาคมและ เอกลักษณ์ เหนือ สามารถนิยามได้ว่าเป็นโมโนอิดในหมวดหมู่ของซูเปอร์โมดูล นั่นคือ ซูเปอร์อัลเจบรา คือซูเปอร์โมดูลที่มีมอร์ฟิซึมสองตัว (คู่) ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &:A\otimes A\to A\\\eta &:R\to A\end{aligned}}}$

ซึ่งแผนภาพทั่วไปจะสลับตำแหน่งกันได้